七年级上一元一次方程培优讲义(精品).doc

合集下载

人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲含参一元一次方程》

第4讲含参一元一次方程【知识目标】目标一理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】（1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】（1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】（1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值．只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】（1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三：解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-．但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去；综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。

初一一元一次方程讲义

一元一次方程教案教学目标：通过具体的例子让学生体会去分母解一元一次方程的简捷性和重要性，熟练掌握去分母解一元一次方程。

教学重难点：运用去分母解一元一次方程。

去分母时需要注意的问题。

教学过程1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--)13(2131)2(322x x x x 2．1111(3)3302222y ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.1.甲`乙两件衣服成本共500元，甲按50%利润定价，乙按40%利润定价。

卖时客户要求两件均按9折出售，最终本店获得了157元，求两件衣服的各成本。

2.一个乘客乘机行李最多20kg 超过的按机票价的1.5%买行李票，李先生带了35kg 的行李上飞机，所有票共付了1323元，求李先生的机票价。

初一上数学-一元一次方程-培优讲义

一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=；（2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解；【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。

人教版七年级上册数学《一元一次方程》教学说课培优课件

分
析
路程/km
速度/(km/h)
客车

70
卡车

60
卡车行驶时间 − 客车行驶时间 =

−
=1
60 70
时间/h

70
x
60
思
考
用算术方法和用方程解决这个问题，各有什么特点
？
算术方法
列方程
计算过程
根据相等关系列出的等式
只含有已知数
既含有已知数，
又含有用字母表示的未知数
小结
列方程解实际问题初始的两步：
解：设沿跑道跑x周，可以跑3000m.
400x=3000
根据下列问题，设未知数，列出方程：
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅
笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设买甲种铅笔支，则买乙种铅笔 20 − 支.
0.3 + 0.6 20 − = 9.
巩固练习
练习
六
根据下列问题，设未知数，列出方程：
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两
种铅笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
巩固练习
练习
六
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
解方程是一个具体的过程，
方程的解是解方程的结果.
练习五
x=-3和x=2中哪个是方程2x+3=3x+1的解？
解：当x=-3时，
左边=__________=_______.

七年级(上)培优讲义：第13讲一元一次方程

第13 讲一元一次方程一、新知建构1. 有关概念一元一次方程方程的解．2. 解一元一次方程基本步骤检验方法．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题．二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2．解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3．甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（）Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（）Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元Ｃ．1.12a元Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（）（A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值．六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。

北师大七年级上培优第10讲：解一元一次方程

解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

注意不要漏乘。

（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

注意不要漏乘，不要错符号。

（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边。

注意移项要变号。

（4）合并同类项：把方程化成b ax =的形式。

注意未知数及其指数不变。

（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0≠a ），得到方程的解a b x =知识点：一元一次方程定义1、若()04472=---m x m m 是关于x 的一元一次方程，求199422+-m m 的值。

2、已知方程()()08222=----x m x m 是关于x 的一元一次方程，试判断2=x 是不是方程()0822242=++--+m x x x mx 的解。

知识点：定义新运算1、在有理数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：b a b a 32+-=⊕，如13531251=⨯+⨯-=⊕，则方程043=⊕x 的解为。

2、对于有理数a 、b 规定一种新运算：b b a b a +⨯=*有下列结论：①()843-=*-；②a b b a *=*③方程()634=*-x 的解为5=x ；④()32234=**。

其中，正确的是。

（填序号）知识点：方程的解结合整体思想1、如果1=x 是关于x 的方程32=-+c bx ax 的解，那么式子c b a 242-+的值为。

2、我们称使3232++=+b a b a 成立的一对数a 、b 为“相伴数对”，记为（a ，b ）如：当0==b a 时，等式成立，记为（0，0）。

（1）若（a ，3）是“相伴数对”，则a 的值为。

（2）若（m ，n ）是“相伴数对”，则代数式()135210+---n m n m 的值为。

()195125.04315.03+=+++x x x 2.1885.132.005.03.13.04.05x x x -=---知识点：巧去括号解一元一次方程186432517191=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x整体思想解一元一次方程⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 53731217532131裂项思想解一元一次方程201620172015...5331=⨯++⨯+⨯xxx2018201820171...1216121=⨯++++x3655647=-+-+-x x x 51112914716518320=-+-+-+-+-x x x x x()()()()2017201720181...341231121=++++++++x x x x知识点：解与参数问题1、x 的方程x a x x 4323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--和1851123=--+x a x 有相同的解，求这个解的值2、当m 为何值时，关于x 的方程x x m +=+135的解比关于x 的方程m m x 32=+的解大2？3、不论k 为何值时，1=x 总是关于x 的方程6232bk x a kx -+=+的解，求a ，b 的值。

