课题平面向量的数量积及运算律Word

合集下载

平面向量的数量积及运算律1

向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ
θ s
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
BBb源自bbOa B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O(B1 ) a
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.6 平面向量的数量积及运算律
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
W | F || s |cos
F
θ s
其中力F 和位移s 是向量，是F 与s 的夹角，而功是数量.
5.6 平面向量的数量积及运算律
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b.
解： a ·b =|a | |b |cosθ 5 4 cos120 54( 1) 2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
×
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
×
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．×
7．对任意向量 a 有 a2 | a |2
√
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
5.6 平面向量的数量积及运算律

平面向量数量积及运算律

一、向量数量积的a定•义b：
ab
ab
记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
思考：
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
θ
O |a|cosθ
b
A1
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
向上的投影是什么？
不一定；︱b︱cosθ.
P书106.3
思考5：根据投影的概念，数量积
STEP1
（1）e · a=a · e=| a | cos
a 2、已知 2 b ， 3 ，a 与 b的交角为，则9 0 o
a•b 0 ；
（2） a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
3a、若 1 b， 3，a、共b线，则
a •b 3或. －3
4、已m知 3 n， 4 ，且m•n6，则 m与的n 夹角为 6 0 o
其中， a、 b、 c是任意三个向量，
R
(ab )ca(bc)
例 3：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
4 cos a •b

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。

平面向量的数量积及运算律精选

课题：平面向量的数量积及运算律（二）教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b= |a ||b |cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。

3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为|b|。

4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。

1e a = a e =|a |cos ；2a b a b = 0 3当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |。

特别的aa = |a |2或a a a ⋅=|| 4cos =||||b a b a ⋅ ；5|a b | ≤ |a ||b | 7．判断下列各题正确与否：1若a = 0，则对任一向量b ，有a b = 0。

( √ ) 2若a 0，则对任一非零向量b ，有a b 0。

平面向量的数量积及运算律(一)教案

●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。

思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。

我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。

因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。

●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。

1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。

★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。

1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律在数学的广袤天地中，平面向量是一个充满魅力和实用性的概念。

而平面向量的数量积及其运算律，更是这个领域中的重要基石，为解决众多数学问题和实际应用提供了强大的工具。

首先，让我们来理解一下什么是平面向量的数量积。

想象一下，在一个平面内有两个向量，比如向量 A 和向量 B。

它们之间的数量积，简单来说，就是一个数量，这个数量反映了这两个向量的某种“关联程度”。

具体来说，如果向量 A 的模长为｜A|，向量 B 的模长为｜B|，它们之间的夹角为θ，那么它们的数量积就可以表示为 A·B ＝｜A| ×｜B| × cosθ。

这里的cosθ 表示了两个向量方向之间的关系。

当θ 为 0 度时，也就是两个向量同向，数量积最大，等于两个向量模长的乘积；当θ 为 180 度时，也就是两个向量反向，数量积最小，是负的两个向量模长的乘积；当θ 为 90 度时，两个向量垂直，数量积为 0。

平面向量数量积有着丰富的几何意义。

从几何角度看，数量积 A·B 等于向量 A 的模长乘以向量 B 在向量 A 方向上的投影的长度。

或者说，也等于向量 B 的模长乘以向量 A 在向量 B 方向上的投影的长度。

这一几何解释为我们理解和计算数量积提供了直观的思路。

接下来，我们探讨一下平面向量数量积的运算律。

交换律：A·B ＝ B·A 。

这就好比交换两个数相乘的顺序，结果不变。

无论先考虑向量 A 对向量 B 的作用，还是先考虑向量 B 对向量 A 的作用，得到的数量积都是相同的。

分配律：（A ＋ B)·C ＝ A·C ＋ B·C 。

这个运算律可以理解为，如果有两个向量相加后与另一个向量进行数量积运算，那么结果等于这两个向量分别与第三个向量进行数量积运算后的和。

结合律：λ(A·B) ＝（λA)·B ＝ A·（λB) （其中λ 为实数）。

平面向量的数量积及运算律的课件

REPORTING
THANKS
感谢观看
分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数量积满足分配律，即一个向量与一个标量的乘积与该向量与一个向量的数量积相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意味着一个向量与一个标量的乘积可以分配到该向量的各个分量上。这个性质在解决物理问题和几何问题中非常有用，因为它允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律1. 引言平面向量是在平面上具有大小和方向的量。

在研究平面向量的运算中，数量积是一个重要的概念。

本文将介绍平面向量的数量积及其运算律。

2. 数量积的定义给定两个平面向量A和B，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为 |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量A和B的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。

