1.解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高

1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为( ) A.10

13 B.15

13 C.6013 D.7513

2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长为________．

◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝7cm ，c ＝5cm ，则Rt△ABC 的面积是( ) A ．6cm 2 B ．9cm 2 C ．12cm 2 D ．15cm 2

4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，P 是BC 边上除B ，C 点外的任意一点，则代数式AP 2＋PB ·PC 等于(提示：过点A 作AD ⊥BC )( )

A ．25

B ．15

C ．20

D ．30

◆类型三 巧妙割补求面积

5．如图所示是一块地，已知AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，AB ＝26米，BC ＝24米，求这块地的面积．【方法5②】

6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．

◆类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积

7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝( )

A ．25

B ．31

C ．32

D ．40

8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )

A．9 B．36 C．27 D．34

9．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．

10．★五个正方形按如图放置在直线l 上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．

参考答案与解析

1．C 2.2.4

3．A 解析：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2

＝c 2.∵a ＋b ＝7cm ，∴(a ＋b )2＝49，∴2ab ＝49－(a 2＋b 2)＝49－c 2＝24，∴1

2ab ＝6，故面

积为6cm 2.

4．A 解析：首先过点A 作AD ⊥BC 于D ，可得∠ADP ＝∠ADB ＝90°.由AB ＝AC ，根据三线合一的性质，可得BD ＝CD .由勾股定理可得AP 2＝PD 2＋AD 2，AD 2＋BD 2＝AB 2.则AP 2＋PB ·PC ＝AP 2＋(BD ＋PD )(BD －PD )＝AP 2＋BD 2－PD 2＝AP 2－PD 2＋BD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝25.

5．解：连接AC .∵AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，即AC ＝10米．在△ABC 中，∵AC 2＋BC 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴S ＝S △ABC －S △ACD ＝

12

AC ·BC －12

AD ·CD ＝12

×10×24－12

×8×6

＝96(平方米)．

6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝169，∴AC ＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD ，即△ACD 是等腰三角形．∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝1

2×10＝5.在Rt△ACE 中，由

勾股定理得CE 2＝AC 2－AE 2，解得CE ＝

12.∴S

四边形

ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝1

2

AB ·BC ＋12AD ·CE ＝1

2×(12×5＋10×12)＝90. 7．B 解析：由题意得AB 2＝S 1＋S 2＝13，AC 2＝S 3＋S 4＝18，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝31，∴S ＝BC 2＝31.

8．B 解析：大正方形的面积为32＋62

＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.

9．12 解析：∵图中的八个直角三角形全等，∴设每个三角形的面积为S ，则S 1－S 2＝4S ，S 2－S 3＝4S ，∴S 1－S 2＝S 2－S 3，∴S 1＋S 3＝2S 2.由题意得S 2＝22＝4，∴S 1＋S 3＝8，∴S 1＋S 2＋S 3＝4＋8＝12.

10．1 解析：如图所示：

由正方形的性质得AC ＝CE ，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC 和△CDE 中，∠1＝∠3，∠ABC ＝∠CDE ，AC ＝CE ，∴△ABC ≌△CDE (AAS)．∴AB ＝CD .同理可得△FGH ≌△HMN .∴FG 2＝HM 2＝NH 2－MN 2＝5－2＝3.∴DE 2＝FG 2＝3.∴CD 2＝CE 2－DE 2＝4－3＝1.∴AB 2＝1.∴S 5＝AB 2＝1.