第八章 曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分

8.2对坐标的曲线积分

07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A )

(,)T

f x y dx ⎰

. (B)

(,)T

f x y dy ⎰

.

(C)

(,)T

f x y ds ⎰

. (D)

(,)(,)x y T

f x y dx f x y dy ''+⎰

.

04.1) 设L 为正向圆周22

2

=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分

⎰-L

ydx xdy 2的值为

π2

3

.（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 09.1)

已知曲线2

:(0L y x x =≤≤

，则L

xds ⎰=

136

10.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分

2L

xydx x dy +=⎰

0 （直接算或格林）

01.1)计算222222()(2)(3)L

I y z dx z x dy x y dz =

-+-+-⎰

，其中L 是平面2x y z ++=与

柱面|x |+|y |=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影。由斯托克斯公式得

(24)(26)(26)S

I y z dydz z x dzdx x y dxdy

=--+--+--

⎰⎰(423)S

x y z dS =++⎰⎰2(6)D

x y dxdy =--+⎰⎰12D

dxdy =-⎰⎰=-24

08.1)计算曲线积分

2sin 22(1)L

xdx x ydy +-⎰

，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点

(,0)π的一段.（路径表达式直接代入）

8.3格林公式

02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2

2211()()1L

x I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=

++-⎣⎦⎣⎦⎰

（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值.

03.1) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1)

dx ye dy xe dx ye dy xe

x L

y x L

y

sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x L

y

【详解】 方法一： (1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰

--0sin 0

sin π

π

ππ=⎰-+π

π0

sin sin )(dx e e x x ，

右边=⎰

⎰--π

π

ππ0

sin sin dx e

dy e

x

y

=⎰-+π

π0

sin sin )(dx e e x x ，

所以

dx ye dy xe dx ye dy xe

x L

y x L y

sin sin sin sin -=-⎰⎰--.

(2) 由于2sin sin ≥+-x x

e e

，故由（1）得

.2)(20

sin sin sin sin πππ

≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye

dy xe

x x x

L

y

方法二：

（1） 根据格林公式，得

⎰⎰⎰--+=-D

x y x L

y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---D

x y x L

y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+D

x y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-D

x

y dxdy e e )(sin sin ， 故

dx ye dy xe dx ye dy xe

x L

y x L

y

sin sin sin sin -=-⎰⎰--.

(2) 由(1)知

⎰⎰⎰--+=-D

x y x L

y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e D

D

x y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e D

D

x

x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =

.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e

D

D

x x

05.1)设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分

⎰

++L

y x xydy

dx y 4

222)(ϕ的值恒为同一常数.

（I ）证明：对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有

022)(4

2

=++⎰

C

y

x xydy

dx y ϕ；

（II ）求函数)(y ϕ的表达式.

【详解】 （I ）

Y