高中数学概率复习课件
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高中数学概率知识点全面解析PPT
乘法公式和全概率公式
乘法公式的应用 乘法公式在概率论中的应用广泛，例如计算两个事件同时发生的概 率，其计算公式为P(A并B)=P(A)*P(B)。根据统计数据，这种方法 的准确率高达90%以上。 全概率公式的价值 全概率公式可以解决复杂问题中的概率计算问题，如在多个互斥事 件中寻找某个事件发生的原因。根据一项研究，使用全概率公式解 决问题的效率比传统方法提高了约30%。
连续型随机变量
连续型随机变量定义 连续型随机变量是一个可能取无限多个值的随机变量。 概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数用于描述该随机变量在某一区 间内取值的概率。 期望与方差 连续型随机变量的期望和方差是其重要特性，它们描述了该随 机变量的平均水平和离散程度。 实际应用 连续型随机变量广泛应用于金融、工程等实际问题中，如期权 定价模型。
Comprehensive Analysis of Probability Knowledge Points in High School Mathematics
高中数学概率知识点 全面解析
2023.11.03
目录
Content
01 概率的基本概念 02 条件概率与独立性 03 随机变量及其分布 04 多维随机变量及其联合分布 05 大数定律与中心极限定理
THANK YOU
2023.11.03
中心极限定理的内容和应用
中心极限定理概念 中心极限定理是概率论中的一个重要定理，描述了大量随机变量和的分布趋近于正态分布的现象 大数定律与中心极限定理 大数定律揭示了样本数量增加时，样本平均值趋近于期望值，而中心极限定理则描述了这一过程的概率分布 正态分布在实际应用中的重要性 由于中心极限定理的作用，许多实际问题中的随机变量都可以近似为正态分布，方便进行统计分析 中心极限定理在高中数学教学中的地位 作为概率论的核心内容之一，中心极限定理对于培养学生的数学思维、解决实际问题具有重要意义
高中数学 第3章 概率 教师配套用书课件(共25张ppt)
第三章 概 率
章末复习课
本节知识目录
理网络、明结构
章 末 复 习 课
填要点、记疑点
题型一 随机事件的概率
题型二
互斥事件与对立事件
古典概型与几何概型
探题型、提能力
题型三
题型四 数形结合的思想在求概 率中的运用
理网络、明结构
填要点、记疑点
1．频率与概率 频率是概率的 近似值 ，是随机的，随着试验的不同而 变化 ；概率是多数次的 试验中 频率 的稳定值，是一个 常数 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估 计概率． 2．求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此 互斥 的事件的和； (2)先求其 对立 事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( A )求解．
解 (1)把四张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出 2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
探题型、提能力
题型二：互斥事件与对立事件
反思与感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较繁琐， 而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
探题型、提能力
题型二：互斥事件与对立事件
跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖 债券的概率． (2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖 债券的概率．
解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成 的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2， C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)， (A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3， B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
章末复习课
本节知识目录
理网络、明结构
章 末 复 习 课
填要点、记疑点
题型一 随机事件的概率
题型二
互斥事件与对立事件
古典概型与几何概型
探题型、提能力
题型三
题型四 数形结合的思想在求概 率中的运用
理网络、明结构
填要点、记疑点
1．频率与概率 频率是概率的 近似值 ，是随机的，随着试验的不同而 变化 ；概率是多数次的 试验中 频率 的稳定值，是一个 常数 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估 计概率． 2．求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此 互斥 的事件的和； (2)先求其 对立 事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( A )求解．
解 (1)把四张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出 2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
探题型、提能力
题型二：互斥事件与对立事件
反思与感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较繁琐， 而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
探题型、提能力
题型二：互斥事件与对立事件
跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖 债券的概率． (2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖 债券的概率．
解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成 的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2， C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)， (A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3， B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
高中数学复习课第7课时概率课件
(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件;
(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要
分类较多,而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的
概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”
型事件的概率.
【变式训练4】 某商场进行有奖销售,购满100元商品得1张奖
券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特
等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等
奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解:(1)P(A)= ,P(B)=
故事件
= ,P(C)=
的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.什么是随机事件,必然事件,不可能事件?
提示:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,
简称事件,常用A,B,C等表示.样本空间Ω是其自身的子集,因
此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无
论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.空
互斥事件与对立事件的判断方法:
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首
先是互斥事件,且必有一个发生.
(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合
表示分别是A,B.
①事件A与B互斥,即A∩B=⌀;
②事件A与B对立,即A∩B=⌀,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即
A=∁ΩB或B=∁ΩA.
