第十三章 达朗贝尔原理
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十三章达朗贝尔原理xppt课件-文档资料
当调速器以匀角速转动时，角a 将保持不变，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，其向心加速度为
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
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FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
n8a[理学]13达朗贝尔原理
![n8a[理学]13达朗贝尔原理](https://img.taocdn.com/s3/m/26eb74f633d4b14e8524688d.png)
maCx Fx
maCy Fy
J C M C ( F )
例
半径为R、重量为W1的滚子，由绳索牵引，在重量为W2
的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小滑
轮重量忽略不计。求：滚子与地面之间的摩擦力。
C
R
O
W1
A
W2
解： 考察整个系统，有4个未知约束力。
采用动静法，需将系统拆开，取滚子研究。滚子上有4个
I MO JO
C
3、刚体作匀速转动，且转轴通过质心C
FRI 0
M 0
I O
M
I O
3.刚体作平面运动
取质心为简化中心
FRI maC
F
M J C
I C
I R
aC
M
I C
例
车载杆件AB为均质杆，B处为铰链约束，A处为光滑面
约束，若已知汽车以匀加速度 a在平坦的路面上行驶，杆件 的重量为W、长度为l，杆件与车厢水平面的夹角为。求： A、B二处的约束力。
J C aC W2W1 Ff 2 R 2W2 3W1
C
M
W1 FN
I C
A W2
aC Ff
F
I RLeabharlann FT例 均质圆盘m1 ,纯滚动 R, .均质杆
l 2R, m2 .
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动的条件? 解: 刚好离开地面时,地面约束力为零. 研究 AB 杆求轮心加速度 加惯性力 F A m1g D C m2g B
m2
m1
解:取整体研究
F
n Ii
F
t Ii
FI 1 m1a FI 2 m2a
达朗贝尔原理综述
第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。
这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。
13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m ，加速度为a ，作用在质点上的主动力为F ，约束力为N F ，如图13-1所示。
根据牛顿第二定律，有N F F a +=m 将上式移项写为0=m +a F F N - （13-1）引入记号a F I m = （13-2）式（13-1）成为0=++I F F F N （13-3）其中，I F 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。
式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。
此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。
F图13-1图13-2利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。
应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。
因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。
（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。
例如，系在绳子一端质量为m 的小球，以速度v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。
小球受到绳子的拉力F ，使小球改变运动状态产生法向加速度n a ，即n m =a F 。
小球对绳子的反作用力n m ==a F F --′，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
（1）选取研究对象； （原则与静力学相同）
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
第十三章达朗贝尔原理
解:1,运动分析与加速度分析 杆件AB跟随汽车作平移, 杆件AB跟随汽车作平移,因 跟随汽车作平移 此杆件上各点都具有与汽车行 驶加速度a 相同的加速度. 驶加速度a 相同的加速度. 2,受力分析 杆件重力W 杆件重力W; 在杆件AB各点上施加惯性力 在杆件AB各点上施加惯性力 约束力F 约束力FNA,FBx, FBy 3,应用动静法
■
达朗贝尔原理与惯性力 达朗贝尔原理与惯性力
例 题2
y 振动筛
y
O
平衡位置
y=a sin ω t 求:颗粒脱离台面的 最小振动频率
y FN m
y
FI
解:通过分析受力,分析运动并施加惯性 通过分析受力, 确定颗粒脱离台面的位置和条件. 力,确定颗粒脱离台面的位置和条件. y
a W O
平衡位置
y
O FN m a W
◇ 刚体惯性力系简化
☆刚体作平移 ☆刚体作定轴转动(转轴垂直于对称面) 转轴垂直于对称面) ☆刚体作平面运动(平行于对称平面) 平行于对称平面)
☆ 刚体作平移
刚体作平移时,每一瞬时刚体内各质点的加速度相 刚体作平移时, 同,都等于质心的加速度即 ai = aC m2 FI1 FIR FIn m1
对质系中的每个质点i ai 对质系中的每个质点 :
Fi + FNi + FIi = 0 式中FIi = mai i
