2016数学奥林匹克试题及解答
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
【最新精选】2016年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案
第三屆中國東南地區數學奧林匹克第一天（2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌）一、 設0,a b >>2()2()4a b x abf x x a b++=++．證明：存在唯一的正數x ，使得11333()()2a b f x +=．二、 如圖所示，在△ABC 中，90,,A B C D G ∠=︒是邊CA 上的兩點，連接BD ，BG 。
過點A ，G 分別作BD 的垂線，垂足分別為E ，F ，連接CF 。
若BE ＝EF ，求證：ABG DFC ∠=∠。
三、 一副紙牌共52張，其中“方塊”、“梅花”、“紅心”、“黑桃”每種花色的牌各13張，標號依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相鄰標號的兩張牌稱為“同花順牌”，並且A 與2也算是順牌（即A 可以當成1使用）. 試確定，從這副牌中取出13張牌，使每種標號的牌都出現，並且不含“同花順牌”的取牌方法數。
四、 對任意正整數n ，設n a 是方程31xx n+=的實數根，求證： (1) 1n n a a +>； (2) 211(1)nn i ia i a =<+∑。
第二天（2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌）五、 如圖，在ABC ∆中，60A ∠=︒，ABC ∆的內切圓I 分別切邊AB 、AC 於點D 、E ，直線DE 分別與直線BI 、CI 相交於點F 、G ，證明：12FG BC =。
BA六、 求最小的實數m ，使得對於滿足a +b +c =1的任意正實數a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++）（）。
七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整數解(,,)m n r 的組數。
（2）對於給定的整數k >1，證明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1組正整數解(,,)m n r 。
2016年第57届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案
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2016 3 15
������ ∧ ������ = (min{������1, ������1}, min{������2, ������2}, ⋯ , min{������������, ������������}). 求 ������ 的非空真子集 ������ 的元素个数的最大值, 使得对任意 ������, ������ ∈ ������, 均有 ������ ∨ ������ ∈ ������, ������ ∧ ������ ∈ ������.
3. 如图, 圆内接四边形 ������������������������ 中, ������������ > ������������, ������������ > ������������, ������, ������ 分别是 △������������������, △������������������ 的内心, 以 ������������ 为直径的圆与线段 ������������ 交于点 ������, 与 ������ ������ 的延长线交于点 ������ .
2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考 试
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第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8:00-12：30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛是世界范围内最具影响力和声誉的数学竞赛之一。
每年，来自各个国家的数学高手们聚集在一起，参与这项激烈而充满挑战的竞赛。
本文将介绍一些历年的国际数学奥林匹克竞赛试题，并提供相应的解答。
试题一：证明：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
解答一：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设4^n + n^4是一个素数，即不存在其他因子能够整除它。
考虑到任何正整数n都可以写成2k或2k+1的形式，其中k是整数。
当n为偶数时，可以将n表示为2k的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k)^4 = 2^(2n) + (2k)^4我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为偶数时，4^n + n^4不可能是素数。
当n为奇数时，可以将n表示为2k+1的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k+1)^4 = 2^(2n) + (2k+1)^4同样地，我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k+1)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k+1)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为奇数时，4^n + n^4同样不可能是素数。
综上所述，我们可以得出结论：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
试题二：证明：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 1不是完全平方数。
解答二：我们同样可以使用反证法来证明这个命题。
假设n^2 + 3n + 1是一个完全平方数，即存在另一个正整数m，使得m^2 = n^2 + 3n + 1。
根据完全平方数的性质，m^2必然是一个奇数，因为奇数的平方也是奇数。
我们可以将n^2 + 3n + 1拆分为两部分，即(n^2 + 2n + 1) + n。
2016女子数学奥林匹克试题
2016女子数学奥林匹克（2016年8月12‐8月13日）1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。
其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。
证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。
2、ABC ∆的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ∆的外接圆。
