多元函数的极限与连续

y
≠
y
0
，极限
lim
x → x0
f
(x,
y ) 存在，记作 ϕ ( y ) ，即
x∈Ex
lim f (x, y) = ϕ(y)
x→ x0 x∈Ex
且
lim ϕ(y) =
y→ y0
L ，则称 L
为二元函数
f
先对 x（ x
→
x0 ）后对
y（
y
→
y0 ）的累次极限．记
y∈E y
作
lim lim f (x, y) = L ．
与累次极限
lim lim f (x, y) ，则它们必相等．
x→x0 y→y0
推论 1 若两个累次极限与重极限都存在，则三者必相等．
推论 2 若两个累次极限存在，但不相等，则重极限必不存在．
推论 3 若 lim f (x, y) 存在，且 lim f (x, y)存在，则 lim lim f (x, y) 存在且
y→ y0 x→x0 y∈Ey x∈Ex
类似可定义先 y 后 x 的累次极限．定义 5 所定义的极限称为重极限．
2 性质
定理 5
lim
P → P0
f
(P) =
A
⇔
∀E
⊂
D ，只要 P0 是 E
的聚点，就有 lim P → P0
f
(P) =
A．
P∈D
P∈E
推论 1
设 E1
⊂
D
，
P0
是
E1
的聚点，若
lim
分别称为以 A(x0 , y0 ) 为中心的 δ 圆邻域与 δ 方邻域，通常均记为U (A,δ ) ，这里 δ > 0 ，
称
{ } (x, y)0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2
与
{(x, y) x − x0 < δ , y − y0 < δ ,(x, y) ≠ (x0 , y0 )}
记作：
lim f (P) = +∞ ．
P → P0 P∈D
类似可定义 lim f (P) = −∞ ， ∞ ． P→P0
定义 6（累次极限）设 Ex ， E y ⊂ R ， x0 ， y0 分别是 Ex 与 E y 的聚点，二元函数 f 在
集合 D = Ex
×
E y 上有定义．若 ∀y ∈ E y ，
注 1 注意极限与连续定义的差别：在极限定义中，要求 P0 是聚点，连续则不要求；
但连续要求 P0 ∈ D ，而极限不要求．
注 2 孤立点一定是连续点，从而连续点未必存在极限，这是与一元函数不同之处．
注3
若 P0 是聚点，则
f (P)在 P0 连续 ⇔
lim
P → P0
f (P) =
f (P0 )．
P → P0
f
(P) =
A 不存在，则 lim P → P0
f
(P ) 不存在．
P∈E1
P∈D
推论 2 设 E1 ⊂ D ， E2 ⊂ D ， P0 是它们的聚点．若极限
lim
P → P0
f (P) =
A1
，
lim
P → P0
f (P) =
A2 ，
P∈E1
P∈E2
( ) 且
A1
≠
A2
，则 lim P → P0
思考题 2 证明闭集的两个等价定义．
连通性：若 E 中任意两点都可用完全含于 E 中 E 的有限条折线连接起来，则称 E 具有
连通性．
开（区）域：具有连通性的非空开集．
闭（区）域：开域连同其边界所成的点集．
区域：开域、闭域或开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．
有界集：若 ∃U (O, r)，使 E ⊂ U (O, r) ，则称 E 为有界集；否则称为无界集．其中 O
20 外点：若 ∃δ > 0 ，使得U (P) ∩ E = Φ ，则称 P 为 E 的外点；
30 界点：若 ∀δ > 0 ，有U (P) ∩ E ≠ Φ,U (P) ∩ E c ≠ Φ ，则称点 P 为 E 的界点；
40 聚点：若 ∀δ > 0 ，有U 0 (P,δ ) ∩ E ≠ Φ ，则称点 P 为 E 的聚点．
定的实数 z 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的 n 元函数，记作：
f : D → R, P z,
或 z = f (P), P ∈ D ，
称 D 为 f 的定义域， f (D) 为值域，通常记为 z = f (P) （有时称之为点函数）．若记
P = P(x1, x2 , , xn ) ，则 n 元函数可记为 z = f (x1, x2 , , xn )．特别地，当 n = 2 时，常 记为 z = f (x, y)， (x, y)∈ D ，称之为二元函数．
P∈D
注4
