教学大纲-高等代数厦门大学精品课程
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲适用专业数学与应用数学（师范）、数学与应用数学总学时 168学分 10一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业（师范）、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程的教学目的是使学生初步驾驭基本的、系统的代数学问和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等供应必需具备的代数学问，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所须要的抽象思维实力供应肯定的训练。
高等代数课程是中学代数的接着和提高。
通过本课程的教学，要使学生加深对中学代数的理解。
本课程在教学中要求学生准确理解高等代数中的基本概念，不仅要正确驾驭这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。
对于一些基本的重要概念，还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有干脆联系或者平行的概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。
对于高等代数中的基本理论，要求学生驾驭基本理论的结果，对于典型定理还要求驾驭论证方法或思想，同时要求学生能了解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。
通过本课程的教学，要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的实力；较好地驾驭基本的论证方法与基本的计算方法，特殊要驾驭基本的线性代数计算法。
（二）本大纲制订的依据依据本专业人才的培育目标所须要的基本理论和基本技能的要求，依据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。
（三）大纲内容选编原则与要求1．本大纲所列各单元讲授依次与北京高校数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教化出版社其次版）所列基本相同，讲授时可依据详细状况作适当调整。
2．为了避开教学上的难点过于集中，有些定理的驾驭可以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到驾驭基本的代数方法的目的。
3．每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、作业、问题探讨）以达到驾驭高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的实力的目的。
《高等代数》教学大纲
《高等代数》教学大纲课程名称：高等代数课程编号：总学时：168适用对象：数学系数学与应用数学专业一、教学目的与任务1、教学目的：《高等代数》课是数学与应用数学专业必修基础课。
通过《高等代数》的学习，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象、严格的代数方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。
从而培养合格中学数学教师与各种高级专门人才。
2、教学任务：通过本课程的教学，使学生初步比较系统的掌握高等代数的基本内容，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。
能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。
二、教学基本要求通过本课程的教学，使学生掌握一元多项式，行列式线性方程组与矩阵，向量空间线性变换，欧氏空间和二次型的有关理论和计算。
三、教学内容及要求第一章基本概念1．掌握集合映射等概念；2．理解自然数集的一个基本性质——最小数原理，会用最小数原理证明问题，熟练运用两个数学归纳法；3．理解并掌握整数整除性质及它与除法的区别；4．对带余除法，最大公因数的存在性能掌握并会应用；5．对最大公因数的表示及互素有深刻的理解。
掌握素数的基本性质；6．掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
重点：最小数原理，第二数学归纳法原理，整除性理论，最大公因数，素数，数环，数域。
第二章多项式1．掌握一元多项式的定义，运算及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；2．理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；3．理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；4．掌握多项式的互素概念及性质；5．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；6．理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式有无重因式的判别法；7．掌握多项式函数概念及余式定理，理解两个多项式相等与多项式函数相等的区别和关系；8．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。
数学系《高等代数》课程教学大纲
数学系《高等代数》课程教学大纲学时：153学时学分：9适用专业：数学与应用数学执笔人：储茂权审定人：殷晓斌说明：1、课程的性质、地位和任务本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。
2、课程教学的基本要求（1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。
对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。
熟练掌握一元多项式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法；掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多项式。
（2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。
3、课程教学改革（1）注重能力的培养本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。
（2）注重本课程与其它课程的联系《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它的内容上，而且还表现在它的思想方法上；它与《解析几何》、《近世代数》、《离散数学》、《组合数学》、《数学模型》等课程。
Inner Product Space - 高等代数厦门大学精品课程
内积空间_4
在Rn ×1 中 • 注1: x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任 意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和 自己正交; 只有零向量的长度为0; • 注2: ||x+y||= ||x||+||y||óx和y同向或有一为0; • 注3: (x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹 角(内积几何意义); • 注4: x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2 =||x||2 +||y||2 (勾股定理);
i = 1,2
非线性, 非内积 未必非负, 非内积
3) ( x , y ) = x1 + x2 + y1 + y 2
厦门大学数学科学学院 网址: IP: http://59.77.1.116
例子
• 例3: 设 f ( x ), g ( x ) Î c[a , b ] , 定义 b ( f , g ) = ò f ( x ) g ( x )dx a 则c[a, b]是无限维内积空间. n ´1 "x , y Î R , 定义 • 例4: 设G为n阶正定阵, 对 ( x , y ) = x ' Gy 则Rn ×1 是R上n维欧氏空间. G=I即例1. • 例5: Rn ×n 上定义(A, B) = tr(A’B), 是欧氏空 间么? 若是, 它是几维的?
