高考数列专项大题与答案

高考数列专项大题与答

案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考数列大题专项

1.（北京卷）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且

11

为偶数21

为奇数

4n

n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩, 记

211

4n n b a -=-

，n ＝＝l ，

2，3，…·．

（I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()

n n b b b b →∞

+++

+．

2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，

11

3n n

a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n

a a a a +++

+的值.

3．（福建卷）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.

（Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）设{

n

b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的

大小，并说明理由.

4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如

当a =1时，得到无穷数列：.

0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a

（Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；

（Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)

(11

+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }；

（Ⅲ）若)4(223

≥<

5. （湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n

n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和T n .

6. （湖南卷）已知数列

))}1({log *

2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明.

111112312<-++-+-+n

n a a a a a a

7. （江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+,

,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值;

(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;

(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立

.

8. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项

21

1=

a ，前n 项和为n S ，且

0)12(21020103010=++-S S S 。 （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n

T 。

9. (全国卷Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和

)

,2,1( 0 =>n S n 。

（Ⅰ）求q 的取值范围；

（Ⅱ）设1

223

++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。

10. (全国卷II) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又

21

n

n b a =

，1,2,3,n =．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于7

24，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

答案

1.（北京卷）解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21

a +81；

（II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21

a 4=41a +316,

所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41

), 猜想：{b n }是公比为21

的等比数列·

证明如下： 因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21

b n , (n ∈N *)

所以{b n }是首项为a －41, 公比为21

的等比数列·

（III ）

11121

(1)12lim()lim

2()1141122n

n n n b b b b b a →∞

→∞

-

++

+===---.

2.（北京卷）解：（I ）由a 1=1，

113n n

a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116

()3327a S a a a ==++=

，

由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14

3n n

a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n