)
A.① B.②④ C.③ D.①③
(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要
分类较多,而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的
概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”
型事件的概率.
【变式训练4】 某商场进行有奖销售,购满100元商品得1张奖
券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特
等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等
奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券中奖的概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解:(1)P(A)= ,P(B)=
故事件
= ,P(C)=
的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.什么是随机事件,必然事件,不可能事件?
提示:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,
简称事件,常用A,B,C等表示.样本空间Ω是其自身的子集,因
此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无
论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.空
互斥事件与对立事件的判断方法:
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首
先是互斥事件,且必有一个发生.
(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合
表示分别是A,B.
①事件A与B互斥,即A∩B=⌀;
②事件A与B对立,即A∩B=⌀,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即
A=∁ΩB或B=∁ΩA.
)
A.① B.②④ C.③ D.①③
高中数学第3章概率阶段复习课课件苏教版必修3
产品编号
A6 A7 A8 A9 A10质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于 4”，求事件B发生的概率.
[解析] (1)根据频数除以总数＝频率，分别求出即可； (2)根据(1)中所求即可得出任取 1 个 U 盘是次品的概率； (3)利用不等式得出 x(1－0.02)≥2 000，求出即可．
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025， 0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从 这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得 60 分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得 60 分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550 (2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.503 和 0.550.
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保 留到小数点后三位)；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率． [解析] 由频数求出频率，再由频率估计概率． [解] (1)贫因地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
高中数学概率复习课件
(2)摸出的一个球为蓝球的概率．
解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄球”，事件 C为“摸到蓝球”． (1)A与B为互斥事件，故摸到红球或黄球的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.33＝0.78.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从中摸 一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率为 0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
2.事件A出现的频率
在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的
次数为nA与n的比值，即
f A(n)
nA n
3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.
4.事件的关系与运算
（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B一
定发生，则 A （B 或 B A）.
（2）相等事件： 若 A B ，且 B A ， 则
1
B. 1000
999
C. 1000 D.
1 2
2、某种彩票中奖几率为0.1％，某人连续 买1000张彩票，下列说法正确的是：
A（、此人）一定会中奖C
B、此人一定不会中奖
C、每张彩票中奖的可能性都相等
D、最后买的几张彩票中奖的可能性
大些
3． 一批产品中，有10件正品和5件次品， 对产品逐个进行检测，如果已检测到前 3次均为正品，则第4次检测的产品仍为
(2)摸出的一个球为蓝球的概率． 解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄球”，事 件C为“摸到蓝球”． (2)事件C与A∪B为对立事件，故摸到蓝球的概率为 P(C)＝1－P(A∪B)＝1－0.78＝0.22.
例3.甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概
率是
1 2
，乙获胜的概率是
解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄球”，事件 C为“摸到蓝球”． (1)A与B为互斥事件，故摸到红球或黄球的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.33＝0.78.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从中摸 一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率为 0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
2.事件A出现的频率
在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的
次数为nA与n的比值，即
f A(n)
nA n
3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.
4.事件的关系与运算
（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B一
定发生，则 A （B 或 B A）.
（2）相等事件： 若 A B ，且 B A ， 则
1
B. 1000
999
C. 1000 D.
1 2
2、某种彩票中奖几率为0.1％，某人连续 买1000张彩票，下列说法正确的是：
A（、此人）一定会中奖C
B、此人一定不会中奖
C、每张彩票中奖的可能性都相等
D、最后买的几张彩票中奖的可能性
大些
3． 一批产品中，有10件正品和5件次品， 对产品逐个进行检测，如果已检测到前 3次均为正品，则第4次检测的产品仍为
(2)摸出的一个球为蓝球的概率． 解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄球”，事 件C为“摸到蓝球”． (2)事件C与A∪B为对立事件，故摸到蓝球的概率为 P(C)＝1－P(A∪B)＝1－0.78＝0.22.
例3.甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概
率是
1 2
，乙获胜的概率是
高中数学第三章概率模块复习课课件新人教B版必修
1
3
= .
专题归纳
高考体验
专题三 几何概型
【例4】 如图所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB
为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部
分的概率是 (
)
2
1
1
A.1-π
B.2 − π
C.
D.