内积空间_3
• 定理:设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V, c为常数(实数或复数), 则 (1) cx = c x (2) (CauchySchwarz不等式)
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
高等代数《高等代数》教学大纲
《高等代数》课程教学大纲Advanced Algebra执笔人：颜昌元编写日期：2012.7一、课程基本信息1.课程编号： 07010112，070101132.课程性质/类别：专业基础课/ 必修课3.学时/学分：160 学时/ 10 学分4.适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学二、课程教学目标及学生应达到的能力《高等代数》是大学数学专业三门重要基础课程之一。
因其内容的抽象性和理论的结构化及应用之广泛，既是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
该课程的教学目标是使学生掌握代数基本知识和理论，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，使学生获得较熟练的演算技能与初步的应用能力，为后续专业课程的学习打下基础，适当了解代数的一些历史与背景。
该课程应突出传授数学思想和数学方法，突出高等代数中等价分类、结构分解、同构对应的思想，揭示课程内部本质的有机联系。
在教学过程中根据具体教学内容，帮助学生体会人类认识客观世界的一般规律：从具体个例提升到抽象本质再应用到一般情形，及本课程中体现的唯物主义辩证法；帮助学生体会本课程统一性、简单性、对称性、整齐性、不变性、奇异性等数学的内在美。
三、课程教学内容与基本要求本课程开课时间：第一学年（共两学期），共160 学时；其中，第一学期，每周5学时，共80学时；第二学期，每周5学时，共 80学时。
（一）多项式 (20 学时)1.主要内容:（1）数域（2）一元多项式（3）整除的概念（4）最大公因式（5）因式分解定理（6）重因式（7）多项式函数（8）复系数与实系数多项式的因式分解（9）有理系数多项式2.基本要求:（1）熟练掌握和应用带余除法定理。
（2）熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和性质。
（3）熟练掌握和应用因式分解定理。
（4）掌握不可约多项式的基本性质。
（5）掌握重因式和重根的联系。
（6）掌握复系数和实系数多项式的标准分解式；（7）掌握有理系数多项式的Gauss 引理，Eisenstein 判别法。
《高等代数》教学大纲.doc
《高等代数II》教学大纲一、《高等代数》课程说明（一）课程代码：08230002（二）课程英文名称：Elementary Algebra II（三）开课对象：数学教育专科「（四）课程性质：考试本课程是高等院校数学专业的主要基础课程之一，通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
（五）教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下的处理中学数学的有关教材，同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。
（六）教学内容：本课程主要讲述线性空间、线性变换、2-矩阵、欧氏空间及双线性函数等（七）教学时数学时数：90学时分数：5学分教学时数具体分配：教学内容讲授实验/实践合计第六章：线性空间2323第七章；线性变换2222第八章：2-矩阵2222第九章：欧几里得空间2323合计9090（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ,期末成绩占60%。
二、讲授大纲与各章的基本要求第六章线性空间教学要点与考核要求：1）使学生正确表述和理解线性空间的定义。
掌握判断一个集合对所给的运算是不是作成线性空间的方法。
这是第一次用公理化的方法来定义一个数学结构，因此在数学思想方法上是一次新的飞跃。
有了这一概念，就可以用统一的方法来处理许多数学对象。
2）对照第二章的"维向量空间，使学生正确表述线性空间中向量的线性相关、线性无关、线性表示、极大无关组、秩的定义，熟练掌握它们之间的关系。
3）会求出线性空间的基与维数。
4）理解线性空间坐标的定义，掌握基变换和坐标变换公式，运用它处理一些有关问题。
5）理解了空间的定义，会判断向量空间的了集是不是了空间，知道了空间的交与和的运算6）理解和掌握直和的概念及性质，会将一个线性空间分解为若干个子空间的直和。
《高等代数》课程教学提纲
《高等代数》课程教学大纲授课学时：总学分：作者：课程类型：专业必修课适用专业：数学与应用数学专业本科一、课程性质、地位和任务高等代数是数学系各专业开设的一门基础课，它不仅是应用学科的重要工具课，而且在抽象代数理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电子科技的发展，更加显示出高等代数的作用。
二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间。
通过对这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。
培养学生的独立思维能力和解决实际问题的能力。
三、课程内容第一章多项式基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、辗转相除法、因式分解定理、复系数与实系数多项式的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。
教学重点：多项式的整除性理论和有理系数多项式，分解定理及复数域，实数域上分解形式。
有理根检验，Eisenstein判别法之使用，有理多项式分解归纳为整系数多项式分解。
教学难点：辗转相除法和有理系数多项式为。
分解定理及复数域，实数域上分解形式。
第二章行列式基本要求：通过本章的学习，使学生深刻理解行列式定义及性质并能用其计算简单行列式熟练掌握行列式的性质、按行（列）展开定理并在计算行列式时有思路。
会运用Cramer法则求线性方程组的解。