a2
主动力系,约束力系,惯性力系组成形 主动力系,约束力系, 式上的平衡力系, 式上的平衡力系,则:
∑F + ∑F + ∑F =F
i Ni Ii i i i
R
= 0
∑M
i
O
(Fi ) + ∑MO (FNi ) + ∑MO (FIi )=MO= 0
理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答
习 题13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。
已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ，摆锤的质量为m 。
试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。
图13-16ma F =I 0cos sin 0I T =-=∑βϕF F F xϕβsin cos IT F F =0sin cos 0I T =--=∑mg F F F y βϕ0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕβ0sin )cos(I=-+mg F ϕβϕ mgma=+ϕβϕsin )cos()cos(sin βϕϕ+=g amg maF F )cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===13-2 球磨机的简图如图13-17所示，滚筒作匀速转动，内装钢球及被粉碎的原料，当钢球随滚筒转到某一角度f 时，将脱离筒壁作抛射运动，由于钢球的撞击，从而破碎与研磨原料。
已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ，滚筒半径R =0.6m 。
试求使钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。
图13-172n I ωmR ma F == 0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=令0N =F0cos 2=-ϕωg RR g ϕωcos =min r/35.296.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上，如图13-18所示。
已知物块的重心距转轴的距离为r ，物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。
试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。
图13-182n I ωmr ma F == 00N =-=∑mg F F ymg F =N00I =-=∑F F F x0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μωrgs μω=rgn s max π30π30μω==13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动，如图13-19所示。
第13章 达朗贝尔原理
绕水平轴 O 转动。突然剪断绳，求圆
盘的角加速度和轴承O处的反力。
FIO
n FIO
a a
n C
t C
B
r
解：1.取圆盘 2.受力分析如图 3. 定轴转动 atC , anC , . 虚加惯性力（转轴O ）
n IO n C
O
FOy
FOx
C
主矢 FIO = Mac FIO maC mr
2.转轴通过质心，但 0 。
M IO J O
3.刚体作匀速转动，且转轴通过质心。
FIR 0 , M IO 0
平面运动(向质心点简化)
将平面运动分解为跟随基点 C的平移和绕基点C的转动 主矢 大小： FIC = Mac 虚加点：刚体质心C上
大小： MIC = JC
C
几个工程实际问题
几 个 工 程 实 际 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
惯性力
定义：由于物体具有惯性，抵抗其 FI
运动状态改变，而给予外界 的一种反作用力。
F m
a
大小： FI = ma FI ma 方向： FI与a的方向相反 作用点：在施力物体上 F v a 动静法(达朗伯原理) FI 1. 质点 F + FN＝ FR =m a m F FR N F + FN +(－ m a) ＝0 F + FN ＋ FI ＝0 －－质点的达朗贝尔原理
x F 主矢 FIC = Mac Ic macx y 主矩 MIC = Jc FIc macy 1 2 M Ic ml 方向如图 12
O
FT A l FICx θ FICy C mg l B MIC
13 达朗伯原理
Fi FNi FIi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过 半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为q 。试求物块A下降的加速度及 轴承O的反力。
a g (1 sin q ) / 2
I N
FOx W (1 sin q ) cosq / g
FOy W (1 sin q )2 / 2
5
第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
I IR 2 I2 2 2 I1 1 1 1
主矢 FI R FI i (mi ai ) ( mi ) ai maC 主矩 M I C M C ( FI i ) ri (mi ai ) ( mi ri ) ac mrc aC 0
Fy 0 FOy FI A WA FI B sin q WB FN B cosq 0
FOy Wa (1 sin q ) / g W (1 sin 2 q )
MO 0
I
WB R sin q WA R FI A R FI B R 0
W (sinq 1) R 2WRa / g 0
令
I F ma 称为质点 M 的惯性力.