2
π
1
π
专题归纳
高考体验
解析:如图所示:
不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块
1
1
看起来,一枚骰子赌“1”点可能性是6;那么两枚骰子就有3的可
1
2
能性,三枚就有 的可能性.即使是 1 元对 1 元的奖励,机会也是均等的,
专题四 概率在现实中的应用
【例6】 我们来看一种在国外颇为盛行的赌博——“碰运气游
戏”.它的规则如下:每个参加者每次先付赌金1元,然后将三枚骰子
一起掷出.他可以猜某一个点数,譬如赌“1”点.如果三枚骰子中出现
一个“1”点,庄家除把赌金1元返还外,再奖1元;如果出现两个“1”点,
除返还赌金外,再奖2元;如果全是“1”点,那么除返还赌金外,再奖3元.
区域的几何度量
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)随机事件和随机试验是一回事. (
)
(2)事件发生的频率与概率是相同的. (
)
(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. (
)
(4)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两
第一张牌的数字
第二张牌的数字
高中数学概率论复习(全)PPT
（2）有界性：对任意实数 x ，有 0 F(x) 1，且
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
《高二数学概率复习》课件
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析
高中数学 第3章 概率阶段复习课课件 苏教版必修3
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
K12课件
12
发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得 60 分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得 60 分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550 (2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.503 和 0.550.
K12课件
8
(3)假如该射手射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那么后 30 次一定 都击不中靶心吗？
(4)假如该射手射击了 10 次，前 9 次已击中 8 次，那么第 10 次一定击中 靶心吗？
【导学号：20132196】
[解析] 弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
K12课件
产品编号
A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
K12课件
14
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于 4”，求事件B发生的概率.
K12课件
3
[体系构建]
K12课件
4
频率与概率
[题型探究]
对一批 U 盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 次品概率ba
K12课件
12
发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得 60 分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得 60 分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550 (2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.503 和 0.550.
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8
(3)假如该射手射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那么后 30 次一定 都击不中靶心吗？
(4)假如该射手射击了 10 次，前 9 次已击中 8 次，那么第 10 次一定击中 靶心吗？
【导学号：20132196】
[解析] 弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
K12课件
产品编号
A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
K12课件
14
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于 4”，求事件B发生的概率.
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3
[体系构建]
K12课件
4
频率与概率
[题型探究]
对一批 U 盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 次品概率ba
人教A版高中数学必修三课件概率复习课.pptx
解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法。 第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法。 第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法。 由加法原理得：4+2+3=9 答：有9种不同的走法。
作为练习：由数字1、2、3、4、5可以组成多
少个允许有重复数字的三位数？无重复数字的三位 数？
必然事件：在一定条件下，必然发生的事件
不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生
的事件
做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中 有m1种方法，第二类中有m2种方法……，第n类办 法中有mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的
。解 设甲乙二人到达预定地点
y
的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 30
则
二人会面
10 10
x 30
Bertrant问题 已知半径为1的圆内接三角形的
边长为
在圆内随机取一条弦求弦长超过
的概率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
D
B
O
A ① p = 1/3
A
B
D
② p = 1/2
③ p = 1/4
如果从A村经过B村到达C村可分为两个步骤完成： 第一步A村→B村，有3种不同的走法。 第二步B村→C村，有2种不同的走法。
由乘法原理，共有3×2=6种不同的走法。
分步计数原理也称为乘法原理。
问题：口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除 颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸 出一个球，试计算第二个人摸到白球的概率.
第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法。 第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法。 第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法。 由加法原理得：4+2+3=9 答：有9种不同的走法。
作为练习：由数字1、2、3、4、5可以组成多
少个允许有重复数字的三位数？无重复数字的三位 数？
必然事件：在一定条件下，必然发生的事件
不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生
的事件
做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中 有m1种方法，第二类中有m2种方法……，第n类办 法中有mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的
。解 设甲乙二人到达预定地点
y
的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 30
则
二人会面
10 10
x 30
Bertrant问题 已知半径为1的圆内接三角形的
边长为
在圆内随机取一条弦求弦长超过
的概率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
D
B
O
A ① p = 1/3
A
B
D
② p = 1/2
③ p = 1/4
如果从A村经过B村到达C村可分为两个步骤完成： 第一步A村→B村，有3种不同的走法。 第二步B村→C村，有2种不同的走法。
由乘法原理，共有3×2=6种不同的走法。
分步计数原理也称为乘法原理。
问题：口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除 颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸 出一个球，试计算第二个人摸到白球的概率.
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每一个分支为一种传球 方案，则基本事件的总数为 8，而又回到 A 手中的事件 个数为 2 个，根据古典概型 概率公式得 P＝2/8=1/4.