教学重点：行列式的定义、行列式按行（列）展开公式、Vandermonde行列式和Cramer法则教学难点：行列式的计算第三章线性方程组基本要求：通过教学使学生掌握n维向量的线性关系、矩阵的秩、线性方程组解的判定及求法。
教学重点：n维向量的线性相关性、向量组秩的概念及求秩方法、线性方程组有解的判别定理及解的结构。
教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲(Higher Algebra)学时数: 72 学分: 4 适用专业: 小学教育(数学与科学方向)一课程的性质、目的和任务1. 课程性质：高等代数是小学教育本科专业的一门重要的专业基础课程。
它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。
2. 教学目的：通过本课程的学习使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，以加深对初等数学内容的理解，并为进一步学习其它课程打下良好的基础。
同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。
从而为培养合格的中小学数学教师和各种高级专门人才奠定基础。
3. 教学任务：通过本课程的教学与实践，使学生初步系统掌握高等代数的基本内容和利用代数手段处理问题的基本方法；进一步提高学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；促进学生对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系的理解；培养和提高学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力及运用所学理论指导中小学教学实践和其它工作的能力。
同时注意加强对学生的数学基本素养的培养，为今后做一名合格的中小学数学教师和继续学习深造奠定基础。
二课程教学的基本要求1. 通过本课程教学的主要环节, 使学生了解多项式、行列式、矩阵、线性方程组理论、向量空间、线性变换和欧氏空间等高等代数中的基本概念和基本原理.2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和原理的深刻内涵和它们之间的相互联系.3. 要突出传授数学思想和数学方法，使学生初步掌握运用高等代数的概念和原理分析问题和解决问题的方法.三课程教学的内容和要求第一章多项式理论【教学内容】§1.1 数环与数域§1.2 一元多项式§1.3 多项式的整除性§1.4 最大公因式§1.5 多项式的因式分解§1.6 重因式和重根§1.7 特殊域上的多项式【教学要求】（1）了解数环和数域的概念和判别方法，理解数域的最小性；（2）理解一元多项式的定义、运算、运算律、次数和次数定理；（3）掌握带余除法定理及其应用；理解多项式整除概念和性质，了解其与带余除法的区别（4）理解最大公因式的存在性，掌握最大公因式的求法和表示法；（5）掌握多项式互素的概念和性质；（6）掌握不可约多项式的概念、性质和唯一分解定理；（7）理解并掌握重因式的概念和多项式有无重因式的判别法；（8）掌握多项式函数的概念，理解多项式相等和多项式函数相等的区别与联系；（9）掌握复数和实数域上的多项式的因式分解定理以及不可约多项式的类型。
高等代数教学大纲
高等代数教学大纲一、课程简介本课程主要介绍高等代数的基本概念、定义和定理，包括线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
通过本课程的学习，学生应该能够掌握高等代数的基本理论和方法，进一步培养其分析问题的能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握高等代数的基本概念、定义和定理。
2.熟练掌握线性空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值、特征向量等内容。
3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
4.培养学生数学建模的能力。
三、教学内容和教学方法1. 教学内容1.线性空间的定义与基本性质。
2.线性变换的定义与基本性质。
3.矩阵的基本运算和性质。
4.行列式的概念和性质。
5.特征值、特征向量和对角化。
6.线性方程组和矩阵消元算法。
7.正定矩阵、二次型和极值问题。
8.线性代数应用：最小二乘法、主成分分析、特征值应用等。
2. 教学方法1.讲授理论，强调概念的起源和本质。
2.给出典型例题，讲解例题的解法和思路，以帮助学生理解和掌握知识。
3.组织学生进行课上小组讨论和课后思考题目，促使学生主动思考问题、独立思考问题。
4.给学生提供大量题目，帮助学生掌握基本概念和技能。
5.激发学生兴趣，带领学生开展独立或团队研究性学习，鼓励学生探索和创新。
四、教学进度和考核方式1. 教学进度本课程可设置为2个学期，共36周，每周2-3次课程。
章节教学内容学时数第1章线性空间4周第2章线性变换4周第3章矩阵与行列式5周第4章特征值与特征向量3周第5章线性方程组与消元法4周章节教学内容学时数第6章正定矩阵与二次型3周第7章应用3周综合总复习2周2. 考核方式1.平时表现：包括出勤、作业、小测、小论文等，占总成绩的30%。
2.期中考试：占总成绩的30%。
3.期末考试：占总成绩的40%。
五、参考资料1.《线性代数及其应用》（美）Gilbert Strang 著，机械工业出版社。
2.《线性代数基础教程》（美）Bernard Kolman 著，高等教育出版社。
高等代数教学大纲(教学计划)
《高等代数》教学大纲（教学计划）第一学期第一周：（第一章§1）代数系统的概念；数域的定义；定理任一数域都包含有理数域；集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。
（第一章§2）高等代数基本定理及其等价命题；推论数域上的两个次数小于m的多项式如果在m个不同的复数处的取值相等，则此二多项式相等；韦达定理；实系数代数方程的根成对出现；推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
