两个三角形相似的条件
4.4.2探索三角形相似的条件(教案)
c. SAS（边角边）相似定理：如果两个三角形的两边和它们夹的角分别相等，则这两个三角形相似。
3.能够运用三角形相似的性质解决实际问题，例如：求三角形的面积、证明线段的比例关系等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下几方面的能力：
五、教学反思
今天在教授《4.4.2探索三角形相似的条件》这一章节时，我发现学生们对于三角形相似的概念和应用表现出很大的兴趣。在课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子，帮助他们理解相似三角形的实际意义。从学生的反应来看，这种方法是有效的，它使得抽象的几何知识变得具体而生动。
在讲授过程中，我注意到AA、SSS、SAS相似定理是学生们理解的难点。为此，我使用了多个图形示例，逐步引导他们识别对应角和对应边，并解释了成比例的概念。在这一点上，我感到可能需要更多的练习和实例来加深学生的理解，未来我计划设计一些更具挑战性的习题，以便他们能够更好地掌握这些定理。
-举例：通过具体图形，帮助学生理解什么是“对应”，如何找到相似三角形的对应角和对应边。
-难点二：AA相似定理的应用。学生需要掌握在没有给出边长信息的情况下，如何仅通过角度信息判断三角形相似。
-举例：给出两个三角形，其中一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，引导学生发现这两个三角形相似。
-难点三：SSS相似定理的理解。学生需要理解三边比例关系是判定三角形相似的关键，而不仅仅是三边相等。
通过这次教学，我更加坚信，结合生活实例和动手操作，能够有效提升学生对几何概念的理解和应用能力。在接下来的课程中，我会继续探索更多有效的教学方法，以期达到更好的教学效果。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
相似三角形的证明条件
相似三角形的证明条件相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
在数学中，相似三角形是一种非常重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，而且在其他领域也有重要的作用。
相似三角形的证明条件是指判断两个三角形是否相似的规律和方法。
本文将从三角形的定义、相似三角形的概念和性质以及相似三角形的证明条件等方面探讨相似三角形的证明条件。
一、三角形的定义三角形是平面几何中最基本的图形之一，它是由三条线段所组成的，这三条线段所组成的图形称为三角形。
三角形有三个顶点和三条边，其中每条边的两个端点都是一个顶点。
三角形的三个内角相加等于180度，这是三角形的重要性质之一。
二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
相似三角形的性质包括：1. 两个相似三角形的对应角度相等。
2. 两个相似三角形的对应边长成比例。
3. 两个相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。
三、相似三角形的证明条件判断两个三角形是否相似，需要满足以下条件：1. AAA相似条件如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
证明：根据三角形内角和定理可知，任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
因此，如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形的第三个内角也必然相等。
由于相似三角形的对应角度相等，因此这两个三角形相似。
2. AA相似条件如果两个三角形的两个内角分别相等，则这两个三角形相似。
证明：如果两个三角形的两个内角分别相等，那么这两个三角形的第三个内角也必然相等。
由于相似三角形的对应角度相等，因此这两个三角形相似。
3. SAS相似条件如果两个三角形的一个内角和两个边分别等于另一个三角形的一个内角和两个边，则这两个三角形相似。
证明：假设两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，AB/DE=AC/DF，BC/EF相等。
我们需要证明∠B=∠E。
由于三角形ABC和DEF相似，因此AB/DE=AC/DF=BC/EF，即AB/DE=BC/EF。
判定三角形相似的条件
判定三角形相似的条件三角形是几何学中的基本图形，而相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
判定三角形相似的条件有以下几种：1. AAA相似定理AAA相似定理是指若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，而另一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，那么这两个三角形是相似的。
2. AA相似定理AA相似定理是指若两个三角形的两个内角分别相等，则这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的两个角度分别相等，那么它们是相似的。
例如，如果一个三角形的两个内角分别为30度和50度，而另一个三角形的两个内角分别为30度和50度，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理SSS相似定理是指若两个三角形的三个边的比例相等，则这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三个边的比例相等，那么它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三个边长分别为3cm、4cm和5cm，而另一个三角形的三个边长分别为6cm、8cm和10cm，那么这两个三角形是相似的。
4. SAS相似定理SAS相似定理是指若两个三角形的一个角和两个边的比例相等，则这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边的比例相等，那么它们是相似的。
例如，如果一个三角形的一个角为60度，而另一个三角形的一个角为60度，且两个三角形的两个边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