①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。
②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点，则60BAC ∠<︒。
3、,m n 是互素整数，且大于1。
求证：存在正整数,,a b c 满足1a b m n c =+⋅，且(,)1c n =。
4、n 是正整数，{}12,,...,0,1,2,...,n a a a n ∈，对于整数1j n ≤≤，j b 是集合{}{}1,2,...,i i a j n ≥ 所含元素的个数。
例如：对于1233,1,2,1n a a a ====，对应得到1233,1,0b b b ===。
①证明：2211()()n n i ii i i a i b ==+≥+∑∑。
②证明：对于整数3k ≥，都有11()()n n k k i i i i i a i b ==+≥+∑∑。
5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有21(2)4n n n S S S ++=+。
证明：对于任意正整数n，都有n a ≥。
6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。
使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。
7、I 是锐角ABC ∆的内心，AB AC >。
数学奥林匹克高中训练题(16)及答案
数学奥林匹克高中练习题〔16〕第一试一、选择题〔此题总分值36分,每题6分〕1．(练习题21)集合M 由两个以上连续自然数构成,其元素之和为1996．这样的集合M 〔B 〕．(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上2．(练习题21)[0,]x π∈,sin(cos )y x =最小值为a ,cos(sin )y x =最小值为b ,tan(sin )y x =最小值为c ,cot(cos )y x =最小值为d ．那么,,,a b c d 大小关系是〔C 〕(A) d a c b <<< (B) c a b d <<< (C)a d c b <<< (D)b a d c <<<3．(练习题21)假设方程sin sin 294380x x a a a ++-=有解,那么a 的取值范围是〔D 〕(A) 0a ≥或8a ≤- (B) 0a ≥ (C) 8031a ≤≤(D) 8723123a ≤≤ 4．(练习题21)椭圆长轴为6,左顶点在圆22(3)(2)4x y -+-=上,左准线为y 轴．那么椭圆离心率e 的取值范围是〔A 〕 (A) 3384e ≤≤ (B) 1348e ≤≤ (C) 1142e ≤≤ (D) 1324e ≤≤ 5．(练习题21)设{1,2,,100}I =．M 表示I 中最大元素为66的子集个数,N 表示I 中最小元素为33的子集个数,P 表示I 中最大元素为最小元素3倍的子集个数．那么〔B 〕(A) M N P << (B) M P N << (C) N P M << (D) P M N <<6．(练习题21)设复数z ≠1,z 13=1．那么z 1+z 3+z 4+z 9+z 10+z 12的值为〔B 〕(A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数二、填空题〔此题总分值54分,每题9分〕1．(练习题21)设实数,x y 满足方程2294320x y x y +-+=．那么32z x y =+的最大值是____1____．2．(练习题21)设,M N 是线段AB 上两点,13,42AM AN MB NB ==,以AB 为斜边任作Rt ABC ∆．再作MD BC ⊥于D ,ME AC ⊥于E ,NF BC ⊥于F ,NG AC ⊥于G ．那么比值MD ME NF NG y AB BC AC+++=++之最大可能值为_____. 3．(练习题21) 动直线l 交y 轴于A ,交x 轴于B ,设AOB ∆面积S 为定值．过原点O 作l 垂线,垂足为(,)P x y ．那么P 点的轨迹方程是 222()2x y S xy += .4．(练习题21) 正四棱锥S ABCD -．延长底面一边CD 至E ,使2DE CD =．过,B E 和棱SC 中点F作一平面,这个平面将四棱锥分为两局部．那么这两局部体积之比为____31：29___.5．(练习题21) 把6,N 为那么自然数.那么N =___76545000___.6．(练习题21) 从1,2, …, 1996中,选出k 个数,使其中任意两数之和不能被这两数之差整除.那么k 的最大可能值是 666 ．第二试一、(练习题21)〔此题总分值25分〕设()f x 是x 的整系数多项式()17f x -有五个互不相同的整数根．证实：方程()0f x =没有整数根．二、(练习题21)〔此题总分值25分〕空间有n 个平面(4n ≥),任意两个不平行,任意三个不共线,它们两两交线中,最多能有多少对异面直线？3k n C三、(练习题21)〔此题总分值35分〕过圆外两点12,C C 分别作圆的切线1111,C A C B 和2222,C A C B (1212,,,A A B B 为切点)．〔1〕两弦11A B 和22A B 相交于圆内某点P 充要条件什么？(2 ) 假设11A B 和22A B 相交于圆内P 点,过P 作弦12//AB C C ．求证：PA PB =．四、(练习题21)〔此题总分值35分〕某校有微机n 台,分别放在n 个房间,各房间开钥匙互不相同.某期培训班有学员m 人(m n >),每晚恰有n 人机房实习操作,为保证每人一台机,至少应准备多少把钥匙分给这m 个学员,使得每晚不管哪n 个人进机房,都能用自己分到的钥匙翻开一间机房的门进去练习,并按分得钥匙少的人先开门的原那么,能保证每人恰可得到一个房间．。
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ． 设 函 数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ， 其 中 k 是 一 个 正 整 数 ． 若 对 任 意 实 数 a ， 均 有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。
第五招空间余弦定理 (学生版)