第二周：（第一章§3）数域K上的线性方程组的初等变换的定义；命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解；线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义；线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则；命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。
（第二章§1）向量和n维向量空间的定义及性质；线性组合和线性表出的定义；向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。
第三周：（第二章§1）向量组的秩；向量组的线性等价；极大线性无关组；集合上的等价关系。
（第二章 §2）矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩；命题 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩；矩阵的转置；推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A 的秩记为r )(A ；满秩方阵；矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量；用初等变换求矩阵的秩。
第四周：（第二章 §3）齐次线性方程组的基础解系；定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；基础解系的求法；非齐次线性方程组的解的结构。
（第二章 §4）矩阵的加法和数乘的定义；矩阵的乘法的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质；矩阵的和与积的秩。
第五周：（第二章 §5）n 阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵；命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。
《高等代数》教学大纲
《高等代数》教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数2、课程类别：数学类基础课程3、课程学分：＿____学分4、课程总学时：＿____学时5、授课对象：＿____专业学生二、课程目标1、知识目标使学生掌握多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型等高等代数的基本概念、基本理论和基本方法。
2、能力目标培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决实际问题。
3、素质目标通过课程学习，培养学生严谨的治学态度和创新精神，提高学生的数学素养和综合素质。
三、课程内容1、多项式（1）多项式的概念和运算理解多项式的定义、次数、系数等概念，掌握多项式的加法、乘法和除法运算。
（2）多项式的整除性掌握多项式整除的概念和性质，了解带余除法和余数定理。
（3）最大公因式理解最大公因式的概念，掌握辗转相除法求最大公因式。
（4）因式分解定理掌握多项式的因式分解定理，了解不可约多项式的概念和性质。
2、行列式（1）行列式的定义和性质理解行列式的定义，掌握行列式的性质和计算方法。
（2）行列式的展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够利用展开定理计算行列式。
（3）克莱姆法则了解克莱姆法则，能够用克莱姆法则解线性方程组。
3、线性方程组（1）线性方程组的解的判定掌握线性方程组有解的判定定理，能够判断线性方程组是否有解。
（2）线性方程组的解的结构理解线性方程组解的结构，掌握齐次线性方程组基础解系的求法。
4、矩阵（1）矩阵的概念和运算理解矩阵的定义，掌握矩阵的加法、乘法、数乘和转置运算。
（2）矩阵的逆掌握矩阵可逆的条件和求逆矩阵的方法。
（3）矩阵的秩理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法。
5、向量空间（1）向量空间的定义和性质理解向量空间的定义和基本性质，掌握向量空间的基和维数的概念。
（2）子空间了解子空间的概念和判定方法，掌握子空间的交与和的运算。
6、线性变换（1）线性变换的定义和性质理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质和运算。
(完整word版)《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲课程编号：090085、090022总学时：162学分：8适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学课程类型：专业必修课开课单位：一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。
《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。
讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。
本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵）及线性代数的几何理论（线性空间、线性变换、欧氏空间）。
二次型、-二、课程教学内容和基础要求（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。
（2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。
（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题；会求矩阵的若当标准形；理解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。
教学大纲-厦门大学高等代数
教学大纲-厦门大学高等代数第一篇：教学大纲-厦门大学高等代数教学大纲一．课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
二．课程的主要内容：代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。
代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。