需要注意的是，以上四个相似定理都是用于判定两个三角形是否相似的条件。
在判定三角形相似时，需要满足其中一个定理即可。
相似三角形具有很多重要的性质和应用。
例如，相似三角形的对应边长比等于对应角度的正弦比、余弦比或正切比。
这些性质在解决实际问题时非常有用。
总结起来，判定三角形相似的条件包括AAA相似定理、AA相似定理、SSS相似定理和SAS相似定理。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意． 故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（ ）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（ ）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝ ． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ， 故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（ ）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题． 【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（ ）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ． 【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ， 在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似． 故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似， 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽， 即824816t t -=， 解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=， 解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°， 在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8， 故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可． 【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''． 求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD ∽△CBE ； （2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证； （2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证； （3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求． 【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ， 如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
27.2.1三边成比例的两个三角形相似(教案)
在小组讨论环节，我尽量充当引导者的角色，鼓励学生们发表自己的见解，并与其他同学进行交流。我观察到，通过这种互动，学生们能够互相启发，共同解决难题。但我也意识到，小组讨论的时间需要更好地控制，以确保每个小组都有充分的时间进行深入讨论，并分享他们的成果。
4.培养学生的团队协作能力：通过小组讨论和合作探究，培养学生沟通交流、共同解决问题的能力，增强团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：本节课的教学重点是使学生理解和掌握三边成比例的两个三角形相似的条件及其性质。
-举例解释：
-解释并掌握相似三角形的定义，即两个三角形的三组对应边的比相等。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、判定条件、性质以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力：通过观察和分析相似三角形的特征，使学生能够直观地识别和判断相似三角形，提高空间想象力和几何直觉。
相似三角形的判定 教案
27.2。
1 相似三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】1．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义,和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似）．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．运用三角形相似的条件解决简单的问题．知识概览图定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相似三角形的性质：对应角相等,对应边的比相等新课导引【生活链接】小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形状的花束，三边长分别是35 cm,40 cm，50 cm,小丽也想制作一个这样形状的花束,但她手中只有一根长100 cm的木条，她应该怎么制作呢?【问题探究】如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等,那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗？教材精华知识点1 相似三角形相似三角形是形状相同的三角形，它们的对应角都相等，对应边的比都相等．如图27—10所示，△ABC与△DEF的形状相同，大小不同，这两个三角形相似，所以∠A＝∠D，∠B＝∠E,∠C＝∠F，AB BC ACDE EF DF==·拓展相似三角形的定义既是最基本的判定方法,也是最重要的性质．知识点2 相似三角形的表示方法△ABC与△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作“△ABC 相似于△DEF”或“△DEF相似于△ABC”．