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的应用题一)第八讲

一元一次方程的应用题(一)应用题是中学数学中的一类重要问题.一般通过对问题中量的关系进行分析.适当的设未知数.找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵.觉得题目长.文字多.关系复杂.难以把握.其实应用题关键在于读题.弄懂题意.一些常见的问题.比如行程问题.工程问题.利率问题.浓度问题等等.其中的基本关系一定要深刻理解.设未知数的方法一般来讲.有以下几种：直接设未知数解应用题：直接设未知数指题目问什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况；间接设未知数解应用题：设间接未知数.是指所设的不是所求的.而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；引入辅助未知数解应用题：设辅助未知数.就是为了使题目中的数量关系更加明确.可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出.可以在解题时消去.解应用题的方法多种多样.除此之外.还有运用逆推法解应用题.运用整体思想解应用题.运用图形图表法解应用题等等.单纯的背这些方法是没有意义的.关键还在于提高理解能力.大量练习.从而学会快速读懂题意.综合运用各种方法去求解问题.列方程解应用题的步骤：①审：审题.分析题中已知什么.求什么.明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么.就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式.进而列出方程⑤解：解所列出的方程.求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意.写出答案（包括单位名称）模块一和差倍分问题【例1】玻璃缸里养了三个品种的金鱼.分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍.且“朝天龙”比“水泡”少1条.这三种金鱼各有几条呢? 【解题思路】设“珍珠”的条数为x 条.则“水泡”“朝天龙”的条数分别为3x 条.2x 条．依题意得：321x x -=.1x =.从而33x =.22x =.【题目答案】3,2,1【巩固练习】甲队有32人.乙队有28人.现从乙队抽x 人到甲队.使甲队是乙队人数的2倍.依题意.列出方程为 . 【解题思路】略【题目答案】322(28)x x +=-【巩固练习】汽车若干辆装运货物一批.若每辆汽车装3.5吨货物.这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物.那么装完这批货物后.还可以装其他货物1吨.问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？【解题思路】设有汽车x 辆．依题意得：3.5241x x +=-.解之得：6x =.4123x -=.故汽车有6辆.货物有23吨．【题目答案】6；23【例2】 ⑴ 甲仓库有粮120吨．乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运吨到乙仓库.调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．⑵ 甲乙两个圆柱体容器.底面积比为53∶.甲容器水深20cm .乙容器水深10cm .再往两个容器注入同样多的水.使两个容器的水深相等.这时水深多少厘米?【解题思路】⑴ 从甲仓库调运x 吨到乙仓库.依题意得1120(90)2x x -=+.解得50x =．⑵ 设这时水深cm x .依题意得5(20)3(10)x x -=-.解得35x =．若学生不好理解.不妨多设一个底面积比为53a a ∶．方程为5(20)3(10)a x a x -=-即可．【题目答案】50；35【巩固练习】某公司有甲乙两个工程队.甲队人数比乙队人数的23多28人．现因任务需要.从乙队调走20人到甲队.这时甲队人数是乙队人数的2倍.则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【解题思路】设乙队原来有x 人.则甲队有2283x +人．依题意可列：()22202820x x -=++.解得：66x =【题目答案】72,66【巩固练习】甲.乙.丙三条铁路共长1191千米.甲铁路长比乙铁路的2倍少189千米.乙铁路长比丙铁路少8千米.求甲铁路的长．【解题思路】设丙铁路长为x 千米.则乙铁路长8x -千米.甲铁路长()28189x --千米．依题意可列：()()8281891191x x x +-+--=【题目答案】499,344,352【巩固练习】如图.两根铁棒直立于桶底水平的木桶中.在桶中加入水后.一根露出水面的长度是它的13.另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm .此时木桶中水的深度是 cm ．【解题思路】设此时木桶中水的深度为cm x .依题意得.两根铁棒的长度为1[(1)]cm 3x ÷-和1[(1)]cm 5x ÷-.故11[(1)][(1)]5535x x ÷-+÷-=.解得20x =．【题目答案】20【例3】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方.一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来.他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍.再加上原来这群羊的一半.又加上原来这群羊一半的一半.连你这只羊也算进去.才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解题思路】设这群羊共有x 只.依题意.有112110024x x x +++=.解之得36x =.【题目答案】36模块二行程问题☞追击问题解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．【例4】敌我两军相距32千米.敌军以每小时6千米的速度逃窜.我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗.问战斗是从开始追击后几小时发生的？【解题思路】根据追击问题的基本公式：追击时间⨯速度差=追击的路程．设战斗是从开始追击后x小时发生的．则依题意可列：()166322x-=-.解得：3x=．【题目答案】3【巩固练习】环城自行车赛.最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人.已知最快的人的速度是最慢的人速度的32倍.环城一周是20千米.求两个人的速度.【解题思路】设最慢的人的速度为x.则最快的人的速度为32x.依题意可列：432052x x⎛⎫-=⎪⎝⎭．解得：50x=【题目答案】慢人的速度为50.快人的速度为65．【巩固练习】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车.汽车的速度是每小时28千米.摩托车的速度是每小时42千米.通讯员出发4小时后追上汽车.求部队比通讯员早出发几小时？【解题思路】设部队比通讯员早出发x小时．则依题可列：()4228428x-=.解得：2x=．【题目答案】2【例5】某人从家里骑摩托车到火车站.如果每小时行30千米.那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时此时骑摩托车的速度应为多少？【解题思路】设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时.则151530()18()6060x x -=+.解得1x =. 此人打算在火车开车前10分钟到达.骑摩托车的速度应为1530(1)602710160⨯-=-（千米/时）【题目答案】27【巩固练习】甲乙两列火车.甲车长160m .乙车长120m .甲车速度为20/m s .乙车速度为40/m s ；若乙车从后面追赶甲车.问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？【解题思路】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以.追击路程为两车的车长之和．设从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间为x .则依题意可列：()1601204020x +=- 解得：14x =【题目答案】14☞相遇问题解决相遇问题的基本公式为：速度和⨯相遇时间=路程．【例6】乙两站的路程为360千米.一列快车从乙站开出.每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出.每小时行驶48千米．两列火车同时开出.相向而行.经过多少小时相遇？【解题思路】设经过x 小时相遇.则依题意可列：()7248360x +=.解得：3x =．【题目答案】3【巩固练习】甲.乙两人从相距75km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7.5km .乙每小时行5km .问：（1）两人同时出发.多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发.问乙出发几小时后两人相遇【解题思路】（1）设x 小时相遇．依题意可列：()7.5575x +=.解得：6x =（2）设乙出发x 小时后两人相遇．则依题意可列：()757.527.55x -⨯=+.解得：4x =．【题目答案】6；4【巩固练习】甲.乙两人从相距73km 的A .B 两地相向而行.甲每小时行7km .乙每小时行2km .问：两人同时出发.多少小时相距1km ？【解题思路】设x 小时后相距1km ．依题意可列：()73172x -=+.解得：8x =．【题目答案】8☞变速问题【例7】一辆汽车从甲地开往乙地.每分钟行525米.预计40分钟到达.但行到一半路程时.机器发生故障.用5分钟修理完毕.如果仍在预计的时间内到达.行驶余下的路程.每分钟比原来速度快多少米？【解题思路】设比原来的速度快x 米．则依题意可列：52520205525x⨯=-+.解得：175x =．【题目答案】175【巩固练习】某人以每小时8千米的速度上山.以每小时12千米的速度下山.共用5小时.问上山需要用多少时间？【解题思路】设上山需要用x 小时.下山需要5x -小时．则依题可列：()8125x x =-.解得：3x =．【题目答案】3【巩固练习】Cenrrie 带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏.Cenrrie 站一个小山坡的脚下.当Cenrrie 扔出“飞盘”.“旺财”从Cenrrie 身边同时跑出去速度为6/m s .接到“飞盘”后以9/m s 的速度跑回Cenrrie 身边.问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？【解题思路】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为x .=整个路程平均速度全程所用的时间.