质点系动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
3-7质点系的动量定理
t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律一、引言质点系动量矩守恒定律是物理学中一个非常重要的定律，它描述了质点系在运动过程中动量和角动量的守恒规律。
本文将从定义、推导、应用等方面详细介绍这一定律。
二、定义质点系是指由多个质点组成的系统，其中每个质点都有自己的质量和速度。
在运动学中，我们可以用一个坐标系来描述整个质点系的运动状态。
而在动力学中，我们需要考虑到各个质点之间的相互作用力，以及整个系统所受到的外力。
根据牛顿第二定律，一个质点所受到的合力等于其加速度乘以其质量。
同样地，对于一个质点系，在外力作用下，其总动量和总角动量也会发生变化。
当然，在某些情况下，如果系统受到的外力为零，则总动量和总角动量将保持不变。
三、推导1. 总动量守恒我们先来推导总动量守恒定律。
假设一个质点系由n个质点组成，分别为m1, m2, ..., mn，并且每个质点分别具有速度v1, v2, ..., vn。
那么这个质点系的总动量可以表示为：p = m1v1 + m2v2 + ... + mnvn现在假设这个质点系受到一个外力F作用，从而发生了加速度a。
根据牛顿第二定律，每个质点所受到的合力都等于其加速度乘以其质量：F1 = m1a, F2 = m2a, ..., Fn = mna将上述式子代入总动量公式中，可以得到：p' = (m1v1 + F1t) + (m2v2 + F2t) + ... + (mnvn + Fnt)= (m1v1 + m1at) + (m2v2 + m2at) + ... + (mnvn + mnat)= p + at(m1+m2+...+mn)由此可见，在外力作用下，质点系的总动量会发生变化，并且变化的大小与系统的加速度以及系统的总质量有关。
但是，在某些情况下，如果系统受到的外力为零，则系统将不会发生加速度变化。
此时，根据以上公式可知，系统的总动量将保持不变。
因此，我们可以得出结论：当一个质点系受到外力作用时，它的总动量会发生变化，但如果外力为零，则它的总动量将保持不变。
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律介绍物体的运动是一个复杂的过程，涉及到质点的动量和力矩等概念。
质点系动量矩守恒定律是描述多个质点在相互作用下的动量守恒规律。
本文将深入探讨质点系动量矩守恒定律的原理和应用。
质点系动量矩守恒定律的原理质点系动量矩守恒定律是基于质点的动量和力矩守恒的推导而来的。
在一个封闭系统中，如果没有外力和外力矩的作用，质点系的总动量和总动量矩将保持不变。
质点系动量守恒定律的表达式质点系动量守恒定律可以用以下表达式表示：∑m i⋅v i⃗⃗⃗ =∑m i⋅v i⃗⃗ ′其中，m i表示第i个质点的质量，v i⃗⃗⃗ 表示第i个质点的速度，v i⃗⃗ ′表示第i个质点的速度在相互作用后的值。
质点系动量守恒定律的应用质点系动量守恒定律的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体之间发生碰撞后会互相作用。
根据质点系动量守恒定律，碰撞前后质点系的总动量保持不变。
这种定律在撞球、弹簧振子等场景中得到了广泛的应用。
2. 力矩平衡在一个力矩平衡的系统中，物体对轴产生的力矩之和为零。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量矩也将保持不变。
这个应用场景常见于杠杆平衡、旋转机械等领域。
3. 爆炸反应在爆炸反应中，物体间发生的爆炸会导致质点系的动量发生变化。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量依然保持不变。
这个原理被应用于爆炸物理学和火箭动力学等领域。
4. 流体力学在流体力学中，质点系动量守恒定律被广泛应用于描述流体的运动。
根据定律，流体中各个质点的总动量保持不变，从而可以推导出流体动力学的一些基本方程。
质点系动量守恒定律的证明质点系动量守恒定律可以通过牛顿定律的推导来证明。
假设在一个封闭系统中，只有内力存在，没有外力作用。
根据牛顿第三定律，内力满足作用力与反作用力相等且方向相反。
因此，内力互相抵消，系统的总动量保持不变。
质点系动量守恒定律的局限性质点系动量守恒定律在某些特殊情况下可能不适用，比如包含外力或外力矩的系统。
§3.5 动量守恒定律的常见形式
一、质点系动量守恒定律
