初中数学_等腰三角形导学案

等腰三角形
学习目标：
1. 能证明等腰三角形的性质定理和判定定理，并会运用其进行简单的证明.
2. 经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.
3.通过实例体会反证法的含义.
学习重点：
性质：
1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.简述为:等边对等角
2.性质定理的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的
高线互相重合.简称：三线合一
判定：
1.定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
2.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为:等角对等边
学习难点：证明等腰三角形的性质定理，见微课等腰三角形的性质讲解.等腰三角形重难点讲解.mp4
学法指导：
1.准备七上、七下、八上课本，遇到相关的旧知识遗忘时及时翻书查找整理.
2.认真仔细阅读课本P2-6到想一想上面部分，P7.1.2.4题的内容，P8-10到问题解决，标记出新的知识点，记出不懂的问题.
3.在折纸过程中思考辅助线的添加方法，一题多证，优化思路.
4.学会用符号语言表达定理，并应用其进行相关题目的证明. 学习准备：
一、8条基本事实
1.两点确定 .
2.两点之间最短.
3.同一平面内，过一点与已知直线垂直.
4.同位角，两直线平行.
5.过有且只有一条直线与这条直线平行.
6.分别相等的两个三角形全等.（SAS）
7.分别相等的两个三角形全等.(ASA)
8.分别相等的两个三角形全等.（SSS）
二、三角形全等的判定方法
在∆ABC和∆DEF中在∆ABC和∆DEF中
∴∆ABC≌∆DEF（) ∴∆ABC≌∆DEF（)
在∆ABC和∆DEF中在∆BCE和∆DCF中
∵AB=DE ∵∠A=∠D
BC=EF ∠B=∠E
AC=DF BC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（SSS) ∴∆ABC≌∆DEF（AAS)
三、三角形关于边和角的相关知识
1.三角形两边之和 .
2.三角形三个角的和是度.
3.三角形的一个外角两个内角的和.
四、等腰三角形的有关概念
五、等腰三角形中有关边的计算
1.等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为4 cm，
则等腰三角形的周长为cm.
2.等腰三角形的一边长为6cm，底边长为4 cm，
则等腰三角形的周长为cm.
3.等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为3 cm，
则等腰三角形的周长为cm.
课后习题：
随堂练习P3
习题1.1
习题1.2
随堂练习P9
习题1.3
课后习题答案
P3随堂练习 1(1) 解: ∵AB=AC
∴∠B=∠C （等边对等角） ∵∠A+∠B+∠C=180o ,
∠A=40o
∴∠C=
2
1
(180o -40o ) =2
1
×140o =70o (2)解： 由(1)得∠C=∠B, ∵∠B=72o ∴∠C=72o
∴∠A=180o -2×72o
=180o -144o =36o
2(1)证明: ∵AC⊥BD
∴∠ACB=∠ACD=90o
在∆ABC和∆ADC中
∵AC=AC
∠ACB=∠ACD
BC=DC
∴∆ABC≌∆ADC（SAS）
∴AB=AD
∴∆ABD是等腰三角形（2）解: ∵AC=BC
∴∠B=∠BAC（等边对等角）
∵AC⊥BD
∴∠ACB=90o
∴∠BAC=
2
1（180o-90o）
=45o
同理∠CAD=45o
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90o
习题1.1
1.已知，已知，公共边，SSS
全等三角形的对应角相等.
