苏教版数学单元测试(三)——立体几何初步(一)
苏教版数学高一【必修三】第一章《立体几何初步》综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．答案：12．下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．答案：③3．(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分．其中正确的个数是________．解析：(1)与(4)正确．对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形．答案：24．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，∴①正确，②错误；棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．答案：①③④⑤5．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ②SD ⊥平面EFG③GF ⊥平面SEF ④GD ⊥平面SEF解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG .答案：①6．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．解析：设正方体棱长为b ，则3b ＝2R ，S 球＝4πR 2＝4π·(32b )2＝3πb 2， 又a 2＝6b 2，∴S 球＝π2a 2. 答案：π2a 2 7．(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4. 答案：48．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．解析：由P －ABC 为正三棱锥知，PB ⊥AC ，又由DE ∥AC 得，AC ∥平面PDE .答案：①②9．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S 4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4S π. 答案：S 4S π10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去三棱锥B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的12，两者的高一样，V ＝13×12V 长＝16V 长．答案：1611．(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：412．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C的棱长为2a ，S 正四面体＝4·34(2a )2＝23a 2， 所以S 四面体S 正方体＝236＝33 . 答案：3313．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵是正三棱柱，∴CO ⊥AB ，AC 1＝BC 1.∴CO ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3. 下面用等体积法求距离．VC 1－ABC ＝VC －ABC 1，∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，如图，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B 1D ， ∴R 球＝12＋12＋(2)22＝1. 设B 1D 的中点为M ，则M 为球的球心，故△ABM 为边长为1的正三角形，∴∠AMB ＝π3， ∴A ，B 两点间的球面距离为π3. 答案：π3二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm ，底面边长为4 cm 的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积．解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示．此正四棱锥的表面积为S 表＝4×34×42＋42＝16(3＋1)(cm 2)．16．(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连结BM 、AC ，设AC ∩BD ＝O ，连结MO .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴MO ∥PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴PA ∥平面BDM .又∵平面BDM ∩平面PAG ＝GH ，PA ⊂平面PAG ，∴PA ∥GH .17．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且二面角P －CD －B 为45°.求证：(1)AF ∥平面PEC ；(2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)如图，取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，因为F 是PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，而AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以EA ∥GF ，且EA ＝GF ，故四边形EGFA 是平行四边形，从而EG ∥AF ，又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，所以AF ∥平面PEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD ，则∠PDA 就是二面角P －CD －B 的平面角，所以∠PDA ＝45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD ，由(1)知，EG ∥AF ，所以EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .18．(本小题满分16分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360πl 2＝3π， ∴l ＝3.又∵2π3×3＝2πr ，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝2 2.∴S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求圆锥的体积．解：(1)证明：∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，∴OH∥QB，QB⊂平面SBQ，OH⊄平面SBQ，∴OH∥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.在Rt△ABQ中，AB＝BQsin 60°＝2332＝4.∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴圆锥的高SO＝12AB＝2.∴V圆锥＝13π(AB2)2·SO＝13π·4·2＝83π.20．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1.(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求三棱锥P－ABC的体积．解：(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)证明：因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·PD＝16.。
苏教版必修二第一章《立体几何初步》word单元测试1
高一数学必修②第一章立体几何初步（练习9）班级姓名成绩一、选择题：1．下列说法正确的是()A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④8．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的 面积中，最大的是（ ）A ．8 B． C ．10 D．10. 一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是（ ）A. ①②B.②③C.③④D.①④11．对如图所示的几何体正确的说法是()A ．如果把(1)作为主视图，则(2)、(3)分别是俯视图和左视图① 正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B．如果把(2)作为主视图，则(1)、(4)分别是俯视图和左视图C．如果把(3)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图D．如果把(4)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图二、填空题12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．13．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．三、解答题14．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．15．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．16．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？。
高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试 获奖作品
章末过关检测卷(一)第1章立体几何初步(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·四川卷)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是(D)A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台2．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线．其中正确的个数为(D) A．3个B．2个C．1个D．0个3．如右图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(D)A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．4．(2023·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(B)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若mA项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，n∥x，但m与n是相交直线，故A错；B项中，m⊥x，n⊂x，∴m⊥n.这是线面垂直的性质，故B正确；C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥x，m⊥n，但n⊂x，故C错；D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，m⊥n，但n∥x，故D错．5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(B)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：取A 1B 1的中点Q ，连接GQ 、HQ .即∠HGQ 即为异面直线EF 与GH 所成的角，易求得∠HGQ ＝60°.6．在所有棱长都相等的四面体PABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是(C )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm ，4 cm ，3 cm ，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是(B )cm B ．5 5 cm C ．7 2 cm D ．10 2 cm8．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝，∠ABC ＝120°，若绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D )π π π π解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πr 2(1＋－1)＝32π.9．(2023·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(B )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.10．(2023·辽宁卷)已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为(C )B ．210 D ．310解析：由球心O 作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M .∵AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，∴AM ＝12BC ＝52.连接OA ，则OA ＝AM 2＋OM 2＝254＋36＝132，即已求O 的半径为132，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．(2023·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥OABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π12．(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长，根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC ，由三视图的形状特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2213．(2023·湖北卷)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆来接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九尺，则平地降水量是________寸．(注：①平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 解析：作出圆台的轴截面如下图所示，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是中点，所以GE 为梯形的中位线．所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．答案：314．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角ABDC ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角为60°.其中真命题的序号是________．解析：如下图所示，命题①：取BD 中点E ，连接AE ，CE 有BD ⊥AE ，BD ⊥CE，所以BD⊥面ACE，所以BD⊥AC.命题②：设正方形的边长为a，所以AE＝EC＝22a，因为△AEC为直角三角形，所以AC＝a，所以△ACD为等边三角形．