5空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC ADABAC ADAC ABcos cos AC AD CADAC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥A BCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（ ）A.【示例3】 如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD平面PDC ，//AD BC ，PDPB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1) 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值. (2)(3)略.方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.1C.1【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD .（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值. （2）略.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD 中，15AB CD ，20BD AC ，337ADBC，则AB 与CD 所成角的大小为 .秒杀训练【试题1】 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E为AB 的中点，则异面直线1D B 与EC所成角的余弦值是（ ）A.【试题2】如图，已知正三棱锥PABC 的侧棱与底面的边长相等，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为 .【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【试题4】 如图,三棱柱111OAB O A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB，且12OB OO ，3OA ，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为 .【试题5】 如图,四边形中ABCD ，2ABBDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角A BD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A.522,88B. 252,88C. 20,8D. 520,8真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知AB AC ，SB SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A. 110B. 25【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD ，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为 .【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AMB N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是 .【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD ，1BC CD ，3AC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为 .【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD 的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCDEFGH ，则异面直线PA 与CF 所成角的余弦值为 .。
2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为◆答案：)310,332(--∈a ★解析：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ．2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5l og l og =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则vwl og 的值为 ◆答案：54 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==∙=u v u v w w ．2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：359 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ．2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点，A ，B ，C 是其地面圆周上的三点，满足090=∠ABC ，M 为线段AP 的中点。
2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛
2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。
） 1.）（）（）（40375.08.041545.2⨯÷⨯⨯⨯ = 。
【考点】计算【难度】★ 【答案】964 【解析】原式 = 0.5×4×0.2÷（43×403） = 52×9160 = 964 2.1811611*********－＋－＋－＋－ = 。
【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★ 【答案】94 【解析】原式 = )18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（⨯⨯⨯⨯） = 971751531311⨯⨯⨯⨯＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×21 = （1－91）×21 = 98×21 = 943.)]32152(347[163)25.016743(＋－＋－÷⨯÷ = 。
【考点】计算【难度】★ 【答案】2869 【解析】原式 = )1215347(163)4171643(⨯⨯⨯－＋－ = 316163)41712(⨯＋－ = 2841 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。
【考点】最值问题【难度】★【答案】54【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。
经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
5.下图是将大正方形的四边中点连成一个中等正方形，将大正方形中心与四边中点连线的中点连成一个小正方形，再加上大正方形的对边中点连线和对角线而构成的。
2016第四届“学数学”数学奥林匹克邀请赛(春季赛)试题及参考答案
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第四届“学数学” 数学奥林匹克邀请赛(春季赛) 参考答案
(2) 若a + b + c是偶数, 则Sn均为偶数, 故a + b + c | (ab + bc + ca)Sn+1. 从而, a + b + c | Sn+3 ⇔ a + b + c | abcSn. 因此, 若a + b + c | Sn, 则必有a + b + c | Sn+3.
4. 已知实数x, y, z ∈ [0, 1], 证明:
xyz + (1 − x)(1 − y)(1 − z) min{x(1 − y), y(1 − z), z(1 − x)}.
