动态规划基本理论推广(函数迭代与策略迭代法)

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运筹学教案动态规划

运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。

2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。

3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。

二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。

3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。

四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。

2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。

3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。

五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。

2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。

3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。

4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。

2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。

3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。

4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。

七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。

2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。

3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。

八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。

2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。

3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。

它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。

1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。

2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。

3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。

4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。

5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。

1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。

可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。

2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。

给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。

可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。

3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。

给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。

可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。

4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。

可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。

动态规划的原理及应用

动态规划的原理及应用1. 什么是动态规划动态规划（Dynamic Programming）是解决多阶段决策问题的一种优化方法。

它通过把原问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，以避免重复计算，从而实现对问题的高效求解。

2. 动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以归纳为以下几步：•确定问题的状态：将原问题分解为若干子问题，确定子问题的状态。

•定义状态转移方程：根据子问题的状态，确定子问题之间的关联关系，建立状态转移方程。

•确定初始条件和边界条件：确定子问题的初始状态和界限条件。

•计算最优解：采用递推或迭代的方式计算子问题的最优解。

•构造最优解：根据最优解的状态转移路径，构造原问题的最优解。

3. 动态规划的应用场景动态规划广泛应用于以下领域：3.1 图论在图论中，动态规划可以用来解决最短路径问题、最小生成树问题等。

通过保存子问题的最优解，可以避免重复计算，提高求解效率。

3.2 数值计算在数值计算中，动态规划可以用来解决线性规划、整数规划等问题。

通过将原问题分解为子问题，并利用子问题的最优解求解原问题，可以快速求解复杂的数值计算问题。

3.3 操作研究在操作研究中，动态规划可以用来解决最优调度问题、最优分配问题等。

通过将原问题拆分为若干子问题，并保存子问题的最优解，可以找到全局最优解。

3.4 自然语言处理在自然语言处理中，动态规划可以用来解决句法分析、语义理解等问题。

通过构建动态规划表，可以有效地解析复杂的自然语言结构。

3.5 人工智能在人工智能领域，动态规划可以用来解决机器学习、强化学习等问题。

通过利用动态规划的状态转移特性，可以训练出更加高效和智能的机器学习模型。

4. 动态规划的优势和限制动态规划的优势在于可以高效地解决复杂的多阶段决策问题，通过保存子问题的最优解，避免了重复计算，提高了求解效率。

同时，动态规划提供了一种清晰的问题分解和解决思路，可以帮助人们理解和解决复杂的问题。

然而，动态规划也有其应用的限制。

动态规划的基本概念与方法

动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。

动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

动态规划的基本概念是“最优子结构”。

也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。

通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。

为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。

这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。

动态规划的基本方法是“状态转移”。

状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。

常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。

通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。

在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。

第一步，定义子问题。

将原问题划分为若干个子问题。

这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。