命题③：面ABD⊥面BCD，所以AE⊥面BCD，所以∠ABE即为AB与面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故该命题错误．命题④：取AD中点F，AC中点G，连接EF，FG，CE，∠EFG即为AB与CD所成角，易得△EFG为等边三角形，故∠EFG为60°.答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)(2023·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．分析：(1)找出平面AEC内的直线并证明线线平行；(2)利用体积求出线段的长，再作直线与平面垂直，并加以证明、求解．(1)证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO.因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC.(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB于点H.由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH.故AH ⊥平面PBC.在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.16．(本小题满分12分)(2023·安徽卷)如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥PBCE 的体积．解析：(1)证明：如图，连接BD ，AC 交于点O. ∵PB ＝PD ， ∴PO ⊥BD.又∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC.而AC ∩PO ＝O ，∴BD ⊥面PAC.∴BD ⊥PC.(2)由(1)知BD ⊥面PAC.由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3. ∴S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.∴VPBCE ＝VBPEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.17．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝45°，O 在AB 上，且OB ＝OC ＝23AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA ＝AO ＝12PO ＝13AB.(1)求证：PB ∥平面COD ； (2)求证：PD ⊥平面COD.证明：(1)∵PO ⊥平面ABC ，AD ∥PO ， ∴DA ⊥AB ，PO ⊥AB.又DA＝AO＝12PO，∴∠AOD＝45°.又OB＝OC＝23AB，AO＝13AB，∴OB＝OP.∴∠OBP＝45°.∴OD∥PB.又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD.∴PB∥平面COD.(2)依题意可设OA＝a，则PO＝OB＝OC＝2a，DA＝a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC.从而PD＝DO＝2a，在△PDO中，∵PD＝DO＝2a，PO＝2a，∴△PDO为直角三角形．故PD⊥DO.又∵OC＝OB＝2a，∠ABC＝45°，∴CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC.又∵AB∩PO＝O，∴CO⊥平面PAB.故CO⊥PD.∵CO与DO相交于点O，∴PD ⊥平面COD.18．(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解析：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ，则120360πl2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1；S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分14分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m )．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解析：(1)几何体的直观图如下图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．20．(本小题满分14分)(2023·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF中点E、F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．分析：(1)由线面垂直的判定定理直接求证；(2)先计算PD，CF的长，进而求得FG，从而三角形EDC的面积可求出，代入体积公式即得答案．(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面DMF.(2)解析：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12. 过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34， 所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334， 所以MD ＝ME2－DE2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V △M CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
【数学】《立体几何初步》过关检测1(苏教版必修2)
新课标苏教版高中数学必修2第一章《立体几何初步》过关测试卷( 时间 120分钟 总分 150分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题5分，共60分）1、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为A 0B 1C 2D 32、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是A 1∶7B 2∶7C 7∶19D 5∶ 163、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是A 28cm π B 212cm π C 216cm π D220cm π4、已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线A 只有一条，不在平面α内B 只有一条，在平面α内C 有两条，不一定都在平面α内D 有无数条，不一定都在平面α内5、下列四个命题正确的是A 两两相交的三条直线必在同一平面内B 若四点不共面，则其中任意三点都不共线C 在空间中，四边相等的四边形是菱形D 在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形6、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为A 1:2:3B 2：3：4C 3:2:4D 3:1:27、某玻璃制品公司需要生产棱长均为3cm 的玻璃三棱柱一批。
请问每个三棱柱需要用玻璃多少cm 3 ？A272 B 274 C2732D 34278、下列说法中正确的是A 经过两条平行直线,有且只有一个平面直线B 如果两条直线同平行于同一个平面,那么这两条直线平行C 三点唯一确定一个平面D 不在同一平面内的两条直线相互垂直,则这两个平面也相互垂直 9、把两半径为2的铁球熔化成一个球，则这个大球的半径应为A 4B 22C 322 D3410、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是A βα//n ,//m ,n m ⊥ Bαβα⊆=⊥n ,m ,n mC αβ⊆⊥m n n m ,,//D βα⊥⊥n m n m ,,//11、线a 、b 和平面α，下面推论错误的是 A.b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb a B αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a a C ααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或 Db //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα 12、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则 ②若，，，则③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 A ①和② B ②和③ C ③和④ D①和④二、填空题（每小题4分，共16分）13、已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为1111MO ABCDADBC_______________.14、用一张圆弧长等于12π分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于 ______________立方分米.15、设P 是ABC ∆外一点，则使点P 在此三角形所在平面内的射影是ABC ∆的垂心的条件为________________________(填一种即可).16、已知直线b a ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题：① b a a =βαβα ,//,//，则b a //； ② γβγ⊥⊥,a ，则β//a ； ③ b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥； ④ αγββ⊥a a ,//,//，则γα⊥. 其中正确命题的序号 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案三、解答题（共74分）17、（本题12分）正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积.18、（本题12分）三棱锥V —ABC 中，VO ⊥平面ABC, O ∈CD , VA=VB,AD=BD.证明：CD ⊥AB 且AC=BC . 19、（本题12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
2021-2022学年苏教版高一数学基础题专题训练五《立体几何初步》【含答案】
立体几何初步例1、如图，O A B '''是水平放置的OAB 的直观图，则OAB 的周长为（ ）A ．10213+B ．32C ．10D ．12【答案】A【分析】 根据斜二测画法得到OAB 为两直角边长分别为4和6的直角三角形，进而可得其周长.【详解】如图，根据斜二测画法得到OAB 为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为2246213+=OAB 的周长为10213+故选：A ．例2、已知直线l ，两个不同的平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l α，l β//，则//αβC ．若αβ⊥，l α⊥，则l β//D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】A【分析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，根据面面垂直的判定定理可知，A 选项正确，对于B 选项，当//l α，l β//时，α和β可能相交，B 选项错误，对于C 选项，当αβ⊥，l α⊥时，l 可能含于β，C 选项错误，对于D 选项，当αβ⊥，//l α时，l 可能含于β，D 选项错误.故选：A例3、古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的表面积与圆柱的体积之比为（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．8:3【答案】C【分析】先求出球的表面积和圆柱的体积，再求其比值而得.【详解】依题意：球的直径为2，即球半径1R =，球的表面积244S R ππ==，圆柱底面圆半径1r R ==，高2h =，则圆柱体积22V r h ππ==，球的表面积与圆柱的体积之比:4:22:1S V ππ==.故选：C一、单选题1．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为α，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（ ）A 33sin 2α B 32α C ．12sin 2αD ．2sin 2α 【答案】B【分析】根据等腰三角形的边角关系，用SA 和OA 表示出AB 的一半，从而得出底面内切圆半径与侧棱长的比.【详解】设O 为正六棱锥S ABCDEF -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，如图所示： 由题意可知3AOB π∠=，22SAB πα∠=-， OA AB ∴=，1cos()sin2222SA SA AB παα⋅-=⋅=， ∴2sin 2ABSA α=，设内切圆半径为r ，则tan 3132rAB π==3r AB =， ∴底面内切圆的半径与侧棱的比为33sin 223232sin AB r AB SA ααθ===． 故选：B2．下列说法正确的是（ ）A ．镜面是一个平面B ．一个平面长10 m ，宽5 mC ．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D ．所有的平面都是无限延展的【答案】D【分析】结合平面是无限延展的性质判断即可【详解】镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A 不正确；平面没有大小，所以选项B 和选项C 都不正确，故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质，属于基础题3．在圆柱12O O 内有一个球O ，球O 分别与圆柱12O O 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若122O O =，则圆柱12O O 的表面积为（ ）.A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】依题意可求得圆柱的底面半径和高，进而可得圆柱的表面积.【详解】依题意可得圆柱的底面半径1r =，高2h =，所以圆柱的表面积222426S r h r πππππ=⋅+=+=.故选：C.4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】 根据线面关系的判定性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，平行同一平面的两条直线并不能判断此两条直线平行，故A 错误；对B ，直线垂直与平面，则垂直与平面内的任意一条直线，故B 正确；对C ，不确定n 直线是否在平面α内，所以C 错误；对D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或者//n α，而不是n α⊥，故D 错误.故选：B5．已知正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为1111,,A D AB C D 的中点，则直线1,AG EF 所成角的余弦值为（ ）A 30B 30C 30D 15 【答案】C【分析】作图可知1//AG CF ，得出EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角， 设AB =2求出EFC 的三边，结合余弦定理即可求出结果.