opengl 图形的变换与裁剪
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4
二维平移
二维点P(x, y)移动(tx, ty)后，得到点P’(x’, y’)
P' = P +T
x′ 1 0 t x x ′ y = 0 1 t y y 1 0 0 1 1
T (t x , t y )
P
θ ϕ
x
x ' = x cos θ − y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ
6
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角θ
y
P'
x′ cosθ ′ y = sin θ 1 0
P
− sin θ cosθ 0
R(θ )
y
P
P'
x
z
32
三维模型变换
绕z轴逆时针旋转θ角的旋转变换Rz (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
x′ cosθ ′ y = sin θ z′ 0 1 0 − sin θ cosθ 0 0 0 0 x 0 0 y 1 0 z 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x′ 1 0 0 x ′ y = 0 −1 0 y 1 0 0 1 1
关于X轴的对称变换
10
对称变换
Y y=x (x,y) O X (-y,-x) (y,x)
x′ 0 1 0 x ′ y = 1 0 0 y 1 0 0 1 1
y
P'
x
z
P
33
三维模型变换
绕任意轴旋转
平移对象，使得旋转轴通过坐标原点 旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合 绕坐标轴完成指定的旋转 利用逆旋转变换使旋转轴回到其原始方向 利用逆平移使旋转轴回到其原始位置
34
三维造型变换
非线性三维模型变换：变换矩阵是空间位 置(x, y, z)或者旋转角度θ (x, y, z)的函数。
二维显示
坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与 屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换
25
三维变换流程图
局部坐标系
造型变换
世界坐标系
取景变换
视点坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
规格化设备 坐标系
视窗变换
屏幕坐标系
26
三维变换中的各种坐标系
27
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
y
α = arctan(− )
A B
y
α
o
1 0 C / A T1 = 0 1 0 0 0 1
x
o
cos α T2 = − sin α 0 sin α cos α 0
x
0 0 1
19
复合二维变换（实例）
y y y
o
x
o
x
− sin α cos α 0
y
P
x
z
P'
31
三维模型变换
绕y轴逆时针旋转θ角的旋转变换Ry (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
x′ cosθ ′ y = 0 z ′ − sin θ 1 0 0 sin θ 1 0 0 cosθ 0 0 0 x 0 y 0 z 1 1
30
三维模型变换
绕x轴逆时针旋转θ角的旋转变换Rx’ (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
0 x′ 1 ′ y = 0 cosθ z ′ 0 sin θ 1 0 0 0 − sin θ cosθ 0 0 x 0 y 0 z 1 1
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
刚体 变换 仿射 变换
17
复合二维变换（实例）
对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C = 0）
y
?
x
18
o
复合二维变换（实例）
真实的照相机
计算机中的虚拟照相机
23
三维变换的基本概念
场景造型：
场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换
放置虚拟照相机
坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝 向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背 面剔除 )
24
三维变换的基本概念
投影(照相、摄影)：
坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换
cos 2α T = T1 × T2 × T3 × T4 × T5 = sin 2α 0
21
内容
二维变换 三维变换
场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换
裁剪
22
三维变换的基本概念
三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场 景中的三维几何物体变换到二维屏幕上
35
视点坐标系和取景变换
视点坐标系
视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片：
照相机镜头的朝向：视线方向 照相机的位置 UP方向
36
视点坐标系的交互建立
坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向 与N不平行的向量UP：
N × UP V= N × UP
θ1
x
14
复合二维变换
复合缩放变换
S ( s2 x , s2 y ) ⋅ S ( s1x , s1 y ) = S ( s2 x ⋅ s1x , s2 y ⋅ s1 y )
15
复合二维变换
物体的二维变换不具有交换性：二维变换 次序不同一般导致不同的变换结果(举例)
16
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
y
x
z
29
三维模型变换：放缩
三维放缩S：三维点P(x,y,z)放缩(sx,sy,sz)后， 得到点P' (x',y',z')
x′ sx ′ y 0 = z′ 0 1 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 x 0 y 0 z 1 1
o
x
−1 0 0 T3 = 0 1 0 0 0 1
cos α T4 = sin α 0
0 0 1
1 0 −C / A T5 = 0 1 0 0 0 1
20
复合二维变换（实例）
y
o
x
sin 2α − cos 2α 0 (cos 2α − 1) * C / A sin 2α * C / A 1
内容
二维变换 三维变换 裁剪
1
内容
二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换
三维变换 裁剪
2
二维变换
通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示
矢量图形、卡通动画
二维图形中常见的变换
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
3
关于齐次坐标
用一个n+1维向量表示一个n维向量
二维点(x,y)，用(X,Y,ω)表示: (2,3)的齐次坐标表示可 以是(4,6,2)、(3,4.5,1.5) ω可以任意选取
齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系
x=X/ω y=Y/ω
ω
P
齐次坐标表示点的优势
防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