F FN ma
F FN (ma) 0
质点的达朗伯原理：
I F FN F 0
质点在运动的每一瞬时，作用在质点上的主动力，约束反力与质点的惯性 力构成一形式上的平衡力系。
二、质点惯性力的概念
作用线通过质心C。
IR
第十三章 达朗伯原理
ε
aiτ ain mi Fiτ
ω
Fgi = Fgi + F
τ
n gi
Fin
R 主矢： gi
= ∑ Fgi = ∑ (− mi ai ) = −∑ mi ai = −maC
m z (Fgi ) = ∑ m z F n + ∑ m z F τ ∑
gi gi
Rgi = − MaC
主矩： M gz =
( )
FgA A mAg B mBg A
FgA = m A a
FgB = mB a
三、列方程求解： mBg
图示系统，滑 轮的半径为r， 质量略去不 计。两重物的 质量分别为 mA、mB。求重 物的加速度和 轴承处的约束 反力。
∑ M (F ) = 0
O i
FgB
m A g ⋅ r − mB g + FgA + FgB r = 0
(
)
即： m A g − mB g − (m A + mB )a = 0
∑F
y
=0
FO − m A g − mB g + FgA − FgB = 0
a= m A − mB g m A + mB
FO = 2 m A mB g m A + mB
解得：
§13—3 刚体惯性力系的简化
应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，需要 对刚体内每个质点都加上它的惯性力，这就构成了 一个惯性力系。如果用静力学中力系简化的方法将 惯性力加以简化，对于解题就方便多了。 以下，分别对刚体做平动、绕定轴转动和平 面运动时的惯性力系进行简化。
一、刚体做平动。
a
C
aC
∵刚体平动 ∴ a i = aC
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
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20
回忆 具有质量对称面且转轴与质量对称面垂直的 转动刚体惯性力系的简化结果
共性
半径R O
O
L/3
A
O
O
A
半径为R
L
21
简化结果
半径为R
a c R
FIR mac mR
2
n FIR
a
c
a R
n c
F ma mR
n IR n c
第十三章
达朗贝尔原理
1
本章重点
1 惯性力的概念 2 刚体惯性力系的简化
2
§13-1 惯性力、质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
FI
由牛顿第二定律
M
F
ma F FN F FN ma 0
FN
a
FR
ma
大小 方向 具有力的量纲 －－定义为质点的惯性力
FI ma
n IR n c 2
1 L 2 1 2 2 J O mL m( ) mL 12 2 3
M IO
a
n c
M IO
1 mL2 3
24
三、平面运动刚体 ！分 而 制 之！ （一）对刚体的要求 刚体有一个质量对称平面 （二）处理问题的方法 第12章讲授科学的工作方法？ 随质心C的平移 1 运动分解 绕质心C的转动 按平移刚体惯性力的简化方法进行
M IO
M IO
15
三 刚体惯性力系简化的主要结果 （重点掌握） 1 刚体的平行移动 2 刚体绕固定轴的转动 3 刚体的平面运动
16
一、平移刚体 1
惯性力系的主矢 FIR mac
FIR mi ai mac
R A C
n FIR
B
FIR
a c a A L FIR mac m L n n 2 n ac a A L FIR macn m 2 L
杆AB的运动形式？ 简化结果 Fra bibliotekO1
O2
虚线 方向以及位置！！！ 实线 将上述结果搬到A（B）不做任何改变是否可以？ 以简化在质心上的结果为原始情况，可以向任意点简化 18
FI
M
F
a
FN FR
真正作用在质 作用在何处？ 点上的力
真正作用在质点在主动力，约束反力以及虚加在质点 上的惯性力 在形式上构成平衡力系
注意：1 形式上的平衡 2）解决问题时用投影式
7
三 思考题
F FN F I 0
1 应用动静法时 ，对静止的质点是否需要加惯性力？ 2 对运动的质点是否都要加惯性力？ 3 应用动静法可以解决什么样的问题？
2
M IO
a
O
n c
FIR
M IO J O 3 J O mR 2 2
M IO 3 mR 2 2
22
共性 简化结果
半径为R
a c 0
a 0
n c
FIR mac 0
O
F ma 0
n IR n c
M IO
M IO J O
（四）特例
mg
FIA
FIC
B
40
41
28
例题1 铅直平面内的均质杆OA质量 m 杆长 L。A端系一质量不计的细绳，静止在水平位置。 L 1 FIR mac m M IO mL2 3 2 某瞬时将绳剪断。要求用动静法求该瞬时 杆的角加速度 O处的约束力 1 取研究对象（系统）受力图 2 运动分析虚加惯性力 3 建立“平衡”方 程 O O