拓展用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上，如图27－10所示，表示△ABC与△DEF相似，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，∠C 的对应角是∠F，即△ABC∽△DEF，而不要写成△ABC∽△EFD，如果把△ABC写成△BAC，那么就应该记作△BAC∽△EDF,这样做的目的是为了指明对应角、对应边．相似三角形相似三角形的判定知识点3 三角形的相似比两个三角形相似，对应边的比叫做相似比．例如:若△ABC ∽△DEF ，则AB BC CA DE EF FD ==．设比值为k ,于是AB BC CA DE EF FD===k ，即△ABC 与△DEF 的相似比为k ．拓展 这时△DEF 与△ABC 的相似比为1k ．若BC ＝6，EF ＝8，则△ABC 与△DEF 的相似比为6384=，△DEF 与△ABC 的相似比为43. 探究交流 如果两个三角形的相似比k ＝1，那么这两个三角形有怎样的关系?点拨 当两个三角形相似，且相似比为1时，这两个三角形全等,也就是说,这两个三角形的对应角都相等,对应边都相等，这两个三角形能够重合．三角形全等是三角形相似的特例．知识点4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．把这个定理应用到三角形中，可以得到: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等． 知识点5 相似三角形的判定定理判定定理1:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．如图27-11所示，在△ABC 中,过AB 上一点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，求证△ADE ∽△ABC ． 证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ,∠AED ＝∠ACB ．连接DC ，BE ，∵S △EBC ＝S △DBC ,∴S △ABE ＝S △ACD ． ∵同高的两个三角形面积的比等于底边的比，∴,ADE ADE ABE ACD S S AD AE S AB S AC==△△△△。
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
判定两个三角形是否相似的条件包括三个方面：对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。
1. 对应角相等两个三角形的对应角相等是判断其相似性最基本的条件之一。
如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
2. 对应边成比例相似三角形的另一个判定条件是对应边成比例。
在两个相似三角形中，对应边的比值要保持一致。
设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
3. 三边对应比例相等除了对应角相等和对应边成比例外，相似三角形还需要满足三边对应比例相等的条件。
具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
基于以上判定条件，我们可以利用相似三角形的特点进行问题求解和证明。
例如，当我们已知一些三角形的角度或边的比例时，可以利用相似三角形的判定条件来推导出其他相关的角度或边的比例关系，从而解决一些三角形的性质和应用问题。
需要注意的是，相似三角形的判定条件是充要条件，即满足此条件的三角形一定是相似的，但只满足部分条件并不能保证三角形之间的相似性。
因此，在应用相似三角形的定理时，我们需要确保已满足了所有的判定条件。
综上所述，相似三角形的判定条件是对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。
通过判定这三个条件是否满足，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，并可以利用相似三角形的性质进行问题求解和证明。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
求三角形相似的条件
求三角形相似的条件三角形相似是几何学中一个重要的概念，它指的是两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等。
在实际问题中，我们经常会用到三角形相似的性质来求解各种问题。
本文将从三角形相似的条件入手，详细介绍三角形相似的相关内容。
一、三角形相似的条件要判断两个三角形是否相似，需要满足以下条件：1. AA相似条件：两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
这意味着两个三角形的对应边的比值相等。
2. SSS相似条件：两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
这意味着两个三角形的对应角相等。
3. SAS相似条件：两个三角形中，一对对应边的比值相等，并且这对边夹角的大小相等，则这两个三角形相似。
二、三角形相似的应用1. 比例求解：通过三角形相似的条件，我们可以利用已知三角形的一些边长关系，求解其他未知边长的比例关系。
例如，已知两个相似三角形的一对对应边的比值，可以求解其他对应边的比值。
2. 测量计算：在实际测量中，我们可以利用三角形相似的性质，通过测量一个三角形的一些边长和角度，推导出其他三角形的边长和角度。
3. 图形放缩：利用三角形相似的性质，我们可以将一个三角形放大或缩小成为另一个相似的三角形。
这在地图绘制、模型制作等领域中有很多应用。
4. 几何证明：三角形相似的性质在几何证明中也经常被使用。
通过运用三角形相似的条件，我们可以证明一些几何定理和性质。
三、三角形相似的例题下面通过几个例题来进一步理解三角形相似的应用。
例题1：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB=12cm，BC=9cm，DE=8cm，求EF的长度。
解：根据题意可知，三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF，代入已知数据，得到12/8=9/EF，通过交叉乘法得到EF=6cm。
