高中数学竞赛试题汇总

高中数学竞赛模拟试题一

一 试

（考试时间：80分钟 满分100分）

一、填空题（共8小题，5678=⨯分）

1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点

(,)x y 与原点的距离是

。

2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

()22212312314f =++=。

记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f

。

3、如图，正方体1

111D C B A ABCD -中，二面角

1

1A BD A --的度数

是 。

4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

5、若正数

c

b a ,,满足

b

a c

c a b c b a +-

+=+，则

c

a b +的最大值

是 。

6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。

7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则

∑=n

i i

a 01的值是 。

8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x

x x

x x

x x

++++=+++++++在(,)2

x o π∈时的最小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++）

9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )

求证：对于任何正整数n ，都有：n n

n n a a 111+≥+

10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、

C 、

D 4

个点，O 为坐标原点。

（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；

（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的3

1，求证：||||||CD BC AB ==

11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f

1

22

+-x t

x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -=

（Ⅱ）证明：对于)2

,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，

则64

3

)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .

二 试

（考试时间：150分钟 总分：200分）

一、（本题50分）如图，

1O 和2

O 与ABC 的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、

FH 的延长线交于P 点。

求证：直线PA 与BC 垂直。

E F

A

B C G

H P

O 1。

。

O 2

二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足1≥xyz 。证明：

02

252

52252522525≥++-+++-+++-y

x z z z x z y y y z y x x x

三、（本题50分）对每个正整数

n

，定义函数

0()[{}n f n n n ⎧⎪=⎨⎪⎩

（当为平方数）（当不为平方数）

（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，])[}{x x x -=。试求：∑=240

1

)(k k f 的

值。

四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察

1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场

比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？

答案与解析

一、填空题 1、4

53

。y x 42+≥2222x y +=33

,24

x y ==时取最小值,

此时

22

x y +3

5。

2、4。 解： 将5)2010(=f 记做52010→，于是有

89583716420421458985292552010→→→→→→→→→→→→→

从89开始，n f 是周期为8的周期数列。故

4)89()89()89()2010(58250520052010====⨯+f f f f 。

3、60。 解：连结1D C ,作⊥1CE BD ，垂足为E ，延长CE 交1A B 于F ，则1FE BD ⊥，连结AE ，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角

11A BD A --的平面角。

连结AC ，设1AB =，则112, 3.

AC AD BD ==

=

1Rt ABD ∆在中，112

3

AB AD AE BD ⋅==

，

在2

2

2

2

2

24

2

213cos 42223

AE CE AC AE AC AEC AEC AE CE AE -+--∆∠====-

⋅中, 0120,AEC FEA AEC ∴∠=∠∠而是的补角，060FEA ∴∠=。

4、

4018

3

。 解：三个数成递增等差数列，设为

d a d a a 2,,++，

按题意必须满足,20102≤+d a

1004≤d 。

对于给定的,d a 可以取

1,2,

,20102d -.

C

E

D1

C1

A1

B1

A

B

D

F