若 Fi 0 ，则：
i
i
p＝恒矢量 i
1.内力远大于外力，可近似认为动量守恒。 例:碰撞、打击、爆炸等. 2.动量沿某一坐标轴的投影守恒。
＝恒量 例：若 Fix 0 则： pix
i i
例1
已知：粒子 B 的质量是粒子A 的质量的 4 倍， 开始时粒子A 的速度为 ( )，粒子 B
v
m( x1 x ) M ( x2 X ) xC mM
V
x1
x2
L x X
解得：
x X
x 2 x1
已知：m，v0 , θ
2 1 m1 m;m2 m 3 3
例5 y
v0
求：x2
o
x1
m1
m2 xC x2
x
解：（一）动量守恒定律
(二)质心运动定理
y
炮弹炸裂后，质心 仍沿原路径飞行
v0
o
x1
m1
m2 xC x2
x
注意： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
drc drc 又 vc ，若vc (t 0) 0，即 0 dt dt 则：rc 恒矢量
质心位置恒定不变
i
已知:质量为m的人站在一质量为M、长为L的小车 例4 一端，由静止走向车的另一端，求人和小车各移动 了多少距离?(不计摩擦) m
动量和动量守恒定律
3）若某一方向合外力为零，则此方向动量守恒 。
Fxex 0 , Fyex 0 , Fzex 0 ,
px mi vix Cx p y mi viy C y pz mi viz Cz
4）动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
2-2 动量和动量守恒定律 一、质点和质点系的动量定理 1、冲量 质点的动量定理
d(mv) F 由牛顿第二定律 dt t2 v2 两边乘以dt并积分： Fdt d(mv) mv2 mv1
t1 v1
合力的冲量 I
I Fdt —–力的冲量 t
1
动量的增量
t2
*单位：N· s
I x Fx dt
例题 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速 率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s。求在此时间内 钢板所受到的平均冲力 F 。
解：建立如图坐标系, 由动量定理得
Fx t mv2 x mv1x mv cos (mv cos ) 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y
2 1 2 1 2
说 明
1
mv
mv1
F
mv2
t1 Fdt F (t2 t1 ) t2 t1 Fdt mv 2 mv1 F t2 t1 t2 t1
t2
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小； 反之则越大。 海绵垫子可 以延长运动员 下落时与其接 触的时间，这 样就减小了地 面对人的冲击 力。
b
W ( Fxdx Fy dy Fz dz)
3.2质点系的动量定理动量守恒定律
t2
内力冲量之和
fidt
同样，由于每个质点的
i t1
受力时间dt 相同,
t2
t2
fidt ( fi )dt
因为内力之和为零：
i t1
t1 i
fi 0
fi
mi
质点系
Fi
i
所以有结论：
t2
fidt 0
i t1
内力的冲量 之和为零
质点系的重要结论之二
则，质点系的动量定理
t2
F外dt P P0 （积分形式）
第2步，对所有 质点求和：
i
(
t2 t1
Fidt
t2 t1
fidt)
i
(Pi Pi0 )
第3步，化简上式： 外力冲量之和 内力冲量之和
先看外力冲量之和
由于每个质点的受力
时间dt 相同,所以：
i
t2 t1
Fidt
( t2
t1
i
Fi )dt
t2 t1
F外dt
2
第三章动量与角动量
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时,
Lm
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，
地面所受链条的作用力。
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
h
dm dl dt
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
f'
地面受力
F
f
' ml g
m (3l L
2h)g
10
第三章动量与角动量
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
