2014年高考杭二中一模文科数学试卷(含详细解答)

绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生适应性考试（一）
数 学（文科）
姓名 准考证号
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
S =4πR 2
V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
V =3
4πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径
V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，
V =31Sh h 表示台体的高
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2
2．（5分）设向量=（2，1+x ），=（x ，1），则”x=1”是“∥”的（ ）
3．（5分）函数f （x ）的图象与函数y=ln （x ﹣1）（x ＞2）的图象关于直线y=x 对称，则f （x ）为（ ）
4．（5分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是（）
．C
．C D．
7．（5分）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结．C D．
8．（5分）某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元/辆，购买B型汽车需8万元/辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆，B型汽车的纯
9．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x2+x+2与g（x）=2x+1
10．（5分）A点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走10步时，所有可能终点的横坐标的和为
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）二项式展开式中常数项是第_________项．
12．（5分）设曲线y=x3+x在点（1，2）处的切线与直线ax﹣y﹣1=0在x轴的截距相等，则a=_________．
13．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=_________．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为_________．
14．（5分）设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为_________．
15．（5分）已知椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线
上，若则椭圆的离心率为_________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知向量=（sinx，1+cos2x），=（sinx﹣cosx，cos2x+），定义函数f（x）=•（﹣）
（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A为锐角，且，求边AC的长．
17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AB=1，，．
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．
18．（12分）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，对任意的x∈[2，+∞）恒成立，求b的取值范围．
19．（12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．
（Ⅰ）工厂第几年开始获利？
（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？
20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣4n，0），且f'（0）=2n，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列a n满足，且a1=4，求数列a n的通项公式；
（Ⅲ）记，数列b n的前n项和T n，求证：．
21．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”．若
椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．
参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
2
2．（5分）设向量=（2，1+x），=（x，1），则”x=1”是“∥”的（）
求出
”
4．（5分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是（）
．C
个单位长度，所得函数的
的图象向左平移个单位长度，
））
．C D．
为奇数时，，求出
﹣
7．（5分）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（）
．C D．
×
8．（5分）某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元/辆，购买B型汽车需8万元/辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆，B型汽车的纯
，则
解得
9．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x2+x+2与g（x）=2x+1
10．（5分）A点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走10步时，所有可能终点的横坐标的和为
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）二项式展开式中常数项是第.9项．
展开式的通项为
12．（5分）设曲线y=x3+x在点（1，2）处的切线与直线ax﹣y﹣1=0在x轴的截距相等，则a=2．
，则直线
∴则
13．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．
范围内抽取的学生人数为
14．（5分）设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕．
15．（5分）已知椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线
上，若则椭圆的离心率为．法一：由题设条件及，可知点的横坐标为
法二：由题设条件及，可知点的横坐标为
椭圆的左焦点
，∴点的横坐标为
PQ F
由椭圆的第二定义知，解得e=
故答案为
椭圆的左焦点
，∴点的横坐标为
，，，
，即
及，，解得
e=
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知向量=（sinx，1+cos2x），=（sinx﹣cosx，cos2x+），定义函数f（x）=•（﹣）（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A为锐角，且，求边AC的长．
）先根据向量的减法运算求出﹣，根据题中的新定义及平面向量的数量积的运算法则表示出即可求出
∴
得
∴且
∴，
又∵，∴
中，由正弦定理得：
∴
17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AB=1，，．
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．
，，．
，
=AC=
，且
∴，∴
．
18．（12分）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，对任意的x∈[2，+∞）恒成立，求b的取值范围．
对任意的
在对任意的
，则
在
时取最小值，故只要
的取值范围是
19．（12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．
（Ⅰ）工厂第几年开始获利？
（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？
；
年平均收入为：
20．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣4n，0），且f'（0）=2n，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列a n满足，且a1=4，求数列a n的通项公式；
（Ⅲ）记，数列b n的前n项和T n，求证：．
）由条件得，然后利用累加得
）由条件得
∴
∴
∵
21．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”．若
椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．
，半焦距
所得的弦长为
）由题意得：，半焦距
方程为
化简得。