若 P0
∈ D 是 D 的聚点，而 lim P→P0
f
(P)不存在，或 lim P→P0
f
(P ) 存在但不等于
f
(P0 ) ，
称 P0 是 f (P) 的不连续点．
定义 8 设 p0 (x0 , y0 )， p(x, y) ∈ D ， Δx = x − x0 ， Δy = y − y0 ，称 Δz = Δf (x0, y0 ) = f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 )
f
P
不存在．
P∈D
推论 3
lim
P → P0
f (P)存在 ⇔
∀{Pn } ⊂
D ， Pn
≠
P0 ， Pn
→
P0 （ n → ∞ ），{f
(Pn )}都
P∈D
收敛．
( ) ( ) ( ) 定 理
6 若 f x, y
在
x0 , y0
存 在 重 极 限 lim f x, y
(x,y )→(x0 , y0 )
要求：会求多元函数的定义域，会画定义域草图和某些简单二元函数的图象．
二 多元函数的极限（以二元函数为例）及其性质
1 定义
定义 4 设 f 为定义在 D ⊂ R 2 上的二元函数， P0 为 D 的一个聚点， A 是一个确定的
数，若 ∀ε > 0 ， ∃δ > 0 ，使得当 P ∈U 0 (P0 ,δ ) ∩ D 时，都有 f (P)− A < ε ，
表示坐标原点．
性质 称 d(D) = sup ρ(P1, P2 ) 为 D 的直径，则 D 有界 ⇔ d(D) < +∞ ． P1 ,P2∈D
2 R2 上的完备性定理
定义 2 设{Pn} ⊂ R2 为平面点列，P0 ∈ R 2 为一固定点．若 ∀ε > 0 ，∃N > 0 ，∀n > N ， 有 Pn ∈U (P0 ,ε )，则称点列 {Pn }收敛于点 P0 ，记作
( ) 有 ρ Pn , Pn+ p < ε ．
定理 2（闭域套定理）设 {Dn }是 R2 中的闭域列，它满足：
（1） Dn ⊃ Dnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ， n = 1,2, ；
（2）
lim
n→∞
d
(Dn
)
=
0
，
则存在唯一的点 P0 ∈ Dn ， n = 1,2,3, ．
定理 3（聚点定理）设 E ⊂ R2 为有界无限点集，则 E 在 R2 中至少有一个聚点．
（3） P → P0 的方式是任意的，即使沿任何射线趋于 P0 时，极限存在且相等，也不能
保证重极限存在．如上例，当 P 沿 y = kx 趋于 (0,0) 时极限均为 0，但当 P 沿 y = kx2
（ 0 < k < 1）趋于 (0,0) 时，极限为 1，从而极限不存在．
（4）两个累次极限存在，但不相等．如 f (x, y) = x − y 在 (0,0)点．此时重极限一定
x+ y
不存在．
（5）两个累次极限都存在且相等，但重极限不存在，如 f (x, y) = xy 在 (0,0)点．
x2 + y2
（6）重极限存在，但两个累次极限都不存在．如
在 (0,0)点．
f
(x,
y)
=
⎪⎧x ⎨
sin
1 y
+
y
sin
1 x
,
xy
≠
0,
⎪⎩ 0,
, xy = 0,
（7）重极限存在，某一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．如
则运算、复合运算等
三 二元函数的连续性
1 定义
定义 7 设 f 为定义在点集 D ⊂ R2 上的二元函数， P0 ∈ D ．若 ∀ε > 0 ， ∃δ > 0 ，
∀P ∈U (P0 ,δ ) ∩ D ，有 f (P) − f (P0 ) < ε ，
则称 f 关于集合 D 在点 P0 连续． 若 f 在 D 上任何点关于 D 连续，则称 f 为 D 上连续函数．
lim
n→∞
Pn
=
P0 或 Pn
→
P0 （ n → ∞ ）
注 点列收敛的坐标表示：
设 Pn (xn , yn )， P0 (x0 , y0 )，则（1）式等价于：
（1）
Pn → P0 （ n → ∞ ） ⇔ xn → x0 , yn → y0 （ n → ∞ ）．
定理 1（柯西准则）点列 {Pn}收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ，∀n > N ，∀p ∈ Z + ，
则称 f 在 D 上当 P → P0 时，以 A 为极限，记作