例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。

第二步，确定状态。

状态是求解问题所需要的所有变量的集合。

子问题的解需要用到的变量就是状态。

也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。

第三步，确定状态转移方程。

状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。

通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。

在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。

最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。

例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。

动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。

但是，动态规划也有一些限制。

首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。

其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。

动态规划问题解决策略概述

动态规划问题解决策略概述动态规划（Dynamic Programming）是一种用于解决多阶段决策问题的优化方法。

它通过拆分问题为多个阶段，并逐步求解每个阶段的最优解，从而得到全局最优解。

动态规划常被应用于许多领域，如经济学、物理学和计算机科学等。

一、动态规划原理动态规划的核心原理是最优子结构和重叠子问题。

最优子结构意味着问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。

对于一个给定问题，如果它具有最优子结构，那么我们可以通过将问题分解为若干子问题来解决，然后再将它们的最优解合并以得到原问题的最优解。

重叠子问题指的是在求解问题的过程中，我们会反复遇到相同的子问题。

为了避免重复计算，我们可以采用记忆化搜索或者动态规划的方式将子问题的解存储起来，以便后续的计算直接使用。

二、动态规划解决步骤1. 确定状态：首先要明确问题涉及的状态是什么，即问题的子问题是什么。

2. 定义状态转移方程：根据问题的最优子结构，我们可以定义状态转移方程来表示子问题的最优解与原问题的最优解之间的关系。

3. 初始化边界条件：在动态规划求解的过程中，通常还需要初始化一些边界条件，用于递推过程的开始。

4. 递推求解：根据状态转移方程和初始化边界条件，使用递推的方式求解每个子问题的最优解，并将其存储起来以备后续使用。

5. 返回结果：最终根据子问题的最优解，得到原问题的最优解。

三、案例分析以经典的背包问题为例，介绍动态规划的具体应用过程。

问题描述：给定一个固定容量的背包，和一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。

要求从这些物品中选择一些放入背包，使得在满足背包容量的前提下，背包内物品的总价值最大。

解决步骤：1. 确定状态：在背包问题中，每个物品可以选取或者不选取，因此可以定义状态dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

2. 定义状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：（1）不选取第i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；（2）选取第i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]；综合两种情况，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])。

动态规划基本原理

推边界的时候，就可以用递推的方式去实现，而有的时候用递归的方式则比较容易写出递归关系式。动态规划是一种记忆化搜索，将中间计算的结果保存在数组之中，避免之后的重复运算，提高了效率，这也是动态规划与递归递推的不同之处所在。例二最长不下降子序列设有一个正整数的序列： b1, b2, …bn, 对于下标 i1<i2<…ih, 若有 bi1<bi2<…<bih，则称存在一个长度为 h 的不下降序列例如，下列数 3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。若存在 i1<i2<i3< … < ie 且有 a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为 e 的不下降序列。如上例中 3，18，23，24 就是一个长度为 4 的不下降序列，同时也有 3，7，10，12，16，24 长度为 6 的不下降序列。程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降序列。算法分析：按照自底向上分析的思路，由后往前进行搜索： 1、对 b(n)来说，由于它是最后一个数，所以当从 b(n)开始查找时，只存在长度为 1 的不下降序列； 2、若从 b(n-1)开始查找，则存在下面的两种可能性： ① 若 b(n-1)<b(n)则存在长度为 2 的不下降序列 b(n-1)，b(n)。 ② 若 b(n-1)>b(n)则存在长度为 1 的不下降序列 b(n-1)或 b(n)。设 F(i) 为前 i 个数中的最大不下降序列，则 F(i) 为之前所有节点中最大的一个 +1,即： F(1)、F(2)、F(3)……F(i-3)、F(i-2)、F(i-1)中最大的一个加上 1。注意：并不是 F(i-1)+1。 F(I) = Max{F(j)+1 | j < I 且 bj <= bi}(其中 i<n，j=i+1,i+2,……，n)，边界是 F(1)=1; 例三：buy low,buy lower 例四：最短路径如图所示是城市道路示意图，每条边上的数字为该段街道的长度。求从 A 点到 B 点的最短路径长度（只能往上和往右走）

动态规划的基本思想

动态规划的基本思想动态规划是一种常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的算法思想。

它将问题分解成一系列子问题，并通过解决子问题构建出整个问题的最优解。

动态规划的基本思想是将原始问题转化成一个或多个相似的子问题，然后通过解决这些子问题获得原始问题的解。

这种思想在很多实际问题中都能够得到应用。

动态规划的基本流程一般包括以下几个步骤：1. 将原始问题分解为子问题：首先需要将原问题划分为多个子问题，并且确保这些子问题之间有重叠的部分。

2. 定义状态：确定每个子问题需要求解的状态，也即问题需要达成的目标。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定子问题之间的状态转移方程，即如何将子问题的解转移到原问题的解。

4. 解决首个子问题：解决最基本的子问题，获得初始状态下的解。

5. 填充状态表格：根据状态转移方程，依次求解其他子问题，并且填充状态表格。

6. 求解原问题：通过填充状态表格，在保证状态转移方程的基础上求解原问题的最优解。

动态规划的关键在于将原问题转化为子问题，通过递归或者迭代的方式求解子问题，最终获得原问题的最优解。

在这个过程中，重叠子问题的求解是动态规划的特点之一。

由于问题的子问题存在重叠，所以在求解的过程中我们可以保存已经求解过的子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

动态规划还要求问题具有最优子结构特征，即问题的最优解可以通过子问题的最优解构建出来。

通过利用已解决的子问题的最优解，可以有效地解决原问题。

动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。

它可以用于解决很多经典的问题，如最长公共子序列、0-1背包问题、最大子数组和等。

动态规划算法可以有效地解决这些问题，使得它们的时间复杂度得到了有效的降低。

总结来说，动态规划的基本思想是将原始问题转化为子问题，并通过解决子问题构建整个问题的最优解。

动态规划算法通过保存已经解决的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用，是解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的常用算法思想。