【详解】如图所示，易知1//AG CF ，则EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角. 不妨设AB =2，则5,6,3CF EF EC == 由余弦定理得30cos 256EFC ∠==⨯ 即直线1AG 与EF 30 故选：C .6．设α，β，γ为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ） ①αγ⊥，βγ⊥，则//αβ②αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥③m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥④αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则m γ⊥ A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D【分析】根据线面关系的定理性质，逐项分析判断即可得解.【详解】①中，α，β可以相交并垂直于γ，①错误②中，直线m 可能不在平面α内，②错误③中，垂直于互相垂直的两条直线的两个平面垂直，故③正确；④中，两个平面垂直于第三个平面，这两个平面的交线也垂直于第三个平面，故④正确， 故选：D二、多选题7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆锥的表面积最小【答案】CD分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．【详解】对于A ，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，故A 错误；对于B ，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆锥的侧面积为222(2)5S R R R R ππ=+，故B 错误；对于C ，圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，球面面积为24S R π=，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确；对于D ，圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=， 圆锥的表面积为)22222(2)51S R R R R R πππ=+=， 球的表面积为234S R π=，∴圆锥的表面积最小，故D 正确．故选：CD8．已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，n α⊥，则m ∥nB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若l αβ=，m ∥α，m ∥β，则m ∥l D ．若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥【答案】AC【分析】根据空间中的线线、线面、面面关系的判定可得选项.【详解】对于选项A ，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以选项A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可平行或异面，不一定垂直，所以选对于选项C ，若l αβ=，//m α，//m β，可推出//m l ，则选项C 正确； 对于选项D ，若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m 与β不一定垂直，所以选项D 错误；故选：AC ．【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9．在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A ．若//a b ，且，a α⊥，b β⊥，则//αβB ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则a b ⊥C ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交D ．若a b ⊥，且//a α，b β//，则αβ⊥【答案】AC【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【详解】若//a b ，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量平行，则//αβ成立，故A 正确； 若αβ⊥，且//a α，//b β，则a 与b 互相平行或相交或异面，故B 错误；若a ，b 相交，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量相交，则α，β相交成立，故C 正确；若a b ⊥，且//a α，//b β，则α与β平行或相交，故D 错误；故选：AC.【点睛】此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题三、填空题10．如图，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ∥底面ABCD ，则下列结论中正确的有______个．①AC ∥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABCD 所成的角是∥SAD ；④AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角．【答案】4【分析】利用线面垂直的判定定理AC ⊥平面SBD ，进而可判定①正确．根据AB ⊥CD ，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB ⊥CD ，由异面直线所成角的定义可判定④正确．【详解】因为SD ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SD ．因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又BD ∩SD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SB ，故①正确．因为AB ⊥CD ，AB ⊥平面SCD ，CD ⊥平面SCD ，所以AB ⊥平面SCD ，故②正确．因为AD 是SA 在平面ABCD 内的射影，所以SA 与平面ABCD 所成的角是⊥SAD ．故③正确．因为AB ⊥CD ，所以AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角，故④正确．故答案为：4.11．如图，ABC A B C '''-是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA B B ''-的体积是________．【答案】23【分析】 本题可通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积得出结果.【详解】 1133CA B C ABC A B C V V ， 12133C AA B B ABCA B C C A B C V V V . 故答案为：23. 12．若∥AOB ＝135°，直线a ∥OA ，a 与OB 为异面直线，则a 和OB 所成的角的大小为______.【答案】45°【分析】由题意可得AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，结合补角的概念即可.【详解】因为直线a //OA ，a 与OB 为异面直线，所以AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，又135AOB ︒∠=,所以a 与OB 所成角的大小为18013545︒︒︒-=.故答案为：45︒四、解答题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．【答案】90°【分析】先平移后再解三角形即可.【详解】如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ⊥B 1D ，EF ⊥A 1C 1，⊥⊥GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)．⊥GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点，⊥GO ⊥A 1C 1．⊥异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．14．如图所示，已知长方体1111ABCD A BC D -的体积为V ，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，求三棱锥P CDQ 的体积．【答案】112V 【分析】本题可设AB a 、BC b =、1AA c =，则V abc =，然后根据13P CDQ CDQ V S PD △即可得出结果.【详解】设AB a ，BC b =，1AA c =，则V abc =，因为11122PD DD c ，1122CDQ S CD CB ab △， 所以11111133221212P CDQ CDQ V S PD ab c abc V △. 15．已知正三棱锥P ABC 的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．【答案】()24153cm 【分析】由题意作出草图，设O 为正三角形ABC 的中心，连结AO 并延长交BC 于D ，易知PO 是正三棱锥P ABC -的高，由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，则PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高，再根据题意和勾股定理，可得棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【详解】如图所示，设O 为正三角形ABC 的中心，连结PO ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结PD ，则PO 是正三棱锥P ABC -的高．由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，又PB PC =，故PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高．由已知45APO ∠=︒，)23434cm 3AO ==， 所以)434622cm 33PA AO ==，所以46=3PB （cm ）． 所以222246215=23PD PB BD ⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭（cm ）．所以正三棱锥P ABC 的侧面积为：12153344152PBC S S ==⨯⨯=侧（2cm ）， 底面积：2134432S =⨯=底2cm ）． 故415434153S S S =+==表面积侧底（2cm ）． 16．长方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱11,AA CC 的中点.（1）求证：1//D E BF ；（2）求证：111B BF A ED ∠=∠.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先证明四边形11EMC D 为平行四边形，可得11//D E MC ，再证明四边形1MBFC 为平行四边形，得1//BF MC ，从而得1//D E BF ；（2）根据等角定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，取1BB 的中点M ，连接1,EM C M .在矩形11ABB A 中，易得11//EM A B ，11EM A B =因为1111//A B C D ，1111A B C D =，所以11//EM C D ，11EM C D =所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC .在矩形11BCC B 中，易得1//MB C F ，1MB C F =.所以四边形1MBFC 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//D E BF .（2）因为1//D E BF ，11//BB EA ，又1B BF ∠与11A ED ∠的对应边方向相同，所以111B BF A ED ∠=∠.17．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11AC 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；【分析】（1）由中点知GH 为中位线，即有11//GH B C ，结合三棱柱的性质可证//GH BC ，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有1,AG EB 平行且相等，即有1//A E GB ，结合线面平行的判定即可证1//A E 面BCHG .【详解】（1）⊥G ，H 分别是11A B ，11AC 的中点，⊥11//GH B C ，而11//B C BC ，⊥//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）⊥E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，⊥1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，⊥1//A E 面BCHG ，18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB = 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==⊥BD AC ⊥，又在⊥PAB 中2AB PA ==，22PB =90PAB ∠=︒，⊥PA AB ⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，面PAB 面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，⊥PA ⊥面ABCD ，而BD ⊂面ABCD ，有：PA BD ⊥，PAAC A =， ⊥BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有1123||222sin 6036P ACD ACD V PA S -=⋅=⨯⨯⨯⨯︒=， 而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =， ⊥—3P AMC V =【点睛】 本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.19．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.求证：//MN 平面PAD .【答案】证明见解析【分析】取PD 的中点E ，连接EA ，EN ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】证明：取PD 的中点E ，如图所示，连接EA ，EN .⊥E ，N 分别为PD ，PC 的中点，⊥//EN CD ，且12EN CD =. ⊥四边形ABCD 为平行四边形，M 为AB 的中点，⊥//AM CD 且12AM CD =，⊥,AM EN 平行且相等， ⊥四边形AMNE 为平行四边形，⊥//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，⊥//MN 平面PAD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.。
