第十三章 达朗贝尔原理

3
注意：
1 凡是具有质量的质点，只 质点具有惯性力的两个必 要运动状态发生改变，必然 要条件----缺一不可 有惯性力 2 惯性力矢量可以投影，可以计算力矩 3 惯性力作用在何处？ 惯性力作为力的共性
惯性力 作用在使质点获得加速度的其他物体上
惯性力的个性 4 瞬时值。要用绝对加速度计算惯性力 牛顿第二定律的产物
A FI
B
60O
F
G
C

32
3、受力分析
FI
T1
T2
4、静力学方程
F 0
mgcos60- FI 0
mg
F 0
n
T1 T2 mgsin60 0
M
C
0
a a - (T1 T2 )cos60 ( T1 T2 )sin60 0 2 2
D A F G 60O C B

28
例题1 铅直平面内的均质杆OA质量 m 杆长 L。A端系一质量不计的细绳，静止在水平位置。 L 1 FIR mac m M IO mL2 3 2 某瞬时将绳剪断。要求用动静法求该瞬时 杆的角加速度 O处的约束力 1 取研究对象（系统）受力图 2 运动分析虚加惯性力 3 建立“平衡”方 程 O O
M IO
M IO

15
三 刚体惯性力系简化的主要结果 （重点掌握） 1 刚体的平行移动 2 刚体绕固定轴的转动 3 刚体的平面运动

16
一、平移刚体 1
惯性力系的主矢 FIR mac
FIR mi ai mac
E 60
O

33
例4 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面
成60O角位置静止落下。求开始落下时杆的角加速度
及支座反力。

34
1、运动分析
A
0
l aC 2
30

aC
O
wenku.baidu.com
35
2、施加惯性力系
A
ml FI maC 2

FI
30
O
MI
C
M I J O
aC
解得
研究整体
3 F m1 m2 3 g 2
F
x
0
F Fs m1 m2 a 0
M IA
3 Fs m1 g F 2 Fs f s FN f s m1 m2 g
解得
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
A
D m2 g FN FS
mg
FIA
FIC
B
40


41

20
回忆 具有质量对称面且转轴与质量对称面垂直的 转动刚体惯性力系的简化结果
共性

半径R O
O


L/3

A

O
O
A

半径为R
L

21
简化结果
半径为R
a c R

FIR mac mR
2


n FIR
a
c
a R
n c
F ma mR
n IR n c
M
思考问题1 圆轮的运动形式？
思考问题2质心运动定理投影形式？

30
例3：边长为a的正方形平板重P，质心在C点，在 图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。 求：FG处绳突然剪断的瞬间，另外二绳的张力。
D 60O A C B E 60O
F
G

31
1、运动分析
板作平移
2、施加惯性力
FI=maC
D
E
60O

14
§13-3 刚体惯性力系的简化
一 为什么要进行简化？将复杂问题简单化
二 如何进行简化？ 仿照静力学进行 惯性力系的主矢 F 与简化中心的位置有无关系？
FIR mi ai mac mi ai mac
IR
惯性力系对简化中心O的主矩 与简化中心的位置有无关系？ 惯性力系为平面时为代数量

8
例题1 圆盘可绕轴O转动，质量不计。其上缠有一质 量不计的绳，绳下端分别吊重物A B 。 若圆盘半径为 R r，重物A B 的质量MA大于MB
并设绳与圆盘间无相对滑动。若盘的角加速度为已知
要求：
O
1 计算A B惯性力的大小 2 标上惯性力的方向
A B

9
例2：单摆的摆长为l，摆锤质量为m，求其摆的运动

36
3 受力分析
4 静力学方程
F
x
0
FOx FI cos 30 0
FI
Foy
MI
C
W
F
y
0
FOy FI sin 30 W 0
l M I W sin 30 0 2
O
30
Fox
A
M F 0
O
C
37

已知：均质圆盘
m1 , R, 纯滚动. 均质杆 l 2 R, m2 .
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B

38
研究 AB 杆
M A 0 m2 aR sin 30 m2 gR cos 30 0
a 3g FAy FAx
FIC

39
1 2 a FIA m1a, M IA m1 R 得 2 R M D 0 FR FIA R MIA FIC R sin 30 m2 gR cos30 0

二 定轴转动刚体 （一）对刚体的要求： 刚体有一个质量对称平面 转动轴与质量对称平面垂直
（二）对简化中心的要求
O
轴心（转动轴与质量对称平面的交点） （三）简化结果 1 惯性力系的主矢
FIR mac
2 思考虚加在那里？ 惯性力系的主矩 表示？ M IO
如何计算？ 3 结论 具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的定轴转动刚体
A
M IO
FOy
FOx
FIR
mg

29
例2 汽车的一个主动轮可以简化为半径为R、质量为m的 圆轮。假定圆轮对轮心(质心)的回转半径为 ,在其上
作用力偶矩为M的主动力偶, 圆轮沿水平粗糙直线路 C
面向右作纯滚动。不计滚动阻力偶。求图示瞬时: (1)圆轮的角加速度; (2)轮心的加速度； (3)地面对圆轮的摩擦力；
第十三章
达朗贝尔原理