则整个过程中的平均速度为：267.269xx x =+ 【题目答案】7.2【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度.这样做是错误的．【例8】某人有急事.预定搭乘一辆小货车从A 地赶往B 地．实际上.他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车.车速提高了一倍.结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时.求两地间路程. 【解题思路】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析.列出相关的代数式.进而建立方程.转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象.住数量关系的实质；不能机械的记忆.套用某些题型而忽略了问题的本质．常有貌似相像.实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问题．本题与上题具有相同的数量关系：后23程中时间节约了112小时．所以设行驶了全程的13还余x 千米．根据题意.同样可列出方程.1136722x x -=.解得108x =．这时两地间路程是21081623÷=(千米)．【题目答案】162【巩固练习】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时.水流速度增加一倍后.再从甲港到乙港航行需3小时.水流速度增加后.从乙港返回甲港需航行多少小时？【解题思路】设小船在静水中的速度为a .原来的水速为b .则2()3(2)a b a b -=-.解得4a b =.故所求时间为2()1(2)a b a b -=+（小时）.【题目答案】1☞流水问题流水问题的常用公式：=逆水时的速度船速-静水速度=+顺水时的速度船速静水速度()1=+2船速逆水时的速度顺水时的速度()1=2静水速度顺水时的速度-逆水时的速度【例8】一小船由A 港到B 港顺流需行6小时.由B 港到A 港逆流需行8小时.一天.小船从早晨6点由A港出发顺流行至B 港时.发现一救生圈在途中掉落在水中.立即返回.1小时后找到救生圈.问： ⑴若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需多少小时？ ⑵救生圈是何时掉入水中的？【解题思路】⑴设小船在静水中的速度为a .水流速度为b .则6()8()a b a b +=-.解得7a b =.故小船按水流速度由A 港漂流到B 港所需时间为6()48a b b+=（小时）； ⑵设小船行驶x 小时后.救生圈掉入水中.则(61)()1(6)()x b a b x a b -++-⨯=-+.将7a b =代入上式.得到5x =.故救生圈是上午11点掉入水中的.【题目答案】48；5【巩固练习】甲.乙两港相距360千米.一轮船往返两港需35小时.逆流航行比顺流航行多花了5小时.现有一机帆船.静水中速度是每小时12千米.问这机帆船往返两港要多少小时？【解题思路】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度.其次.利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的时间．设轮船顺流航行需要x 小时.依题意可列：535x x ++=.解得：15x =．可求得水速为：1360360321520⎛⎫-= ⎪⎝⎭（千米∕时）则帆船往返两港所需要的时间为：36036064123123+=+-（小时）【题目答案】64模块三工程问题【例9】某车间原计划每周装配42台机床.预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后.改进操作技术.工效提高了一倍.结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【解题思路】设装配了机床总量的13还余x 台．根据题意可列方程11424222x x -=⨯.解得126x =．这时总任务是21261893÷=(台)．【题目答案】189【巩固练习】某工程.甲工程队单独做40天完成.乙工程队单独做需要60天完成.若乙工程队单独做30天后.甲.乙两工程队再合作x 天完成．列方程为．【解题思路】11130()1603060x ⨯++=．【题目答案】1【例10】一水池.装有甲.乙两个进水管和一个出水管丙.如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完.问三管一齐开放.几小时注满水池？【解题思路】设三管一齐开放.x 小时可以注满水池．则由题意可列：1111438x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.解得：7117x =（小时）【题目答案】7117【巩固练习】有一个水池.用甲抽水机抽水8小时可以把全池水的31抽完.用乙抽水机6小时可以把全池水的51抽完.若两台抽水机同时工作.几小时可将全池的水抽完？ 11则依题意可列：1112430x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：403x =（小时）【题目答案】403模块四.配套问题1．在配套问题中.配套的物品之间具有一定的数量关系.这个数量关系可以作为列方程的依据． 2．配套问题中的基本数量关系：若m 个A 和n 个B 配成一套.则A mB n=的数量的数量.可得等量关系：m ×B 的数量=n ×A 的数量．3．审题时.要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服.3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条.一件上衣和一条裤子为一套.计划用600米长的布料加工校服.请你帮该公司计算一下.分别用多少布料生产上衣和裤子.才能配套？共能加工多少套校服？【题目答案】用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．【解题思路】设用x 米布料生产上衣.则用（600–x ）米布料生产裤子才能配套. 由题意得.2x =3（600–x ）. 解得：x =360. 则600–x =240.共加工校服：360÷3×2=240（套）．答：用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．模块五.比赛中的积分问题在比赛积分问题中.基本相等关系有：某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．【例4】篮球比赛规定：胜一场得3分.负一场得1分.某篮球队共进行了6场比赛.得了12分.该队获胜的场数是A．2 B．3C．4 D．5【题目答案】B【解题思路】设该队获胜x场.则负了（6–x）场.根据题意得：3x+（6–x）=12.解得：x=3．故选B．【名师点睛】（1）并不是每种比赛都按胜.平.负情况积分.有的只按胜.平两种情况积分.所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．（2）比赛中的积分与胜负场数有关.同时也与比赛积分规则有关.需先弄清“胜一场积几分.平一场积几分.负一场积几分”．课堂检测1. 甲乙两人从相距1000米的两地同时相对而行.甲每分钟行60米.乙每分钟行40米．几分钟后.甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发.狗以每分钟150米的速度向乙跑去.遇到乙后立刻回头向甲跑去.这样.狗在甲乙二人之间来回奔跑.直到两人相遇时为止.求这只狗跑了多少路？【解题思路】设两人的相遇时间为x.则根据相遇问题的基本公式可列：()+=.解得：1060401000xx=.第二问读起来学生可能觉得很难.但仔细想想这个题很简单.只要能够想到.这只狗一共跑了多长时间就可以.这只狗不管跑了多少趟.所跑的时间都是两个人的相遇时间也就是十分钟.所以这只狗所跑的路程为：150101500⨯=（米）．【题目答案】10；15002.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场).规定胜一场记3分.平一场记1分.负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场.结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？【解题思路】设该队负了x场.则胜(x＋2)场.平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．根据题意.得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]=19.解得x=4.所以11－x－(x＋2)=1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．3．程大位是我国明朝商人.珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则.确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧.大僧三个更无争.小僧三人分一个.大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个.小和尚3人分1个.正好分完.大.小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是A．大和尚25人.小和尚75人B．大和尚75人.小和尚25人C．大和尚50人.小和尚50人D．大.小和尚各100人．【题目答案】A1. 一个两位数.十位数字是个位数字的3倍.如果把十位数字与各位数字交换.所成的新数比原数少54.求原数.【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为3x .这个两位数是：30x x +.根据题意得：(30)(103)54x x x x +-+= .解这个方程得3x =．故原数为：93．【题目答案】932. 一个两位数.十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后.所得的数比原数小63.求原来的两位数．【解题思路】设原来两位数的个位数字是x .则十位数字为41x +.这个两位数是：10(41)x x ++.根据题意得：[10(41)][10(41)]63x x x x ++-++= .解这个方程得2x =．故原数为：10(41)92x x ++=．【题目答案】923. 船在静水中的速度为每小时15千米.水流速是每小时3千米.船从上游乙港到下游甲港航行了12小时.从甲港返回乙港需要多少小时？【解题思路】设从甲港返回乙港需要x 小时.则依题意可列：()()12153153x +=-.解得：18x =（小时）．【题目答案】184．某市中学生运动会篮球比赛.每场比赛都要决出胜负.每队胜一场得3分.负一场得1分.已知某篮球队在七场比赛中共得到15分.则该篮球队在这七场比赛中获胜了A ．六场B ．五场C ．四场D ．三场【题目答案】C【解题思路】设该队胜的场次是x 场.则负的场次是（7–x ）场.由题意得：3x +（7–x ）=15.解得x =4.故选C ．课后练习。