【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必
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第1章 立体几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________． ①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直． ②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面． ④正确． 答案：12．给出下列命题，其中正确的命题的序号是________． ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； ②直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；③a 、b 是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等．解析：①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；②错误，直线n 可能在平面α内；③正确，如图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′、b ′确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是惟一确定的． 答案：③3．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连结PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．解析：如图所示，由题意知， PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ， 取AC 中点D ，连结PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P -AC -B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2， ∴∠PDB ＝90°. 答案：垂直4．如图甲，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ；②SD ⊥平面EFG ； ③GF ⊥平面SEF ；④GD ⊥平面SEF .解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ； 在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ， ∴SG ⊥平面EFG . 答案：①5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正方体＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C 的棱长为2a ，S 正四面体＝4×34×(2a )2＝23a 2，所以S 四面体S 正方体＝236＝33.答案：336．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________． 解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4Sπ.答案：S 4Sπ7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：48．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为________．解析：取AC 中点M ，连结EM ，FM ，F 为DC 中点，M 为AC 中点，∴FM ∥AD ，且FM ＝12AD ＝1，同理EM ∥BC ，且EM ＝12BC ＝1.△EMF 中作MN ⊥EF 于N . Rt△MNE 中，EM ＝1，EN ＝32， ∴sin ∠EMN ＝32，∠EMN ＝60°， ∴∠EMF ＝120°，∴AD 与BC 所成角为60°. 答案：60° 9.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是________(精确到1 mm)．解析：桶内水的深度为17×35＝5(cm)，设水面半径为x cm ，则有x －1219－12＝535，解得x ＝13.V 水＝13π·5(122＋12×13＋132)＝2 3453π.设单位面积雨水深度为h ，则V 水＝π·192·h ，∴π·192·h ＝2 3453π，∴h ≈2.2 cm＝22 mm. 答案：22 mm10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．解析：利用三棱锥A 1－AB 1D 1的体积变换：VA 1－AB 1D 1＝VA －A 1B 1D 1，则13×2×4＝13×6×h ，h＝43. 答案：4311．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________．解析：如图，在△ABD 内，作AH ⊥BD 于H ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴AH ⊥平面BCD . 又BC ⊂平面BCD . ∴BC ⊥AH .又∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC .又AH ∩DA ＝A ， ∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AB ，故△ABC 是以∠B 为90°角的直角三角形． 答案：直角三角形12．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________．解析：设上、下圆柱的半径分别是r 、R ，高分别是h ，H .由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2·(28－h )，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.则这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2913．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴CO ⊥AB . ∵AC 1＝BC 1，∴C 1O ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3.下面用等体积法求距离． VC 1－ABC ＝VC －ABC 1， ∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．已知Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC 与α所成锐角为________．解析：如图所示，过点C 作垂直于α的直线CO ，交α于点O . ∴∠CAO＝30°，∠CBO ＝45°.设CO ＝a ，∴Rt △ACO 中，AC ＝2a ， 在Rt △BCO 中，BC ＝2a .过C 点在平面ABC 内作CD ⊥AB ，连结OD ，则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角，AB ＝6a ，∴CD ＝23a ，∴在Rt △CDO 中，sin ∠CDO ＝a 2a 3＝32，∴∠CDO ＝60°.答案：60°二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2014·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值． 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm. ∵在△ABC 中，AB ＝3 cm ， BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ， ∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5，∴R ＝1 cm ，∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π cm 3.而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)，∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)． 16．(本小题满分14分)底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.问：在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC? 证明你的结论．解：如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，过点B 作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF ∥CE 交PC 于点F ，连接BF . ∵BG ∥OE ，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴BG ∥平面AEC . 同理GF ∥平面AEC ， 又BG ∩GF ＝G ，∴平面BFG ∥平面AEC ，BF ⊂平面BFG . ∴BF ∥平面AEC .下面求点F 在PC 上的具体位置： ∵BG ∥OE ，O 是BD 的中点， ∴E 是GD 的中点． 又∵PE ∶ED ＝2∶1， ∴G 是PE 的中点．而GF ∥CE .∴F 为PC 的中点．综上可知，存在点F ，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .17．(本小题满分14分)如图，已知平面α∩平面β＝AB ，PC ⊥α，PD ⊥β，垂足分别是C ，D . (1)求证：AB ⊥平面PCD ；(2)若PC ＝PD ＝1，CD ＝2，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：因为PC ⊥α，AB ⊂α，所以PC ⊥AB .同理PD ⊥AB .又PC ∩PD ＝P ，故AB ⊥平面PCD .(2)设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH ，DH .因为 AB ⊥平面PCD ，所以AB ⊥CH ，AB ⊥DH ，所以∠CHD 是二面角C －AB －D 的平面角．又PC ＝PD ＝1，CD ＝2，所以CD 2＝PC 2＋PD 2＝2，即∠CPD ＝90°.在平面四边形PCHD 中，∠PCH ＝∠PDH ＝∠CPD ＝90°，所以∠CHD ＝90°，故平面α⊥平面β.18．(本小题满分16分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13π×82×4＝2563π(m 3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×62×8＝2883π(m 3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)； 如果按方案二，仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)． (3)V 2＞V 1，S 2＜S 1，所以方案二比方案一经济．19．(本小题满分16分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且AD ＝AA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．(1)求证：MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，∴MF∥AN.又MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD，(2)连结BD，由题意知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC⊂平面ACC1A1，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.20．(本小题满分16分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．解：(1)证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又∵DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.又∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.又∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.(3)由(2)知，PB⊥DF，EF⊥PB，∴∠EFD 是二面角C －PB －D 的平面角． 由(2)知DE ⊥EF ，PD ⊥DB .设正方形ABCD 的边长为a ，则PD ＝DC ＝a ，BD ＝2a ，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝3a ，PC ＝PD 2＋DC 2＝2a ，∴在Rt △PDB 中，DF ＝PD ·BD PB ＝a ·2a 3a ＝63a .又∵DE ＝12PC ＝22a ，∴在Rt△EFD 中，sin ∠EFD ＝DE DF ＝22a63a ＝32，∴∠EFD ＝60°.∴二面角C －PB －D 的大小是60°.。
单元复习13 立体几何初步(课件)高一数学单元复习(苏教版2019必修第二册)
4．空间中面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝ A⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④基本事实4的推垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
顶点：各侧面的_公__共__顶__点___
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫 分类 __四__面__体__．底面是__正__多__边__形__，并且顶点与底面中心的连线__垂__直__于
底面的棱锥叫做正棱锥
6．棱台的结构特征：
用一个__平__行__于__棱__锥__底__面___的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多 定义
(1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②判定定理 1： ml⊥，mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
[答案] (1)C (2)B
空间位置关系的证明 [例3] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是 AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
[证明] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点， 所以EF∥AB1. 又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. (2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以B1C⊥AB. 又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C， AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C， 所以AB⊥平面AB1C. 又因为AB⊂平面ABB1， 所以平面AB1C⊥平面ABB1.
