洛伦兹变换的详细推导演示教学

第三节洛伦兹变换式

教学内容：

1. 洛伦兹变换式的推导；

2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点：

狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：

1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；

2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；

3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

x

x vt 1 v c 2

y y z z

t t vx c2

\1v c 2

或

x

x vt

J1 v c 2

y y

z z

t

t vx c2

J v c 2

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1.时空坐标间的变换关系

作为一条公设，我们认为时间

和空间都是均匀的，因此时空坐标

间的变换必须是线性的。

对于任意事件P在S系和S

系中的时空坐标(x, y, z, t)、(x',

y'，z'，t')，因S'相对于S 以平行于

x轴的速度v作匀速运动，显然有

y'=y,z'=z。

在S系中观察S系的原点，

x=0 ；在S'系中观察该点，

x'= -vt'，即x'+vt'=O。因此x=x '+vt'。

在任意的一个空间点上，可以设：x=k( x '+ vt') ，k是一比例常数。

同样地可得到：x'= k' ( x-vt) = k' (x+ (-v)t)

根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号)，所以k=k'。

V1 v,c 2

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3.

讨论

(1) 可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象, 故它有一定的适用范围。

(2) 当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情 形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。

2・由光速不变原理可求出常数k

设光信号在S 系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t (或t')， 光信号到达点在S 系和S'系中的坐标分别是：x=ct, x'=ct'，贝,

k 2

x 2“

xx c tt 2 2 k tt c

vt x vt

2

k ct vt ct vt

由此得到

这样，就得到

得到

就得到 v 2

x vt

x vt

由上面二式，消去x'

vx c 2

vx c 2

洛仑兹变换， 或 若消去x 得到

洛仑兹反变换

vt 2

t vx c ,综合以上结果,

vt

t vx c 2

v'1

测得该光信号的速度为:

U x

1 vc c

,即光信号在S 系和S'系中都相同。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义 相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S'系中的的速度分别为U x

,U y

,U

z 换式可得：

讨论

(1) 当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转 化为伽利略速度变换式U

x U x v

。

(2) 利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。 证明：设S'系中观察者测得沿x'方向传播的一光信号的光速为c ,在S 系中的观察者

U x ,U y ,U z 根据洛仑兹变

dx

dx vdt

dx dt v dt

U x v dt

dt dt vdx dt 1 dx dt

因此：

\,1 v c 2 U x v dt

\；1

v c 2

因 y'=y, z'=z , 有 dy'= dy, d u

y

VU x c 2

V c 2 dt 1 VU X c 2

2

,即:

U

x

U x v 1 VU x c 2 z'= dz 贝U

2

1 VU

x/

c

。同理:

因此得相对论的速度变换公式：

U z

dy dt

dy

dt 1

VU x c 2 V c 2

U z \ 1 v c 2 1 vu x c 2

U x V

1 VU x c 2

其逆变换为：

U x

U

y

U y

1 VU x c

2 U z

U

z

/ 2

1 VU x c U x

v 1 VU x c 2

U x u

y

U y

1 VU x c 2

U z

U z

2

c

2

1 vu x c