第五章贝塞尔函数ppt课件
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
05第五章贝赛尔函数
西安理工大学应用数学系
2. Bessel函数－Bessel方程的解 函数－ 函数 方程的解
用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论， 用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解 ∞ 为 y= a x s + k , ( a ≠ 0, s为常数 )
∑
k =0
k
0
各阶导数为
y ' = ∑ k = 0 ( s + k )ak x
ut = a2 (uxx + uyy ) 该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： u x2 +y2 =R2 = 0 u t=0 = ϕ(x, y)
用分离变量法求解。 用分离变量法求解。 令
x2 + y2 < R2, t > 0
u(x, y,t) =V(x, y)T(t) 代入方程得
9 ′ ′ ′ x J3/2 (x) + xJ3/2 (x) +(x − )J3/2 (x) = 0 4
2 2
证明： 证明：因
1 ′ = x J3/2(x) + x J3/2(x) ′ y 2 3 1 1 − − 1 2 ′ ′ ′ ′ y′ =− x J3/2(x) + x 2 J3/2(x) + x2 J3/2(x) 4
s +1
∞
x y " = ∑ k = 0 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k = a0 s( s − 1) x + a1 ( s + 1) sx
s
+ ∑ k = 2 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
第五章 贝塞尔函数1
q 1 1 q 1 1 q2 p 1 p 1 p q2 p 1 p 1 = (1 x ) ( x x x ) dx = (1 x ) [ x x (1 x)]dx p 0 p 0 q 1 q 1 q 1 = B( p, q 1) B ( p, q ) B ( p, q ) B( p, q 1) p p p q 1
第五章 贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的引出 二、贝塞尔方程的求解
三、贝塞尔函数的递推公式 四、函数展开贝塞尔函数的级数 五、 应用
§ 5.1 贝塞尔方程的引出
例：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒 保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。
问题归结为求解下述定解问题：
2 2 u u u 2 2 2 2 a ( ), x y R ; t 2 2 x y 2 2 2 u ( x, y ), x y R ; t 0 u x2 y 2 R2 0;
2 q 1 ( 2 2 )
d d
令： = cos , sin ( 0, 0< 则： ( p ) ( q ) 4
0 0
2
), d d d d
2 0
2
2( p +q ) 1 2
e
sin 2 p 1 cos 2 q 1 d d
0
=2 e 2( p +q ) 1d 2 2 sin 2 p 1 cos 2 q 1 d
2 x
=
0
e x x ( p +q ) 1dxB( p, q) ( p q)B( p, q)
北邮数理方程课件 第五章 Bessel 函数
第五章 Bessel 函数5．2 基础训练5.2.1例题分析例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：2()0tt xx yy u a u u -+=（1）解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=两边同乘以21a UT并移项得 22''T Ua T U∇=上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。
若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有22''0T a k T +=(2)220U k U ∇+=(3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：22110U U U k U ρρρϕϕρρ+++=进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得2211'''''0R R R k R ρρΦ+Φ+Φ+Φ=两边同乘以2R ρΦ，并整理得222'''''R R k RRρρρΦ=+=-Φ同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有2''0m Φ+Φ=(4)2222'''()0R R k m R ρρρ++-=(5)对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程222'''()0x R xR x m R ++-=(6)其通解是()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为()c o s s i n 0,1,2m m m A mB m mϕϕΦ=+= 由波动问题及解在0ρ→有限的条件，方程（2）的解为cos sin n n n n n T C k at D k at =+例2 用()J x ν的级数表达式证明：（1） x x x J cos 2)(21π=-； （2） x x d x J sin cos )cos (200=⎰πθθθ证明：（1） 因为20(1)()()!(1)2k k v v k xJ x k k v ∞+=-=Γ++∑， 所以12221002220(1)()())122!(1)2k k kk k k kk k x x J x k k ∞∞--==∞∞==-==Γ-+==∑2k k k x ∞∞=====（2）2212202000(1)(cos )cos ()cos (!)2k kk k x J x d d k ππθθθθθ∞+=-=∑⎰⎰222200(1)(2)!!(1)2!sin ()()(!)2(21)!!(!)2(21)!!k k k k k k k x k x k xk k k k x ∞∞==--===++∑∑ 例3 利用Bessel 函数的递推公式： (1) 将)(3x J 用)(0x J 及)(1x J 表出；(2) 证明 )]()(2)([41)(''2''''2''x J x J x J x J n n n n +-+-=.(3) 证明 )]()([2)]([21212x J x J v xx J dx d v v v +--=.(4) 证明 )]()([)]()([212010x J x J x x J x xJ dxd -=.(5) 证明 ⎰+-=C x x xJ x x xJ xdx x J cos )(sin )(sin )(100. (1) 解 由 )()(2)(11x J xx mJ x J m m m -+-=得 )()(2)(012x J xx J x J -=021********()4()4()84()()8()(1)()()J x J x J x J x J x J x J x J x x x x x x=-=--=-- (2) 证明：由'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得''''1122221()[()()]21111{[()()][()()]}[()2()()]2224m m m m m m m m m m J x J x J x J x J x J x J x J x J x J x -+-+-+=-=---=-+ (3) 证明： 由11()[()()2v v v x J x J x J x v +-=+,'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得 '22112()()[()()]2v v v v xJ x J x J x J x v-+=-即22211[()][()()]2v v v d xJ x J x J x d v-+=- (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：01011011002201()()[()()]()()()()()()[()()]dJ x dJ x dxJ x J x xJ x xJ x d dx dxJ x xJ x J x xJ x x J x J x =+=-+=-(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：001001001001()sin ()sin [()cos ()sin ]()sin ()cos ()cos ()sin ()cos [()cos ()cos ]()sin ()cos Jx xdx xJ x x x J x x J x x dxxJ x x xJ x xdx xJ x d xxJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x x C=--=--=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 计算⎰dx ax J x )(03。