lim f (P) = A ．
P → P0 P∈D
当 P ∈ D 不致产生误会时，简记为
lim f (P) = A ．
P→P0
当 P0 ， P 分别采用坐标 (x0 , y0 )， (x, y) 表示时，则有
lim f (x, y) = A ，或 lim f (x, y) = A ．
第七章 多元函数微分学及其应用
§1 多元函数的极限与连续
I 基本概念与主要结果
一 平面点集与多元函数
1 平面点集 （1）邻域
坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合，称为平面点集．并记作
ε = {(x, y)(x, y)满足条件P}．
特别地
{ } { } 定义 1 平面点集 (x, y)(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 和 (x, y) x − x0 < δ , y − y0 < δ
( x, y)→( x0 , y0 )
x→x0
y→y0 x→x0
lim f (P)= lim lim f (x, y)．
P→P0
y→y0 x→x0
几点说明：
（1）重极限是否存在与函数定义域 D 有很大关系，如函数
f
(x,
y)
=
⎧1 ⎨ ⎩0
, ,
0 < y < x2, 其余部分,
−
∞
<
x
<
+∞,
{ } 当 D = (x.y) 0 < y < x2 ,−∞ < x < +∞ 时，
lim f (x, y) = 1，
( x, y)→(0,0)
而在 D 的余集 D c 上，却有
lim f (x, y) = 0 ．
( x, y)→(0,0)
（2）若 D = E1 ∪ E2 ∪ ∪ Ek ，且在每个 Ei 上极限存在且相等，则在 D 上极限也成 立，且相等．当 k 为无限时结论不再成立．
分别为点 A 的去心圆邻域与去心方邻域，记为U 0 (A,δ )．
注 1 理解圆邻域与方邻域的关系，并注意在解题中的灵活应用；
注 2 去心邻域的表示法，尤其是 A 的 δ 去心邻域．
（2）几类特殊点
设点集 E ⊂ R 2 ，点 P ∈ R 2 ． 10 内点：若 ∃δ > 0 ，使得U (P) ⊂ E ，则称点 P 为 E 的内点；
推论（致密性定理）有界无限点列 {Pn }必存在收敛子列 定理 4（有限覆盖定理）设 D ⊂ R2 为一有界闭域， {Δα }为一开域族，它覆盖了 D ， 则在 {Δα }中必存在有限个域 Δ1, Δ2 , , Δn ，它们同样覆盖了 D ．
3 多元函数
定义 3 设 D ⊂ Rn ， D ≠ Φ ．若按某种对应法则 f ，使得 D 中每一点 P 都有唯一确
在 (0,0)点．
f
(x,
y)
=
⎪⎧x ⎨
sin
1 y
,
y
≠
0,
x
∈
R,
⎪⎩ 0,
其它,
（8）重极限与累次极限都不存在，如
f
(x,
y)
=
⎪⎧sin ⎨
1 x
+
sin
1 y
,
xy
≠
0
在 (0,0)点．
⎪⎩ 0
, xy = 0
（9）多元函数极限与一元函数极限具有完全类似的性质，如局部有界性、保序性和四
(x, y )→(x0 , y0 )
x → x0
y→ y0
注 函数极限是否存在与定义域有很大关系．
定义 5 设 D 为二元函数 f 的定义域， P0 为 D 的聚点．若 ∀M > 0 ， ∃δ > 0 ，使得
当 P ∈U (P0 ,δ ) ∩ D 时，有 f (P) > M ，则称 f 在 D 上当 P → P0 时存在非正常极限 + ∞ ，
P ∈ R 2 ， E ⊂ R 2 为一子集，则 P 与 E 之间必有下列三种关系之一：
⎧内点, A 是 E 的 ⎪⎨界点, ；或
⎪⎩外点;
⎧ 聚点, A 是 E 的 ⎪⎨孤立点,
⎪⎩ 外点.
注 聚点的等价定义：
i）若点 P 的任一邻域均含有 E 中无穷多个点，则称点 P 为 E 的聚点；
ii）若 E 存在中一彼此互异的点列 {pn }，使得 Pn → P(n → ∞) ，则称点 P 为 E 的聚点．
（3）几类特殊点集
开集：若 E 中任一点都是 E 内点，则称 E 为开集，即 E = int E ．
闭集：若 E 的所有聚点都属于 E ，则称 E 为闭集，或等价地：若 E c 是开集，则称 E
为闭集．
注 1 有限点集一定是闭集，无聚点的点集一定是闭集；
注 2 开集一定是无限集．
思考题 1 是否存在既开又闭的集合？在实数空间中有几个这样的集合？