例 5 有两个袋中都装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张 卡片，若从每个袋中任意各取一张卡片，求取出的两 张卡片上数字之和等于5的概率．
解 从每个袋中任意取一张卡片有36个基本事 件．其中“和等于5”的结果有(0,5)，(1,4)，(2,3)， (3,2)，(4,1), (5,0)共6个基本事件，
得 P(A)＝ππ×12122＝14，
即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为14.
例9 两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等 迟到者20分钟方可离去．如果两人出发是各自独立的 ，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问两人 相遇的可能性是多大？
在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的
次数为nA与n的比值，即
f
A(n)
nA n
3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.
4.事件的关系与运算
（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B
一定发生，则 AB（或 BA ）.
（2）相等事件： 若 AB，且 BA， 则
A=B. （3）并事件(和事件):当且仅当事件A发生或
3
（1）乙不输的概率；
（2）甲获胜的概率.
解(1)P = 1+ 1 = 5 23 6
(2)P = 1- 5 = 1 66
例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给
另两人(不自传)，若从A发球算起，经3次传球后又回
到A手中的概率是多少有可能可用树状图 方式列出：如右图．
(2)摸出的一个球为蓝球的概率． 解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”． (2)事件C与A∪B为对立事件，故摸到蓝球的概率为 P(C)＝1－P(A∪B)＝1－0.78＝0.22.
例3.甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概
率是 1 ，乙获胜的概率是 1 ，求：
2
63
(2) (1,1),(1,2),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(a,1),(a,2),(a,a)
P (B ) 4 9
例7 如图，在三角形AOB中,已知AOB=60°, OA=2，OB=5，在线段OB上任意选取一点C，求 △AOC为钝角三角形的概率.
A
OD
EC B
解P=OD+EB=2=0.4 OB 5
（2）均匀随机数：在区间[a，b]上等可能取 到的任意一个值.
12. 随机模拟方法
利用计算器或计算机产生随机数，从而获得 试验结果.
例题精讲
例1 某人捡到一个不规则形状的五面体石块，他在每 个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面朝上 的次数如下表，如果再投掷一次，请估计石块的第4面落 在桌面上的概率是多少？
石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22
解 由于投掷100次，第4面落在桌面上13次，故 其频率为＝13/100=0.13. 因此，如果再掷一次，估 计石块的第4面落在桌面上的概率是0.13.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
事件B发生时，事件C发生，则C=A∪B（或A+B）.
（4）交事件（积事件）：当且仅当事件A发生 且事件B发生时，事件C发生，则 C=A∩B（或AB）.
（5）互斥事件：事件A与事件B不同时发生， 即A∩B＝Ф.
（6）对立事件：事件A与事件B有且只有一个 发生，即A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件.
8.古典概型的概率公式
事件A所包含的基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
9.几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成比例.
10.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
11.随机数
（1）整数随机数：对于某个指定范围内的整 数，每次从中有放回随机取出的一个数.
例8 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦 长超过圆内接等边三角形边长的概率．
解 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的 边长”，如图所示，作等边三角形 BCD 的内切圆，当 以小圆上任意一点作弦时，弦长都等于等边三角形的边 长，所以当弦的中点在小圆内时，弦长超过圆内接等边
三角形的边长，小圆的半径为12，所以由几何概型公式，
必修3第三章 概率复习课
知识结构
随机事件
频率
概率的意义与性质
古典概型
概
率
的
几何概型
实 际
应
用
随机数与随机模拟
知识梳理
1.事件的有关概念
(1)必然事件： 在条件S下，一定会发生的事件. (2)不可能事件： 在条件S下，一定不会发生的事件.
(3)随机事件： 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.
2.事件A出现的频率
(2)摸出的一个球为蓝球的概率．
解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”．
(1)A与B为互斥事件，故摸到红球或黄球的概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.33＝0.78.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
5.概率的几个基本性质 （1）0≤P(A)≤1.
（2）若事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
（3）若事件A与B对立，则 P（A）＋P（B）=1.
6.基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的和.
7.古典概型
一次试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性 相等（等可能性）.
所以P＝6/36＝1/6.
例6 某三件产品中有两件正品和一件次品，每次
从中任取一件，连续取两次，分别在下列条件下，求
取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
（1）每次取出产品后不放回；
（2）每次取出产品后放回.
解 记正品为1, 2, 次品为 a (1) (1,2),(1,a),(2,1),(2,a),(a,1),(a,2) P (A ) 4 2
例 5 有两个袋中都装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张 卡片，若从每个袋中任意各取一张卡片，求取出的两 张卡片上数字之和等于5的概率．
解 从每个袋中任意取一张卡片有36个基本事 件．其中“和等于5”的结果有(0,5)，(1,4)，(2,3)， (3,2)，(4,1), (5,0)共6个基本事件，
得 P(A)＝ππ×12122＝14，
即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为14.