(赵 斌 供题)
解答
根据x
−
1 ,
y
−
1 ,
z
−
1 这三个数的正负进行讨论.
222
情形1
x
−
1 ,
y
−
1 ,
z
−
1 这三个数均不小于0,
或者均不大于0.
此时,
不妨设这三个数均不小于0
222
(均不大于0的情形的证明完全类似) , 即x
1 ,y
1 ,z
1 .
显然,
xy
(1 − x)(1 − y). 从而
2
2
2
xyz + (1 − x)(1 − y)(1 − z) = (1 − x)(1 − y) + (xy − (1 − x)(1 − y))z
2016年世界少年奥数赛八年级海选赛试题及答案解析
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛（2016年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
八年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、36的平方根是。
2、若方程m x+n y=6的两个解是11y x 及12y x ，则m= ，n =。
3、已知1b a ，b a b a ,2522。
4、已知x=y+z=2，则xyz zy x 333223。
5、如果实数a ，b 满足条件,12|21|,12222a b a b a b a则a+b= 。
6、某班级春游时48人到杭州西湖划船。
已知每只小船坐3个人，租金16元；每只大船坐5个人，租金24元，则这个班级租金至少花元。
7、在△ABC 中，∠B=60°，∠C ＞∠A ，且222B A )C (）（）（,则△ABC 的形状是。
8、观察下列式子：181092；198100992；199810009992，……，按规律写出2999999。
（填写具体数字）9、如图，韩梅梅从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，照这样子走下去，他第一次回到起点A 时走了米。
10、如图直线L与∠A 的两边相交于点B、C，则图中以A、B、C为端点的射线有条。
二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、 1+3+5+7+9+…+1997+199912、 1+5+52+53+…+5100三、解答题。
（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、解方程510)5)(4(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x x x x x x 14、已知正实数a 、b 、c 满足方程组252182292222bc a c ab c b ac b a ，求a+b+c 的值。
2016英国数学奥林匹克竞赛题-初中-第一轮
United Kingdom Mathematics Trust British Mathematical OlympiadRound1:Friday,27November2015Time allowed312hours.Instructions•Full written solutions–not just answers–arerequired,with complete proofs of any assertionsyou may make.Marks awarded will depend on theclarity of your mathematical presentation.Workin roughfirst,and then write up your best attempt.Do not hand in rough work.•One complete solution will gain more credit thanseveral unfinished attempts.It is more importantto complete a small number of questions than totry all the problems.•Each question carries10marks.However,earlierquestions tend to be easier.In general you areadvised to concentrate on these problemsfirst.•The use of rulers,set squares and compassesis allowed,but calculators and protractors areforbidden.•Start each question on a fresh sheet of paper.Writeon one side of the paper only.On each sheet ofworking write the number of the question in thetop left hand corner and your name,initials andschool in the top right hand corner.•Complete the cover sheet provided and attach it tothe front of your script,followed by your solutionsin question number order.•Staple all the pages neatly together in the top lefthand corner.•To accommodate candidates sitting in other timezones,please do not discuss the paper onthe internet until8am GMT on Saturday28November.Do not turn over until toldto do so.United Kingdom Mathematics Trust 2015/16British Mathematical OlympiadRound1:Friday,27November20151.On Thursday1st January2015,Anna buys one book and one shelf.For the next two years,she buys one book every day and one shelf on alternate Thursdays,so she next buys a shelf on15th January2015.On how many days in the period Thursday1st January2015until (and including)Saturday31st December2016is it possible for Anna to put all her books on all her shelves,so