苏教版必修二第一章《立体几何初步》word单元测试
《第1章立体几何初步》2011年单元过关检测一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、下列命题中错误的是（）A、圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B、圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C、圆台的所有平行于底面的截面都是圆D、圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2、如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（）A、B、C、D、3、在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球的半径为R）（）A、B、C、D、4、下列图形中，不是三棱柱的展开图（）A、B、C、D、5、下列正确命题个数是（）①梯形的直观图可能是平行四边形；②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形；③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥；④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤底面是矩形的平行六面体是长方体．A、1B、2C、3D、46、（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A、①②③B、②④C、③④D、②③④7、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体可能是（）A、三棱柱B、四棱柱C、三棱锥D、四棱锥8、（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④9、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A、6+B、24+C、24+2D、3210、圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A、1：（﹣1）B、1：2C、1：D、1：411、若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（）A、B、C、D、12、棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（）A、4πa3B、C、D、二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13、一个球的半径为a，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是_________．14、（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_________．15、（2008•辽宁）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．16、在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的说法是_________．（填上正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．18、一个多面体的直观图如图所示（其中M，N分别为AF，BC的中点）求多面体A﹣CDEF 的体积．19、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．20、一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积．21、（2008•海南）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG．22、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积．答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、下列命题中错误的是（）A、圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B、圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C、圆台的所有平行于底面的截面都是圆D、圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
立体几何试卷 苏教版 抽测试卷
高二第一次情况调查测试题数学（立体几何）一．填空题（共70分，14题，每题5分） 1．下列命题中，正确序号是①经过不同的三点有且只有一个平面②分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线③垂直于同一个平面的两条直线是平行直线④垂直于同一个平面的两个平面平行 2.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是 ．3．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为4、直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ⊂β，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线EH∩直线FG=M ，则点M 在 上5、设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中，M 为AA /的中点，则直线CM 和D /D 所成的角的余弦值为 ．6、若平面α//β，直线a ⊂ α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是 7. 已知1111ABCD A BC D -是棱长为a 的正方体，求：（1）异面直线1AA 与BC 所成的角为（ ） （2）求异面直线1BC 与AC 所成的角（ ）8、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：其中正确的命题的个数是9、点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 心 10、如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在 平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ， 连PD ，那么图中直角三角形的个数 个βαβαγαβγβααααα⊥⊂⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则若则若则若则若,,)4(,//,,)3(//,,)2(,,,//)1(m m n n m m n n m m αPBA CDx′B 1D 1ABCD A 1C 111、如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于等量关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是___________.12.如果OA ‖11O A ， OB ‖11O B ，那么AOB ∠与111AO B ∠（ ） 13.OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______. 14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： _________________________. 二．解答题（共90分）15. (14分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．16. (15分)如图，正三棱柱ABC--111C B A 中（地面是正三角形，侧棱垂直于地面），D 是BC 的中点，AB = a .（1） 求证：111C B D A ⊥（2） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论D 1ODB AC 1B 1A 1CABC C 1B 1A 1DCA17. (15分)如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ，且BD BC AB AC ===2=，1=AE ，F 为CD 中点． （1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：⊥EF 平面BCD18.(15分) 如图, PA ⊥矩形ABCD 所在平面, ,M N 分别是AB 和PC 的中点． (1)求证: //MN 平面;PAD (2)求证:;MN CD ⊥ (3)若45PDA ∠=, 求证:MN ⊥平面.PCD19. (15分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.A B C E D F AB C DMNPD 图乙D B CE 20.(16分)如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ； （Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE.答案1. ③2. 23. 1个4.BD5. 1/36. 平行或异面7. (1) 90︒ (2) 60︒8. 1个9.垂心 10. 8个 11.平行12. 相等或互补 13.37 14. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,.15. 提示：连接A 1C 1交B 1D 1与点O 1。
苏教版高中数学必修二秋第1章立体几何初步本章练测
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第1章立体几何初步（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.下列命题中正确的是 .①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点.2.如图，正方体的棱长为1，过点A作平面BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的是 .①点是△的垂心；②的延长线经过点；③⊥平面；④直线AH和所成的角为45°.3.设a，b，c表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列命题中不正确的是 .①⊥，∥⇒⊥；②⊥，⊥，⊥⇒a⊥b；③b∥c，b⊂，⇒c∥；④a∥，b⊥⇒b⊥.4.如图，在正四面体P-ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中不成立的是 .①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面PAE；④平面PDE⊥平面ABC.5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是 .①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.6.如图，在正四棱柱ABCD-中，=2AB，则异面直线与所成角的余弦值为 .7.在正三棱柱中，已知AB=1，点D在棱上且BD=1，则二面角D-AC-B的正切值为 .8.直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若AB=AC==2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)10.已知平面∥，点，，点，，直线与交于点，且=8，=9，=34，则= ．11.下列命题中，正确的是．①若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则；②若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则；③若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则；④若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.12. 一扇形铁皮AOB,半径OA=72 cm,圆心角∠AOB=60°.现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩下的扇形OCD内剪下一个最大的圆刚好作容器的下底(圆台的下底面大于上底面),则OC的长为______________.13.给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．其中正确说法的序号是.14.如图(1)所示，在正方体中，E,F分别是，的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，点G，H分别是BC，CD上的点，且求证：（1）E，F，，四点共面；（2）三条直线F，E，共点.16.（14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，CD= AB，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A-BCDG.（1）若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；（2）求证：AG⊥平面BCDG.17.（14分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为的圆内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.（1）求线段PD的长；（2）若PC＝，求三棱锥P-ABC的体积.18.（16分）如图，在直四棱柱，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，=2，E，分别是棱中点.（1）设F是棱AB的中点，证明∥（2）证明：平19.（16分）如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC.20.（16分）如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC.（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.一、填空题1.③④⑤⑥解析：①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图，正方体中的四棱锥C，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知.2.④解析：因为三棱锥A-BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，①正确；平面BD∥平面，而AH⊥平面BD，所以AH⊥平面，③正确；根据对称性知②正确.故填④.3.④解析：经判断可知，①②③均正确.对于④，与直线a垂直的直线有无数多条，这些直线与平面的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直.4.④解析：因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以②③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故④不成立.5.④解析：∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立.在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确.6. 解析：如图，连接，AC，易证∥，∴∠即为异面直线与所成的角.设AB=1，则，5，AC= 2，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为 .7. 解析：如图，根据题意，BD⊥平面ABC，取AC的中点E，因为AD=CD，所以DE⊥AC.因为BE⊥AC，所以∠BED就是二面角D-AC-B的平面角.因为BE= ，BD=1，所以 .8.20π解析：设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M.在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∠ABC＝（180°-120°）＝30°，AM= =2.