七年级一元一次方程培优

七年级一元一次方程培优--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________七年级上册《一元一次方程》培优专题一：一元一次方程概念的理解:例：若()2219203m x x m --+=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是。

练习：1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为2.若方程()()321x k x -=+与62k x k -=的解互为相反数，则k= 。

3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（）A.4个B.8个C.12个D.16个专题二：一元一次方程的解法（一）利用一元一次方程的巧解：例：（1）0.2•表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2•化成分数吗？（2）0.23••表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23••化成分数吗？（二）方程的解的分类讨论：当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。

（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当0,0a b =≠时，方程无解；（3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。

例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。

练习：1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。

(优质讲义)七年级上册数学一元一次方程应用题专项讲义

一元一次方程解的综合与应用学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容方程解的综合与一元一次方程的实际应用（基础）课型教学目标1.掌握有关方程的解的综合应用；2.掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；3.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路．重、难点1.根据实际环境，分析题目中各个条件间关系，找等量关系，列方程.2.熟悉数字，年龄，积分，行程等问题的解题思路.知识导图导学一：一元一次方程解的综合知识点讲解 1：含参数的解应用例 1. 方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．我爱展示1. 已知：方程x+k=2的解比方程的解大1，求k的值．知识点讲解 2：整数解问题例 1. 已知关于x的方程k（x+1）=k﹣2（x﹣2）中，求当k取什么整数值时，方程的解是整数．我爱展示1. m取什么整数时，关于x的方程4x + m（x﹣6）=2（2﹣3m）的解是正整数．并求出方程的解．知识点讲解 3：错解方程例 1. 数学迷小虎在解方程去分母时，方程右边的﹣1漏乘了3，因而求得方程的解为x=﹣2，请你帮小虎同学求出A的值，并且正确求出原方程的解．【学有所获】1、方程的解，即为使等式两边成立的未知数值；2、解一元一次方程的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.我爱展示1. 刘彬的练册上有一道方程题，其中一数字被墨水污染了，成了（“■”表示被墨水污染的数字），他翻了书后的答案，才知道这个方程的解为x=﹣1，于是他把被墨水污染的数字求了出来．你能把刘彬的计算过程写出来吗？（提示：设“■”数字为A，求A的值）知识点讲解 4：新定义计算例 1. 定义一种新运算“⊕”：A⊕B=A﹣2B，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求x的值．我爱展示1. 若A、B、C、D均为有理数，现规定一种新的运算，若已知：．（1）的值为；（2）时，求x的值．导学二：和差倍积问题例 1. 已知y1=6﹣x，y2=2+7x，当x取何值时，y1与y2互为相反数？我爱展示1. x为何值时，代数式（2x﹣1）的值比（x+3）的值的3倍少5．导学三：年龄、数字问题例 1. 今年母女两人的年龄和为60岁，10年前母亲的年龄是女儿的7倍，则今年女儿的年龄为岁．例 2. [单选题] 一个三位数，个位数是A，十位数是B，百位数是C，这个三位数是（）A．A+B+C B．ABC C．100A+10B+C D．100C+10B+A例 3. 把2016个正整数1，2，3，4，…，2016按如图方式排列成如图所示的数的方阵．（1）如图，用一个正方形框，在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，另三个数x的代数式表示，则从小到大依次是，，．（2）当（1）中被框住的4个数之和等于2016时，x的值为多少？（3）在（1）中能否框住这样的4个数，使它们的和等于2015，等于2032．若能，求出x的值；若不能，说明理由．我爱展示1.[单选题] 若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x，y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中正确的是（）A．yx B．x+y C．100x+y D．100y+x2.[单选题] 小明同学在某月的日历上圈出了三个相邻的数A、B、C，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是（）A．B．D．C．3.先观察，再解答．如图（1）是生活中常见的月历，你对它了解吗？（1）图（2）是另一个月的月历，A表示该月中某一天，B、C、D是该月中其它3天，B、C、D与A有什么关系？B= ；C= ；D= ．（用含A的式子填空）．（2）用一个长方形框圈出月历中的三个数字（如图3﹣2﹣2 （2）中的阴影），如果这三个数字之和等于51，这三个数字各是多少？（3）这样圈出的三个数字的和可能是64吗？为什么？导学四：比赛积分问题例 1. 七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？（2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．我爱展示1.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2 分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？2.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．（1）参赛者小婷得76分，她答对了几道题？（2）参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？导学五：行程问题知识点讲解 1：一般问题三个基本量间的关系：路程=速度×时间利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。

10初一上数学培优第十讲一元一次方程1

第十讲一元一次方程（1）－－概念及解法一、重要知识点回顾1.只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．必须满足下面三个特点：（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是1。

判断方法：要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为的形式，则这个方程就为一元一次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