动态规划中函数值序迭代法

推论２对于推论ｌ如果，，，，Ｊ … ＾在一１步之内达到最优解－果点如
…
Ｊ］＾（），一ｍｉ，ｎ￣
：（，ｔ＾ｎ］户＝，
一，，对点Ｊ・，－－来说，则 … 在
步之内达到最优解。
推论３对任何点，（ ∞一定在 Ⅳ～１步收敛于ｆ（）ｉ。原理２若点．矗，，ｔ， … 一在一１内达到其最优解，步剩余点ｉ… … …．并且有，ｉｉ．＾（）＾（） … ≤ （） ≤ ≤ ，
中国分类号：２０２１３文献标识码：Ａ
在多阶段动态规划中，函数值迭代法和策略迭代法是其主要方法。但是函数值迭代法计算量大．复运算很多。本文以序、重指标函数和函数值选代法为基础，到两个原理．得由这两个原理得到每步迭代都有某 … 点的最优解产生以及迭代的简化公式，而提出ｒ函从数值序迭代洼利用该迭代法比函数值迭代法减少了迭代步数．因而大大减少了计算量。
＋
（）一ｍ｜Ｉ＋，（），ｎ［ｆ］≥ ，ｔ）・
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．
．
＋（
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，）（］≥ ／（）。
（）与假设相矛，・－Ｊ
因此＾Ｊ ≥ ＾（）（）Ｊａ但ｆ）第个点的最优解，（是故 ‘ ）Ｊ盾证毕。
摘要：序、标函数和函数值迭代接为基础．出了函数值序迭代｛得到了两个原理．指提击。由这两个原理可以得到每步迭代都有某一点的最优解产生及迭代的简化公式利用函数值序迭代洼比函数值迭代接减少了迭代步数，大减少了计算量。大关键词：动态规瑚；：标函数；序指函数值序迭代法

动态规划问题典型解决策略概述

动态规划问题典型解决策略概述动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法设计方法，用于求解多阶段决策问题。