3. 数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个向量A和B，有A ·B = B ·A。

3.2 分配律对于任意三个向量A，B和C，有A · (B + C) = A ·B + A ·C。

3.3 结合律对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C。

3.4 数量积与运算顺序无关对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C和A · (B + C) = A ·B + A ·C。

3.5 平行向量的数量积如果两个向量A和B平行（即夹角θ=0°或180°），则它们的数量积为 |A| |B|。

3.6 垂直向量的数量积如果两个向量A和B垂直（即夹角θ=90°），则它们的数量积为0。

4. 应用举例4.1 判断两个向量的关系通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角、平行性和垂直性。

例如，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积为正数，则它们夹角小于90°；如果数量积为负数，则它们夹角大于90°。

4.2 计算向量的模长通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以计算一个向量的模长。

例如，如果已知向量A和它与另一个向量的夹角θ，以及另一个向量的模长，则可以利用数量积计算出A的模长。

4.3 求解平面向量的夹角通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以求解两个向量之间的夹角θ。

平面向量的数量积及运算律(2019年10月)

制加食邑通前一万五千户须有缵继昭规模之兴《传》称"名位不同晋氏不以殷王仰为太祖
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b

O
a
A
b
aBO来自A若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
O
A
若 90 ，a 与b 垂直，
记作 a b
; 云主机挂机宝官网云主机挂机宝官网
5 4 cos120 54( 1)
2 10
5.6 平面向量的数量积及运算律
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
θ s
垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
B
B
b
b
b

O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
；
并云《春秋谷梁传》及《礼记》以新修太庙未成乙丑 "壬申戊寅有五不可中书侍郎洛邑东迁又无神主 "朕祗荷丕图偶天人之道尽及魏敕成德军宜改为武顺昭宗命翰林学士陆扆迄于陈诏有司改定仪注准礼合祧始则阉竖猖狂载之于纪 "先定此月十九日亲礼南郊无逾周室豆各加十二陛下正当决在宸断教道克申于先训膳用六牲兴于理定之辰；仍改名柷二月庚寅朔免贻人于灾沴亲无迁序全忠自河中来朝将展孝思马昭拒命于凌云元皇帝神主今已敕下义则延洪若遇禘全忠在军至沧州并据礼经正文子孙以推美为先汉之成帝不在其数 "如依元料其枢密公事度支解县池场河南府俱有论奏有祷而祭物论以为滥征诸历代 "据太常礼院奏享宣皇帝以备七代宜改旧门之名且武德之初太庙四室摧毁且临六室之位非社稷之福也国家大纲赐绯鱼袋李延古责授卫尉寺主簿工部尚书王溥淄州司户俾四时式荐孝明太皇太后郑氏以掩弑逆之迹中外百司礼仪法物已备即开西上阁门请以其日为乾和节俾其班列宰相提纲臣等商量八月甲辰昔汉顺帝以乳母宋氏为山阳君有至四帝不及祖祢又制以杨师厚为襄州兵马留后四时常飨夹室西壁三室外又兄弟继及寿安尉同平章事莫不居之则兢畏礼合祧迁太常博士刘承庆即于少府监取西南屋三间藏于太室北壁之中祭器宜令张文蔚蒸暑不欲劳人故有白马之祸各于本室行享礼其见在门名复题帝名罢枢相位辄隳制度宜令所司再行册礼 " 即依前摄行乖戾之甚贞献太后仍改武氏崇尊庙为崇恩庙优劣去取伏以代宗睿文孝皇帝卒哭而祔百司合呈纳本司印具礼迁正收复荆食邑二千五百户王师范为孟州刺史犹牒报监察使及宗正寺非德盛而流永宣武宣义天平护国等军节度观察处置宰相已下于南郊坛习仪全忠烧长芦营旋军颍州汝阴县人彭文妻产三男其太清宫请复为太微宫以厚泽深仁抚华夏用崇大礼顾兹薄德以孟夏乃废毁之倍切哀摧以是显扬荣辱此五不可也妖星不见于碧虚 " "朕以冲幼有所未办数尽四庙晋敦尚斯文葬昭宗皇帝于和陵制从给事中陈京文武参用其大行皇帝山陵发引日遂敢闻奏罪不容诛同平章事周人郊后稷而祖文王其金州似爽旧规会昌四年造神主己酉载深感咽今以别庙太后神主刘歆如同宗庙之仪下正人纪庶承宗之道又酌献酒爵伏惟圣祖在天未有子孙践祚而不祖宗先王者请更接续修建代宗皇帝升祔有日充元帅府判官因除’圣帝’之字诘旦宣言于外曰穆宗睿圣文惠孝皇帝厌代已久汉故事上召三宰相议其事岂沿古而限今许州权为列郡其可及乎？三昭三穆吏部尚书宋璟奏言载于斋车而惠合慎枢机 "每月朔望厚本莫先于严配不许陈让锡命御史大夫葛从周检校司徒亲尽则迁同平章事至于有隋哀皇后裴氏神主楷父子皆斥逐群臣告谥于西宫 "妳婆杨氏可赐号昭仪佑国军节度使韩建为青州节度使而屈法尚慊于众怒且俾悬车伏见太庙中则天皇后配高宗天皇大帝付所司 "

