2020年北师大版 《因式分解》 知识点总结
八年级数学下册分解因式知识点归纳北师大版
适用精选文件资料分享八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版第二章分解因式一、分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 这类变形叫做把这个多项式分解因式 .2.因式分解与整式乘法是互逆关系 .因式分解与整式乘法的差别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘 , 化为一个多项式 ;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 .二、提公共因式法1、假如一个多项式的各项含有公因式 , 那么就可以把这个公因式提出来 , 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 . 这类分解因式的方法叫做提公因式法 .如:2、看法内涵 :(1)因式分解的最后结果应该是 " 积";(2)公因式可能是单项式 , 也可能是多项式 ;(3)提公因式法的理论依照是乘法对加法的分配律 , 即:3、易错点评论 :(1)注意项的符号与幂指数能否搞错 ;(2)公因式能否提 " 干净 ";(3)多项式中某一项恰为公因式 , 提出后 , 括号中这一项为 +1, 不遗漏 .三、运用公式法1.假如把乘法公式反过来 , 就可以用来把某些多项式分解因式 . 这类分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式 :(1) 平方差公式 :(2) 完整平方公式 :3.易错点评论 :因式分解要分解究竟 . 如就没有分解究竟 .4、运用公式法 :(1)平方差公式 :①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项 ( 不含符号 ) 都是一个单项式 ( 或多项式 ) 的平方 ;③二项是异号 .(2)完整平方公式 :①应是三项式 ;②此中两项同号 , 且各为一整式的平方 ; ③还有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5、因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式 , 如有 , 则先提取公因式 ;(2)再看能否使用公式法 ;(3)用分组分解法 , 即经过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的 ;(4)因式分解的最后结果一定是几个整式的乘积 , 不然不是因式分解 ;(5)因式分解的结果一定进行到每个因式在有理数范围内不可以再分解为止 .四、分组分解法 :1、分组分解法 : 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:2、看法内涵 :分组分解法的要点是如何分组 , 要试试经过分组后能否有公因式可提 , 而且可连续分解 , 分组后能否可利用公式法连续分解因式 .3、注意 :分组时要注意符号的变化.五、十字相乘法 :1、对于二次三项式 , 将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 , , , 且满足 , 常常写成的形式 , 将二次三项式进行分解 .如:2、二次三项式的分解:3、规律内涵 :(1)理解 : 把分解因式时 , 假如常数项 q 是正数 , 那么把它分解成两个同号因数 , 它们的符号与一次项系数 p 的符号同样 .(2)假如常数项 q 是负数 , 那么把它分解成两个异号因数 , 此中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号同样 , 对于分解的两个因数 , 还要看它们的和能否是等于一次项系数p.4、易错点评论 :(1)十字相乘法在对系数分解时易犯错 ;(2)分解的结果与原式不等 , 这时平时采纳多项式乘法还原后检验分解的能否正确 .。
北师大版八年级下册数学[《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b-=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、（2016•长春模拟）先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---，其中05152a .,x .,y ===-．【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可．【答案与解析】解：原式=()()()()22222x a y a a x y -+-=-+，当05152a .,x .,y ===-时，原式=()()0523215..-⨯-=-.【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0． 【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317-【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．【答案】解：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2=（a 2+b 2+2ab ）（a 2+b 2﹣2ab ）=（a+b ）2（a ﹣b ）2；（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1=（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）+1 =（x ﹣y ﹣1）2．5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿； （2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+． 【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y y y -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。
北师版 八下 因式分解及分式、分式必备知识
北师版八下因式分解及分式、
分式必备知识
【知识点一】因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式；
考点：
因式分解（化和为积）和整式乘法（化积为和）是一个互逆的过程；
【知识点二】因式分解三大原则
(1）因式分解左右恒等；
(2）一定是化和为积；
(3）必须为整式；
【知识点三】因式分解6个要求
(1）在有理数范围内分解；例：x²-2
(2）因式分解到不能分解为止；例：x⁴-81
(3）分数系数要提出；例：¼x²-1
(4）单项式在前-多项式在后；例：a(a+1)
(5）首项不为负；例：-ab²-a
(6）相同因式写成幂形式；例：(x+1)(x+1）口诀：
首项不为负，分母要提出。
单项要在多项前，分解要完全。
相同因式写成幂，结果要是有理数。
因式分解知识总结
因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。
因式分解(北师大版)
