17-2 数学分析全套课件
数学分析课件第16章
§1 傅立叶级数 §2 傅立叶积分
§1 傅立叶级数
1.1 三角级数与周期函数 1.2 以 2π为周期的函数展为三角函数 1.3 以 2l为周期的函数展为三角级数
1.1 三角级数与周期函数
三角级数
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
（16.1－1）
定义1 定义1 周期函数
f ( x + T ) = f ( x ), x ∈ (−∞, +∞ ), T > 0
? 问题：将周期函数展为三角级数 (设 f ( x)是 ∞,+∞) 上的周期函数，周期为2π 设 f ( x )在 [ −π , π ] 上可展为三角级数。 ∞
a0 f ( x) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
π
则
am =
∫ π f ( x) cos mxdx.(m = 1, 2,3L) π
−
1
π
同理:
bn =
∫ π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2,3L) π
−
1
π
(16.1－12)
定义2 定义2
1 π an = ∫ f ( x) cos nxdx.(n = 0,1L) π −π b = 1 π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2 L) n π ∫−π
(16.1－3)
如何根据 f ( x )来分析确定诸系数 an , bn ?
常用公式： 常用公式：
∫ π cos nxdx = 0,∫ π sin nxdx = 0,
− −
数学分析刘玉琏17-2
例如，z f (u, v, w), u u( x, y), v v( x, y), w w( x, y), z z u z v z w u , 则 x u x v x w x
z z u z v z w . y u y v y w y
例4(P121)
10
第十七章多元函数微分学§2复合函数微分法
特殊地，若 z = ƒ(x,y),y = φ(x)， 则 z = ƒ(x,φ(x)) 是x的一元函数, 其全导数为 z x y x
dz z dx z dy z z dy . dx x dx y dx x y dx dz x 例 设z f ( x , e )，求 . dx
f y ( x , y )，则各偏导数仍然是定义在D上的二元函数，即为 f ( x , y )的偏导函数 .
第十七章多元函数微分学§2复合函数微分法
如果偏导函数f x ( x, y )和f y ( x, y)的偏导数也存在，则称它们 是f ( x, y )的二阶偏导数. 有以下四种情形： z 2 z 2 f xx ( x, y ), f 关于x的二阶偏导数; x x x z 2 z y 2 f yy ( x, y), f 关于y的二阶偏导数; y y
设函数 z = f(u,v) 具有连续偏导数，则u,v不论是自变量还是
中间变量，总有全微分
dz z z du dv . u v
事实上，
(1)如果 u,v 是自变量，结论显然. (2)如果 u,v 是中间变量， u ( x , y )，v ( x , y ).
有全微分：
解 令y e x，则z f ( x, y )
大学物理教程 ch17-2
E
激发态E不稳定
t 0, E , E不确定 t
能级宽度: E
E0
Im
Im 2
E E0 跃迁，辐射谱线宽度
(E
E ) 2
E0
(E
E ) 2
E0
h
h
应用举例：J / 粒子的发现
1966— 1974年，丁肇中与里特克实验小组，分别在美国布鲁克 海文国立实验室和斯坦福直线加速器中心，用不同方法独立发现 同一种静质量很大的新粒子(判据：m=E/c2，△t =? ),用能量不确 定关系确定寿命：能量不确定度为 0.063MeV。
2）认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估 算和控制干扰，修正测量值。
微观世界：不能不计及测量行为产生的干扰。
1）以“量子化”取代连续性，作用量子 h 的存在规 定了干扰的范围，无法超越。
2）以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰 不可控制，不可预测，不能校正。
不同的实验装置决定了不同的可测量，显示出客体某 些方面的特性而抑制其它方面的特性
电子衍射 I |Ψ |2
IN
I大:电子到达该处概率大
I小：电子到达该处概率小 I＝0:电子到达该处概率为零 各电子起点、终点、路 径均不确定
用|Ψ |2 对屏上电子数分布
作概率性描述
一般情况：
t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 dN N |Ψ |2 dV
|Ψ ( x, y, z, t ) |2 Ψ Ψ * dN
仅在“课堂”条件下观察，不可能了解某同学在运动方面的特长。
犹如“瞎子摸象”，我们得出的各种结论不是互相排斥、 对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。
微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经 典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是 对互补原理的数学表述。
数学分析二知识点总结公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
（3）求积分比求微分困难——
1）没有万能旳积分法；
2）有旳初等函数旳积分不是初等函数，从而“积
不出来”，如
积分对数
ex x
dx
和
dx ln x
，
积分正弦
sin x
x
dx
、 积分余弦
cos x
x
dx
，
及更一般的形式
ex xn
dx
、
x ln n
x
dx
、
sin n x