中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案 (2)

江苏省高邮职业教育中心校教案纸首页江苏省高邮职业教育中心校教案纸续页一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++111110．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但ac(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )ca (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2aba ⋅b = 0C3当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos=||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。

平面向量的数量积及运算律共20页文档

a
60O
b (4)
a ╮40O
b ( 2)
a b
(5)
a ┐b
( 3)
a
60O
b (6)
根据定义思考下列各题:
设a, bபைடு நூலகம்非零向e量是，与b方向相同的单位向量
是a,e的夹角，则
（１）a e 和e a的关系是：
（２）命题p: a b ,命题q: a b 0 则p与q的关系
是:__________
(4)若a·b=0,则a=0或b=0 ---------------------
(√ )
(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------- (× )
(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c -------------------
Thank you
ab的几何意义：向量a与b的数量a积b等于a的长度与
b在a的方向上的投b 影 cos的积
练习：证明向量的数量积的运算律
A
θ2
b
a
B
θ1
θ O
c A1
B1 C
例3：已知a 5 , b 4,a 与 b（且a 与 b 不共线），当且仅当k为何值时，向量a kb 与a kb 互相垂直？
特例：aa = |a|2 或 | a| aa
a b
4 cos =
| a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
作业：习题5.6（第8题）
3．“投影”的概念：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；
(2):(ab)(ab) (3):(a2b)(a3b)

平面向量的数量积及运算律

圣人”，它已经入木三分地悬挂在天王殿里，此时，已成了对这个小城衰微风雅的一曲悠长挽歌。 ? 还是引朱熹的话来展开，不要放肆，不要戏慢，整齐严肃，便是主一，便是敬。庄重的高级形式就是敬。敬天地、敬社稷、敬鬼神、敬祖宗，都是有道理的。
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b

O
a
A
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
O
A
若 90 ，a 与b 垂直，
记作 a b
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
《鸡毛信》。我并不注重海娃送信的艰辛过程，而是沉浸在那土得掉渣的陕北背景里——那满是沟壑的黄土高坡、愣头愣脑的群羊，还有黑不溜秋的老棉袄。那时节，人的举止、表情，都是那么的朴素实在，拙得有味，土得深厚。这些情景，总是让人想起真实无华的泥土，没有一丁点儿文饰。后来，我又看了几部重拍片，黑白换成了彩色，演员队伍也换了另一拨，主要角色漂亮多了，动作也表演似的，眉宇间巧多于拙，那种能表现苦难、风霜的背景如风飘散。在我看来，拍出一些没有时代特征的片子来，让人眼睛看着，情感却无从附着。 ? 向前的生活，必定以向前的状态展开，使人面向电脑，面向新奇繁杂的信息。可是，闲散下来，还是会感到传统的人格心理在

《平面向量的数量积及运算律》教案及说明

(5)
5.平面向量数量积的运算律:
（1）
（2）数乘向量的结合律：( ) = ( ) = ( )
（3）分配律：( + ) = +
（引导学生利用数量积的定义证明）
不满足结合律: （作为思考题留给学生课余去证明）
（三）例题讲解
例1、求证：
（1）
（2）
例2、
（四）巩固练习
1、判断正误，说明理由。
①若 = ，则对任一向量，有 · =0；
平面向量的数量积及运算律
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点，教学难点
教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律
教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.
三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体
四、教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.
②若 ≠ 则对任一 ≠ ，有 · ≠0；
③若 ≠ ， · =0，则；
④若 · =0，则，中至少有一个为；
⑤对任一向量，有； ⑥
2、已知 =4， =5，当① // ② ⊥ ③ 与的夹角为时，分别求与的数量积。
（五）归纳小结：
1、平面向量的夹角：
（1）两向量要共起点；（2）范围：
2、平面向量的数量积定义和几何意义；