因此，所以此球的表面积等于.9.DM⊥PC(答案不唯一) 解析：∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD，∵底面ABCD各边都相等，∴底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵P A∩AC=A,∴BD⊥平面PCA，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.10. 16或272 解析：分两种情况求解：当位于平面，之间时，如图（1），连结，，因为，则，构成平面，则,=.因为∥，所以∥．所以△∽△.所以，即=，所以=16.（2）当=位于平面同侧时，如图（2），由于=，设，构成平面.因为,=，且∥，所以∥，从而有△∽△.则有，即=，解得=272.综上，=16或272.11.③解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例，如两平面相交、平行等.12.36 cm 解析：设下底面的半径是则2π=24π，∴=12,从而可求得=36 cm.13.④解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则.对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形.对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．14.（1）（2）（3）解析：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．在面ABCD和面上的投影是图乙（1），在面和面上的投影是图乙（2），在面和面上的投影是图乙（3）.二、解答题15.证明：（1）连接HG，EF.在△ABD中，点E，F分别为AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BD.在△CBD中，CG= BC，CH= DC，∴GH∥BD，∴GH∥EF，∴EF与GH可确定一个平面，即E，F，G，H四点共面.（2）由（1）可知，EFHG为一平面四边形，且EF∥HG，EF≠HG，∴四边形EFHG为梯形. EG，FH不平行，不妨设EG∩HF=O，则O∈直线HF，O∈直线EG.又直线EG⊂平面ABC，直线FH⊂平面ACD，∴O∈平面ABC，O∈平面ACD，∴O∈平面ABC∩平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=直线AC，∴O∈直线AC，∴直线FH，EG，AC共点.16.证明：（1）依题意，折叠前后CD，BG的位置关系不改变，∴CD∥BG.∵E，F分别为线段AC，AD的中点，在△ACD中，EF∥CD，∴EF∥BG.又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，∴EF∥平面ABG.（2）将△ADG沿GD折起后，AG，GD的位置关系不改变，∴AG⊥GD.又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，AG⊂平面AGD，∴AG⊥平面BCDG.17.解：（1）∵BD是圆的直径，∠ABD=60°，∴AB=R，AD= R.又△ADP∽△BAD，∴ .∴PD= =3R.（2）∵BD是圆的直径，∴∠BCD=90°.又∠BDC=45°，∴BC=CD= R.又PC= R，则，∴CD⊥PD.又△ADP∽△BAD，∴∠ADP=∠BAD=90°，∴AD⊥PD.又AD∩CD=D，∴PD⊥平面ABCD.∵AB·BC·sin（60°+45°）= ，∴ .18. （1）证法一：如图（1），取的中点，连接，.由于∥∥，所以.因此平面即为平面.连接，平行CD，所以平行且等于CD，所以四边形为平行四边形，因此∥.又∥D，得∥.而，C⊂平面，故∥平面.证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD平行且等于AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又，，FC⊂平面，⊂平面，AD∩=D，AD⊂平面，⊂平面所以平面∥平面.又⊂平面，所以∥平面.（2）证明：如图（2），连接AC，在△FBC中，FC=BC=FB，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB，因此∠ACB=90°，即AC⊥BC.又，且，所以AC⊥平面C.而AC⊂平面，故平面⊥平面C.19. (1)证明:∵为中点，为中点，∴∥.又∵MD⊄平面，AP平面APC，∴∥平面.(2)证明:∵△为正三角形,且为的中点，∴⊥.又由(1)知，∥，∴⊥又已知⊥，∴⊥平面.∴⊥.又∵⊥，∴⊥平面.∴平面⊥平面.20.（1）证明：由题设，知AD=CD=BD，如图，作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=O C，∴O是△ABC的外心，即AB的中点.∴O∈AB，即O∈平面AB D.∴OD⊂平面AB D.∴平面ABD⊥平面AB C.（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC，∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥B D.∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角.同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.设BC=a，则CE=，OE=，∴cos∠OEC==。
2019届苏教版(文科数学) 立体几何初步 单元测试
立体几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．4．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．6．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是________．7．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的位置关系为________．8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．9．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．10．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．11．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.14．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？16．(14分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.17.(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C -A1DE的体积．18．(16分)已知等腰梯形PDCB中(如图①)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2，A为PB边上一点，且DA⊥PB.现将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图②)．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA∶V M－ACB＝2∶1.19.(16分)(江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.20．(16分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明CD ⊥平面ABF ； (3)求二面角B-EF-A 的正切值．答案1．①④2．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π. 答案：823π5．解析： 如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62， 所以CO ＝2O ′C ′＝ 6. ∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm .∴当r ＝πm 2(π2－π)＝m2(π－1)时，S 全有最大值πm 24(π－1).答案：πm 24(π－1)9. 解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10. 解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V 圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113．解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a .整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33. 答案：3315.解：如图，底面半径为52 cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝(52π)2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42 cm.16．证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点， ∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ， ∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ， 则V M －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×12×2×1×h ＝h3.V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·P A ＝13×(1＋2)2×1×1＝12.要使V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1， 即(12－h 3)∶h 3＝2∶1，解得h ＝12. 易得M 为PB 中点．19．证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD .所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD . 20．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以F A ∥ED . 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为F A ⊥平面ABCD ，所以F A ⊥CD . 故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3， 故cos ∠CED ＝ED CE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明：过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥F A ，F A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点． 取EF 的中点N ，连结GN ，则GN ⊥EF . 因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF . 过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ， 则∠GNM 为二面角B -EF -A 的平面角． 连结GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM . 从而BC ⊥GM . 由已知，可得GM ＝22. 由NG ∥F A ，F A ⊥GM ，得NG ⊥GM . 在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14.所以二面角B -EF -A 的正切值为14.。
【新】版高中数学第一章立体几何初步章末综合测评苏教版必修2
(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________．【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2)2．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ， 则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63. 【答案】634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件．【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°8．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________． ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.【解析】 对于①，若l ∥α，l ∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误．故选②.【答案】 ②9．如图2，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为__________cm.图2【解析】 由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm.设平行线EH ，FG 之间距离为d ，则12×(3＋4)×d ＝28，解得d ＝8 cm. 【答案】 810．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则AE 与PC 的位置关系为________．【解析】 易知CD ⊥AE ，AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD ，所以AE ⊥PC . 【答案】 垂直11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是________．①点H 是△A 1BD 的垂心； ②AH ⊥平面CB 1D 1；③AH的延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成的角为45°.【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，①正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，②正确．易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故③正确．因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠A1AH≠45°，故④错误．【答案】④12．如图3所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥PA .∵PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ，故②正确；对于③，由①知BC ⊥平面PAC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面PAC 的距离，故③正确． 【答案】 ①②③13．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③二面角A －BC －D 的度数为60°； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．【解析】 如图(1)(2)所示，取BD 的中点O ，连结AO ，OC ，易知AO ⊥BD 且CO ⊥BD ，AO ∩OC ＝O ，故BD ⊥平面AOC ，∴BD ⊥AC ，故①正确．设正方形ABCD 的边长为1，易知AO ＝OC ＝22.又由题意可知∠AOC ＝90°，故AC ＝1. 所以AC ＝AD ＝DC ，所以△ACD 是等边三角形，故②正确．取BC 的中点E ，连结OE ，AE ，则∠AEO 即为二面角A －BC －D 的平面角， ∴tan ∠AEO ＝AO OE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC 的中点F ，连结OF ，EF ，OE ，则OE ∥CD ，EF ∥AB ，则∠FEO 即为异面直线AB 与CD 所成的角．