X ω=1 平面 Y
U = V×N
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
37
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：
u U x v = Vx n Nx 1 0 Uy Vy Ny 0 Uz Vz Nz 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 −C x x 0 −C y y 1 −Cz z 0 1 1
(x, y, z, 1)为世界坐标系中的点 (u, v, n, 1)为视点坐标系中的点
38
投影坐标系和投影变换
投影变换：三维→二维
其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例
x
8
剪切变换(Shear)
沿X-轴方向的剪切变换
Y (x,y) (x',y')
α
X
x′ 1 tgα ′ y = 0 1 1 0 0
0 x 0 y 1 1
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化; (2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换 后错切成与Y轴成固定角α的直线
关于直线y=x的对称变换
Y
(x,y)
O
X y=-x
x′ 0 −1 0 x ′ y = −1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
11
逆变换
平移变换 旋转变换 缩放变换
1 0 −t x T −1 = T (−t x , −t y ) = 0 1 −t y 0 0 1
局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝
百度文库
造型变换：
物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换
28
三维模型变换：平移
三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后， 得到点P'(x',y',z')
x′ 1 ′ y = 0 z′ 0 1 0 0 1 0 0 0 t x x 0 t y y 1 t z z 0 1 1
cos θ R −1 = R(−θ ) = − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 0 0 1
12
0 1/ sx 1 1 S −1 = S ( , ) = 0 1/ s y sx s y 0 0
复合二维变换
复合二维平移
9
对称变换
Y (-x,y) (-x,-y) (x,y) X (x,-y)
x′ −1 0 0 x ′ y = 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于Y轴的对称变换
O
x′ −1 0 0 x ′ y = 0 −1 0 y 1 0 0 1 1
0 x 0 y 1 1
θ ϕ
7
二维缩放
对于进行放缩的变换公式
y
x′ sx ′ y = 0 1 0
0 sy 0
0 x 0 y 1 1
S ( sx , s y )
y
T (t2 x , t2 y ) ⋅ T (t1x , t1 y ) = T (t2 x + t1x , t2 y + t1 y )
P ''
T2
P'
T1 + T2
T1
P
x
13
复合二维变换
复合二维旋转
y
P ''
R(θ 2 ) ⋅ R(θ1 ) = R(θ1 + θ 2 )
θ2
P'
θ1 + θ 2
P
P' T
P
5
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角θ
x ' = r cos(θ + ϕ ) = r cos ϕ cos θ − r sin ϕ sin θ y ' = r sin(θ + ϕ ) = r cos ϕ sin θ + r sin ϕ cos θ
y
P'
x = r cos ϕ y = r sin ϕ
二维平移
二维点P(x, y)移动(tx, ty)后，得到点P’(x’, y’)
P' = P +T
x′ 1 0 t x x ′ y = 0 1 t y y 1 0 0 1 1
T (t x , t y )
P
θ ϕ
x
x ' = x cos θ − y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ
6
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角θ
y
P'
x′ cosθ ′ y = sin θ 1 0
P
− sin θ cosθ 0
R(θ )
y
P
P'
x
z
32
三维模型变换
绕z轴逆时针旋转θ角的旋转变换Rz (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
x′ cosθ ′ y = sin θ z′ 0 1 0 − sin θ cosθ 0 0 0 0 x 0 0 y 1 0 z 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x′ 1 0 0 x ′ y = 0 −1 0 y 1 0 0 1 1
关于X轴的对称变换
10
对称变换
Y y=x (x,y) O X (-y,-x) (y,x)
x′ 0 1 0 x ′ y = 1 0 0 y 1 0 0 1 1
y
P'
x
z
P
33
三维模型变换
绕任意轴旋转
平移对象，使得旋转轴通过坐标原点 旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合 绕坐标轴完成指定的旋转 利用逆旋转变换使旋转轴回到其原始方向 利用逆平移使旋转轴回到其原始位置
34
三维造型变换
非线性三维模型变换：变换矩阵是空间位 置(x, y, z)或者旋转角度θ (x, y, z)的函数。
二维显示
坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与 屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换
25
三维变换流程图
局部坐标系
造型变换
世界坐标系
取景变换
视点坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
规格化设备 坐标系
视窗变换
屏幕坐标系
26
三维变换中的各种坐标系
27
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
y
α = arctan(− )
A B
y
α
o
1 0 C / A T1 = 0 1 0 0 0 1
x
o
cos α T2 = − sin α 0 sin α cos α 0
x
0 0 1
19
复合二维变换（实例）
y y y
o
x
o
x
− sin α cos α 0
y
P
x
z
P'
31
三维模型变换
绕y轴逆时针旋转θ角的旋转变换Ry (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
x′ cosθ ′ y = 0 z ′ − sin θ 1 0 0 sin θ 1 0 0 cosθ 0 0 0 x 0 y 0 z 1 1
30
三维模型变换
绕x轴逆时针旋转θ角的旋转变换Rx’ (注： θ可以是(x,y,z)的函数)
0 x′ 1 ′ y = 0 cosθ z ′ 0 sin θ 1 0 0 0 − sin θ cosθ 0 0 x 0 y 0 z 1 1
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
刚体 变换 仿射 变换
17
复合二维变换（实例）
对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C = 0）
y
?