x dx 、 cosn x
x dx ，
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数旳积分
分 表
一、主要内容
1、原函数与不定积分旳概念。 2、不定积分: (1)存在性;(2)唯一性;(3)怎样求？
3、不定积分运算与微分运算旳互逆关系。 4、积分表。 5、不定积分旳计算： （1）基本思想——化归为积分表中旳积分； （2）常用积分措施：
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17) cot xdx ln sin x C
(23)Байду номын сангаас
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
1
dx x2 a2 ln( x x 2 a 2 ) C
还有 ex2dx 、 sin( x2 )dx 、 cos( x2 )dx 、 1 x4dx
另外：每一种具有第一类间断点旳函数都没有原函数.
高教版数学分析第4版课件17-4
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y
( 0 3 ,4 1).
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
z 3z
x
y0x0
1 x
y
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0 , y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) ; (1)
类似地有
1
f
y
x ( x0 ,
y0 )
lim
x0
lim
y0
x
y
f ( x0 x,
y0 y)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0, y0 ),
于是有 ( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步章末整合课件 北师大版必修2
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 用待定系数法求直线或圆的方程 求直线的方程、圆的方程是本章的一个重要内容,其方法主要有两 种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先 设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参 数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程. 选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下, 与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关 的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设 圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
为半径的
圆; 当 a=1 时,P 点的轨迹为直线 x=0,即 y 轴.
专题一
专题二
专题三
专四题四
专题三 数形结合思想的应用 数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题 并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助 “数”,以“数”解“形”. 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜 角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若 利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
要求的点.故|PN|-|PM|的最大值为
5 2
−
1=2.故选
2
D.
答案:D
考点一
考点二
考点一:直线与直线的方程
1.
(2015
福建高考,文
5)若直线������������
+
������ ������
=1(a>0,b>0)过点(1,1),则
a+b
的最小值等于( )
17-1——华东师范大学数学分析课件PPT
x0 x x0
x
存在时, 称此极限为 f 在点 ( x0 , y0 )关于x 的偏导
数, 记作
f x ( x0 , y0 ), 或 zx ( x0 , y0 ),
f x
,
( x0 , y0 )
z .
x ( x0 , y0 )
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例1 考察 f ( x, y) x y 在任一点 ( x0, y0 ) 的可微性.
解 f 在点( x0, y0 ) 处的全增量为
f ( x0 , y0 ) ( x0 x) ( y0 y) x0 y0
y0 x x0 y x y.
由于 | x y | | x | | y | 0 ( 0),
因此 xy o( ). 从而 f 在 ( x0 , y0 ) 可微, 且
d f y0 x x0 y.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§1 可微性与偏导数 可微性与全微分
( x, y) y y0, | x x0 |
或 ( x, y) x x0, | y y0 |
数学分析 第十七章 多元函数微分学
§1 可微性与偏导数
本节首先讨论二 元函数的可微性, 这是 多元函数微分学最基本 的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即 偏导数. 偏导数无论在 理论上或在应用上都起 着关键性的作用.