2.解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

解一元一次方程的一般步骤及根据：1.去分母——等式的性质22.去括号——乘法分配律3.移项——等式的性质14.合并同类项——乘法分配律5.系数化为1——等式的性质26.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等二、典型例题分析:解方程解：去分母（有时需要添括号），得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得检验：把代入原方程左边=右边=左边=右边∴是原方程的解三、基础练习（一）选择题1．下列方程解相同的是（）．A．方程536x+=与方程24x=B．方程31x x=+与方程241x x=-C．方程12x+=与方程12x+=D．方程63(52)5x x--=与方程6153x x-=2．下列解方程的过程中，移项错误的是()．A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6 B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6 C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4 D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝43．方程1143x=的解是（）．A．12x=B．112x=C．43x=D．34x=4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是()．A．4x-1-x-3＝1 B．4x-1-x+3＝1 C．4x-2-x-3＝1 D．4x-2-x+3＝15．方程1302x--=可变形为()．A．3-x-1＝0 B．6-x-1＝0 C．6-x+1＝0 D．6-x+1＝26．3x-12的值与13-互为倒数，则x的值为()．A．3 B．-3 C．5 D．-57．解方程21101136x x++-=时，去分母，去括号后，正确结果是()．A．4x+1-10x+1＝1 B．4x+2-10x-1＝1C．4x+2-10x-1＝6 D．4x+2-10x+1＝68．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏（二）填空题9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________ 可变形为2x-3x＝-2-3，这种变形叫_______ _．(2)方程-3x＝5，利用，把方程两边都_______，把x的系数化为1，得x＝________．10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x＝-1，k的值是_______．11．如果式子2x+3与x-5的值互为相反数，那么x＝________．12．将方程1111124396x x x x+++=去分母后得到方程________．13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a-b．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．14．一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ．（三）解答题15．解下列方程(1)4(2x -1)-3(5x+2)＝3(2-x ) (2)12323x x x ---=-(3)0.10.2130.020.5x x -+-=16．式子12-3(9-y )与5(y -4)的值相等，求2y (y 2+1)的值．17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为31155x x ++∙=-，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是14，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．四、拓展练习例：若是关于x 的一元一次方程，则方程的解是。

七年级培优竞赛讲义——第9讲：绝对值与一元一次方程

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．【例题讲解】例1.方程5665-=+x x 的解是(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．例2.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有()．(希望杯邀请赛试题)A ．5B ．4C ．3D ．2思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．例3.解方程：413=+-x x ；(天津市竞赛题)思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．例4.解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．例5.已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．※巩固训练※1．方程1)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是()．A ．一2B ．0C ．32D ．不存在6．方程055=-+-x x 的解的个数为()．(“祖冲之杯”邀请赛试题)A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个7．已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是()(山东省竞赛题)A ．5210或B ．5210-或C ．5210或-D ．5210--或8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于()．(重庆市竞赛题)A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于()．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是()．A ．m>n>k B ．n>k>mC ．k>m>nD ．m>k>n 17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有()个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．(“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22．(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．第九讲绝对值与一元一次方程参考答案。

七年级数学一元一次方程培优

一元一次方程培优知识点1：等式及其性质重点：等式的基本性质的理解难点：性质的运用等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 例：已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．．成立的是（）（A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3532+=b a 知识点2：一元一次方程的概念重点：一元一次方程的概念难点：正确理解概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a .例１、下列各式：①3x+2y=1 ②m-3=6 ③x/2+2/3=0.5 ④x 2+1=2 ⑤z/3-6=5z ⑥(3x-3)/3=4 ⑦5/x+2=1⑧x+5中，一元一次方程的个数是（）Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4分析：根据一元一次方程定义，化简后具备以下五个条件：①含有一个未知数②未知数的次数为一次③未知数的系数不为０④分母中不含有未知数⑤是等式，才是一元一次方程．这些条件缺一不可，所以根据上述要求可以确定答案为Ｄ．例2、如果(m-1)x |m|+5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．知识点3：解一元一次方程重点：解一元一次方程的步骤例1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（）Ａ、去括号Ｂ、移项Ｃ、方程两边同时乘以１０Ｄ、方程两边同时除以4.5 例2、解方程（1）512(69)812()8323x x x ---=- （2）34113843242x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦难点：熟练解方程知识点4：一元一次方程实际应用重点：找等量关系列方程难点：审题找准等量关系，巧妙设未知量例1、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的概念及解法)第六讲