1
本章重点
1 惯性力的概念 2 刚体惯性力系的简化

2
§13-1 惯性力、质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
FI
由牛顿第二定律
M
F
ma F FN F FN ma 0
FN
a
FR
ma
大小 方向 具有力的量纲 －－定义为质点的惯性力
FI ma
思考：以那点为简化中心，简化结果最简单？ 2 以质心C为简化中心
M IC M IC 0
平移刚体的运动特点？注意：只对质心点的主矩等于零 3 结论 平移刚体惯性力系可以简化为通过质心的合力
大小等于刚体的质量与加速度的乘积 方向与加速度的方向相反

17
铅直平面内的平行四连杆机构， O1A=O2B=L ， O1A 位于铅直位 置。杆AB的质量为m质心C 距A的 距离为R 要求：杆AB 惯性力系的简化结果 回忆平移刚体惯性力系的简化结果
0
FIn mg cos T 0
g sin 0 l
T P cos FIn P cos ml 2
FIτ
mg
FIn

12
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
一 质点系的的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
e i
i=1-----n

19
例题 计算并在图上标出下列给定的具有质量 对称平面的质量为m的均质刚体在图 示位置 图示瞬时惯性力系的简化结果。 注意：
1 要判断刚体的运动形式 2 记住简化结果 3 要计算惯性力系主矢的大小 主矩的大小 4 虚加的位置 5 方向 转向 以及虚线（实线） 回忆 1 平移刚体惯性力系的简化结果 回忆 2 具有质量对称面且转轴与质量对称面垂直 的转动刚体惯性力系的简化结果
2
M IO

a
O
n c
FIR
M IO J O 3 J O mR 2 2
M IO 3 mR 2 2

22
共性 简化结果
半径为R
a c 0
a 0
n c

FIR mac 0



O
F ma 0
n IR n c


M IO
M IO J O
（四）特例
对于质点系中的质点，所受主动力、约束力实际上就 是外力、内力。
Fi
Fi FIi 0
e i
i=1-----n
FR Fi
Fi FIi 0
e
M 0 M 0 Fi
M F M F 0
i 0 i 0 Ii
FI
M
F
a
FN FR
真正作用在质 作用在何处？ 点上的力
真正作用在质点在主动力，约束反力以及虚加在质点 上的惯性力 在形式上构成平衡力系
注意：1 形式上的平衡 2）解决问题时用投影式

7
三 思考题
F FN F I 0
1 应用动静法时 ，对静止的质点是否需要加惯性力？ 2 对运动的质点是否都要加惯性力？ 3 应用动静法可以解决什么样的问题？
R A C
n FIR
B
FIR
a c a A L FIR mac m L n n 2 n ac a A L FIR macn m 2 L
杆AB的运动形式？ 简化结果

O1

O2
虚线 方向以及位置！！！ 实线 将上述结果搬到A（B）不做任何改变是否可以？ 以简化在质心上的结果为原始情况，可以向任意点简化 18
微分方程及杆的受力。

10
确定研究对象 1、运动分析
摆球
T
a n l 2
a l
2、施加惯性力

an
a
FI ml
FIτ
FIn ml 2
3、受力分析
mg
FIn

11
4、”形式”上的平衡方 程
F 0
FI mg sin 0
T

F
n
n IR n c 2
1 L 2 1 2 2 J O mL m( ) mL 12 2 3
M IO

a
n c
M IO
1 mL2 3

24
三、平面运动刚体 ！分 而 制 之！ （一）对刚体的要求 刚体有一个质量对称平面 （二）处理问题的方法 第12章讲授科学的工作方法？ 随质心C的平移 1 运动分解 绕质心C的转动 按平移刚体惯性力的简化方法进行
1 转轴过质心
1 J O mR 2 2 角加速度不等于零
2 转轴过质心，角加速度等于零
FIR 0
MIO 0

23
共性 简化结果
FIR
L a c 2 n 2 L ac 2 ac

L FIR mac m 2

O
n FIR
L F ma m 2 M IO J O
F
i
i
0,
M F 0,
i
0 i

13
一
质点系的的达朗贝尔原理 ！虚加！
真正 作用

e M 0 Fi M 0 FIi 0
i
F
e
FIi 0
！虚加！
真正作用在质点系上的外力
和虚加在每个质点上的惯性力，在形式上构成平衡力系
2 惯性力分解 随质心C的平移部分的惯性力 绕质心C的转动部分的惯性力
定轴转动刚体的特例
转轴过质心角加速度不等于零

25
（三）结论
1 主矢 大小 方向 虚加在 2 主矩 MIC 大小
C
转向
虚加在
a 向右加速纯滚动的均质车轮
a
向下运动的均质圆盘
质量为m半径为R
共性 回忆平面运动刚体惯性力系的简化结果

4
惯性力的应用1

5
判断题
1 静止的质点没有惯性力 2 凡是运动的质点都有惯性力 3 惯性力是作用在质点上的
4 质点在空中运动，只受到重力作用，
当质点作自由落体运动，质点被上抛，质点被平抛时，
质点的惯性力是不相同
质点的惯性力只与那两个必要条件有关

6
二
质点的达朗贝尔原理
F FN ma 0 F FN F I 0

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简化结果
a c a
M IC
FIR mac ma
向右加速纯滚动的均质车轮
M IC J C
1 J C mR 2 2
FIR
C
a
M IC
1 mR 2 2

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总
2 刚体惯性力系的简化结果 平移刚体 定轴转动刚体 平面运动刚体
结
1 刚体惯性力系简化首先要分析刚体的运动形式