华杯赛经典试题

华杯赛经典试题

①两个整数的最大公约数的约数一定是这两个整数的公约数，反之也成立，即：两个整数的公约数一定是这两个整数的最大公约数的约数。并且，如果m︱（a,b），则（a,b）÷m=(a÷m,b÷m)成立；

②（a,b）=（a,b+ma）=(a,b-ma)；

③两个整数的最小公倍数的倍数一定是这两个整数的公倍数，反之也成立，即：两个整数的公倍数一定是这两个整数的最小公倍数的倍数。并且，m[a,b]=[ma,mb]；

④如果a︱b，则（a,b）=a和[a,b]=b

⑤最大公约数和最小公倍数之间最重要的关系是：[m,n](m,n)=mn；

⑥若m︱ab,并且（m，a）=1，则m︱b.

1、整除的数字特征

一些整数，具有一些明显的特征，能用来判断它们是否能被一些简单的整除，例如，

①偶数能被2整除；

②各位数字的和能被3或9整除的整数能被3或9整除；

③后两位能被4或25整除的整数能被4或25整除；

④个位是0或5的整数能被5整除；

⑤能同时被2和3整除的整数能被6整除；

⑥后三位能被8或125整除的整数能被8或125整除；

⑦一个整数，若偶数数位的数字和减去奇数数位的数字和的差能被11整除，则

该数能被11整除；

⑧一个整数，如果它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差能被7或13

整除，则该数能被7或13整除。

例1 在奇数中，最小的质数是（）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【答案】（D）

【理由】 0和1都不是质数，2和3是质数，2是偶数。

例4 一个整数，它的两个最大的约数的和是356，这个整数是（）。

【答案】267

【理由】一个整数最大的约数是这个整数本身，或者讲就是这个整数除以它的最小的约数1的商，次大的约数就是这个整数除以它的次小的约数的商。设这个整数次大的约数就是b，这个整数是mb，m是大于1的质数，所以，

mb+b=356,b(m+1)=356.

先做356的分解，

356=89×4=89×（3+1）=267+89，

所以，这个整数是89×3=267。

例5 37个正整数的和等于2013，那么它们的最大公约数最大是（）。

【答案】33.

【理由】因为它们的最大公约数d必定是2013的约数，而且，如果37个正整数记为da i（i=1，2，3，…，36,37），则

37d≤da1 +da2+…+ da37=2013=3×11×61，推出d≤

3761

11

3⨯

⨯<56,2013小于56的最大的约数是33，所以，这37个正整数的最大公约数最大是33.这37个整数。其中36个都取33，第37个取60×33，它们的和是2013，最大公约数是33，所以，d=33.

例2、将一块长2013厘米、宽915厘米的长方形钢板切割为若干块边长相差整数

倍的正方形，且没有余料，至少切割了（ ）刀。

（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）6

【答案】（D ）

【理由】作带余除法，求2013和915的最大公约数：

2013=2×915+183，

915=5×183

如图2-1所示，这块钢板至少切割了6刀。

例4 在大于2013的自然数中，被56除后，商与余数相等的数共有（ ）个。

【答案】20

【理由】设余数为x ，因为x ≤55,56x+x ＞2013，所以，x ＞

572013=355718=3519

6，即36≤x ≤55.

1、 奇偶问题

奇数是被2除余数等于1的整数，偶数则是被2整除的整数，它们是特殊的同余类，具有的性质是：

① 两个奇数相加和两个偶数相加，和都是偶数；

② 两个偶数相乘和奇数乘偶数，积是偶数；

③一个奇数和一个偶数的和是奇数；

④两个奇数的积仍是奇数；

利用上述性质能回答一些能与不能的问题。

一、选择题

1、将7个自然数14,20,33,117,143,175,240分组，如果要求每组中的任意两

个数都互质，则至少需要将这些数分成（）组。

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

2、将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形切割为一些边长相差整数倍的正方形，没有余料，则最少需要切割（）刀。

（A）6 （B）7 （C）5 （D）8

3、从1至16共16个整数中，至少取（）个数，才能确保有两个数，其中一个是另一个的2倍。

（A）12 （B）9 （C）10 （D）11

4、一个八位整数，由8个不同的数字组成，其中任何两个相邻数字构成的两位整数能被13或17整除，这个八位数的数字和等于（）。

（A）41 （B）40 （C）38 （D）36

5、在连续的9个整数中，至多有（）个是质数。

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

6、下面是6个结论：

①两个整数的乘积等于它们的最小公倍数和最大公约数的乘积；

②任何一个质数和任何一个整数互质；

③一个整数有无穷多个约数；

④两个整数的最大公约数是这两个整数的最小公倍数的约数。

⑤整数m能整除ab，则一定能整除a或者能整除b；

⑥一个整数可以分解为一些质数的乘积。

其中正确的结论是（）

n的所有的非0自然数整除，这样的自然数n 25、如果一个自然数n能被不超过

10

叫做“牛数”。则最大的“牛数”是多少？