一元一次方程的概念及解法板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子.叫做等式．在等式中.等号左、右两边的式子.分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式.可以是公式、方程.也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母.等式才能成立．方程56x=才成立．x+=需要1矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式都不能成立．如125+=-．+=.11x x等式由代数式构成.但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中.哪些是等式⑴31x-⑵523x+=⑸()x+<⑷53-=⑶212x y+=-=-⑹1x y z xz yz【解题思路】等式的概念【题目答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程.如21x+=.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解.也叫方程的根.☞关于方程中的未知数和已知数：未知数：是指要求的数.未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中.a 、2b -、c 是已知数.x 、y 是未知数．【例2】下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解题思路】方程的概念【题目答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固练习】判断下列各式是不是方程.如果是.指出已知数和未知数；如果不是.说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解题思路】判断一个式子是不是方程.一要看是否为等式.二要看是否含未知数．【题目答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解题思路】方程的解（注意严格要求学生的书写格式.不能直接将数值代入方程.如3(1)15(1)⨯--=+-.这样写不对的原因在于未检验之前.并不知道1x =-是否是方程的解）【题目答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边.得左边3318=⨯-=.右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解 ⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边.得左边3(1)14=⨯--=-.右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解题思路】方程的解【题目答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边22(3)12=⨯+-+=.右边2(3)32=---= ∴左边=右边∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把1x =⎧⎨分别代入原方程的左边和右边.得左边21013=⨯++=.右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边20(2)11=⨯+-+=-.右边0(2)31=---=- ∴左边=右边∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】若2-为关于x 的一元一次方程.713mx +=的解.则m 的值是【解题思路】将2x =-代入原方程中.即可求解【题目答案】3m =-【巩固练习】关于x 的方程320x a +=的根是2.则a 等于【解题思路】略【题目答案】3-板块二等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则am bm =.a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中.等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减.同时乘以或同时除以.不能漏掉某一边⑵等式变形过程中.两边同加或同减.同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中.以下两个性质也经常用到：对称性.即：如果a b =.那么b a =．传递性.即：如果a b =.b c =.那么a c =．又称为等量代换考点难点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】根据等式的性质填空：(1)4a b =-.则______a b =+； (2)359x -=.则39x =+ ；(3)683x y =+.则x =_________； (4)122x y =+.则x =__________．【解题思路】(1)4a b =+.在等式两端同时加上b ；(2)395x =+.在等式两端同时加上5；(3)836y +.在等式的两端同时乘以16；(4)24y +.在等式的两端同时乘以2．【题目答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固练习】下列变形中.不正确的是( )A ．若25x x =.则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=.则1012x x -=D ．若x ya a=.则ax ay =【解题思路】根据等式的性质二.除数不能为0【题目答案】A【巩固练习】用适当数或等式填空.使所得结果仍是等式.并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+.那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=.那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=.那么34x y -=______；根据⑷如果34x =.那么x =_____________；根据【解题思路】略【题目答案】⑴1-.等式的性质1；⑵y .等式的性质1；⑶8.等式的性质2；⑷43.等式的性质2板块三一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数.并且未知数的最高次数是1.系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数.“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠.a .b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠.a .b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式.所以判断一个方程是不是一元一次方程.可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形.直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的.方程ax b =的解需要分类讨论完成【例6】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解题思路】方程、等式的概念【题目答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+C ． 22(2)3y y y y +=--D ．3813x y -= 【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】在初中数学中.我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程.请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中.属于一次方程的序号填入圆圈⑵中.既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．（2）（1）⑤③①②（2）（1）【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】如图【例7】若131m x -=是一元一次方程.那么m = 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】2m =【巩固练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程.则k = 【解题思路】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【题目答案】2k =-【巩固练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程.则a = .方程的解是【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=.则10a -=.∴1a =.1x =-【巩固练习】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程.则m 、n 需要满足的条件为【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】210m -≠且1n =.即12m ≠且1n =±板块四一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．温馨提示：不要漏乘不含分母的项.分子是个整体.含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地.先去小括号.再去中括号.最后去大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项.不要弄错符号．3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边. 不含未知数的项移到方程的另一边．温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ ).得到方程的解 b x a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例10】下列等式中变形正确的是（）A.若31422x x -+=.则3144x x -=-B. 若31422x x -+=.则3182x x -+=C. 若31422x x -+=.则3180x -+=D. 若31422x x -+=.则3184x x -+=【解题思路】考查去分母解方程第一步骤.学生很容易出现漏乘等问题造成失分【题目答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解题思路】按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答【题目答案】35x =-．【巩固练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解题思路】略【题目答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固练习】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解题思路】略【题目答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质.将小数化为整数.然后再进行解方程计算【例12】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-．解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母.得．根据等式的性质( )移项.得．根据等式的性质( ) 合并同类项.得．系数化为1.得．根据等式的性质( )【解题思路】注意解方程的基本步骤与等式的性质【题目答案】去分母.得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号.得21340.8306x x x -=---．移项.得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项.得51.81x =．系数化为1.得5259x =．根据等式的性质2【例13】 0.130.41200.20.5x x +--=【解题思路】略【题目答案】原方程可变形为304102025x x +--=去分母得5(30)2(410)200x x +--=去括号得5150820200x x +-+= 移项、合并得330x -= ∴10x =-【巩固练习】解下列方程：⑴2 1.210.70.3x x --=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=； ⑶1(0.170.2)10.70.03x x --= ⑷0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=⑸42230%50%x x -+-= ⑹1(4)335190.50.125x x x +++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=-⑻0.10.90.210.030.7x x --= 【解题思路】解这类方程通常先应用分数的基本性质.将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x --=.而后解得2126x =； ⑵原方程可化为49532523x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x +--=+解得9x =； ⑶原方程可化为1017201x x --=.解得14x =．⑷原方程可化为1002010100.325x x -+-=.则4812.3x =.解得41160x =． ⑸原方程可化为10401020235x x -+-=.解得13110x =． ⑹解得7x =-． ⑺解得9x =．⑻解得48127619x ==．【题目答案】略☞逐层去括号含有多重括号时.去括号的顺序可以从内向外.也可以从外向内. 【例14】解方程：111[16]20343x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭【解题思路】原方程可变形为11(1)66043x --+= 整理得1103x -=解得3x =【题目答案】3x =【巩固练习】解方程：()11111[1]3261224x ------=-．【解题思路】11111[(1)]3261224x ------=-. 11111[(1)]3261224x -+-=-. 111(1)268x +=-.1112x =-．【题目答案】1112x =-【例15】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解题思路】注意一定去括号的顺序.解得12x =．【题目答案】12x =【巩固练习】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解题思路】略【题目答案】117x =-【巩固练习】解下列方程：(1)[]{}234(51)82071x ----=(2)11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】(1)略；(2)原方程可化为：11110713926x x x x x +--+=-+. 186229183021x x x x x -++=-+-.513x =．【题目答案】（1）1x = （2）513x =☞整体思想注意观察方程中.完全一样的整式【例16】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解题思路】原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=.即111()(23)0111319x +--=.又1110111319+-≠.所以230x -=.即32x =．【题目答案】32x =【巩固练习】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【解题思路】按常规去括号整理后再解.显然较繁.应用整体思想求解()()()()1131121123x x x x +++=-+-.()()771123x x +=-.括号.移项.可解得5x =-．【题目答案】5x =-【巩固练习】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】这一方程在变换过程中.宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6.得3323(7)32(7)55x x --=--.333(7)2(7)3255x x --+-=-.333(7)2(7)155x x ----=.3345(7)1,53x x --==．【题目答案】343x =343x =课堂检测1.下列各式不是方程的是：( )A ． 24y y -=B ． 2m n =C ． 222p pq q -+D ． 0x = 【解题思路】略【题目答案】C ．2.解方程⑴ 11(4)(3)34y y -=+ ⑵ 3126x x x +-=-⑶253164x x ---=⑷42132[()]3324x x x --= 【解题思路】略【题目答案】⑴ 1y =．⑵ 4x =．⑶13x =．⑷127x =-．3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=【解题思路】原方程可化为10521030332x x x ---=.解得513x =．【题目答案】513x =1. 解方程：⑴12225y y y -+-=-⑵122233x x x -+-=-【解题思路】⑴105(1)202(2)y y y --=-+.10552024y y y -+=--.117y =． ⑵按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答可得：35x =-．【题目答案】⑴117y =．⑵35x =-2. 解方程：111233{[]}234324x x x x ⎛⎫----=+ ⎪⎝⎭【解题思路】略【题目答案】解得229x =-3. 解方程：0.10.40.2111.20.3x x -+-=课后练习【解题思路】原方程可化为42101123x x -+-=.解得8x =-．【题目答案】8x =-．4. 求方程31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦的解．【解题思路】原方程可化为：33333()()4167167x x x x -+-=-.注意在运算过程中把37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭视为一个整体.解得0x =．【题目答案】0x =.。