一、可微性与全微分
二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义
2017全国卷II数学理含解析
2017全国卷II 数学（理科）----真题及答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【解析】利用平方差公式，做分母有理化，分子分母同时乘以1-i ，得：选D2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【解析】(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab=0 方程的两个根分别为-a,-b集合B 中一元二次方程的两根之和为-(-4)=4,两根之积为m 由{}1A B =， 知1是B 的元素，所以1是这个一元二次方程的一个根，另一个根就是4-1=3进一步的m=1*3=3 选C3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】等比数列，顶层有x 盏灯，则其余六层分别有2x,4x,8x,16x,32x,64x 盏灯 7层之和为(1+2+4+8+16+32+64)x=381 S 7=1+2+4+8+16+32+64…………(1) 2 S 7=2+4+8+16+32+64+128…………(2) (2)式-(1)式: S 7=-1+128=127 X=381/127=3(这是等比数列求和公式的证明过程了，应当掌握这种方法；当然本题可以直接用等比数列求和公式S7=)选B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解析】第一排右侧梯形：圆柱截去一部分之后的侧视图，第二排圆形：圆柱截去一部分之后的俯视图，第一排左侧图形：圆柱截去一部分之后的前视图；空间想象，应该是一个平面斜切过圆柱，如图：下面求体积：把它看成上下两部分，上部分（不是圆锥的一半等图形）是原圆柱上部分的一半，V 上=12V 上圆柱=12S 底h 上 下部分是圆柱V 下=S 底h 下由圆形读出：底面半径占3个小正方形，即3*1=3，S 底=9π 由第一排右侧梯形读出：h 上=6*1=6，h 下=4*1=4 V= V 上+V 下=12S 底h 上+ S 底h 下=9π(62+4)=63π（考察能够正确进行简单的空间想象） 选B5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9z （截距）不断变大， 所以z 的最小值应当是y=-2x+z 过点（-6,-3）时取到，z min =-15 （最小值在哪条直线处取到，是容易出错的） 选A6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【解析】由题意知，3人完成的项目数量只可能是：其中2人各完成1项，其中1人完成2项。
2017数学一轮课件：17-2 参数方程
撬题·对点题 必刷题
第三页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第四页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是_某__个__变__数__t_的函数xy＝＝fgtt，， ① 并且对于 t 的_每__一__个__允__许__值___，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲 线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做__参__变__数__，简称_参__数__．_相对于参数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做__普__通__方__程__．_ 2 参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需_消__去__参__数__． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如，x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数
第十三页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
注：极坐标系下点的表示不唯一． ②由①可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线 PQ 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. 由参数方程可得 y＝b2(x－a)＋1＝b2x－a2b＋1，
所以2－b＝a2b1，＋1＝2，
x＝－1＋ y＝12t
3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ.
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并指明 C 是什么曲线；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，求|PQ|的值．
17-1 数学分析全套课件
z
P•
O
dh Q•
S
y x
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例1 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
例2 曲面z ( x2 y2 ) 3 在何处的切平面平行
于平面2x 2 y z 0，写出切平面方程
y0 )
fx ( 0x0,, y0x)2x
x2 y2
在 (0, 0)的连续性与可微型
y
2f
y ( 0x0 , y0
前页
)y
后页
0
返回
本次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微定义 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
A x B y o( ),
（1） fx ( x0 , y0 )与 fx ( x0 , y0 ) 存在
（2） lim (x,y )(0,0)
f ( x0 ,
y0 )
fx ( x0 , y0 )x x2 y2
f y ( x0 ,
y0 )y
0
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( , y) ( x x0 ) f y ( x0,) ( y y前0 )页. 后页 返回
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定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微. 此时，切平面方程为
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f
微积分教材配套版课件：17-2
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0
x
sin
nxdx
2 [
x
cos n
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n
n
2 (1)n1, n
(n 1,2,)
f
(
x)
2(sin
x
1 sin 2
2x
1 3
sin
3x
)
2
n1
(1)n1 n
sin
nx.
y
( x ; x ,3,)
和 函 数 图 3 2 象
x
2
以2L为周期的傅氏级数
分析： 令z x ,
l
则f ( x) f (lz ) F (z),
F (z 2 )
f[l
(z 2 )]
f(l
z 2l)
f ( l z)
F(z)
F(z)
~
a0 2
(an
1
cos nz
bn
sin nz)
F(z)
~
a0 2
(an
1
cos nz
bn
sin nz)
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0( x
1)sin nxdx
2 (1 cos n cos n) n
2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x sin 4x 1 ( 2)sin 5x]
17-4——华东师范大学数学分析课件PPT
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解 由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等数学7.1—2章PPT课件
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
.