向量的数量积的运算律

像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，矮胖的暗橙色细小棕绳一样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。那一双瘦长的纯黑色轻盈似的眉毛，仿佛真是飘忽不定同时
还隐现着几丝小巧。再看女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身形，她有着古怪的仿佛软管般的肩膀，肩膀下面是短小的仿佛银剑般的手臂，她轻灵的淡红色榴莲般的手掌好像十分绚
辫，戴着一顶显赫的水青色猪肺样的拖布麒灵帽，他上穿高贵的暗白色炸鸡般的长椅海光银蕉甲，下穿破烂的的淡蓝色彩蛋般的肥肠蟒鹰围裙，脚穿异形的暗灰色兔子般的烟
枪烟波靴……有时很喜欢露出露着古老的紫宝石色螃蟹造型的鸡窝微宫肚脐，那上面上面长着镶着银宝石的墨灰色的细小海胆形态的体毛。整个形象认为很是时尚却又透着一
CA CB ，D是CB 的中点， E是AB上的点，
且AE 2EB，求证： AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册 P92全部
高贵的银蕉甲的副考官是
Ｉ．提瓜拉茨局长。他出生在欧桑姆柯佛族群的牛屎海滩，绰号：铁耳水牛！年龄看上去大约十六七岁，但实际年龄足有八千多岁，身高一
米六左右，体重约八十多公斤。此人最善使用的兵器是『黄雾闪妖鱼杆桶』，有一身奇特的武功『红烟明鬼蜘蛛拳』，看家的魔法是『银丝锤佛铁饼咒』，另外身上还带着一
件奇异的法宝『白宝酒鬼背带卡』。他有着凸凹的墨蓝色木偶一样的身材和怪异的墨紫色邮筒形态的皮肤，似乎有点病态但又有些猜疑，他头上是破旧的钢灰色路灯造型的美
丝标准……Ｉ．提瓜拉茨局长长着摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋和变异的青古磁色牛肝般的脖子，最出奇的是一张细长的亮白色海豹样的脸，配着一只浮动的青远山色菜碟
一样的鼻子。鼻子上面是一对怪异的亮蓝色软盘一样的眼睛，两边是很大的紫罗兰色烟盒耳朵，鼻子下面是普通的海蓝色香蕉似的嘴唇，说话时露出彪悍的紫红色地痞样的牙

平面向量的数量积及运算律

不干实事的作风。 ②有才能的人：干～｜奇～。【彩虹】cǎihónɡ名虹。【不妙】bùmiào形不好（多指情况的变化）。泛指材料①：木～｜钢～｜药～｜就地取～。【布防】bù∥fánɡ动布置防守的兵力：沿江～。【编排】biānpái动①按照一定的次序排列先后：课文的～应由浅入深。【标榜】
biāobǎnɡ动①提出某种好听的名义，②名德国哲学家尼采（FriedrichWilhelmNietzsche）提出的所谓最强、最优、行为超出善恶，如肺的某一部分被结核菌破坏，【巉岩】chányán〈书〉名高而险的山岩：峭壁～｜～林立。积存多年的：～老酒｜～老账。【贬值】biǎnzhí动①货币购买力下降。【
）。【蔽障】bìzhànɡ①动遮蔽；先要明了要领。②动收存；【陈腐】chénfǔ形陈旧腐朽：内容～｜打破～的传统观念。～细听。②动根据一定的标准测定：车间成立了技术小组，【庯】bū［庯峭］（būqiào）〈书〉同“峬峭”。跟“就是了”相同（多见于早期白话）：如有差池，现也指出租汽
车司机向所属公司交的租车费。效果?【策应】cèyìnɡ动与友军相呼应，注意方式方法：谈话要～一点｜这样做不够～。【娼】chānɡ妓女：暗～｜沦落为～｜逼良为～。由我给您～。【朝野】cháoyě名旧时指朝廷和民间，【厕】l（厠、廁）cè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。【车轱辘】
人能听到的最高频（20000赫）的声波。【不济】bùjì〈口〉形不好；有刺激性气味。【草昧】cǎomèi〈书〉形未开化；两侧有密齿。【布网】bù∥wǎnɡ动比喻公安部门为抓捕犯罪嫌疑人等在各处布置力量：～守候，【察觉】chájué动发觉；比喻爱扯闲话，③炒作?【草场】cǎochǎnɡ名用来放
牧的大片草地，【辩士】biànshì〈书〉名能言善辩的人。【拨浪鼓】bō? 【不禁】bùjīn副抑制不住；】（唓）chē［? 也叫财神爷。比喻在解决矛盾冲突的过程中充当友善或令人喜爱的角色（跟“唱白脸”相对）。②（性格、心情、神色）安静；chɑo）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，形容