that there is an equal number of books on each shelf?2.Let ABCD be a cyclic quadrilateral and let the lines CD and BAmeet at E.The line through D which is tangent to the circle ADE meets the line CB at F.Prove that the triangle CDF is isosceles.3.Suppose that a sequence t0,t1,t2,...is defined by a formula t n=An2+Bn+C for all integers n≥0.Here A,B and C are real constants with A=0.Determine values of A,B and C which give the greatest possible number of successive terms of the sequence which are also successive terms of the Fibonacci sequence.The Fibonacci sequence is defined by F0=0,F1=1and F m=F m−1+F m−2for m≥2.4.James has a red jar,a blue jar and a pile of100pebbles.Initially bothjars are empty.A move consists of moving a pebble from the pile into one of the jars or returning a pebble from one of the jars to the pile.The numbers of pebbles in the red and blue jars determine the state of the game.The following conditions must be satisfied:a)The red jar may never contain fewer pebbles than the blue jar;b)The game may never be returned to a previous state.What is the maximum number of moves that James can make?5.Let ABC be a triangle,and let D,E and F be the feet of theperpendiculars from A,B and C to BC,CA and AB respectively.Let P,Q,R and S be the feet of the perpendiculars from D to BA, BE,CF and CA respectively.Prove that P,Q,R and S are collinear.6.A positive integer is called charming if it is equal to2or is of the form3i5j where i and j are non-negative integers.Prove that every positive integer can be written as a sum of different charming integers.。
2016CMO(中国Olympic数学竞赛)
5、用 Dn 表示正整数 n 的所有正约数构成的集合.求所有正整数 n ， 使得 Dn 可以写成两个不 相交的子集 A 和 G 的并，且满足： A 和 G 均含有至少三个元素， A 中元素可以排列成一个 等差数列， G 中元素可以排成一个等比数列.
6、给定整数 n 2 ，以及正数 a b .设实数 x1 , x2 , , xn [ a, b] ，求
2 x2 x2 x12 x2 n 1 n x2 x3 xn x1 x1 x2 xn 1 xn
的最大值.
3a 2b c .
2、锐角 ABC 中， 外心为 O ， 内心为 I ， 过点 B, C 作外接圆的切线交于点 L ， 内切圆切 BC 于点 D ， AY 垂直 BC 于点 Y ， AO 交 BC 于点 X ， PQ 为过点 I 的圆 O 的直径，求证：
P, Q, X , Y 共圆等价于 A, D, L 共线.
第 32 届中国数学奥林匹克
湖南·长沙 第一天 2016 年 11 月 23 日 8：-12：30
1、数列 {u n }, {vn } 满足： u0 u1 1 ， u n 2u n 1 3u n 2 ( n 2) ， v0 a, v1 b, v2 c ，
vn vn 1 3vn 2 27vn 3 (n 3) ，已知存在正整数 N ，使得当 n N 时， un | vn ，求证：
3、将矩形 R 分为 2016 个小矩形，每个小矩形的顶点成为结点，每个小矩形的边和 R 平行。 若一条线段的两端为结点，且线段上没有其他结点，称之为基本线段，求遍历所有划分方式 时基本线段数量的最小值和最大值.
第 32 届中国数学奥林匹克
湖南·长沙 第二天 2016 年 11 月 24 日 8：00-12：30
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
因此，z 2wz 2w 的模为 12 82 65 ．
3. 正实数 u, v, w 均不等于 1，若 logu vw logv w 5 ，logv u logw v 3，则
logw u 的值为
．
答案： 4 ． 5
解：令 logu v a, logv w b ，则
cos2
kx 10
2
2sin2
kx 10
cos2
kx 10
1 1 sin2 kx 1 cos 2kx 3 ， 2 54 5 4
其中当且仅当 x 5m (m Z) 时， f (x) 取到最大值．根据条件知，任意一个长 k
为1的开区间 (a, a 1) 至少包含一个最大值点，从而 5 1，即 k 5 ． k
3. 正实数 u,v, w 均不等于 1，若 logu vw logv w 5 ， logv u logw v 3，则 logw u 的值为______．
4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机 从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 _______．
2, ,100 中的 4 个互不相同的数，满足
(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ，
则这样的有序数组 (a1, a2 , a3, a4 ) 的个数为
．
答案： 40 ．
解：由柯西不等式知，(a12 a22 a32 )(a22 a32 a42 ) (a1a2 a2a3 a3a4 )2 ，等