本课程力求突出代数学的思想和方法。
《高等代数》分为两个部分主要内容。
一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。
既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。
另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。
《高等代数》从三个角度进行研究。
从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan标准形对应的空间分解。
而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。
在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。
本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。
我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。
三．课程教材和参考书：教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版参考书：1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版2.北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3.张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4.樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5.林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站四．课程内容及学时分配本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。
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教学大纲一．课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
二．课程的主要内容：代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。
代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。
本课程力求突出代数学的思想和方法。
《高等代数》分为两个部分主要内容。
一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。
既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。
另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。
《高等代数》从三个角度进行研究。
从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。
而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。
在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。
本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。
我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。
三．课程教材和参考书：教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4. 樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5. 林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站四．课程内容及学时分配本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。
具体安排为：第一学期，80学时，其中课堂讲授60学时，习题讨论课18学时，半期考2学时；第二学期，90学时，其中课堂讲授62学时，习题讨论课24学时，单元考4学时；以上不包括期末考。
课堂讲授有全程教学录像，习题讨论课不录像。
第一章矩阵（28学时）1、教学内容：矩阵定义与运算，分块矩阵，行列式的定义，行列式的性质，行列式的基本计算方法，Laplace定理，可逆矩阵，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵的相抵标准形，矩阵的秩。
2、教学目的和要求：使学生正确掌握矩阵的运算和运算法则，熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容和方法，掌握分块矩阵的运算，掌握矩阵的逆、矩阵的秩，掌握矩阵相抵的等价分类，化标准形的思想方法，理解行列式的归纳法定义，熟练掌握行列式的性质，熟练掌握计算行列式基本方法，了解和应用Laplace定理，了解行列式的等价定义。
3、各节教学时间分配及进度安排:§1数域（1学时）；§2 矩阵和运算（3学时）；§3分块矩阵（2学时）；§4 行列式（6学时）；§5 行列式的展开式和Laplace定理（2学时）；§6可逆矩阵（2学时）；§7 初等变换和初等矩阵（4学时）；§8矩阵的秩（2学时）；习题讨论课（6学时）。
第二章线性方程组（14学时）1、教学内容：数域，列向量的线性关系，向量组的秩，线性方程组解的结构。
2、教学目的和要求：使学生正确理解数域的概念，正确判断和证明列向量的线性关系，掌握证明向量组的秩的命题的方法，熟练掌握线性方程组的解的判断、计算和解的结构。
3、各节教学时间分配及进度安排:§1消元法（2学时）；§2 n维列向量（3学时）；§3向量组的秩（4学时）；§4 线性方程组解的结构（2学时）；习题讨论课（3学时）。