例题2：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且∠B=45°，∠C=60°，EF=5cm，求三角形DEF的角度。
数学2个三角形相似条件
数学2个三角形相似条件两个三角形相似的条件相似三角形是指具有相似形状的两个三角形。
在数学中，我们可以通过观察和比较三角形的边长和角度来确定它们是否相似。
下面将介绍两个三角形相似的条件。
1. AA相似条件：AA相似条件指的是当两个三角形的两个角分别相等时，它们是相似的。
具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的对应边的比例也相等。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么我们可以推断出三角形ABC与三角形DEF是相似的。
在这种情况下，我们可以得出以下结论：AB/DE = BC/EF = AC/DFAA相似条件是判断三角形相似性常用的方法之一。
当我们知道两个三角形的两个角相等时，我们可以利用这个条件来推导出它们的其他相似性质。
2. SAS相似条件：SAS相似条件指的是当两个三角形的一个角相等，而它们的两个相邻边的比例也相等时，它们是相似的。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且它们的两个相邻边的比例相等，则它们的对应边的比例也相等。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，且AB/DE = AC/DF，那么我们可以推断出三角形ABC与三角形DEF是相似的。
在这种情况下，我们可以得出以下结论：BC/EF = AC/DFSAS相似条件也是判断三角形相似性常用的方法之一。
当我们知道两个三角形的一个角相等，并且这个角的两个相邻边的比例相等时，我们可以利用这个条件来判断它们是否相似。
总结：两个三角形相似的条件有AA相似条件和SAS相似条件。
通过观察和比较三角形的角度和边长，我们可以利用这些条件来判断三角形是否相似。
在判断相似性时，我们可以根据已知条件来推导出其他相似性质，进一步研究三角形的性质和关系。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件:①______________________ :② _______________________ :③_______________________________ .二、两个三角形相似的六种图形：条件DE"BC喙件务条件Afi/DE 無件厶Q条件AD是RtABC斜边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决•三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；「------ ►a）已知一对等彳找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似f 三边对应成比例，两三角形相似e ）相似形的传递性 若△ sA,© s △，则厶“△四、“三点定形法”， 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例 式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个 三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个 不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图,A ABC 中,CE 丄AB,BF 丄AC.求证:AE ACAF BAb ）己知两边对应成比找第三边也对应成比例找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似C ）己知一个直 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2d ）有等腰关 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3（判断“横定”还是“竖定”？例2、如图，CD是Rt△KBC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F, AC AE=AF AB吗？说明理由。
相似三角形定理推导过程
相似三角形定理推导过程相似三角形定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两个三角形在形状上相似的条件。
在推导相似三角形定理的过程中，我们需要先了解什么是相似三角形。
相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比例相等的三角形。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
现在，我们来推导相似三角形定理。
假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F，对应边的长度分别为AB、BC、CA和DE、EF、FD。
根据相似三角形的定义，我们可以得到以下两个条件：1. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. AB/DE=BC/EF=CA/FD。
接下来，我们需要证明这两个条件是相互独立的，即如果其中一个条件成立，那么另一个条件也一定成立。
首先，我们来证明条件1和条件2是相互独立的。
假设条件1成立，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要证明条件2也成立，即AB/DE=BC/EF=CA/FD。
我们可以通过以下步骤来证明：1. 由于∠A=∠D，我们可以得到两个相似的直角三角形ABC和DEF。
因此，我们可以得到AB/DE=BC/EF。
2. 同理，由于∠B=∠E，我们可以得到两个相似的直角三角形BCA和EFD。
因此，我们可以得到BC/EF=CA/FD。
因此，我们证明了条件1和条件2是相互独立的。
接下来，我们来证明条件2能够推出条件1。
假设条件2成立，即AB/DE=BC/EF=CA/FD。
我们需要证明条件1也成立，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们可以通过以下步骤来证明：1. 假设AB/DE=BC/EF，我们可以得到∠A=∠D和∠B=∠E。