13
例3. 求下述微分方程的通解:
y sin2 (x y 1) 解: 令 u x y 1, 则
u 1 y
故有
1 u sin2 u
即
sec2 u du dx
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
这说明 x C1 cos k t C2 sin k t 是方程的解 . C1 ,C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C1 A,C2 0 , 故所求特解为
x Acos k t
.
7
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得 g( y) dy f (x) dx
则有
G( y)
F ( x)
G(y) F(x) C
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
.
14
例四 求方程 d y ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e y d y ex dx
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有 积分
u 1 eu
du
1 eu
xC
17年新课标2数学理
17年新课标2数学理在2017年新课标2数学理科的课程中，重点在于培养学生的数学思维、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
课程内容涵盖了高中数学的多个重要领域，包括但不限于数列、概率统计、解析几何、立体几何、函数与导数、三角函数、复数等。
数列部分，学生需要掌握等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式。
通过学习数列，学生能够理解数列的递推关系，以及如何运用数列解决实际问题。
概率统计部分，学生将学习到概率的基本概念、条件概率、独立事件、随机变量及其分布、统计图表的绘制和解读、样本估计总体等。
这些内容有助于学生理解随机现象，以及如何运用统计方法进行数据分析。
解析几何部分，学生将学习到直线和圆的方程、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其性质。
这部分内容让学生能够运用几何知识解决实际问题，如轨迹问题、最优化问题等。
立体几何部分，学生需要掌握空间直线与平面的位置关系、多面体和旋转体的结构与性质、空间向量及其应用等。
通过这部分学习，学生能够培养空间想象能力和解决空间问题的能力。
函数与导数部分，学生将学习到函数的概念、性质、图象，以及导数的概念、运算法则和几何意义。
这部分内容是微积分的基础，对于理解变化率和优化问题至关重要。
三角函数部分，学生需要掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的性质和图象，以及三角恒等变换和解三角形的方法。
这部分内容在解决与角度、周期性相关的问题时非常有用。
复数部分，学生将学习到复数的基本概念、运算法则、复数的几何意义以及复数的代数形式和三角形式。
复数是数学中一个重要的概念，它在工程、物理等领域有着广泛的应用。
除了这些核心内容，课程还强调了数学建模、数学文化、数学思想方法等，旨在全面提升学生的数学素养，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
17新课标二数学理科
17新课标二数学理科在新的课程标准下，高中数学理科的学习内容和要求有所调整，以适应现代教育的需求和学生的实际情况。
以下是对17新课标二数学理科的概述：1. 基础知识与技能：强调数学基础知识的重要性，如代数、几何、概率统计等，同时注重培养学生的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。
2. 数学思维与方法：鼓励学生通过数学学习培养抽象思维、逻辑推理和数学建模的能力，能够运用数学工具解决实际问题。
3. 数学应用：强调数学知识在日常生活、科学研究、工程技术等领域的应用，让学生理解数学的实际价值。
4. 数学文化与历史：介绍数学的历史发展和文化背景，激发学生对数学的兴趣和对数学文化的尊重。
5. 数学探究与创新：鼓励学生进行数学探究活动，培养创新思维和解决问题的能力。
6. 课程内容：包括但不限于以下模块：- 代数：包括函数、方程、不等式、数列、极限等。
- 几何：包括平面几何、立体几何、解析几何、向量等。
- 概率与统计：包括随机事件的概率、统计数据的收集与分析等。
- 微积分：包括导数、积分、微分方程等。
- 线性代数：包括矩阵、向量空间、线性方程组等。
7. 评价方式：采用多元化的评价方式，包括平时作业、课堂表现、小测验、期中期末考试等，以全面评价学生的学习效果。
8. 教学方法：鼓励采用启发式、探究式、合作学习等教学方法，提高学生的参与度和学习兴趣。
9. 信息技术的应用：利用信息技术辅助教学，如使用数学软件进行图形绘制、数据分析等，提高教学效率和学生的学习体验。
10. 课程资源：提供丰富的数学学习资源，包括教材、参考书、在线课程、数学竞赛等，以支持学生的深入学习和个性化发展。
通过这些内容和方法，17新课标二数学理科旨在培养学生的数学素养，提高他们的数学能力，为未来的学术和职业生涯打下坚实的基础。
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微分的形式不变性 z f ( x, y)
dz z dx z dy. x y
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在点 ( x1,L , xn ) 具有对于 xi (i 1, 2,L , n) 的偏导数, 则复合函数
f ( g1( x1,L , xn ), g2( x1,L , xn ),L , gm ( x1,L , xn )) 关于自变量 xi (i 1,2,L ,n) 的偏导数为
f m f uk (i 1,2,L , n).