第三章线性空间（14学时）1、教学内容：线性空间的定义，线性相关性：线性相关和线性无关，线性表示，线性等价的向量组，极大线性无关组，基与维数，基的变换与过渡矩阵，线性空间的同构，子空间的定义与判断，子空间分解，关于子空间的交空间和和空间的维数公式。
2、教学目的及要求：使学生正确理解线性空间的定义，从定义出发正确判断和证明向量组的线性关系，把握一批重要实例的基与维数，掌握计算矩阵的秩的初等变换方法和子式方法，培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力，熟悉同构的思想，等价分类的思想，直和分解的思想。
3、各节教学时间分配进度安排：§1线性空间（2学时）；§2基和维数（2学时）；§3坐标（2学时）；§4 子空间（2学时）；§5 直和分解（2学时）；习题讨论课（4学时）。
第四章线性映射（22学时）1、教学内容：线性映射和线性变换，两个线性空间的线性映射（变换）的全体构成集合的代数结构，线性映射与矩阵的同构对应，线性映射的核与像以及维数公式，线性变换的不变子空间和导出变换。
2、教学目的及要求：使学生准确理解和掌握线性映射（变换）的概念，理解线性映射由基的像唯一确定及其应用；掌握两个线性空间之间的线性映射（变换）的全体在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数）；熟练掌握用核空间与像空间刻画单满线性映射，熟练掌握维数公式；学会在同构意义下线性映射的命题与矩阵的命题之间的转化；学会以上内容在具体例子的实现和计算。
3、各节教学时间分配进度安排：§1映射（2学时）；§2线性映射和运算（4学时）；§3同构（3学时）；§4像与核（3学时）；§5 线性变换（3学时）；§6 不变子空间（2学时）；习题讨论（5学时）。
第五章多项式（24学时）1、教学内容：一元多项式的概念，多项式的运算，整除的概念与性质，带余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean辗转相除法，互素的性质及判定；中国剩余定理；不可约多项式及其性质，标准分解式，重因式的判定与求法；多项式函数的根，余数定理，根的个数；代数基本定理，复数域上多项式的分解，Vieta定理；实系数多项式的不可约多项式，实系数多项式的分解；有理系数多项式的根，本原多项式，Gauss 引理，Eisenstein判别法；多元多项式的基本概念，多元多项式中单项式的排列次序，关于乘积首项和次数；对称多项式，初等对称多项式，对称多项式的基本定理。
2、教学目的及要求：使学生掌握多项式全体作为线性空间的代数结构的运算法则；熟练掌握和应用带余除法定理；熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和基本性质；熟练掌握和应用因式分解定理，掌握不可约多项式的基本性质，了解重因式与重根的联系，掌握复系数与实系数的标准分解式，掌握有理系数多项式的Gauss引理，Eisenstein判别法；了解多元多项式与了解多元多项式函数的关系，理解和掌握对称多项式的基本定理和Newton公式。
3、各节教学时间分配及进度安排：§1一元多项式和运算（1.5学时）；§2 整除（2学时）；§3 最大公因式（2.5学时）；§4 标准分解式（2学时）；§5 多项式函数（2学时）；§6复系数和实系数多项式（1.5学时）；§8 有理系数和整系数多项式（2.5学时）；§9 多元多项式（1.5学时）；§10 对称多项式（2.5学时）；习题讨论课（6学时）。
第一单元考试（2学时）。
第六章特征值（16学时）1、教学内容：特征值和特征向量，特征多项式及其性质，特征值、特征向量的求法；复方阵相似于上三角阵及其应用；矩阵可对角化的判定和计算，特征子空间，特征值的代数重数、几何重数，完全特征向量系；零化多项式和极小多项式，Cayley-Hamilton定理。
2、教学目的及要求：使学生掌握特征值、特征向量、特征多项式、特征子空间、极小多项式的定义和基本性质；清楚零化多项式和极小多项式的关系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟练掌握计算特征值与特征向量，可对角化的判定和计算。
3、各节教学时间分配及进度安排：线性空间线性映射知识回顾（4学时）；§1 特征值和特征向量（3学时）；§2 可对角化（2.5学时）；§3 极小多项式（2.5学时）；习题讨论课（4学时）。
第七章相似标准形（22学时）1、教学内容：多项式矩阵和矩阵多项式，λ-矩阵的相抵，初等λ-矩阵；λ-矩阵的法式；矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子；不变因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小块，矩阵相似的全系不变量；Jordan标准形：Jordan 标准形对应的不变子空间分解；根子空间，循环子空间。
2、教学目的及要求：使学生了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，λ－矩阵的相抵与矩阵相似的关系．掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算，掌握不变因子与Frobenius型的对应，初等因子组与Jordan 标准形的对应，Jordan 标准形对应的不变子空间分解。
3、各节教学时间分配及进度安排：§1 λ-矩阵的法式（2学时）；§2 特征矩阵（1.5学时）；§3 不变因子和Frobenius 标准形（2.5学时）；§4 初等因子组和广义Jordan标准形（2学时）；§5 Jordan标准形（2学时）；§6 Jordan 标准形的进一步讨论（6学时）；习题讨论课（6学时）。
第二单元考试（2学时）。
第八章欧氏空间(14学时)1、教学内容：内积和内积空间的概念，向量的长度，夹角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；单位向量，正交基，标准正交基，标准正交基的过度矩阵，Schmidt正交化，正交补空间，度量矩阵，Bessel不等式；正交变换与正交阵的判别及性质；正交相似，对称变换的性质，实对称矩阵正交相似的全系不变量，实对称矩阵的正交相似标准形。
2、教学目的及要求：使学生掌握欧氏空间的度量概念与度量性质，掌握正交相似关系，掌握正交变换和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，从矩阵的正交相似关系进一步熟练掌握等价分类的思想。