2.证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
∴BC=EF
在∆ABC和∆DEF中
∵AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（SSS）
∴∠A=∠D
3.解：∵AB=AC,AD⊥BC,
∠BAC=108°
∴∠BAD=
2
1∠BAC=54o
（三线合一）
4.答：相等的角有：
∠ABC=∠ACB，∠BED=∠CED
∠ABE=∠ACE，∠AEB=∠AEC
∠EBD=∠ECD，∠ADB=∠ADC
∠BAD=∠CAD，
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等角对等边）
又∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90o
在∆ABE和∆ACE中
∵AB=AC
∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴∆ABE≌∆ACE（SAS)
∴∠ABE=∠ACE，∠AEB=∠AEC
BE=CE
∴∠BED=∠CED（等角的补角相等）
∠EBC=∠ECB（等边对等角）5已知：∆ABC和∆DEF中
AB=AC,DE=DF,∠A=∠D,BC=EF
求证：∆ABC≌∆DEF
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=
2
1（180o-∠A）
同理，在∆DEF中
∠E=
2
1（180o-∠D）
∵∠A=∠D
∴∠B=∠E
在∆ABC和∆DEF中
∵∠A=∠D
∠B=∠E
BC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（AAS）
或证∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F 用ASA证全等
6.请看微课典型习题一讲解等腰三角形典例讲解一.mp4
P7习题1.2
1.请看微课典型习题三讲解等腰三角形典例讲解三.mp4
2.证明一：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AE=AF
∴AB-AE=AC-AF
即BE=CF
∵D是BC中点
∴BD=CD
在∆BDE和∆CDF中
∵BE=CF
∠B=∠C
BD=CD
∴∆BDE≌∆CDF（SAS)
∴DE=DF
证明二：连结AD
∵AB=AC,D是BC中点
∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）在∆ADE和∆ADF中
∵AE=AF
∠1=∠2
AD=AD
∴∆ADE≌∆ADF（SAS)
∴DE=DF
4（1）证明一：连结AC
在∆ABC和∆ADC中
∵AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴∆ABC≌∆ADC（SSS）
∴∠1=∠2
∵E、F分别是AB、AD的中点
∴AE=
2
1AB,AF=
2
1AD ∵AB=AD
∴AE=AF
在∆AEC和∆AFC中
∵AE=AF
∠1=∠2
AC=AC
∴∆AEC≌∆AFC（SAS)
∴CE=CF
或由第一组全等证∠B=∠D，再证BE=DF,
用SAS证∆BCE≌∆DCF
证明二：连结BD
∵AB=AD,BC=DC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4
∴∠EBC=∠FDC
∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点
∴BE=21AB,DF=2
1
AD
∵AB=AD ∴BE=DF
在∆BCE 和∆DCF 中 ∵ BE=DF ∠EBC=∠FDC BC=DC ∴∆BCE ≌∆DCF （SAS) ∴CE=CF
（2）相等，相等，只要AE=
n 1AB,AF=n
1
AD 就可以证明CE=CF
（3）∠BEC=∠DFC 或∠BCE=∠DCF
P9随堂练习
1. 请看微课典型习题二讲解等腰三角形典例讲解二.mp4
2. 证明：假设这五个正数没有一个大
于或等于51
，
即都小于51
，则五个数的和小于1，
这与已知五个数的和等于1矛盾， 所以这五个正数中至少有一个大于或
等于51.
习题1.3
1. 证明：∵AD ∥BC
∴∠1=∠B,∠2=∠C ∵∠1=∠2 ∴∠B=∠C
∴AB=AC （等角对等边）
2.证明一∵EP ⊥BC
∴∠E+∠C=90o ,
∠B+∠BFP=90o
（直角三角形的两锐角互余） ∵AB=AC
∴∠B=∠C （等边对等角） ∴∠E=∠BFD （等角的余角相等）
∵∠EFA=∠BFD ∴∠EFA=∠E
∴AE=AF （等角对等边）
∴∆AEF是等腰三角形
证明二：过A作AD⊥BC于D ∵EP⊥BC
∴∠EPC=∠ADC=90o
∵AD∥EP
∴∠1=∠E,∠2=∠3
∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠1=∠2（三线合一）
∴∠E=∠3
∴AE=AF（等角对等边）
∴∆AEF是等腰三角形3.（1）分类讨论，有两种
当∠α为顶角时，用SAS做；
当∠α为底角时，先借助平角减去2∠α得出顶角大小，
再用SAS或ASA做.
（2）∵α为钝角
∴α只能为顶角
同（1）的第一种
4.解：∵∠NBC=∠C+∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴∠C=∠EBC-∠B=84°-42°=42°
∴∠C=∠B
∴BC=AB=18×10=180（海里）答:从B到灯塔C的距离为180海里.。