x
18
o
复合二维变换（实例）
真实的照相机
计算机中的虚拟照相机
23
三维变换的基本概念
场景造型：
场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换
放置虚拟照相机
坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝 向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背 面剔除 )
24
三维变换的基本概念
投影(照相、摄影)：
坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换
cos 2α T = T1 × T2 × T3 × T4 × T5 = sin 2α 0
21
内容
二维变换 三维变换
场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换
裁剪
22
三维变换的基本概念
三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场 景中的三维几何物体变换到二维屏幕上
35
视点坐标系和取景变换
视点坐标系
视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片：
照相机镜头的朝向：视线方向 照相机的位置 UP方向
36
视点坐标系的交互建立
坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向 与N不平行的向量UP：
N × UP V= N × UP
θ1
x
14
复合二维变换
复合缩放变换
S ( s2 x , s2 y ) ⋅ S ( s1x , s1 y ) = S ( s2 x ⋅ s1x , s2 y ⋅ s1 y )
15
复合二维变换
物体的二维变换不具有交换性：二维变换 次序不同一般导致不同的变换结果(举例)
16
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
y
x
z
29
三维模型变换：放缩
三维放缩S：三维点P(x,y,z)放缩(sx,sy,sz)后， 得到点P' (x',y',z')
x′ sx ′ y 0 = z′ 0 1 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 x 0 y 0 z 1 1
o
x
−1 0 0 T3 = 0 1 0 0 0 1
cos α T4 = sin α 0
0 0 1
1 0 −C / A T5 = 0 1 0 0 0 1
20
复合二维变换（实例）
y
o
x
sin 2α − cos 2α 0 (cos 2α − 1) * C / A sin 2α * C / A 1
内容
二维变换 三维变换 裁剪
1
内容
二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换
三维变换 裁剪
2
二维变换
通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示
矢量图形、卡通动画
二维图形中常见的变换
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
3
关于齐次坐标
用一个n+1维向量表示一个n维向量
二维点(x,y)，用(X,Y,ω)表示: (2,3)的齐次坐标表示可 以是(4,6,2)、(3,4.5,1.5) ω可以任意选取
齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系
x=X/ω y=Y/ω
ω
P
齐次坐标表示点的优势
防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
X ω=1 平面 Y
U = V×N
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
37
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：
u U x v = Vx n Nx 1 0 Uy Vy Ny 0 Uz Vz Nz 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 −C x x 0 −C y y 1 −Cz z 0 1 1
(x, y, z, 1)为世界坐标系中的点 (u, v, n, 1)为视点坐标系中的点
38
投影坐标系和投影变换
投影变换：三维→二维
其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例
x
8
剪切变换(Shear)
沿X-轴方向的剪切变换
Y (x,y) (x',y')
α
X
x′ 1 tgα ′ y = 0 1 1 0 0
0 x 0 y 1 1
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化; (2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换 后错切成与Y轴成固定角α的直线
关于直线y=x的对称变换
Y
(x,y)
O
X y=-x
x′ 0 −1 0 x ′ y = −1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
11
逆变换
平移变换 旋转变换 缩放变换
1 0 −t x T −1 = T (−t x , −t y ) = 0 1 −t y 0 0 1
局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝
百度文库
造型变换：
物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换
28
三维模型变换：平移
三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后， 得到点P'(x',y',z')
x′ 1 ′ y = 0 z′ 0 1 0 0 1 0 0 0 t x x 0 t y y 1 t z z 0 1 1
cos θ R −1 = R(−θ ) = − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 0 0 1
12
0 1/ sx 1 1 S −1 = S ( , ) = 0 1/ s y sx s y 0 0
复合二维变换
复合二维平移
9
对称变换
Y (-x,y) (-x,-y) (x,y) X (x,-y)
x′ −1 0 0 x ′ y = 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于Y轴的对称变换
O
x′ −1 0 0 x ′ y = 0 −1 0 y 1 0 0 1 1
0 x 0 y 1 1
θ ϕ
7
二维缩放
对于进行放缩的变换公式
y
x′ sx ′ y = 0 1 0
0 sy 0
0 x 0 y 1 1
S ( sx , s y )
y
T (t2 x , t2 y ) ⋅ T (t1x , t1 y ) = T (t2 x + t1x , t2 y + t1 y )
P ''
T2
P'
T1 + T2
T1
P
x
13
复合二维变换
复合二维旋转
y
P ''
R(θ 2 ) ⋅ R(θ1 ) = R(θ1 + θ 2 )
θ2
P'
θ1 + θ 2
P
P' T
P
5
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角θ
x ' = r cos(θ + ϕ ) = r cos ϕ cos θ − r sin ϕ sin θ y ' = r sin(θ + ϕ ) = r cos ϕ sin θ + r sin ϕ cos θ
y
P'
x = r cos ϕ y = r sin ϕ