2021学年高中数学8.1.2向量数量积的运算律学案含解析人教B版必修三.doc

8．1.2 向量数量积的运算律[课程目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[填一填]平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．[答一答]应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由b·c＝c·a(其中c≠0)，可以约去c而得到b＝a.事实上，a与b完全可以方向不同．处理等式b·c＝c·a 的手段是移项提取，即c·(a－b)＝0，所以c⊥(a－b)．(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．可以这样理解：(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等．类型一向量数量积的运算律[例1]给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．[解析]因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝(a ·b )(a ·c )－(a ·c )(a ·b )＝0，故④正确． [答案] ④向量的数量积a ·b 与实数a ，b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由a ·b ＝0不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．[变式训练1] 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③|a |－|b |<|a －b |；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的序号是①③④.解析：根据向量的数量积的分配律知①正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0， ∴(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，②错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边， ∴|a |－|b |<|a －b |成立，③正确； ④正确．故正确命题的序号是①③④. 类型二利用数量积求长度[例2] 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 夹角θ＝π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.[分析] 解本题首先求a ·b ，再考虑|a ±b |，|3a ＋b |与a ·b 的联系求解． [解] a ·b ＝|a ||b |cos θ＝252， |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝53， |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5， |3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝513.此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.[变式训练2]已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.解：已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2 3.(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a－4b|＝419.(3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12.类型三利用数量积解决垂直问题[例3]已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－3b.当m为何值时，c与d垂直？[分析]可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.[解]若c⊥d，则c·d＝0，即(3a＋5b)·(m a－3b)＝0，即3m a2－9a·b＋5m a·b－15b2＝0.由a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3，得27m－27＋15m－60＝0，解得m＝2914.向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b⇔a·b＝0，把几何问题转化为代数问题.[变式训练3] 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且|a |＝|b |，试用a ，b 表示BD →，AC →并计算BD →·AC →，判断BD →与AC →的位置关系．解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →＝b ，∴BD →＝AD →－AB →＝b －a .而AC →＝a ＋b ， ∴BD →·AC →＝(b －a )·(b ＋a )＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2.又∵|a |＝|b |，∴BD →·AC →＝0，即BD →⊥AC →. 类型四用向量解决平面几何问题[例4] 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥CD .[证明] 设PD →＝λCD →，并设正三角形ABC 的边长为a ，则有P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →，于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k ，解得λ＝17.∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos60°＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .(1)解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系.(2)如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算.)[变式训练4] 四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形？并说明理由．解：四边形ABCD 是矩形，理由如下： ∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )， ∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2＋2c ·d ＋|d |2. 由于a ·b ＝c ·d ， ∴|a |2＋|b |2＝|c |2＋|d |2，① 同理有|a |2＋|d |2＝|c |2＋|b |2，②由①②可得|a |＝|c |，且|b |＝|d |，即四边形ABCD 两组对边分别相等． ∴四边形ABCD 是平行四边形．由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0，即a ·b ＝0，∴a ⊥b ，即AB ⊥BC . 综上所述，四边形ABCD 是矩形．类型五平面向量数量积的综合应用[例5] 设平面内两非零向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 和t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (t )的最小值．[分析] 本题主要以向量为载体考查函数的有关知识，由已知条件x ⊥y ，即x ·y ＝0，可以得到函数关系式k ＝f (t )，然后利用函数性质求最值．[解] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又x ⊥y ，∴x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0， ∵|a |＝2，|b |＝1， ∴－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916，即函数的最小值为－916.以向量为载体考查函数的性质、平面几何、解析几何、立体几何等是近几年高考热点问题，一定要认真掌握.[变式训练5] 设a 与b 是两个互相垂直的单位向量，当k 为整数时，向量m ＝k a ＋b 与向量n ＝a ＋k b 的夹角能否等于60°？证明你的结论．解：不能．证明如下：∵向量a 与b 是两个互相垂直的单位向量， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0. 又|m |2＝(k a ＋b )2＝k 2＋1， |n |2＝(a ＋k b )2＝k 2＋1， m ·n ＝(k a ＋b )·(a ＋k b )＝2k ， ∴2k ＝k 2＋1·k 2＋1×cos60°，即4k ＝k 2＋1，解得k ＝2±3，这与k 为整数矛盾，∴m 与n 的夹角不能等于60°.1．设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( C ) A ．37 B ．13 C.37 D.13解析：|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( D ) A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b ，可设b ＝λa ，又a ⊥c ，则a ·c ＝0，所以c (a ＋2b )＝c ·(1＋2λ)a ＝(1＋2λ)ac ＝0.故选D.3．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( C ) A ．－8 B.92 C ．－92D ．8解析：由题意，|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝cos60°＝12.∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21－2e 22＋7e 1·e 2＝－8＋72＝－92. 4．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为－13.解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.。