这是因为，如果AB/DE=BC/EF，那么根据正弦定理，sin ∠A/sin∠D=AB/DE，sin∠B/sin∠E=BC/EF。
由于AB/DE=BC/EF，所以sin∠A/sin∠D=sin∠B/sin∠E。
相似三角形的全等判定条件
相似三角形的全等判定条件在初中数学中，我们学习到了各种各样的三角形相关知识。
在这些知识中，相似三角形是比较基础而重要的一个。
相似三角形不同于全等三角形，但是它们有很多相似之处。
在此，我们将讨论相似三角形的全等判定条件，探究相似三角形与全等三角形的关系。
一、相似三角形在初中数学中，我们学习到两个图形相似的定义是：两个图形在形状上相似，但是大小不一定相等。
对于三角形而言，具体地讲，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似的。
我们可以用“∠”来表示角度。
例如，若∠A=∠B , ∠B=∠C，那么三角形ABC 与三角形BCA就相似。
需要注意的是，这里没有规定对应边的长度要求相等或者成比例。
相似三角形有很多有趣的性质，这些性质在学习初高中数学时都非常重要。
我们可以通过相似三角形来计算高度、距离、比例等等问题。
甚至在画图、构建物体等方面也用到了相似三角形的概念。
二、三角形的全等判定条件在三角形中，如何判断两个三角形是全等的呢？首先，我们需要知道两个三角形全等的定义是：两个三角形既在形状上相等，又在大小上完全相等。
具体而言，如果两个三角形的对应三边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
在判定两个三角形是否全等时，我们可以利用以下的三角形全等判定条件：1. SSS判定法：若两个三角形各边长度分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：若两个三角形的一个角和与其相对的两边的长度分别相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：若两个三角形的两个角和它们之间的一条边的长度分别相等，则这两个三角形全等。
4. RHS判定法：若两个三角形中，一个角和两侧边分别与另一个三角形中的一个角和两侧边完全相等，则这两个三角形全等。
通过这些判定法则，我们可以轻松地判断两个三角形是否全等。
三、有了全等三角形的判定条件，我们想必对相似三角形的全等判定条件也有一个直观的印象了。
类似于全等三角形，我们可以列出相似三角形的全等判定条件：1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
《探索三角形相似的条件》 讲义
《探索三角形相似的条件》讲义一、三角形相似的定义在数学中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就被称为相似三角形。
相似三角形具有许多重要的性质和应用，在解决几何问题中经常会用到。
二、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似这是判断三角形相似的一个重要条件。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
我们可以通过简单的推理来理解这个条件。
因为三角形的内角和为180 度，如果两个角分别相等，那么第三个角也必然相等。
而角相等意味着对应边的比例关系是固定的，从而证明了三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
这个条件的理解可以通过构建比例关系来实现。
当两边成比例且夹角相等时，可以利用三角函数或者相似三角形的定义来证明对应边的比例关系在整个三角形中是一致的，从而得出相似的结论。
3、三边成比例的两个三角形相似如果三角形 ABC 的三条边与三角形 A'B'C'的三条边对应成比例，即 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么这两个三角形相似。
对于这个条件，可以通过将两个三角形的边按照比例进行缩放，发现它们能够完全重合，从而证明相似。
三、三角形相似条件的应用1、测量物体的高度在实际生活中，如果我们想要测量一个物体（如大树、高楼等）的高度，但又无法直接测量，就可以利用三角形相似的原理。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。
相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。
它们的边长比例相等，对应的角度也相等。
通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。
首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。
相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
这是相似三角形的性质中最重要的一条。
2. 对应边比例相等性质。
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。
其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。
判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
2. SSS 判定法。
如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
3. SAS 判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
4. 等腰三角形判定法。
如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。
这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。
总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。
三角形hl全等的条件
三角形hl全等的条件什么是三角形hl全等的条件在几何学中，我们可以通过某些条件来判断两个三角形是否全等（即形状和大小完全相同）。
三角形hl全等是其中之一。
当两个三角形的一边和相对边的夹角分别相等时，我们可以认为这两个三角形是hl全等的。
三角形hl全等的条件一个三角形和另一个三角形hl全等的条件如下：1.条件一：两个三角形分别有一条边和相对边，使它们相等。