因式分解知识点一：定义的理解（1）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；而不是几个整式的积与某项的和差形式（2）每一个因式在有理数范围内不能再分割为止例1.若多项式b ax x ++2可分解为()()21-+x x ，试求b a ,的值． 由题意知：())2(12-+=++x x b ax x 将()1+x 看作整体22222--=-+-=x x x x x故222--=++x x b ax x (左右两边对应系数相等)∴2,1-=-=b a变1：若()()n x x mx x ++=-+3152，求 m 的值变2：若1-x 是c x x +-52的一个因式，求c 的值知识点二：提公因式公因式：可以是单项式（单独的数或字母），也可以是多项式注意点：（1）”注重提“全”提“净”（2）不能漏项 （3）统一字母的排列顺序（4）若多项式的首项系数是负数时，一般应先提“—”号例2.多项式322236312m n m n m n --+分解因式时应提取的公因式为（ ）A ．3mnB ．23m n -C ．23mnD ．223m n -注意点：（1）”注重提“全”提“净”（2）不能漏项 （3）统一字母的排列顺序（4）若多项式的首项系数是负数时，一般应先提“—”号分解因式：()()a m a m -+-222 32n n a a +-+()()m n m n m mn ---原式=()()222---a m a m()()m m a --=22()()21--=a m m知识点三：公式法平方差公式：()()b a b a b a -+=-22注意点：（1）二项是二项式；（2）符号相反；（3）b a ,可以是字母或数，也可以是单项式或多项式 44b a - ()22)(169b a b a +-- （1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2011）完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+± 其特点：（1）左边是二次三项式；（2）首末项符号同号，中间一项是这两项的积的2倍，符号可正可负（3）公式右边是两数或式的和或差的完全平方，其符号与积的2倍的符号一致（4）b a ,可以是数、字母、其他的整式例3.如果k x x ++82可运用完全平方公式进行因式分解，则k 的值是（ ）A.8B.16C.32D.64知识点四：因式分解的步骤：（1）提公因式; （2）观察项数（2项用平方差；三项用平方和）’（3）如果分解出来的因式还能分解，就继续分解 注意：有些因式需要合理变形；巧妙运用公式例4. 11213+-+++n m n m y x y x ()()a m a m -+-222原式=()13211++-y x y x n m 原式=())2(22---a m a m()()12--=m a m234ab a - 22344xy y x x +-原式()224b a a -= 原式()2244y xy x x +-= ()()b a b a a 22+-= ()22y x x -= 例5.证明139792781--能被45整除分析：该整式计算的结果中出现45这因式解：∵()()()()262262627281329374139735133333333392781⨯=--=--=--=-- 24242345335⨯=⨯⨯= ∴139792781--能被45整除 综合练习一．选择题1.下列多项式中，与y x -- 相乘的结果是22y x - 的多项式是（ ）A.x y -B.y x -C.y x +D.y x --2．分解因式14-x 得（） A.)1)(1(22-+x x B.22)1()1(-+x x C.)1)(1)(1(2++-x x x D.3)1)(1(+-x x3.因式分解()912--x 的结果是（ ）A ．()()18++x x B.()()42-+x x C.()()42+-x xD.()()810+-x x4.若()()()A n m n m mn n m ⋅+=+-+3，则A 表示的多项式是（ ） A.22nm + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++5.2542++ma a 是一个完全平方式，那么m 的值（ ）A.10B.20C.10±D.20±6.对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ）A.被8整除B.被m 整除C.被m －1整除D.被（2m -1）整除7.已知二次三项式x 2+bx+c 可分解为两个一次因式的积（x ＋m ）（x+n ），下面说法中错误的是（ ）A ．若b ＞0，c ＞0，则m 、n 同取正号；B ．若b ＜0，c ＞0，则m 、n 同取负号；C ．若b ＞0，c ＜0，则m 、n 异号，且正的一个数大于负的一个数；D ．若b ＜0，c ＜0，则m 、n 异号，且负的一个数的绝对值较大8.计算()()111022-+-等于（ ） A.102- B.112- C.102 D.-29.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是24y x -O （“O ”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）A.2种B.3种C.4种D.5种 二．填空题1.332236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________2．24(21)(21)(21)+++的结果为 .3．221999199940002000+⨯-=_______4.0442=-+y y ，51232--y y =________ 5．已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222= . 三．分解因式：23ab a - c ab ab abc 249714+-- ()xy y x 822+-()24b a b a -- 21232y x y x x m m m ++++- ()()4422-+++x x x四．解答题1.一个长方形的长增加4cm ，宽减少1cm ，面积保持不变；长减少2cm ，宽增加1cm ，面积仍保持不变，求这个长方形的面积．2.利用因式分解说明127636-能被140整除3.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244c a c b a b -=-，试判断ABC ∆的形状。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
因式分解 基础知识 总结
因式分解 基础知识 总结一、 因式分解的意义1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的区别、联系：区别：整式乘法是把几个整式相乘，化成一个多项式；因式分解是把一个多项式化成几个因式的积的形式。
联系：因式分解与整式乘法是互逆的过程。
3．公因式及其结构：公因式：一个多项式的各项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式的结构：多项式的公因式由系数和字母部分两部分组成，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂。
可简记为：“系数大，字母同，指数低”。
二、 因式分解的方法（一） 提公因式法1.定义：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种变形叫做提公因式法。
2.步骤：（1）确定公因式，（2）提公因式并确定另一个因式，原多项式除以公因式所得商就是另一个因式。