通过将问题划分为若干个子问题，并保存已解决子问题的结果，最终得到原问题的解。

本文将对动态规划问题的典型解决策略进行概述。

一、动态规划基本思想动态规划算法的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解，得到原问题的解。

其核心是利用子问题的最优解构造原问题的最优解，以此达到减少计算量的目的。

二、动态规划问题的特点动态规划问题具有以下几个特点：1. 最优子结构性质：原问题的最优解可以通过子问题的最优解构造而得到。

2. 重叠子问题性质：动态规划算法会将子问题的解保存在一个表或数组中，避免重复计算相同的子问题。

3. 状态转移方程：通过定义状态转移方程来描述原问题与子问题之间的关系，进而求解问题的最优解。

三、动态规划问题的解决策略为了解决动态规划问题，需要采用合适的解决策略。

下面介绍几种常见的动态规划问题解决策略。

1. 自顶向下的递归求解这种方法是从原问题开始，不断分解为规模更小的子问题，并递归地求解子问题。

通过保存已解决子问题的结果，避免重复计算，提高效率。

这种方法常用于问题规模较小、子问题数较少的情况。

2. 自底向上的迭代求解自底向上的方法是从问题的较小规模开始解决，逐步构造出问题的最优解。

按顺序求解子问题，通过已解决问题的最优解计算出更大规模的问题的最优解。

这种方法适用于问题规模较大、子问题之间没有重叠的情况。

3. 带备忘录的自顶向下求解带备忘录的自顶向下方法在递归求解的基础上，增加了备忘录来保存已解决子问题的结果。

在每次递归时，先查看备忘录中是否已经计算过，如果有则直接使用，避免重复计算。

这种方法常用于问题规模较大、子问题数较多的情况。

4. 状态压缩状态压缩是指通过定义合适的状态表示，将问题的状态空间进行压缩。

通过降低空间复杂度来提高程序的效率。

这种方法常用于状态空间较大的问题，如旅行商问题等。

动态规划基本概念

最短路问题（2）第四阶段 k=4
d4(D1，E)=30 f4（D1）=30
状态变量s4可取D1，D2
d4(D2，E)=40 f4（D2）=40
例1.
s4 D1 D2
u4(s4) E E
f4(s4)=d4 30 40
u4*(s4) E E
最短路问题（3）第三阶段 k=3 f4（D1）=30 s3 C1 u3
3.确定决策uk,及每个阶段的允许决策集合Dk(sk) 4.写出状态转移方程: sk+1=Tk(sk,uk )
5.列出阶段效益vk(sk,uk)及效益函数 fk(sk)
二.动态规划的基本概念(4) 在不同问题中,最优指标函数fk( sk)表示的意义不一样, 可以是费用,成本,距离
6.状态转移方程：
确定由一个状态到另一个状态的演变过程. 若给定第k阶段状态变量sk的值,且该阶段的决策变量uk 一经确定 ,则第k+1阶段的状态变量sk+1也随之确定, 即sk+1是sk和uk的函数,记为sk+1=Tk(sk,uk), 它描述了由第k阶段到第k+1阶段的状态转移规律,
例1.最短路问题设某公司自外国进口一台大型机床,由工厂至出口港,有三港口可供选择,而进口港又有三个可供选择,进口后可经由两个城市到达目的地,其间的运输路线如下图,试求总距离最短的路线?
出口港 B1 20 A 40 进口港 70 C1 10 40 C2
40 60 30
B2 20
60 D1
D2
最优策略在允许策略集合中，使整个问题达到最优效果的策略
k子过程由第k阶段开始到终点为止的过程，称为原问题的 k后部子过程（或称为k子过程）
k子过程策略 k子过程的决策函数序列。简称子策略

动态规划的基本原理和基本应用

7
例2 生产和存储控制问题
某工厂生产某种季节性商品，需要作下一年度的生产计划，假定这种商品的生产周期需要两个月，全年共有6个生产周期，需要作出各个周期中的生产计划。
设已知各周期对该商品的需要量如下表所示：周期 1 2 3 4 5 6
需求量 5 5 10 30 50 8
8
例2
假设这个工厂根据需要可以日夜两班生产或只是日班生产，当开足日班时，每一个生产周期能生产商品15 个单位，每生产一个单位商品的成本为100元。当开足夜班时，每一生产周期能生产的商品也是15个，但是由于增加了辅助性生产设备和生产辅助费用，每生产一单位商品的成本为120元。由于生产能力的限制，可以在需求淡季多生产一些商品储存起来以备需求旺季使用，但存储商品是需要存储费用的，假设每单位商品存储一周期需要16元，已知开始时存储为零，年终也不存储商品备下年使用，问应该如何作生产和存储计划，才能使总的生产和存储费用最小？
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)，继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)

动态规划部分知识点总结

动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。

在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。

以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。

假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。

动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。

1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。

通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。

2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。

最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。

换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。

3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。

状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。

通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。

动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。

它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。

1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。

动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。

动态规划算法详解及应用实例

动态规划算法详解及应用实例动态规划算法是一种常见的解决各种最优化问题的算法。

它适用于很多复杂的问题，如图形分析、路线规划、搜索引擎等等。

本文将详细讲解动态规划算法的基本原理、特点和应用实例，供大家学习和借鉴。

一、动态规划算法基本原理动态规划，简称DP，是一种递推式算法，通过将问题分解成一系列子问题，并按照一定的顺序对子问题进行求解，最终得到问题的最优解。

其主要思想是：当我们在解题时遇到一个问题时，如果能将这个问题划分成若干个与原问题相似但规模更小的子问题，而这些子问题又可以逐一求解，最终将所有子问题的结果汇总起来得到原问题的解，那么这个问题就可以使用动态规划算法解决。

由于动态规划算法中有“最优解”的要求，所以在求解过程中需要涉及到状态转移方程的设计。

状态转移方程是一个数学公式，它描述了一个状态如何从前一个状态转移而来，以及在当前状态下所做的某些决策对下一个状态的影响。

通过不断迭代求解状态转移方程，我们可以得到最优解。

二、动态规划算法的特点1、动态规划是一种自底向上的策略，通常需要维护一个状态表格，记录下每个阶段的最优解，最后汇总起来得到问题的最终解。

2、动态规划通常具有“无后效性”的特点，即求解某个决策问题时，当前状态之后的决策不会影响之前的决策。

因此，在涉及到状态转移时，只需考虑当前状态和以前的状态即可。

3、动态规划通常包含两个要素：最优子结构和重叠子问题。

最优子结构是指一个问题的最优解由其子问题的最优解递推而来，而重叠子问题则是指在递归求解的过程中，同一问题会被反复求解多次，因此需要使用记忆化搜索等技巧，避免重复计算。