数理方程5 贝塞尔函数
r F r P
由温度是有限的，得:
P 0
2 P" P' 2 n 2 P 0
dP dP dr dP d dr d dr r d 2P d 2P 2 2 d dr
" 0 2 P" P' 2 P 0
" 0 2
本征值问题
n n2，n 0,1,2, 本征函数 a0 0 , n an cos n bn sin n
k 0
要使上式恒成立，各项 x的幂的系数必须全为0 k 0
代入方程确定系数 2 2
2
和 c ： a k c n a0 0 c n
a0 0
22
d y dy 2 2 2 x x x n c 1 n 2a1 0 a1 0 yx 0 dx dx
m
n m n m 1 n 2 (n 1)(n 1) n m 1
因此
a2 m 1
m
1 2n 2 m m! n m 1
1
a2 m 1
m
1 2n 2 m m! n m 1
1 n2m x 2n 2 m m ! n m 1
方程转化为
2
r F"r r F ' r r n F r 0
2 2
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2
贝塞尔方程的求解
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞 尔方程为 2
数理方程5 贝塞尔函数.ppt
T ' a2T 0
T (t) Aea2t
2V 2V V 0 亥姆霍兹方程（Helmholtz）
x2 y2求V改用极坐标源自在极坐标系下，V的问题可以写成2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ，代入化简得
P " ( ) 1 P ' ( )
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2 F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
Nanjing University of Posts and Telecommunications
5.2 贝塞尔方程的求解
数学物理方程
主讲：周澜
南京邮电大学 、理学院、应用物理系 E_mail: zhoul@ 答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室
Nanjing University of Posts and Telecommunications
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 稳恒状态热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。 ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.
m0
其中 c, am为常数。
Nanjing University of Posts and Telecommunications
逐将项此求级导数, 解有代入原方程中可得到：
(c
2
y'
第五章-贝塞尔函数讲解
2 sin x
x
J
1 2
x
2 cos x
x
1 0.8 0.6 0.4 0.2
J0 J5
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2
x
dR dx
(x2
n2 )R
0
ix
2
d 2R
d 2
dR
d
( 2
m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
2
ak
ak 2
0
由于 a0 0，可得 s1 n s2 n ,需要分别讨论：
(5.14) (5.15) (5.16)
情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：
ak
ak 2
k 2n k
d dx
xn
Jn
x
xn
J n1
x
d dx
x
n
J
n
x
x
n
J
第五章 贝塞尔函数讲解
贝塞尔方程
(5.12)尔函数或柱函数 为二阶变系数常 微分方程，
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
贝塞尔方程
(5.12)
求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解 假设如下幂级数解：
y ( x ) = ∑ ak x
Vxx + Vyy + λV = 0 T ''+ λ a 2T = 0
Helmholtz方程
(5.5)
为了求Helmholtz方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解 方程 为了求 ，
∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + 2 + λV = 0 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r V r=R = 0
r F + rF + ( λ r − n ) F = 0
2 '' ' 2 2
F ( R) = 0
F ( 0) < ∞
令 x=
λ r ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为： F(r)=y(x)， (5.11)转化为 转化为：
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
第五章 贝塞尔函数
5.1 贝塞尔方程
在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时， 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导 出其它形式的常微分方程的边值问题， 出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、 ---特殊函数 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y AJn (x) BYn (x)
A、B为任意常数， n为任意实数
三 贝塞尔函数的性质
J
n
(
x)
m0
(1) m!(n
m
m
1)
x 2
n2m
Yn
(x)
lim
n
J
(x)
cos sin
J
(x)
性质1 有界性
Jn (x)
性质2 奇偶性 当n为正整数时
Yn (0)
x 0 Yn (x)
(0) j
)
1 2
J 0 (i(0) x)
i 1
(0) i
J
1
(i(0)
)
d
dx
xnJn (x)
xn Jn1(x)
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x)
J n1 (x) J n1 (x) 2J n (x) 2n
J n1 (x) J n12区间内展成
第五章 贝塞尔函数(bessel)
一 贝塞尔函数的引出
u(ut,a,02) 2u(a,2 ),2u2
1
u
1
2
2u
2
,
R,0 2 ,t 0 R,0 2
u(R, ,t) 0,
令： u(, ,t) V (, )T (t)
0 2 ,t 0
令： V (, ) ()( )
VT a22V T
J (n1) (x) 2
2
x
n
1 2
1
d
n cosx
x dx x
J
n
(x)
m0
(1) m m!(n m
1)
贝塞尔函数课件
3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开 式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解， 可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔 函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分 布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应 用
贝塞尔函数用于解决圆形共振 腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学 中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理 学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。 本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的 应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用 于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题 和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.