3.常用的恒等变形：223344();()();()();()()......y x x y y x x y y x x y y x x y -=---=--=---=-（二）运用公式法1.定义：如果把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2.因式分解公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-3. 2()()()x a b x ab x a x b +++=++三、因式分解的一般步骤：可以概括为“一提，二套，三分组，四检查”：“一提”：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式。
“二套”：如果多项式的各项没有公因式，那么可尝试套用公式法分解。
“三分组”：对于四项以上的多项式（在没有公因式后），应考虑用分组分解法。
“四检查”：检查每个因式是否还能继续分解因式，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
北师大版八年级下册 因式分解、分式与分式方程 知识点
因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．()m a b c ma mb mc ++++ 整式的乘积因式分解m 22()()a b a b a b -=+-最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．八、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．九、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；②解整式方程，得到具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．十、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义． x。
因式分解知识点归纳总结
因式分解知识点归纳总结因式分解是数学中的一个重要知识点，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。
因式分解是将一个多项式表示为乘积的形式，使得每个乘积因子都是原多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以更好地理解多项式的结构、性质和特点。
一、基本概念和思想1.多项式：由变量和常数的乘积相加或相减而成的代数表达式。
2.因式：在乘积中的每个项。
3.因式分解：将一个多项式表示为乘积的形式。
4.公因式提取：在多个项中提取出一个公共的因子，然后将其提取出来。
5.公式：将其中一种特殊形式的多项式因式分解的方法。
二、因式分解的基本方法1.提取公因子：在多个项中提取出一个公共的因子。
2.完全平方公式：将二次多项式表示为完全平方的形式。
3.平方差公式：将二次多项式表示为一个平方差的形式。
4.组合因式法：将多项式按照特定的方式分组，然后进行因式分解。
5.因式定理：根据多项式的特征和性质，通过试探法找到一个因式，然后进行因式分解。
6.代换法：通过适当的代换，将多项式转化为一个更易于因式分解的形式。
三、因式分解的应用1.简化运算：可以通过因式分解将复杂的数学计算简化为更简单的形式，提高计算的速度和效率。
2.解方程：通过因式分解将方程转化为一个乘积的形式，可以更方便地求解方程的解。
3.获得更多信息：因式分解可以给出多项式的根的信息，从而帮助我们更好地理解多项式的特点和性质。
4.拓展推广：通过因式分解的方法，可以推广到更高次数的多项式，进行更深入的数学研究和应用。
四、因式分解的注意事项1.因式分解的结果应尽可能简化，即将多项式表示为最简形式的乘积。
2.对于不同类型的多项式，有不同的因式分解方法，需要根据具体情况选择合适的方法。
3.因式分解中的变量可以是实数、复数或其他数学对象，需要根据具体情况进行分析和处理。
4.在进行因式分解时，需要注意运算规则和性质，避免出现错误。
总结起来，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结
因式分解一、 什么是因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。
如例1、下列各式中，哪些是因式分解？（1）22)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3-+=-x x x x x （3）)11(1aa a +=+ （4）1))((122+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392-=-x x x x 二、提公因式法（一）公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。
对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数取其次数最低的。
注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。
（2）在因式分解时，经常应用下列关系：)(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=-偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-例2、指出下列各式的公因式（1）mx 2-，mx 3（2）xyz 12，z y x 329-，226z x （3）2)(3y x +，3)(6-y x +，)(9y x + （4）2)(n m -，2)(3m n - （5）2278xy ，yz 94（二）提公因式法如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
例3、把下列各式因式分解（1）)1()1(-+-x b x a =（2）m m m 24164-23-+=（3）32)(6)(3x y y x ---=（4）22)(6)(2m n m n m ---= （5）)2()2(m b m a ---=三、公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
2020年八年级数学下册解法技巧：常见因式分解的类型(北师大原卷)