上次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 可微充分条件 f x 与 f y ,在 ( x0 , y0 ) 连续
定理 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微.此时，切平面方程为
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例4 设 u u( x, y) 可微, 在极坐标变换 x r cos ,
y r sin 之下, 证明:
u r
2
1 r2
u
2
u x
2
u y
2
.
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抽象函数偏导表示
z f (x, y) u f (x, y, z)
f1
f x
f
2
f y
f
3
f z
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一、复合函数的求导法则
定理17.5 若 x (s,t), y (s,t) 在点 (s,t) D 可 微，z f ( x, y) 在点 ( x, y) ((s,t), (s,t)) 可微, 则 复合函数 z f ( (s,t), (s,t) ) 在点 (s,t) 可微，且
关于 s 与 t 的偏导数分别为
Q
z= f (x ,y) ( )
z
M
dz
N
0
P0(x0,y0)
y
y
x
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3. 近似计算和误差估计. z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 ) f x ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y.
例1 求 1. 08 3. 96 的近似值. 例2 应用公式 S 1 ab sinC 计算某三角形的面积,
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
例
求证曲面 z
xf ( y ) x
的切平面相交于一点
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2.二元函数全微分的几何意义: dz fx ( x0 , y0 ) x f y ( x0,zy0 ) y,
P
z z0
z z x z y , 链
s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)
式
法
z z x z y . 则
t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t)
．
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注 如果只是求复合函数 f ( (s,t), (s,t) ) 关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 x (s,t), y (s,t) 只
例1
设z
f (2x
y, xy),
求
z x
例2
设z
f (2x y ( xy)), 求
z x
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二、复合函数的全微分
一阶微分的形式不变性 z f ( x, y) dz z dx z dy. x y
例 1 设 z e x y sin( x y), 求 dz.
例2
设
z
f
(
x, y
y), x
求 dz, z . x
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例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a, f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1).
例6 设在 R2上的可微函数 f 满足方程 y fx(x, y) x fy(x, y) .
须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 但是函数 f 的可微性假设不能省略.
f
(
x,
y)
x2 y x2 y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.源自x t, y tt0
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若 f (u1,L , um ) 在点 (u1,L , um ) 可微,函数组 uk gk ( x1,L , xn ) (k 1, 2,L , m)
x i k1 uk x i
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例 1 设 z ln(u2 v), 而 u ex y 2 , v x2 y, 试
求 z 与 z .
x y
u
x
z
v
y
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
例3 求导数 y xsin x
2 现测得 a 12.50, b 8.30, C 30o. 若测量 a, b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1o, 试求用此公式 计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
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§2 复合函数微分法
z f (x, y)
x (s,t) 与 y (s,t) z F (s,t) f ( (s,t), (s,t) ) .
证明: 在极坐标系里 f 只是 r 的函数．
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本次课内容
复合函数的求导法则 z z x z y , s (s,t ) x ( x, y) s (s,t ) y ( x, y) s (s,t)
z
z
x
z
y
.
t (s,t ) x ( x, y) t (s,t ) y ( x, y) t (s,t)