第五章-贝塞尔函数
第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
数学物理方程第五章_贝塞尔函数
y ( x) = ∑
式中, a 0 为任意常数.令
a0 =
1 2 Γ(n + 1)
n
根据 Γ 函数的性质,可得到关于系数的一个简洁的表达式
a2m
∞
( − 1) m = n+2m 2 m! Γ ( n + m + 1)
(n ≥ 0)
这样,我们得到了式(5.1.14)的一个特解
y1 ( x) = ∑
(−1) m x n+2m n+2m 2 ! Γ ( + + 1 ) m n m m =0
(−1) m J − N ( x) = ∑ − N + 2 m x − N +2m m!Γ(− N + m + 1) m =0 2
∞ m − N =l ∞
(−1) l + N = ∑ N + 2l x N + 2l (l + N )!Γ(l + 1) l =0 2
∞ l =0
=∑
(−1) l (−1) N x N + 2l N + 2l 2 (l + N )!l!
∑ k +1
k =0
∞
1
⎛ x ⎞ 1 Yn ( x) = J n ( x)⎜ ln + C ⎟ − π ⎝ 2 ⎠ π 2
2m
(n − m − 1)! ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ∑ m! ⎝2⎠ m =0
∞
− n+2m
⎛ x⎞ (−1) m ⎜ ⎟ ∞ n + m −1 m −1 1 1 1 ⎞ ⎝2⎠ ⎛ − ∑ +∑ ⎜ ∑ ⎟ π m =0 m!(n + m)! ⎝ k =0 k + 1 k =0 k + 1 ⎠
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2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
1m
( x)n2m
m0 m! n m 1 2
结论：当 n 不为整数时, J n x和 J n x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
xJ 'n x nJn x xJ n1x
xJ 'n x nJn x xJ n1x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x , 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
R
r
的正交性
结论１n 阶贝塞尔函数序列
1, 2 …)在区间(0,R) 上带权
Pm
r
r J
正交,
n即 Rmn
r
(m
=
R 0
rJ
n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,
)为J n x的正零点,
则有
lim
m
n m1
mn
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn R 0 的解为
R
n
m
m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
n
m
R
r
m 1,2,
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
r
J
n
mn
x3 x 22
L
1k
x2k 1 22k (k !)2
L
x2
x
1
22
L
1k
x2k 22k (k !)2
L
则
d dx
[ xJ 1
x]
xJ
0
x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
一般的, 有
d dx
[xn
Jn
x]
x n J n1 x
d dx
[
x
n
J
n
x
]
x
n
J
n1
x
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和 无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
1 r
u r
,
在,分布情形如何．
Pr CJn r DYn r
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的零点的结论：
(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的 零点;
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
dr
d2P d2P d 2 dr2 r
方程转化为
r 2F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2 贝塞尔方程的求解
5.2 贝塞尔方程的求解
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶
贝塞尔方程为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x L ak xk L
ak x ck (a0 0) k 0
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2L
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解
例
n 为半奇数. J n x可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
L
1k
x2k
22k k !2
L
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
J
0x25
x5 2!
J3!1Lx
1k
22k
x2k 1
k ! k
1! L
5.4 贝塞尔函数的递推公式
又
d dx
[ xJ1 ( x)]
d dx
x2 2
x4 L 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
5.4 贝塞尔函数的递推公式
建微立分不J同0 阶的的第贝2塞k +尔2函项数之1间k递1 推公x式2k.2 22k2 (k
2)!2
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
m2!nn4
1
m
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2L
n
m
.
5.2 贝塞尔方程的求解
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 J n x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
5.1 贝塞尔方程的引入
令 ux, y,t V x, yT t，代入方程得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
进而得
T' a 2T
Vxx Vyy V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
(1) 由 (n m 1) (n m)! 得
Jn
（２）取n=N
(x) m0
1
m
1 2n2m m!
1
xn2m
nm ! 1
, 在 Jn x 中,由于m<N时， N m 1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1
m
1 2N2m m!