八下数学思维解法技巧培优小专题专题7 常见因式分解的类型题型一 只提不套型【典例1】因式分解：（1）x n x m 221624--=_____________________；（2）ab b a ab +-223=_____________________；（3）bc a c b a c b a 32423575-+=_____________________；（4）()()b c n c b m ---23=____________________.【点拨】先提公因式，然后整理化简【典例2】因式分解：（1）()()a x a x -+-112; （2）()()m n m n m m ---2282. 【点拨】先提公因式，然后整理化简题型二 只套不提型【典例3】因式分解：（1）2169x +-=_____________________；（2）2242025y xy x +-=_____________________；（3）()()3612y 2++-+y x x =_____________________； （4）()()2244c b c b a a ++++=____________________. 【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式【典例4】因式分解：（1）4416y x -;（2）()22241a a -+;（3）()()9666222+---x x ;（4）()()2221---x x x . 【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式题型三 先提后套型【典例5】因式分解：（1）ax ax 93-;（2）x y x y x 32162223+-;（3）()()2232321n m n m +--; （4）()()()x y y x y x x -----227218232.【点拨】先提公因式,然后运用平方差公式或完全平方公式法分解 题型四 先套后提型【典例6】因式分解：（1）()()221692n m n m +--; （2）()()2232232x y x x y x +-+-. 【点拨】先套用平方差公式或者完全平方公式,然后再提公因式整理化简 题型五 先破后立型【典例7】因式分解：（1）()()ab b a b a +--4;（2）()16322-+-m m m ;（3）()2342+--a a ; （4）()()xy y x x y x ++--72822.【点拨】先按整式乘法运算化简,然后再进行因式分解 题型六 运用分组分解法因式分解【典例8】因式分解：（1）9222-+-y xy x ;（2）y y x 41422+--;（3）3223y xy y x x --+;（4）842222+--y y x y x ;（5）b a b ab a 424422+-+-;（6）mn n m 692522++-.【点拨】先分组使之提公因式或能运用公式法分解 题型七 运用十字相乘法因式分解【典例9】因式分解：（1）652++x x =_____________________；（2）1582+-x x =_____________________；（3）1872--x x =_____________________；（4）322--x x =_____________________；（5）12532-+x x =_____________________；（6）221312y xy x -+=____________________.【点拨】运用十字相乘法分解因式【典例10】因式分解：（1）m ma ma 91232-+-;（2）4324-+a a .【点拨】运用十字相乘法分解因式巩固练习1．（2019•浦东新区期末）分解因式：（p﹣4）（p+1）+6．2．（2019•连山区期末）因式分解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）3．（2019•文水县期末）因式分解：（1）2a2﹣8b2（2）1+（x﹣1）（x﹣3）4．（2019•闵行区期末）分解因式：6k2+9km﹣6mn﹣4kn．5．（2019•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．6．（2019•东台市期末）（1）解方程：3x2﹣12＝0（2）在实数范围内分解因式：3a2﹣157．（2019•嘉祥县期末）因式分解（1）（x﹣y）3﹣4（x﹣y）（2）﹣2x3+12x2﹣18x8．（2019•镇原县期末）分解因式：（1）5x2+10x+5（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）9．（2019•大冶市期末）分解因式：（1）x2y﹣4y；（2）（a+2）（a﹣2）+3a．10．（2019•满城区期末）分解因式：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）﹣mx2+12mx﹣36m．11．（2019•德惠市期末）因式分解：5x2﹣10x+5 12．（2019•新华区校级自主招生）分解因式①2x2﹣x﹣6②x 3﹣3x +213．（2019•西城区校级期中）分解因式：（1）2ax 2﹣18ay 2（2）3x 2﹣12x +1214．（2019•咸丰县期末）将下列各式分解因式：（1）（p ﹣4）（p +1）+3p ；（2）4xy 2﹣4x 2y ﹣y 315．（2019•侯马市期末）对下列代数式分解因式：（1）n 2（m ﹣2）﹣n （2﹣m ）；（2）（x ﹣1）（x ﹣3）+1．16．（2019•和平区校级月考）把下列各式分解因式：（1）2x 2﹣5x ﹣3（2）12a 2（x ﹣2a ）2−14a （2a ﹣x ）3 （3）（x 2﹣3）2﹣4x 2（4）a 2﹣2a +b 2﹣2b +2ab +1（5）（x ﹣y ）（x 2+3xy +y 2）﹣5xy （x ﹣y ）（6）（a ﹣3b ）2﹣4c 2+12ab17．（2019•浦东新区校级期中）因式分解：（1）x 2+3（x +y ）+3﹣y 2+（x ﹣y ）（2）x 2﹣4y 2+4x +4（3）（x 2+3x +2）（x 2+7x +12）+1（4）（2a +5）（a 2﹣9）（2a ﹣7）﹣91（5）x 3﹣3x 2+4（6）24x 3﹣26x 2+9x ﹣1。
专题2-5 用因式分解法求解一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.5 用因式分解法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】【题型1 因式分解法概念的应用】【例1】（2020秋•福州期中）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q ＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．【变式1-1】（2020•晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（）A．（x+3）（x﹣5）B．（x﹣3）（x+5）C．2（x+3）（x﹣5）D．2（x﹣3）（x+5）【分析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）＝2（x+3）（x﹣5），故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键．【变式1-2】（2020秋•晋江市期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（）A．n＝0且n是该方程的根B．n＝m且n是该方程的根C．n＝m但n不是该方程的根D．n＝0但n不是该方程的根【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论．【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，∴x1＝m，x2＝n，∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n，∵x1＝x2＝m，∴n＝m且n是该方程的根，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-3】（2020秋•浉河区校级月考）我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）来分解因式解一元二次方程．