什么是动量守恒定律
什么是动量守恒定律动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的物理定律。
它表明在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律是质点运动的基本定律之一，它与质量和速度密切相关。
质点的动量定义为质量与速度的乘积，即动量=质量 ×速度。
根据动量守恒定律，如果质点或质点系系统中的质点没有受到外力作用，或者外力作用合力为零，则系统的总动量在运动过程中保持不变。
动量守恒定律可以用数学公式来表示。
对于一个由n个质点组成的系统，在任意时刻t的总动量为：P_total(t) = P_1(t) + P_2(t) + ... + P_n(t)其中，P_i(t)为第i个质点在时刻t的动量。
动量守恒定律是通过对系统内部相互作用力和外力之和的分析得出的。
在一个孤立系统中，由于没有外力作用（或外力合成为零），系统内部相互作用力之和为零。
根据牛顿第三定律，质点i对质点j的作用力与质点j对质点i的作用力大小相等、方向相反。
因此，系统内各质点的作用力对总动量的贡献相互抵消，导致总动量保持恒定。
动量守恒定律适用于各种不同的物理情境。
在力学中，例如弹性碰撞和非弹性碰撞中，质点间的相互作用力可以改变质点的动量，但总动量保持不变。
在流体力学中，根据质点流体运动的动量守恒定律，可以推导出流体动量守恒定律，描述流体运动过程中总动量的守恒。
动量守恒定律的应用广泛，并在科学和工程领域中有着重要的意义。
例如，在交通工程中，研究车辆碰撞时的动量守恒可以帮助设计安全的汽车结构和防护设施。
在天体力学中，动量守恒定律用于解释行星间的相互作用和天体运动的轨迹。
此外，在核物理学和高能物理学中，动量守恒定律被广泛应用于粒子加速器中的粒子碰撞实验和粒子物理过程的研究。
总结起来，动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的基本物理定律。
它指出在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
质点系的动量守恒定律
质点系的动量守恒定律一、前言质点系的动量守恒定律是力学中一个非常重要的定律，它描述了质点系在不受外力作用下动量守恒的情况。
本文将从以下几个方面来详细介绍这个定律：定义、公式、证明、应用以及注意事项。
二、定义质点系是指由多个质点组成的系统。
在不受外力作用下，质点系内部的相互作用力使得系统内部各个质点之间的动量发生改变，但是系统整体的动量却保持不变。
这就是质点系的动量守恒定律。
三、公式根据牛顿第二定律，一个物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
因此，对于一个由N个质点组成的系统，其总动量可以表示为：P = m1v1 + m2v2 + ... + mNvN其中，mi和vi分别表示第i个质点的质量和速度。
如果该系统不受外力作用，则其总动量保持不变：ΣPi = Σmi vi = 常数这就是质点系的动量守恒定律。
四、证明证明该定律可以采用牛顿第三定律和牛顿第二定律。
具体证明过程如下：1. 假设一个由N个质点组成的系统不受外力作用，其总动量为P0。
2. 假设第i个质点受到第j个质点的作用力Fij，根据牛顿第三定律，Fij = -Fji。
3. 根据牛顿第二定律，Fij = mi ai，其中ai是第i个质点的加速度。
4. 对于整个系统来说，Σmi ai = 0。
因此，Σmi vi = P0是一个常数。
5. 如果该系统在某一时刻发生碰撞或者其他内部相互作用力的变化，则会导致其中某些质点的速度发生改变。
但是由于其他质点对这些质点的作用力仍然满足牛顿第三定律，因此整个系统的总动量仍然保持不变。
6. 因此，在不受外力作用下，质点系的总动量守恒。
五、应用1. 碰撞问题在碰撞问题中，可以利用质点系的动量守恒定律求解碰撞前后物体的速度和方向等信息。
例如，在弹性碰撞中，两个物体碰撞前后总动量保持不变，因此可以通过总动量守恒定律求解碰撞后物体的速度和方向。
2. 火箭推进问题在火箭推进问题中，可以利用质点系的动量守恒定律分析火箭的推进效率。
质点系动量定理
质点系动量定理质点系动量定理是一个物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将恒定不变。
它也被称为质点系动量守恒定律，或简称动量守恒定理。
它由英国物理学家威廉汉弗莱斯斯特兰奇（William H.F. Strutt）于1902年首先提出。