初一上册数学直升班培优讲义学生版一元一次方程的解法培优讲义(学生版)

一元一次方程的解法培优知识点睛等式的概念及性质等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式•在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边•等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则.等式的类型：恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立.条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立•方程x 5 6需要x 1才成立.矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立.如12 5 ,x 1 x 1 •等式由代数式构成，但不是代数式•代数式没有等号.等式性质1:等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.若a b，贝U a c b c •等式性质2:等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）,结果仍是等式.若a b，则ac be,若a b 且c 0 ,则-b.c c注意点：⑴ 在等式变形的过程中，等式两边必须同时进行•即：同时加或减，同时乘以或除以，不能漏掉某一边.⑵ 在运用等式的性质2时，应注意：不能在等式的两边同时除以0,因为0不能作除数.⑶ 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果 a b，那么b a•等式具有传递性，即：如果a b , b c，那么a c •方程的有关概念方程：含有未知数的等式•即：①方程中必须含有未知数；②方程是一个等式，但等式不一定是方程. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程：求方程的解的过程.注意点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程. 注意点2：方程的解的检验：要验证某个数是不是方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是.方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如x 5 0中（x的系数是1,是已知数.但可以不说）• 5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示.未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示.如：关于x、y的方程ax 2by c 中,a、2b、c是已知数，x、y是未知数.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的元”是指未知数，次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的最简形式：ax b （a 0 , a , b为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式.一元一次方程的标准形式：ax b 0 （a 0 , a, b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式.注意：⑴ 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证•如方程x2 2x 1 x2 6是一元一次方程•如果不变形，直接判断就出会现错误.⑵对于方程ax b 与方程ax b a 0，方程ax b 的解要分类讨论. ①当a 0时，方程的解是x -；②当a 0且b 0时，方程的解是任意数；③当a 0且b 0时，方程无解.a一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：⑴ 去分母；⑵ 去括号；⑶ 移项；⑷ 合并同类项；⑸ 未知数的系数化为1 •这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用.易错点1――去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号易错点2――去分母：漏乘不含分母的项易错点3――移项忘记变符号. 知识点仅供教学参考！- 例题精讲板块一：一元一次方程相关概念及基本解法⑶某书中有一道解方程的题：^Wx 1 x ,处在印刷时被墨盖住了，3查后面的答案，得知这个方程的解是x 2，那么| |处应该是数字（）A.7B . 5C . 2D .2⑷已知方程（a 2）x 冋1 4 0是一元一次方程，则 a __________________ ,解：原方程可化为7x 1 1 0.2x 5x 1根据等式的性质（)43 2去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得.根据等式的性质（ )1 1【拓展】⑵中若关于x 的方程mx 2 2（m x ）的解满足方程x — —，则m ______________________2 2【教师备选1】某同学在解方程5x 1 x 3，把处的数字看错了，解得x -，该同学把看 223x 43A.—3x 7- B .5 -x 3xx22 C . y 2 2y y(y2) 3D . 3x 8y 13⑵已知关于x 的方程 mx 22（m x ）的解满足方程 x 1 0，则m2).【例1】⑴下列方程是一元一次方程的是（x.⑸方程（m 1)x imm 2n 是关于x 的兀一次方程，若n 是它的解，贝U n m （15 35A .-B .C .—D .-4444⑹解方程7x 11 0.2x 5x 10.024 0.018 0.012).3 成了_____________ ./重点、易错点总结1. 等式性质等式性质1 :等式两边都加上(或减去)同一个若 a b ，贝V a c b c •等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为若 a b ，贝U ac bc ，若 a b 且 ______________ ，贝U --.c c2. 方程：含有 ________________ 的 _____________ 叫方程3. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的 ____________________ ，叫做方程的解.4. 一元一次方程⑴ 只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是系数不等于—的_方程叫做一元一次方程，这里的元”是指未知数，次”是指含未知数的项的最高次数.(说明：此定义是按照4个考点给出的定义)⑵ 一元一次方程的最简形式： ___________________________________ .一元一次方程的标准形式： __________________________________ .5. 解一元一次方程的一般步骤：⑴ _______ ；(2) ______ ；(3) _______ ；(4) _____ ；(5) ____________ .这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用.易错点1――去括号：括号前是负号时，括号里各项均要 ____________________ . 易错点2――去分母：去分母时漏乘不含分母的项 . 易错点3——移项：移项不要忘记 _________________ .板块二：两个一元一次方程解的关系问题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式. 两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等.【例3】⑴当m ___________ 时，方程5x 4 4x 3的解和方程2(x 1) m 2(m 2)的解相同. ⑵已知关于x 的方程3[x 2(x 旦)]4x 与a —12 12 8有相同的解，求a 的值及方程的解.【教师备选2】已知：3x n 3 m n 3p 与 x 2 m 3m 2np1都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于p 1的解.【例2】2x 5 63 x ~4~⑶(东城教学测评改编)解方程0.1x 3 0.4x 1 “ ⑵200.20.5x 2 x 3 2x53 5 103(或)，所得结果仍是等式.),结果仍是等式.板块三复杂的一元一次方程对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握, 如：解一元一次方程中ax bx (a b)x 的应用•【例4】⑴解方程: x x x x 1 1 1 1 23452345⑵解方程:⑶解方程:⑷解方程: 【拓展】解方程: 【教师备选3】12 2 31石(2x 3)20092009 2010丄(3 2x) —x —19 13 13x 20 x 18已知abc 1，求关于板块四含字母系数的一元一次方程方程ax b的解要分类讨论.①有无数个解，解是任意数.③【铺垫】⑴关于x的方程ax⑵关于x的方程axx 167x 149x 121118 .11x的方程x一1 a abx x1 b bc 1 c ca 当a 0时，方程有唯一解当a 0且b 0时，方程无解.b 3有无数多个解，那么a1 5x 3b有无数多个解，那么2004的解. x -.②当a 0且b 0时，方程a【教师备选4】 ⑴如果关于x 的方程2(kx 3)3⑵已知关于x 的方程2a(x 1) (5 a)x板块五绝对值方程① 形如ax b c 的方程，可分如下三种情况讨论：⑴c 0，则方程无解； ⑵c 0,则根据绝对值的定义可知， ax b 0 ; ⑶c0,则根据绝对值的定义可知，ax b c .② 形如ax b cx d 型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，ax b (cx d)，且cx d > 0 ;分别解方程ax b cx d 和ax b (cx d)，然后将得出的解代入 cx d > 0检验即可.③ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值. 【例6】解绝对值方程：⑴2x 4 ⑵ 4x 8 12 ⑶ 4x 3 2x 9⑷x2 13⑸方程x1 x 25的解是 _____⑴已知:关于x 的方程ax 32x b 有无数多个解，试求(a b)2011x abx a abb 5的解⑵若a 、b 为定值，关于x 的「元一次方程2kx a x bk2，无论 k 为何值时，它的解总3 6是x 1，求2a 3b 的值.【例5】 1 5空可有无数个解，求k 值 2 63b 有无数多个解，那么 a __________ , b 【铺垫】解方程：⑴ x 21 ⑵ 2x 4 0【拓展】解绝对值方程：x 3x 2 4.【拓展】解绝对值方程：|2x 3 x 1 4x 33x 5【教师备选5】解绝对值方程：x 注工1 62经典重现【例7】解关于x方程：x a b c x b c d x a c d x a b d 4【教师备选6】（北京四中期中考试）关于x的方程|| x 2a有三个整数解，求a的值.d a b c实战演练.⑴卜列万程是一兀「次方程的是（). （多选）2 A . xy 1 B.-x2 5 C . x 0 D . ax 13 E . 2x 35F . 2n R=6.28⑵关于x 的方程（n 1）x 2 nx x 8 0是元 •次方程，则n 的值是（)A . 1B . 1 C1 D . 0⑶若关于x 的方程2x3 m 0无解，3: x4 n 0只有-个解，4x5 k 0有两个解，下列选项正确的是（)A . m n kB . m < n < kC . m n kD . m > n > k⑵ 若关于x 的方程3x 5 x 4和-x 2ax2 24.解关于x 的方程mx n 1x m5. 解方程：|| 3x 5 4 82.0.23x 1 0.4123.⑴已知方程2（ x 1）3(x 1)的解为x a 2,求方程 2 2(x 3) 3(x a) 3a 的解.ax 5有相同的解，求a 的值. 4。