这意味着两个三角形分别有一条边和相对边相等，即H（Hypotenuse）边和L（Leg）边。
2.条件二：两个三角形的相对边的夹角分别相等。
这意味着如果两个三角形的一个角是直角，则另一个角也是直角。
证明三角形hl全等的条件下面我们将给出关于三角形hl全等条件的证明：证明条件一假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，AC = DF，BC = EF。
我们需要证明∠B = ∠E和∠C = ∠F。
为了证明这一点，我们可以使用余弦定理。
根据余弦定理，对于一个三角形ABC，边a对应的角度A，边b对应的角度B，边c对应的角度C，以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC我们可以将这个定理用于三角形ABC和DEF。
由于∠A = ∠D = 90°，我们可以得到AC^2 = DF^2 + BC^2。
而根据条件已知，AC = DF，BC = EF，因此我们得到DF^2 + BC^2 = DF^2 + EF^2。
通过消去公共项，我们可以得到BC^2 = EF^2。
那么我们可以得出∠B = ∠E。
证明条件二假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，AC = DF，BC = EF。
我们需要证明∠C = ∠F。
同样地，我们可以使用余弦定理对三角形ABC和DEF进行求解。
根据余弦定理，我们可以得到AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABcos∠C和DF^2 = DE^2+ EF^2 - 2DEcos∠F。
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释
三角形相似全等的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是几何学中的基本图形之一，具有三条边和三个顶点。
在三角形的研究中，相似和全等是两个重要的概念。
相似指的是两个三角形的形状相似，即它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
全等则表示两个三角形的形状和大小完全相同，它们的对应边长和对应角度都相等。
在本文中，我们将深入探讨三角形相似和全等的条件。
通过研究这些条件，我们能够更好地理解三角形的性质和关系，并在实际问题中应用它们。
首先，我们将介绍三角形的基本概念，包括边、角、高度等。
理解这些基本概念对于后续的讨论非常重要。
然后，我们将详细讨论三角形相似和全等的条件。
相似的条件包括AAA（三个对应角度相等）、AA（两个对应角度相等，一对对应边成比例）以及SAS（一对对应边成比例，两个对应角度相等）。
全等的条件包括SSS （三边对应边长相等）、SAS（两边对应边长及夹角相等）以及ASA（两个对应角度相等，一对对应边相等）。
在文章的结尾部分，我们将总结三角形相似和全等的条件，并重申本文的目的。
通过深入研究这些条件，我们能够更好地理解和应用三角形的性质，为解决实际问题提供帮助。
总之，本文将对三角形相似和全等的条件进行详细阐述，通过理论推导和实例分析，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分的内容应该对整个文章的结构进行简单的介绍和总结。
它可以包括以下几个方面的内容：1. 引言部分的简述：首先，对引言部分的内容进行简短概述，介绍引言部分的主要目的和内容，为读者提供一个整体的概览。
2. 正文部分的大致分析：其次，可以简要介绍正文部分的大致分析结构和思路，包括三个主要章节的涉及内容，即「三角形的基本概念」、「三角形相似的条件」和「三角形全等的条件」。
3. 结论部分的预期结果：最后，可以提前介绍结论部分的预期结果，包括对三角形相似和全等条件的总结，并再次重申本文的目的。
相似三角形的条件
引言概述：相似三角形的条件是初中数学学习中的重要内容，我们已经了解到两个三角形相似的条件之一是它们对应的角相等，而另一个条件则是它们对应的边成比例。
本文将进一步探讨相似三角形的条件，并详细阐述五个主要的条件。
正文内容：1.第一个条件：AAA（全等的对应）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度分别相等（∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F），则可以得出两个三角形相似。
这是因为根据性质可以知道：两个三角形的对应角相等，意味着它们的形状相似。
举例说明：假设∠A=∠D=60°,∠B=∠E=50°,∠C=∠F=70°，根据AAA相似性质可以得出两个三角形相似。
2.第二个条件：相似比例（边比例）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之间成比例（AB/DE=BC/EF=AC/DF），则可以得出两个三角形相似。
这是因为比例关系表明两个三角形的形状相似，即它们的对应边长成比例关系。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=3/5,AC/DF=4/7，根据边比例的相似性质可以得出两个三角形相似。
3.第三个条件：SAS（两边成比例，且夹角相等）。
三角形ABC和DEF，如果它们的某两边成比例，并且这两边夹角之间相等（AB/DE=BC/EF，并且∠A=∠D），则可以得出两个三角形相似。
这是因为两个三角形的两对对应边夹角相等，另一对对应边成比例，可以得出它们的形状相似。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=2/3，∠A=∠D=60°，根据SAS相似性质可以得出两个三角形相似。
4.第四个条件：SSS（三边成比例）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之间成比例（AB/DE=BC/EF=AC/DF），则可以得出两个三角形相似。
这是因为三角形的三对对应边成比例，意味着它们的形状相似。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=2/3,AC/DF=2/3，根据SSS 相似性质可以得出两个三角形相似。