质点系动量定理的运用广泛，它说明了物体的动量的总和在某一时刻可以在没有外力干扰的情况下保持不变。
也就是说，当外力不作用时，它保证物体的动能在任何时刻保持不变。
这就是所谓的动量守恒定理。
它还说明了当外力作用时，物体的总动能也将发生变化。
即受外力的作用，物体的动能总和也会发生改变，有增有减。
换句话说，当物体受到外力的作用时，它的动能总和将发生变化，即动量定理不再成立。
这个定理也被应用于多体系统，它表明：多体系统的动量的总和也受外力的作用而发生变化，即总动量不再恒定不变，而是会受外力的作用而发生变化。
质点系动量定理的有趣地方是，当其中的任何物体受到外力的作用时，整个系统的动能总和将发生改变，而并不只是这个物体本身的动量发生改变。
如果相对论性质也考虑在内，这个定理就可以被引申出更多的结论。
举个例子，在相对论当中，如果一个质点系统中有两个物体，由于它们之间的运动状况相互影响，当两个物体受到外力的作用时，它们的动能并不是变化的，而是一个物体的动量增加而另外一个物体的动量减少而使得总的动能不变。
总的来说，质点系动量定理是物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将保持恒定不变；它也给出了动量定律、相对论以及多体系统分析中有关物体动能变化的重要指导。
同时它也被广泛用于物理、力学和电子学科的研究中，其影响力是非常深远的。
大学物理质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
质点系的动量定理动量守恒定律
x
mv1
mv2 O
y
解 由动量定理得：
Fxt mv2x mv1x mv cos (mv cos )
2mv cos
x
mv1
mv2 O
Fyt mv2y mv1y
y
mvsin mvsin 0
F
Fx
2mv cos
t
14.1 N
mv1
微分形式 积分形式
动量定理：在给定的时间间隔内，外力作用在质点 上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
分量表示
I y
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
说明
Iz
t2 t1
Fzdt
mv2z
mv1z
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
“船行八面风”
帆船靠风力推动前进， 只要有风，不管风从什么方向 吹来，都可借助风力前进。
I p2 p1 p
※ 质点系的动量定理
对两质点分别应用质点动 量定理：
外力和内力
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 )dt F21)dt
m2
O
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
m1
y
g y y2 d y yv yv dyv
0
0
3-2-1质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
4.动量守恒定律只适用于惯性系。
大学物理学
北京交通大学 理学院 赵红娥
物体动量的矢量和不变，而不是指
某个物体的动量不变。
N
∑ 2.系统动量守恒条件：F外 = Fi外 = 0 i =1
满足下面之一：
①系统不受外力；
②合外力=0；
③内力>>外力。
如在碰撞、打击、爆炸等相互作 用时间极短的过程中，内力>>外 力，可略去外力。
N
∑ 3.若 F外 = Fi外 ≠ 0 ， i =1
大学物理学
三、 质点的冲量 动量定理 质点系的动量守恒定律
冲量
由力的定义式
F
dP =
得 Fdt = dp
dt
考虑时间过程 : t1 → t2
∫ ∫ t2 Fdt = t1
p2 dp
p1
=
p2
−
p1
=
∆p
定义力的作用对时间的积累量称为力的冲量
∫ I = t2 Fdt t1
国际单位：Ns 量纲：MLT－1
(3) 动量定理的分量式
∫
I
x
=
t2 t1
Fx dt
=
mv 2 x
− mv 1 x
∫
I
y
=
t2 t1
Fy dt
=
mv 2 y
− mv 1 y
∫
I
z
=
t2 t1
Fz dz
=
mv 2 z
− mv 1z
思考问题： “一质点在某一过程中，所受合力的冲 量为零，则该质点的动量一定守恒”。 这说法正确否？ 答：不对。
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
动量守恒定律