又在△AOC 中，OF ＝12，故EF ＝OE ＝OF ，∴AB 与CD 所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确． 【答案】 ①②④14．如图4所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ； ③四面体FECG 体积的最大值是13.其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】 ①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1，而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin 45°＝24CE ≤1，故V F －GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13.故正确的命题为①③. 【答案】 ①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．【解】 (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ，∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．图7(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．【解】(1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB⊂平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【解】(1)证明：连结OE，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥PA .∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面PAC . 又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.(1)求证：BD ⊥EF ；(2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC的值．图9【解】 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC .又EF ⊂平面PAC ，所以BD ⊥EF . (2)设AC 与BD 交于点O ，连结PO .因为EF ∥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ，且EF ⊂平面PAC ，所以EF ∥PO .又E 是PC 的中点，所以OF ＝FC ，所以AF ＝3FC ，即AF FC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .说明理由． 【解】 (1)证明：∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点， ∴DE ∥BC .又∵DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ， ∴DE ∥平面A 1CB .(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，∴DE ⊥AC ， ∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，A 1D ∩CD ＝D ， ∴DE ⊥平面A 1DC ，而A 1F ⊂平面A 1DC ， ∴DE ⊥A 1F .又∵A 1F ⊥CD ，DE ∩CD ＝D ，∴A 1F ⊥平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，∴A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ . 理由如下：小中高精品教案试卷如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.制作不易推荐下载11。
2019届苏教版(理科数学) 立体几何 单元测试
1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥底面ABCD，且∠ABC＝π2.(1)求证：B1C1∥平面BCD1；(2)求证：平面A1ABB1⊥平面BCD1.2．如图，矩形ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若AC＝2AP，E，F分别是PQ，CQ的中点．(1)求证：CE∥平面PBD；(2)求证：平面FBD⊥平面PBD.3．(2018·扬州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB ＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．答案精析1．证明(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥BC.又B1C1⊄平面BCD1，BC⊂平面BCD1，所以B1C1∥平面BCD1.(2)因为平面A1ABB1⊥底面ABCD，平面A1ABB1∩平面ABCD＝AB，BC⊂底面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面A1ABB1，又因为BC⊂平面BCD1，所以平面A1ABB1⊥平面BCD1.2. (1)证明如图，设AC∩BD＝O，连结PO，因为O是AC的中点，E是PQ的中点，所以PE＝OC，PE∥OC，所以四边形POCE是平行四边形，所以CE∥PO.因为CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，所以CE∥平面PBD.(2)证明因为平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD＝AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ACQP.因为PO⊂平面ACQP，所以BD⊥PO.连结AQ，OF，在矩形ACPQ中，由AC＝2AP，得APAC＝AOQC＝12，所以△APO∽△CAQ，所以AQ⊥PO.因为F是CQ的中点，O是AC的中点，所以OF∥AQ，所以OF⊥PO.因为BD∩OF＝O，BD，OF⊂平面FBD，所以PO⊥平面FBD.因为PO⊂平面PBD，所以平面FBD⊥平面PBD.3．证明(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，又A1B1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1B1.因为AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.又因为点M为棱A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1.又CC1∩C1M＝C1，CC1，C1M⊂平面C1CM，所以A1B1⊥平面C1CM.又A1B1⊂平面A1B1C，所以平面C1CM⊥平面A1B1C.4．(1)证明由AC是所作球的直径，得AM⊥MC.因为P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD，又CD⊥AD，P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD，又因为AM⊂平面P AD，所以CD⊥AM，又因为CD∩MC＝C，CD，MC⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，又AM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)解以点A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由(1)知，AM ⊥PD ，又P A ＝AD ＝4，所以M 为PD 的中点．则A (0,0,0)，P (0,0,4)，B (2,0,0)， C (2,4,0)，D (0，4,0)，M (0,2,2).AC →＝(2,4,0)，AM →＝(0,2,2)，CD →＝(－2,0,0)，设平面ACM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＝0，2y ＋2z ＝0， 令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝63. 即直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值为63.。
2023年苏教版数学三维几何练习题及答案
2023年苏教版数学三维几何练习题及答案一. 选择题在以下各题中，只有一项符合题意，请选出正确答案。
1. 下列哪个选项是描述平行线关系的准确说法？A. 两条直线不相交B. 两条直线始终保持相同的距离C. 两条直线交于一点D. 两条直线相互垂直2. 对于三棱锥来说，下列哪个选项是正确的？A. 三个底面的边相等B. 三个侧面都是直角三角形C. 三个顶点都位于同一个平面上D. 底面是一个正三角形，侧面是正方形3. 如图所示，ABCD为一个四棱锥，E为底面AD的中点，连接EC。
若AB=BC=CD=10 cm，AC=15 cm，ED=8 cm，则EC的长度是多少？（图示四棱锥ABCD，底面是四边形，AC为斜高线，E为AD的中点，EC为一条边）A. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm4. 在空间直角坐标系中，直线L通过点A(-2, 3, 4)并且与向量V(1, -1, 2)平行，那么直线L的方程是下列哪个选项？A. (x+2)/1 = (y-3)/(-1) = (z-4)/2B. (x-(-2))/1 = (y-3)/(-1) = (z-4)/2C. (x+2)/-1 = (y-3)/1 = (z-4)/2D. (x-(-2))/1 = (y-3)/1 = (z-4)/-2二. 填空题请根据题目要求，在空白处填入适当的数值或字母。
1. 若两条平行线的倾斜角分别为α和β，则α和β之间的关系是________。
2. 对于一个圆柱体来说，它的侧面积是_______。
3. 解方程组：2x + 3y - z = 14x - 2y + 3z = 7x - y + 2z = 0得到的解为x = _______，y = _______，z = _______。
请根据题目要求，进行相应的计算。
1. 若长方体的宽度为4 cm，高度为6 cm，体积为72 cm³，求其长度。
2. 已知空间中的三点A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(-1, 3, -2)，求△ABC的面积。
高中数学：第一章《立体几何初步》单元测试(苏教版)
立体几何初步 单元测试一、填空题（每小题5分，共70分）1. 如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ _ 块木块堆成。
2、给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为3．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________。
4.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号） 5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 .6、已知二面角α—l —β为60°，若平面α内有一点A 到平面β，那么A 在平面β内的射影B 到平面α的距离为 . 7、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为8、以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于 .时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形。
9、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
2019届苏教版(理科数学) 立体几何 单元测试
立体几何1.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为A. 2B.C.D. 12.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是A. B. C. D.3.若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面A. 不存在B. 存在但只有一个C. 存在无数个D. 只存在两个4.半径为r的球面上有A，B，C，D四点，且直线AB，AC，AD两两垂直，若，，的面积之和，则r的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 105.如图，正方体中，E、F分别是、BD的中点，则直线与EF所成的角余弦值是．A.B.C.D.6.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，则下列结论正确的是A.B. 平面平面PBCC. 直线平面PAED. 直线PD与平面ABC所成的角为7.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，，则A、C两点间的球面距离为A. B. C. D.8.已知，，，则等于A. B. 或 C.D. 以上都不对9.如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A. 3B. 4C.D.10.如图，正方体中，E、F分别为棱和BC中点G为棱上任意一点，则直线AE与直线FG所成的角为A.B.C.D.11.已知三棱锥的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为A. B. C. D.12.中心投影的投影线A. 相互平行B. 交于一点C. 是异面直线D. 在同一平面内13.如图AB为圆O的直径，点C在圆周上异于A，B点直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：平面MOB；平面PAC；平面PAB；平面平面PBC，其中正确的命题是______ ．14.已知一个半球的俯视图是一个直径为4的圆，则它的主视图的面积是______ ．15.如图，已知平面BCD，共有______ 对面面垂直．16.已知三棱锥中，，则三棱锥体积的最大值为______ ．17.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，平面ABD，且．Ⅰ求证：；Ⅱ求DE与平面BEC所成角的正弦值；Ⅲ直线BE上是否存在一点M，使得平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．18.已知正三棱柱的各条棱长都为a，P为的中点，M为AB的中点，求证：平面PMC；求点B到平面PAC的距离．1-5CBBBC 6-10DBBCD 11. B12. B13.14.15. 316. 117. 解：Ⅰ以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，轴，建立空间直角坐标系则0，，0，，2，，做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得且，又平面平面BDC，平面BDA，所以C的坐标为1，，，故DEⅡ设平面BCE的法向量为则，即令，得：又设平面DE与平面BCE所成角为，则假设存在点M使得面ADE，则，得：又因为平面ABD，所以平面ADE因为面ADE，则即得：故点M为BE的中点时面ADE．18. 证明：连接PM，CM可知，而，又，，面PMC 解：假设点B到平面PAC的距离：h，四面体的体积中，，，，。
【创新设计】2022-2021学年高二数学苏教版选修2-1单元检测：第3章 空间向量与立体几何