4、动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)或O(n^3)，空间复杂度通常也会比较高。

三、应用实例：0-1背包问题0-1背包问题是指在背包容量固定的情况下，如何选择物品才能使得背包装载的价值最大，其中每个物品只能选择一次。

对于此类问题，可以采用动态规划算法进行求解。

首先需要确定问题的状态转移方程，具体如下：设f(i,j)表示在前i个物品中，当背包的容量为j时，能够装载的最大价值，那么状态转移方程为：f(i,j)=max{f(i-1,j), f(i-1,j-wi)+vi}其中，wi表示第i个物品的重量，vi表示第i个物品的价值。

《动态规划》课件

特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧，帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用
一、动态规划的基本原理
动态规划（Dynamic Programming）是一种运用在运筹学中的一种数
学规划方法。

它的基本思路是：将一个复杂的求解问题分解成若干个更简
单的子问题，再从这些子问题出发，求出各子问题的解，回溯到原问题求
出原问题的解，通常情况下，动态规划的核心是对于每一个子问题只求解
一次，存储子问题的解，避免了重复求解子问题。

1.最优子结构性质：具有最优子结构性质的问题可以用动态规划求解，即如果一些问题的求解最优解由其子问题的最优解组合而成，那么该问题
也是最优的；
2.重复子问题性质：具有重复子问题性质的问题可以用动态规划求解，即一些问题的解可以由重复的子问题的解组合而成；
3.边界条件：求解动态规划的问题要求有边界条件，即知道求解问题
的初始和终止条件；
4.最优化原理：即求解问题的全局最优解可以由求子问题的最优解组
合而成，求解问题从最优解的最终状态开始，逐渐迭代至初始状态；
5.无后效性：即状态仅取决于其之前的几个状态，不受其之后状态的
影响。

二、动态规划的基本应用
1.适用于短路径问题：在交通运输、通信网络中。

理解动态规划算法的基本原理

理解动态规划算法的基本原理动态规划算法是一种常用的优化算法，它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题。

动态规划算法的基本原理是将问题划分为多个阶段，并且每个阶段的最优解都是由前面阶段的最优解推导而来的。

通过存储子问题的解，动态规划算法可以避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法的基本思想可以用一个简单的例子来说明。

假设有一条走廊，长度为n步。

每次可以走1步或者2步。

问有多少种不同的方式可以走到走廊的尽头。

我们可以将问题划分为n个阶段，每个阶段表示走到走廊的第i步。

假设f(i)表示走到第i步的方式数目。

那么，我们可以得到动态规划的递推关系式：f(i) = f(i-1) + f(i-2)其中，f(0) = 1，f(1) = 1。

这是因为走到第0步和第1步只有一种方式，即不走和走1步。

根据递推关系式，我们可以从前面的阶段的最优解推导出当前阶段的最优解。

通过动态规划算法，我们可以通过自底向上的方式求解问题。

我们可以从第0步开始，依次计算每个阶段的最优解，直到求解出第n步的最优解。

在计算每个阶段的最优解时，我们可以利用已经计算过的子问题的解，从而避免重复计算。

动态规划算法的时间复杂度通常是O(n)，其中n是问题的规模。

这是因为我们需要计算每个阶段的最优解，而每个阶段的计算只需要常数时间。

另外，动态规划算法的空间复杂度也是O(n)，因为我们需要存储每个阶段的最优解。

除了自底向上的方式，动态规划算法还可以通过自顶向下的方式求解问题。

这种方式通常称为记忆化搜索。

在记忆化搜索中，我们首先计算第n步的最优解，然后递归地计算前面阶段的最优解。

通过存储已经计算过的子问题的解，我们可以避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。

它可以用来求解最短路径问题、背包问题、序列比对问题等。

通过合理地定义子问题和递推关系式，我们可以将很多复杂的问题转化为动态规划问题，并利用动态规划算法求解。

bellman方程

bellman方程Belman方程（Bellman equation）是强化学习中的一种基本模型，描述了在有限时间内的最优决策过程。

Bellman方程的提出者是美国数学家、经济学家R. E. Bellman，他在20世纪50年代初期发展了动态规划（Dynamic Programming）的核心理论，Bellman方程就是动态规划的基础。