如：x2+6x+8＝0，方程分解为：＝0，x2﹣7x﹣30＝0，方程分解为：＝0爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：3x2﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对4x2﹣8x﹣5＝0进行因式分解，可求得答案．【解答】解：∵x2+6x+8＝（x+2）（x+4），x2﹣7x﹣30＝（x﹣10）（x+3），∴x2+6x+8＝0可分解为（x+2）（x+4）＝0，x2﹣7x﹣30＝0可分解为（x﹣10）（x+3）＝0，故答案为：（x+2）（x+4）；（x﹣10）（x+3）；∵4x2﹣8x﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），∴4x2﹣8x﹣5＝0可分解为（2x﹣5）（2x+1）＝0，∴2x﹣5＝0或2x+1＝0，∴x=52或x=−12．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关键．【题型2 用提公因式法解一元二次方程】【例2】（2020秋•揭西县月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，∴（5x+4）（x﹣1）＝0，则5x+4＝0或x﹣1＝0，则x1=−45，x2=1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式2-1】（2020秋•洪洞县期中）用分解因式解方程：（x+1）2＝2x+2（因式分解法）；【分析】利用因式分解法求解即可；【解答】解：∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，则x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1；【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式2-2】（2020秋•建平县期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2【分析】先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2=1 2；【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．【变式2-3】（2020秋•牡丹江期中）解用分解因式解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】利用因式分解法求解即可；【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0∴x1＝3，x2＝9【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【题型3 用乘法公式解一元二次方程】【例3】（2020秋•灵石县期末）解用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．【分析】根据平方差公式可以解答此方程．【解答】解：4x2﹣（x﹣1）2＝0（2x﹣x+1）（2x+x﹣1）＝0（x+1）（3x﹣1）＝0∴x+1＝0，或3x﹣1＝0，解得，x1=−1，x2=1 3．【点评】本题考查解二元一次方程，解题的关键是明确解二元一次方程的方法．【变式3-1】（2020秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=−2 3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．【变式3-2】（2020秋•呼和浩特期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，∴3x+2＝0或x﹣4＝0，∴x1=−23，x2＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•台安县期中）解用分解因式解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1=43，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【题型4 用十字相乘法解一元二次方程】【例4】（2020秋•郫都区期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；【解答】解：x2﹣10x+16＝0，因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，所以，x1＝2，x2＝8；【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解．【变式4-1】（2020秋•路北区期中）用因式分解法解方程：2x2+1＝3x【分析】先移项，然后利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解．【解答】解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，解得x1=12，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式4-2】（2020春•河口区校级期中）用因式分解法解方程：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4．【分析】直接利用十字相乘法解方程得出答案．【解答】解：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4，（2y﹣1）2+3（2y﹣1）﹣4＝0，（2y﹣1+4）（2y﹣1﹣1）＝0，解得：y1=−32，y2＝1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．【变式4-3】（2020秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2−√3x+√2x−√6=0【分析】利用因式分解法把方程化为x−√3=0或x+√2=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（x−√3）（x+√2）＝0，x−√3=0或x+√2=0，所以x1=√3，x2=−√2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【题型5 因式分解法解一元二次方程的应用】【例5】（2020秋•定陶区期末）已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（）A．9B．12C．12或9D．不能确定【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角形的周长即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0可得x＝2或x＝5，∴等腰三角形的两边长为2或5，当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为12；当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2，2+2＜5，不满足三角形三边关系；∴等腰三角形的周长为12，故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关键．