章末总结学问点一 空间向量的计算空间向量及其运算的学问与方法与平面对量及其运算类似，是平面对量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．例1 沿着正四周体O -ABC 的三条棱OA →、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．学问点二 证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决． 例2如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1； (2)用向量法证明MN ⊥面A 1BD .例3如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m . 试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角为60°.例4 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.学问点三 空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费劲，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性． 例5如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝5，AD ＝8，AA 1＝4，M 为B 1C 1上一点且B 1M ＝2，点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN .（1）求cos 〈A 1D →，AM →〉；(2)求直线AD 与平面ANM 所成角的余弦值； (3)求平面ANM 与平面ABCD 所成角的余弦值．学问点四 空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解． 例6如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，P A ＝AD ＝2，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求二面角P —CD —B 的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ； (3)求点P 到平面MND 的距离．章末总结重点解读 例1 解如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量， 则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c ， 则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ，∴|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c ) ＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a·b ＋6a·c ＋12b·c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25，∴|f |＝5，即所求合力的大小为5.且cos 〈f ，a 〉＝f·a |f |·|a |＝|a |2＋2a·b ＋3a·c5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910.例2 证明 (1)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， BD →＝AD →－AB →，B 1D 1→＝A 1D 1→－A 1B 1→，又∵AD →＝A 1D 1→，AB →＝A 1B 1→， ∴BD →＝B 1D 1→.∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1， 所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋CC 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则MN →＝12(a ＋b ＋c )．又BD →＝AD →－AB →＝b －a ， ∴MN →·BD →＝12(a ＋b ＋c )(b －a )＝12(b 2－a 2＋c·b －c·a )． 又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c·b ＝0，c·a ＝0.又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2，∴b 2－a 2＝0. ∴MN →·BD →＝0，∴MN ⊥BD .同理可证，MN ⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD . 例3解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )， C (0,1,0)，D (0,0,0)， B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)． 则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)， AP →＝(－1,1，m )， AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2. 依题意得22＋2m 2·2＝sin 60°＝32， 解得m ＝33. 故当m ＝33时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 例4 证明如图，建立空间直角坐标系D —xyz . 设正方体棱长为1， 则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12、D 1(0,0,1)、 F ⎝⎛⎭⎫0，12，0、A (1,0,0)． ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DA →＝0m ·DE →＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1A 1→＝0n ·D 1F →＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝012y 2－z 2＝0， 令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．则A (0,0,0)，A 1(0,0,4)，D (0,8,0)，M (5,2,4)．∴AM →＝(5,2,4)， A 1D →＝(0,8，－4)．∴AM →·A 1D →＝0＋16－16＝0， ∴AM →⊥A 1D →.∴cos 〈A 1D →，AM →〉＝0.(2)∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，且AM ∩AN ＝A ， ∴A 1D →⊥平面ANM ，∴A 1D →＝(0,8，－4)是平面ANM 的一个法向量． 又AD →＝(0,8,0)，|A 1D →|＝45，|AD →|＝8，A 1D →·AD →＝64， ∴cos 〈A 1D →，AD →〉＝6445×8＝25＝255.∴AD 与平面ANM 所成角的余弦值为55. (3)∵平面ANM 的法向量是A 1D →＝(0,8，－4)， 平面ABCD 的法向量是a ＝(0,0,1)，∴cos 〈A 1D →，a 〉＝－445＝－55.∴平面ANM 与平面ABCD 所成角的余弦值为55. 例6 (1)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，由ABCD 是正方形知AD ⊥CD .∴CD ⊥面P AD ，∴PD ⊥CD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角． ∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°. (2)如图，建立空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，M (1,0,0)， ∵N 是PC 的中点， ∴N (1,1,1)， ∴MN →＝(0,1,1)， ND →＝(－1,1，－1)，PD →＝(0,2，－2)．设平面MND 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． ∴m ·MN →＝0，m ·ND →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋z 1＝0，－x 1＋y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－2，y 1＝－1.∴m ＝(－2，－1,1)． 同理，由n ·ND →＝0，n ·PD →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2－z 2＝0，2y 2－2z 2＝0.令z 2＝1，得x 2＝0，y 2＝1，∴n ＝(0,1,1)． ∵m·n ＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴m ⊥n .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)设P 到平面MND 的距离为d .由(2)知平面MND 的法向量m ＝(－2，－1,1)， ∵PD →·m ＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4， ∴|PD →·m |＝4， 又|m |＝(－2)2＋(－1)2＋12＝6，∴d ＝|PD →·m ||m |＝46＝263.即点P 到平面MND 的距离为263.。
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第三单元 立体几何单元测试（一）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是
A 、A
B α⊂ B 、AB α⊄
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对 2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥
C 、1AC 与DC 成45
角
D 、11AC 与1BC
成60
角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是
A 、l a
B 、l 与a 异面
C 、l 与a 相交
D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么
A 、点必P 在直线AC 上
B 、点P 必在直线BD 上
C 、点P 必在平面ABC 内
D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，
a ∥
b ，则a ∥M ；③若a ⊥
c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A 、 底面是正方形，有两个侧面是矩形
B 、 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C 、 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D 、 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
B 1
C 1
A 1D 1
B
A
C
D
A 、
23 B 、76 C 、4
5
D 、
5
6
11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到 棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于
A 、34
B 、35
C
D 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和
CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为
A 、
2V B 、3V C 、4V D 、5
V 二、填空题（每小题4分，共16分）
13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体
(填”大于、小于或等于”).
14、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定
是 .
16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有
A 1
B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 14、 15、 16、 三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)
17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)
18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求
证：EH ∥BD . (12分)
Q
P
C'
B'
A'C
B
A
19、已知ABC ∆中90ACB ∠=
，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12
分)
20、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)
21、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）1C O 面
11AB D ；
(2）1
AC ⊥面11AB D ． (14分)
22、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、
S D C
B A
D 1
O
D B
A C 1
B 1
A 1
C
AD 上的动点，且 (01).AE AF
AC AD
λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
ACDDD BCBDD DB
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直 三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）
17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分
圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分 圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分
于是725l ππ= 9分 即29
7
l =
为所求. 10分 18、证明：,EH FG EH ⊄ 面BCD ，FG ⊂面BCD
EH ∴ 面BCD 6分
又EH ⊂ 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，
EH BD ∴ 12分
19、证明：90ACB ∠=
BC AC ∴⊥ 1分
F
E
D
B
A
C
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 4分 BC ∴⊥面SAC 7分 BC AD ∴⊥ 10分 又,SC AD SC BC C ⊥=
AD ∴⊥面SBC 12分
20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在Rt EOF 中,
1
5,2
EF cm OF xcm ==
, 3分
所以EO =
分
于是13V x =
分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分
21、证明：（1）连结11AC ，设11111AC
B D O = 连结1AO ， 1111ABCD A B
C
D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
11AC AC ∴ 且 11AC
AC = 2分 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11O
C AO ∴ 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 4分
111,C O AO AO ∴⊂ 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D
∴1C O 面11AB D 6分
（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分
又1111AC B D ⊥ ， 1111B D AC C ∴⊥面 9分
1
11AC B D ⊥即 11分 同理可证11AC AB ⊥， 12分 又1111D B AB B =
∴1
AC ⊥面11AB D 14分
22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分 又),10(<<==λλAD AF AC AE
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD 11分
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ 13分
故当7
6
=
λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14分。