人教版七年级数学上册第四章一元一次方程讲义

一元一次方程第一讲教学目标①能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．②经历估计方程解的过程． ③掌握等式的基本性质．④会解一元一次方程⑤能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．知识总结 1．等式的性质：等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍然相等。

即：如果a ＝b ，那么a c b c ±=±。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍然相等。

即：如果a b =，那么ac bc =。

2．一元一次方程（1）概念：含有的等式叫做方程。

只含有个未知数，并且未知数的最高次数都是的整式方程叫一元一次方程。

注意：一元一次方程必须满足三个条件：①是整式方程； ②只有一个未知数；③未知数的最高次数是1。

（2）方程的解：使方程左右两边的未知数的值就是方程的解，也叫方程的根。

3．解一元一次方程的步骤：解方程：31123x x --= 步骤：解：___________________（①去分母：方程两边同乘以所有分母的的。

）____________________（②去括号：去掉带的括号时，括号内都要变号。

） ___________________（③移项：移项要注意。

）____________________（④合并同类项：字母和字母的指数______，把系数_______。

） ___________________（⑤未知数系数化为 1：方程两边同的系数。

）（注意：一元一次方程的解题步骤不是一成不变的，要根据题目的特点选择快捷的方法）典型例题讲解例1：下列各式是方程的是，其中是一元一次方程的是 ①3x-2=7； ②4+8=12； ③3-x; ④2m-3n=0； ⑤01232=--x x ； ⑥32x ≠+； ⑦512=+x 变式练习1：（1）下列各式：①3x+4；②4+2=6；③01x 2≠-；④615x >+；⑤415=+x ；⑥x+2y=3 其中是一元一次方程的有（）A.0个B.1个C. 2个D.3个（2）若关于x 的方程352)x -m |-1m |=+（是一元一次方程，则m=例2：按要求解方程()()321521x x x -+=--解：去括号得：___________________________ 移项，得：______________________________ 合并同类项，得：_________________________ 方程两边同时除以___，得：________________变式练习2：下面是解方程中的过程请判断它们的正误，并把错的改正过来。

北师大版七年级上册新第五章一元一次方程讲义

3．C考察等式的性质．
4．C x－1＝8， x＝9，x＝ .
5．D考察方程的列法．
6．B考察等式的性质．
7．D考察等式的性质．
8．解：设他做对了x道题，那么5x－(20－x)＝76.
9．(1)等式的根本性质 (2)③ 方程两边同时除以一个x，而x的值可能为0
10．50＋10x＝100
中考链接
A利息＝本金×利率×时间．
4．54cm2设长方形的宽为xcm，那么长为(x＋3)cm.
2(x＋x＋3)＝30.
4x＋6＝30.
x＝6.
∴x＋3＝9，∴面积＝6×9＝54(cm2)．
5．324 设长方形长削减xcm，那么宽增加xcm.
24－x＝12＋x
x＝18－6
∴正方形的边长＝24－6＝18(cm)．
∴正方形面积＝18×18＝324 (cm2)．
(1)此人两次购物，假设物品不打折，要付多少钱？
(2)此人两次购物共节约了多少钱？
(3)假设将两次购物的钱合起来，一次购置一样的物品，是否更省钱？说明理由．
(2021·烟台)烟台享有“苹果之乡〞的美誉．甲、乙两超市分别用3 000元以一样的进价购进质量一样的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价的10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，干脆包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．假设两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2 100元(其他本钱不计)．
3x＝2x，②
3＝2.③
(1)小明第①步变形的依据是______________；
(2)小明的错误出在第________步，其错误缘由是________________________________________．