【变式5-1】（2021•金乡县一模）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（）A．3B．4C．6D．2.5【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．【解答】解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，则直角三角形两直角边分别为3、4，所以斜边=√32+42=5，所以该直角三角形斜边上的中线长=5 2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．【变式5-2】（2020秋•枣庄期中）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝．【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，∴OA＝OB，∵B点表示的数是x，∴A点表示的数是﹣x．∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），解得：x1＝0，x2＝6．∵B异于原点，∴x≠0，∴x＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键．【变式5-3】（2021•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长＝2×√52−42=6，∴菱形的面积=12×6×8＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．【题型6 新定义问题】【例6】（2020秋•汾阳市期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0与x2＝25B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5，∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x 2﹣7x ＝0与x 2+x ﹣6＝0不是相似方程；D 、方程（x +2）（x +8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x 2﹣5x +4＝0的实数根是1或4，∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x +2）（x +8）＝0与x 2﹣5x +4＝0为相似方程；故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关键．【变式6-1】（2021•南沙区一模）对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时，n 2+m +n ，当m ＜n 时，若x ⊗（﹣2）＝10，则实数x 等于（ ） A ．3 B ．﹣4 C ．8 D ．3或8【分析】根据定义，分x ≥﹣2和x ＜﹣2两种情况进行解方程，得出x 的值．【解答】解：当x ≥﹣2时，x 2+x ﹣2＝10，解得：x 1＝3，x 2＝﹣4（不合题意，舍去）；当x ＜﹣2时，（﹣2）2+x ﹣2＝10，解得：x ＝8（不合题意，舍去）；∴x ＝3．故选：A ．【点评】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分x ≥﹣2和x ＜﹣2两种情况进行解方程是解题的关键．【变式6-2】对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b ＝（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m +2）◎（m ﹣3）＝24，则m ＝ ．【分析】利用新定义得到[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24，整理得到（2m ﹣1）2﹣49＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：根据题意得[（m +2）+（m ﹣3）]2﹣[（m +2）﹣（m ﹣3）]2＝24，（2m ﹣1）2﹣49＝0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）＝0，2m ﹣1+7＝0或2m ﹣1﹣7＝0，所以m 1＝﹣3，m 2＝4．故答案为﹣3或4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式6-3】（2020秋•新会区期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b 时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是．【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．【解答】解：x≥﹣x，即x≥0时，x＝x2﹣6，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去）；x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣6，x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2（舍去）．故方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是x＝3或﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．。
八年级数学下册分解因式知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版第二章分解因式一、分解因式1把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把那个多项式分解因式2因式分解与整式乘法是互逆关系因式分解与整式乘法的区别和联系:整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘二、提公共因式法一、若是一个多项式的各项含有公因式,那么就能够够把那个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种分解因式的方式叫做提公因式法如:二、概念内涵:因式分解的最后结果应当是"积";公因式可能是单项式,也可能是多项式;提公因式法的理论依据是乘法对加法的分派律,即:3、易错点点评:注意项的符号与幂指数是不是弄错;公因式是不是提"干净";多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉三、运用公式法1若是把乘法公式反过来,就能够够用来把某些多项式分解因式这种分解因式的方式叫做运用公式法2要紧公式:平方差公式:完全平方公式:3易错点点评:因式分解要分解到底如就没有分解到底4、运用公式法:平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项都是一个单项式的平方;③二项是异号完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍、因式分解的思路与解题步骤:先看各项有无公因式,假设有,那么先提取公因式;再看可否利用公式法;用分组分解法,即通过度组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