Bellman方程的核心思想是最优性原理。

Bellman方程旨在找到最优策略，即能够最大化即时奖励和延迟奖励的决策序列。

该方程通过将问题分解为若干子问题，并将当前决策的价值与未来决策的价值进行组合，推导出每个状态的最优值函数。

Bellman方程通过递归的方式描述最优策略，将问题规模逐步减小，直到找到最优解。

Bellman方程的一般形式可以表示为：V(s) = max[∑[p(s'，s, a)(r + γV(s'))]]其中V(s)表示在状态s下的最优值函数，p(s'，s,a)表示在状态s下采取动作a后转移到状态s'的概率，r表示即时奖励，γ为折扣因子，表示对未来奖励的重视程度。

Bellman方程通过对每一个状态s进行迭代计算，根据当前的即时奖励和之前计算得到的最优值函数，更新状态的最优值函数。

Bellman方程的核心思想是将问题分解为子问题并进行递归求解，从而找到全局最优解。

Bellman方程在强化学习中有广泛的应用。

它可以被用于解决马尔可夫决策过程（MDP）问题，如机器人路径规划、游戏策略优化等。

Bellman方程的求解方法有很多种，常见的方法包括值迭代（Value Iteration）和策略迭代（Policy Iteration）。

值迭代是一种基于Bellman方程的迭代求解方法。

值迭代的思想是从一个初始的值函数开始，根据Bellman方程不断迭代更新值函数，直到收敛到最优值函数。

策略迭代是另一种基于Bellman方程的迭代求解方法。

动态规划的基本概念和基本思想_实用运筹学：案例、方法及应用_[共6页]

实用运筹学：案例、方法及应用以把它当作多阶段动态模型，用动态规划方法处理。

动态规划对于解决多阶段决策问题效果明显，但也有一定的局限性。

首先，它没有统一的处理方法，必须根据问题的各种性质并结合一定技巧来处理；另外，当变量维数增大时，总计算量及存贮量急剧增大。

由于计算机的存贮量及计算速度的限制，目前计算机仍不能用动态规划方法来解决较大规模的问题，这就是所谓“维数障碍”。

5.1 动态规划的基本概念和基本思想1．多阶段决策问题（1）多阶段决策的效果动态规划是把多阶段决策问题作为研究对象。

所谓多阶段决策问题，是根据问题本身的特点，将求解全过程划分为若干个相互联系的阶段（即将问题划分为许多个相互联系的子问题），在它的每一阶段都需要做出决策，并且在一个阶段的决策确定以后才转移到下一个阶段。

往往前一个阶段的决策会影响到后一个阶段的决策，从而影响整个过程。

人们把这样的决策过程称作多阶段决策过程。

各个阶段确定的决策就构成了一个决策序列，称为一个策略。

一般来说，由于每一阶段可供选择的决策往往不止一个，因此，对于整个过程，就会有许多可供选择的策略。

若对应一个策略，可以由一个量化指标来确定这个策略所对应的活动过程的效果，那么，不同的策略就有各自的效果。

在所有可供选择的策略中，对应效果最好的策略称为最优策略。

把一个决策问题划分成若干个相互联系的阶段选取其最优策略的解决过程就是多阶段决策问题。

多阶段决策过程最优化的目标是要达到整个活动过程的总体效果最优。

由于各段决策间有机联系，本阶段决策的执行结果将影响到下一阶段的决策，以至于影响总体效果，所以决策者在每段决策时不应只考虑本阶段最优，还应考虑对最终目标的影响，从而做出对全局来讲最优的决策。

动态规划就是符合这种要求的一种决策方法。

由上述可知，动态规划方法与“时间”关系很密切，随着时间过程的发展而决定各时段的决策，产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。

然而它也可以处理与时间无关的静态问题，只要在问题中人为引入“时段”因素，就可以将其转化为一个多阶段决策问题。