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两个三角形相似的条件一、相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究判定方法类比：全等三角形相似三角形两边和其夹角对应相等，两三角形全等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判两角和其夹边对应相等，两三角形全等两角对应相等，两三角形相似定三边对应相等，两三角形全等三边对应成比例，两三角形相似方斜边和一条直角边对应相等，两直角三一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一法角形全等个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似二、相似三角形判定中常见常用的基本图形1、平行线型（两线平行，则相似）2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型三、例题：例1、选择题：已知，如图ΔABC 中，DE//BC，BE 与CD 交于F 点，则图中相似三角形共有（）对。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析：因为DE//BC，图中有两个基本图形，即ΔADE∽ΔABC，ΔDEF∽ΔCBF。
故应选B。
例2、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形。
分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECDΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共 3 对。
解略。
0 例3、如图，ΔABC是等边三角形，∠DAE120 ，求证：ADAEABDE 分析：把要证的乘积式化为比例式：，竖着看，等式左边AD，AB在ΔABD中，等式右边DE，AE在ΔADE中，如果能证明ΔABD与ΔEAD相似问题就能得到解决。
证明：∵ΔABC是等边三角形，0 ∴∠ABC60 ，0 0 ∴∠ABD180 -∠ABC120 ，0 ∵∠DAE120 ，∴∠ABD∠DAE，在ΔABD和ΔEAD中，∠ABD∠EAD，∠D∠D，∴ΔABD∽ΔEAD，∴∴ADAEABDE。
说明：本题的思路是将乘积式转化为比例式，然后找到两个三角形，用相似三角形的判定，证明它们相似，由此得到比例式，最后利用比例的基本性质得到乘积式。
这是证明乘积式的一种常见方法。
请同学们注意。
例4、已知：如图，ADABAEAC。
求证：ΔFDB∽ΔFEC 分析：欲证ΔFD B∽ΔFEC，观察图形只有∠DFB∠EFC，还需再寻找一个条件，由ADABAEAC可得比例式：而∠A是公共角，可得ΔABE∽ΔACD，从而可得∠B∠C，使条件成熟。
通过相似得角等，这又是一种证明角等的方法。
证明：∵ADABAEAC ∴又∵∠A∠A，∴ΔADC∽ΔAEB，∴∠B∠C，ΔFDB和ΔFEC中，∵∠B∠C，∠DFB ∠EFC，∴ΔFDB∽ΔFEC。
例5、正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB6cm，求BM的长。
分析：依题意正确画出图形，∵AD//BC，∴∠1∠2，易证RtΔBMC∽RtΔCDE，由此可以得到比例式：，其中线段BC，EC，CD的长都可以求出来，从而可求出BM的长。
由相似得比例式，再由比例式求线段的长，这也是常用的计算方法。
解：如图，在正方形ABCD中，0 ∠D90 ，ABBCCDAD6cm ∵AD//BC，∴∠1∠2，0 ∵BM⊥CE，∴∠BMC90 ，∴∠BMC∠D，ΔBMC和ΔCDE中，∵∠1∠2，∠BMC∠D，∴ΔBMC∽ΔCDE，∴，∴BM ，∵E是AD中点，∴ED AD3cm. 由勾股定理得：CE 3 ∴BM （cm）∴BM cm。
测试选择题 2 1．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S 矩形＝40cm ，S △ABE ∶S△DBA ＝1∶5，则AE的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 2．如图，□ABCD中，在E是BC上的一点，AE交BD 于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S △FBE ＝18，则S △FDA 的大小为（）。
A．24 B．30 C．32 D．12 3．如图，点且在正方形ABCD 中，E 在AB 边上，AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC 于F，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．4∶9 D．2∶3 4．如图，高△ABC 的底边BC＝a，AD＝h，矩形EFGH 内接于△ABC，其中E、F 分别在边AC、AB 上，G、H 都在BC 上，且EF＝2FG。
则矩形EFGH 的周长是（）。
A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE＝∠CAD，，设△EBD、△ADC、△ABC的周长依次为m 1 、m 2 、m 3 .那么的值是。
A．2 B．4 C．D．答案与解析答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析：1．A 解∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA。
2 2 ∴S △ABE ∶S △DBA ＝AB ∶DB 。
∵S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5 2 2 ∴AB ∶DB ＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶。
设AB＝k，DB＝k，则AD＝。
2 ∵S 矩形＝40cm ，∴k2k＝40。
∴k＝2 。
∴BD＝k＝10，AD＝4 。
S △ABD ＝BDAE＝20，∴10AE＝20 ∴AE＝4（cm）。
故选A。
2．C 3．C 分析易证△ABF≌△DAE。
故知BF＝AE。
因AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB ＝x，则AB＝3x，BF＝2x。
由勾股定理得AF＝＝。
易证△AGE∽△ABF。
可得S △AGE ∶2 2 2 2S △ABF ＝AE ∶AF ＝（2x）∶（）＝4∶13。