;因式分解的最后结果必需是几个整式的乘积,不然不是因式分解;因式分解的结果必需进行到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止四、分组分解法:一、分组分解法:利用分组来分解因式的方式叫做分组分解法如:二、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过度组后是不是有公因式可提,而且可继续分解,分组后是不是可利用公式法继续分解因式3、注意:分组时要注意符号的转变五、十字相乘法:一、关于二次三项式,将a和别离分解成两个因数的乘积,,,且知足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解如:二、二次三项式的分解:3、规律内涵:明白得:把分解因式时,若是常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同若是常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,关于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p4、易错点点评:十字相乘法在对系数分解时易犯错;分解的结果与原式不等,这时通常采纳多项式乘法还原后查验分解的是不是正确。
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因式分解
4.1 因式分解
PPT ---8页
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a ＝ a (a ＋1)(a －1)，
am ＋bm ＋cm ＝m(a ＋b ＋c)，x²＋2x ＋l ＝(x ＋1)²都是因式分解。
因式分解也可称为分解因式.
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A ．a²＋1＝a(a ＋ 1
a )
B ．(x ＋1)(x －1)＝x²－1
C ．a²＋a －5＝(a －2)(a ＋3)＋1
D ．x²y ＋xy²＝xy(x ＋y)
2、整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解：一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式
整式乘积．
即：几个整式相乘 一个多项式
因式分解整式乘法垐垐垎噲垐垐整式乘法因式分解垐垐垎噲垐垐
4.2.1 公因式----PPT
1、公因式的定义：（3页）
一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
2、怎样确定多项式各项的公因式？（6页）
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
习题：指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a²y－3ya＋6y；(2) 4
9
xy³－
8
27x³y²；
(3)a(x－y)³＋b(x－y)²＋(x－y)³；
(4)－27a²b³＋36a³b²＋9a²b.
3、找准公因式要“五看”，即：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，
不要拆开；
五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．(4)－24x³＋12x²－28x＝－( 24x³－12x²＋28x)
＝－(4x·6x²－4x·3x＋4x·7)＝－4x(6x²－3x＋7).
4.2.2 提公因式法----PPT
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，
使等式成立：(1) 2－a＝_____(a－2)；(2) y－x＝_____(x－y )；
(3)b＋a＝_____(a＋b)；(4)(b－a)²＝____(a－b)²；
(5 ) －m－n＝____(m＋n); (6)－s²＋t²＝___(s²－t²).
1、添括号法则：
(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不变.
(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
练习1、把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个因式是() A．a－b B．a＋b
C．x＋y D．x－y
2、总结：根据x－y与y－x互为相反数，将y－x化成－(x－y)，从而使原式出现公因式，体现了数学上的转化思想的运用．
3、提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)³，(b－a)² 等形式的问题，可化成－(a－b)³，(a－b)²的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．
4、知识小结
（1）公因式：各项都有的公共因式
（2）确定公因式：定系数→定字母→定指数
（3）步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式
→确定另外一个因式(找公因式→提公因式)
4.3.1 平方差公式---ppt
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、用平方差公式分解因式
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a²－b² 整式乘法
a²－b²= (a+b)(a－b) 因式分解
这种分解因式的方法称为公式法.
3、
4、利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
（1）找出公式中的a、b;
（2）转化成a²－b²的形式；
（3）根据公式a²－b²＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
5、应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．
4.3.3 完全平方公式1、
2、
3、
4、完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，
中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
5、在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意中间项的符号有“＋”“－”两种
情形，否则容易产生漏解．
6、用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看：都是有3项
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从符号看：带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）
7、因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
8、完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即：a²±2ab＋b²＝(a±b)².。