例2、一质量均匀分布的柔软细绳 、 铅直地悬挂着， 铅直地悬挂着，绳的下端刚好触 到水平桌面上， 到水平桌面上，如果把绳的上端 放开，绳将落在桌面上。试证明： 放开，绳将落在桌面上。试证明： 在绳下落的过程中， 在绳下落的过程中，任意时刻作 用于桌面的压力， 用于桌面的压力，等于已落到桌 面上的绳重量的三倍。 面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标， 时刻已有 证明：取如图坐标，设t时刻已有 x长的柔绳落至桌面，随后的 时 长的柔绳落至桌面， 长的柔绳落至桌面 随后的dt时 间内将有质量为ρ 间内将有质量为ρdx(Mdx/L)的柔 的柔 绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止， 的速率碰到桌面而停止， 绳以 的速率碰到桌面而停止 dx 它的动量变化率为： 它的动量变化率为： − ρ dx ⋅
p(t ) = λ xvi
链条的动量随时间的变化率为
dp(t ) dx = λ v i = λ v 2i dt dt
作用在整个链条的外力，有手的提力 ，重力λxg和 作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力 和λ(lx)g以及地面对链条的支持力 ，由牛顿第三定律知 与 以及地面对链条的支持力N，由牛顿第三定律知N与 以及地面对链条的支持力 λ(l-x)g大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为 大小相等， 大小相等 方向相反，
dp dv dM F= =M −u dt dt dt
dv dM M =F +u dt dt
dM 叫作火箭发动机的推力 u dt
2、火箭运动的速度公式
对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭， 对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可 以认为系统不受外力作用， 以认为系统不受外力作用，即F=0
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L 所以 F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
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7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
m2 200 kg
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
6
例题
pe 1.2 1022 kg m s1
pe(电子)
pν
6.4
10
23
kg
m
s
1
解 pe pν pN 0 pe pν
pN ( pe2 pν2 )1 2
pN pν(中微子)
1.36 1022 kg m s1 图中 arctan pe 61.9o
i
Fyex 0 , py mi viy C y
i
合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒。
4
例题
例1 有一面为1/4凹圆 柱 面 （ 半 径 R） 的 物 体 ， 质 量 为 m1， 放 置 在 光 滑 水平面上。一质量为m2 的小物体从静止开始沿圆面从顶端下滑，小
物体从水平方向飞离大物体时速度为 v。求
当小物体离开时，凹面物体的速度。
5
例题
例2 设有一静止的原 子核，衰变辐射出一个电子 和一个中微子后成为一个新 的原子核．已知电子和中微 子的运动方向互相垂直，且
pe(电子) pN pν(中微子)
电子动量为1.210-22 kg·m·s-1，中微子的动 量为6.410-23 kg·m·s-1．问新的原子核的动 量的值和方向如何？
x x'
z
z'
9
例题
解 v1 v2 v' (m1 m2 )v m1v1 m2v2
v2
v
m1 m1 m2
v'
2.17 103
m s1
v1 3.17 103 m s1
y s v
y' s' v'
m2 m1
o z
o' z'
x x'
10
质点系的动量守恒定律
由质点系的动量定理
F ex dP
dt
当合外力 F ex 0时，P 常矢量，即：P1 P2
其中 P2 pi2 mivi2 P1 pi1 mivi1
i
i
i
i
质点系动量守恒定律：
若系统所受合外力为零,则系统的总动量 保持不变。
1
动量定律的说明