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B
38
研究 AB 杆
M A 0 m2 aR sin 30 m2 gR cos 30 0
a 3g FAy FAx
FIC
39
1 2 a FIA m1a, M IA m1 R 得 2 R M D 0 FR FIA R MIA FIC R sin 30 m2 gR cos30 0
二 定轴转动刚体 （一）对刚体的要求： 刚体有一个质量对称平面 转动轴与质量对称平面垂直
（二）对简化中心的要求
O
轴心（转动轴与质量对称平面的交点） （三）简化结果 1 惯性力系的主矢
FIR mac
2 思考虚加在那里？ 惯性力系的主矩 表示？ M IO
如何计算？ 3 结论 具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的定轴转动刚体
微分方程及杆的受力。
10
确定研究对象 1、运动分析
摆球
T
a n l 2
a l
2、施加惯性力
an
a
FI ml
FIτ
FIn ml 2
3、受力分析
mg
FIn
11
4、”形式”上的平衡方 程
F 0
FI mg sin 0
T
F
n
F
i
i
0,
M F 0,
i
0 i
13
一
质点系的的达朗贝尔原理 ！虚加！
真正 作用
e M 0 Fi M 0 FIi 0
i
F
e
FIi 0
！虚加！
真正作用在质点系上的外力
和虚加在每个质点上的惯性力，在形式上构成平衡力系
A
M IO
FOy
FOx
FIR
mg
29
例2 汽车的一个主动轮可以简化为半径为R、质量为m的 圆轮。假定圆轮对轮心(质心)的回转半径为 ,在其上
作用力偶矩为M的主动力偶, 圆轮沿水平粗糙直线路 C
面向右作纯滚动。不计滚动阻力偶。求图示瞬时: (1)圆轮的角加速度; (2)轮心的加速度； (3)地面对圆轮的摩擦力；
M
思考问题1 圆轮的运动形式？
思考问题2质心运动定理投影形式？
30
例3：边长为a的正方形平板重P，质心在C点，在 图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。 求：FG处绳突然剪断的瞬间，另外二绳的张力。
D 60O A C B E 60O
F
G
31
1、运动分析
板作平移
2、施加惯性力
FI=maC
D
E
60O
0
FIn mg cos T 0
g sin 0 l
T P cos FIn P cos ml 2
FIτ
mg
FIn
12
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
一 质点系的的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
e i
i=1-----n
解得
研究整体
3 F m1 m2 3 g 2
F
x
0
F Fs m1 m2 a 0
M IA
3 Fs m1 g F 2 Fs f s FN f s m1 m2 g
解得
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
A
D m2 g FN FS
14
§13-3 刚体惯性力系的简化
一 为什么要进行简化？将复杂问题简单化
二 如何进行简化？ 仿照静力学进行 惯性力系的主矢 F 与简化中心的位置有无关系？
FIR mi ai mac mi ai mac
IR
惯性力系对简化中心O的主矩 与简化中心的位置有无关系？ 惯性力系为平面时为代数量
1 转轴过质心
1 J O mR 2 2 角加速度不等于零
2 转轴过质心，角加速度等于零
FIR 0
MIO 0
23
共性 简化结果
FIR
L a c 2 n 2 L ac 2 ac
L FIR mac m 2
O
n FIR
L F ma m 2 M IO J O
3
注意：
1 凡是具有质量的质点，只 质点具有惯性力的两个必 要运动状态发生改变，必然 要条件----缺一不可 有惯性力 2 惯性力矢量可以投影，可以计算力矩 3 惯性力作用在何处？ 惯性力作为力的共性
惯性力 作用在使质点获得加速度的其他物体上
惯性力的个性 4 瞬时值。要用绝对加速度计算惯性力 牛顿第二定律的产物
E 60
O
33
例4 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面
成60O角位置静止落下。求开始落下时杆的角加速度
及支座反力。
34
1、运动分析
A
0
l aC 2
30
aC
O
35
2、施加惯性力系
A
ml FI maC 2
FI
30
O
MI
C
M I J O
aC
2 惯性力分解 随质心C的平移部分的惯性力 绕质心C的转动部分的惯性力
定轴转动刚体的特例
转轴过质心角加速度不等于零
25
（三）结论
1 主矢 大小 方向 虚加在 2 主矩 MIC 大小
C
转向
虚加在