可得S △AGE ∶S 四边形BEGF ＝4∶9。
故选C。
4．B 分析：由题目条件中的EF＝2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高AD＝h的关系。
由EF‖BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。
解：设FG＝x，则∵EF＝2FG，∴EF＝2x。
∵EF‖BC，∴△AFE∽△ABC。
又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF。
∴。
即。
∴。
解之，得x＝∴矩形EFGH 的周长为6x＝。
评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。
若对题目再加一个条件：AB ⊥AC，那么还可2证出FG ＝BGCH。
通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。
5．D 解析：由∠CAD＝∠ADE，∴得AC‖DE，△ABC∽△EBD，又∠B＝∠CAD，∴∠C＝∠C，△ABC∽△DAC。
∴△ABC∽△EBD ∽△DAC。
即△EBD∽△DAC∽△ABC。
再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。
中考解析中考典例1．（福建厦门）如图ΔABC中P是AB上一点，连结CP要使ΔACP∽ΔABC，只需添加条件（只写一个合适的条件）．考点：相似三角形的判定评析：因为两个三角形中有一公共∠A，可以再找另一个角对应相等即可．可添加∠APC 2∠ABC或∠ACP ∠ABC；若利用对应边成比例、夹角相等，可添加AC APAB．应注意不能添或．2．（上海市）如图，在大小为4×4 的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A 1 B 1 C 1 ，使△A 1 B 1 C 1 ∽△ABC（相似比不为1），且点A 1 、B 1 、C 1 都在单位正方形的顶点上．图1 考点：相似三角形的判定评析：由原图中可知△ABC中，CB2，AB ，∠ABC135°．以135°角为突破口，所以要画出的三角形与之相似，必使∠A 1 B 1 C 1 135°，单位1 的正方形对角线为，所以以一格为一边，一对角线为一边画出△A 1 B 1 C 1 ，如原图所示．另外还有二种方法如图2、3 所示．3．（安徽省）如图，在矩形ABCD 中，AB3，AD4．P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD 于F，则PEPF 的值为（）A、B、2 C、D、考点：勾股定理、矩形性质、相似三角形的性质．评析：因四边形ABCD 是矩形，AB3，AD4，所以由勾股定理求得BD5．又PE⊥AC，根据矩形性质，易知△APE∽△DBA，则，即得PE ，同理可证△DPE∽△DBA，则得PF ，所以PEPF ．应选A．另解：过A 作AG⊥BD 于G，过P 作PH⊥AG，则可证PFHG，PEAH，于是PEPFAG，再在△ABD 内，可证AG ．4．（南充市已知两个相似三角形的面积比为1:9 那么它们的相似比为（）A、1:81 B、1:9 C、9:1 D、1:3 考点：相似三角形的性质评析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，该题给出了面积比为1:9 所以相似比为1∶3，应选D．但应注意不要将面积比再平方，选A 就理解错了．5．（北京宣武区）如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，若点M 在边AC 上，点N在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在边AB 上，设其落点为点P．1当点P 是边AB 的中点时，求证：2当点P 不是边AB 的中点时，是否仍然成立请证明你的结论．考点：平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质评析：本题是考查学生灵活运用平行线分线段成比例定理和相似形的性质的开放性问题，解题时先分别画出点P 在不同位置的图形．当P 是AB 中点时，如图，连结PC，则折痕MN 垂直平分PC，又ACBC，APBP，所以PC⊥AB，MN‖AB，故有，所以．当P 不是AB 中点时，过P 作PE⊥AC 于E，则PE‖BC，于是．又∠A45°，∴AEEP，∴．连结PC，如果△PEC∽△MCN 成立，则有成立．∵MN 是折痕，∴MN⊥PC，又∠MCN90°∴∠PCE∠CNM．又∵∠MCN∠PEC90°∴△PEC∽△MCN 成立．因此：的结论仍然成立．（1）证明：如图，连结ＰＣ．依题意，得折痕ＭＮ⊥CP．又∵ACBC APBP，∴CP⊥AB，∴MN‖AB，∴又∵P 是AB 中点∴（2）当点Ｐ不是ＡＢ的中点时，仍然成立．如图，连结PC，则MN⊥PC，过点P 作ＰＥ⊥ＡＣ，垂足为点E. ∵∠ACB90°，∴PE‖BC，∴又∵ACBC，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝45°，∴∠ＡＰＥ＝∠Ｂ＝∠A45°∴ＡＥ＝ＥＰ，∴∵∠ＭＣN＝90°，CP⊥MN，∴∠ECP∠MNC，∴△MCN∽△PEC，即∴（6．北京西城区）已知：如图，D、E 是△ABC 的边AB、AC 上的点，∠A35°，∠C85°，∠AED60°. 求证：ADABAEAC. 考点：相似三角形的判定及性质. 评析：证明等积式，首先要转化为比例式：，然后证明含有线段的两个三角形相似.所以该题的关键证明△ADE∽△ACB，因为∠A35°，∠C85°由三角形内角和是得∠B60°则∠A∠A∠AED∠B，三角形相似得证.或∠A35°，∠AED60°所以∠ADE85°，由∠A∠A、∠ADE∠C 相似三角形得证）.由相似得比例式，然后写成等积式．证明：△在ABC 中，∵∠A35°，∠C85°，∴∠B60°. ∵∠AED60°，∴∠AED∠B，∵∠A∠A，∴△AED∽△ABC，∴. ∴ADABAEAC. 说明：①解答该题时要注意运用等腰直角三角形的性质．②折叠问题实际就是轴对称问题，折痕是对称轴．C 点落在P 点即C、P 两点关于折痕MN 对称．这是解决折叠问题的一般方法．③“是否成立”的开放型问题思考方法：先假定所给结论成立，试着证明．若能证明，则所给结论成立．若在证明过程中推出了矛盾结论，则所给结论不成立，同时也就说明了不成立的理由．另外要将复杂的问题通过转换的数学思想，转移到熟悉的简单问题上来．。