《简单的轴对称图形》第二课资料：尺规作图数学史

初中尺规作图数学史

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为：

1.做一线段等于已知线段

2.做一角等于已知角

3.做一角的角平分线

4.过一点做一已知线段的垂线

5.做一线段的中垂线

下面介绍几种常见的尺规作图方法：

⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两

个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置

就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹

上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称

为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、

B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什

么位置？

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，

一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；

⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代

数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为

代数作图法.

【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为

1.

，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的

任务就是做出这个长度.

.直角边为1

的长度自然就出来了.

【解析】 具体做法：

⑴ 随便画一个圆.设半径为1.

⑵ 先六等分圆周.

⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2

.

）

⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.

【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.

求作：正ABC ?，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.

c b

a D'D

C

B A

c

b

a

【分析】 假设ABC ?是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，

将ABD ?绕A 点逆时针旋转60?后，置于'ACD ?的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=?，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.

【解析】 作法：

⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；

⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ?.

ABC ?即为所求.

⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，

作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.

【例4】 已知：一锐角ABC ?.

求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.

C B

A

G'

F'

E'

D'G F

E

D C

B

A

【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，

然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形

DEFG .

【解析】 作法：

⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D

⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .

⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.

⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三

角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.

【例5】 如图，过ABC ?的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ?的面积.

【分析】 因为中线AM 平分ABC ?的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ?的面积，

在AMC ?中先割去AMP ?，再补上ANP ?.只要NM AP ∥，则AMP ?和AMP ?就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ?的面积.

N

M P C

B A

l

【解析】作法：

⑴ 取BC中点M，连接,

AM AP;

⑵ 过M作MN AP

∥交AB于N；

⑶ 过P、N作直线l.

直线l即为所求.