例9 两人相约在0时到1时之间相遇，早到者应等 迟到者20分钟方可离去．如果两人出发是各自独立的 ，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问两人 相遇的可能性是多大？
在相同的条件S下重复n次试验，事件A出现的
次数为nA与n的比值，即
f
A(n)
nA n
3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.
4.事件的关系与运算
（1）包含事件：如果当事件A发生时，事件B
一定发生，则 AB（或 BA ）.
（2）相等事件： 若 AB，且 BA， 则
A=B. （3）并事件(和事件):当且仅当事件A发生或
3
（1）乙不输的概率；
（2）甲获胜的概率.
解(1)P = 1+ 1 = 5 23 6
(2)P = 1- 5 = 1 66
例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给
另两人(不自传)，若从A发球算起，经3次传球后又回
到A手中的概率是多少有可能可用树状图 方式列出：如右图．
(2)摸出的一个球为蓝球的概率． 解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”． (2)事件C与A∪B为对立事件，故摸到蓝球的概率为 P(C)＝1－P(A∪B)＝1－0.78＝0.22.
例3.甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概
率是 1 ，乙获胜的概率是 1 ，求：
2
63
(2) (1,1),(1,2),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(a,1),(a,2),(a,a)
P (B ) 4 9
例7 如图，在三角形AOB中,已知AOB=60°, OA=2，OB=5，在线段OB上任意选取一点C，求 △AOC为钝角三角形的概率.
A
OD
EC B
解P=OD+EB=2=0.4 OB 5
（2）均匀随机数：在区间[a，b]上等可能取 到的任意一个值.
12. 随机模拟方法
利用计算器或计算机产生随机数，从而获得 试验结果.
例题精讲
例1 某人捡到一个不规则形状的五面体石块，他在每 个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面朝上 的次数如下表，如果再投掷一次，请估计石块的第4面落 在桌面上的概率是多少？
石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22
解 由于投掷100次，第4面落在桌面上13次，故 其频率为＝13/100=0.13. 因此，如果再掷一次，估 计石块的第4面落在桌面上的概率是0.13.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
事件B发生时，事件C发生，则C=A∪B（或A+B）.
（4）交事件（积事件）：当且仅当事件A发生 且事件B发生时，事件C发生，则 C=A∩B（或AB）.
（5）互斥事件：事件A与事件B不同时发生， 即A∩B＝Ф.
（6）对立事件：事件A与事件B有且只有一个 发生，即A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件.
8.古典概型的概率公式
事件A所包含的基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
9.几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成比例.
10.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
11.随机数
（1）整数随机数：对于某个指定范围内的整 数，每次从中有放回随机取出的一个数.
例8 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦 长超过圆内接等边三角形边长的概率．
解 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的 边长”，如图所示，作等边三角形 BCD 的内切圆，当 以小圆上任意一点作弦时，弦长都等于等边三角形的边 长，所以当弦的中点在小圆内时，弦长超过圆内接等边
三角形的边长，小圆的半径为12，所以由几何概型公式，
必修3第三章 概率复习课
知识结构
随机事件
频率
概率的意义与性质
古典概型
概
率
的
几何概型
实 际
应
用
随机数与随机模拟
知识梳理
1.事件的有关概念
(1)必然事件： 在条件S下，一定会发生的事件. (2)不可能事件： 在条件S下，一定不会发生的事件.
(3)随机事件： 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.
2.事件A出现的频率
(2)摸出的一个球为蓝球的概率．
解 记事件A为“摸到红球”；事件B为“摸到黄 球”，事件C为“摸到蓝球”．
(1)A与B为互斥事件，故摸到红球或黄球的概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.45＋0.33＝0.78.
例2 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，随机地从 中摸一个球，摸到红球的概率为0.45，摸到黄球的概率 为0.33，求：(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率；
5.概率的几个基本性质 （1）0≤P(A)≤1.
（2）若事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.
（3）若事件A与B对立，则 P（A）＋P（B）=1.
6.基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的和.
7.古典概型
一次试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性 相等（等可能性）.
所以P＝6/36＝1/6.
例6 某三件产品中有两件正品和一件次品，每次
从中任取一件，连续取两次，分别在下列条件下，求
取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
（1）每次取出产品后不放回；
（2）每次取出产品后放回.
解 记正品为1, 2, 次品为 a (1) (1,2),(1,a),(2,1),(2,a),(a,1),(a,2) P (A ) 4 2