离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)

离散数学辅助教材

概念分析结构思想与推理证明

第一部分

集合论

刘国荣

交大电信学院计算机系

离散数学习题解答

习题一（第一章集合）

1. 列出下述集合的全部元素：

1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}

2）B={x|x∈N∧4+x=3}

3）C={x|x是十进制的数字}

[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}

2）B=∅

3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

2. 用谓词法表示下列集合：

1）{奇整数集合}

2）{小于7的非负整数集合}

3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}

[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；

2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；

3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：

1）∅⊆∅

2）∅∈∅

3）∅⊆{∅}

4）∅∈{∅}

5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}

6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})

7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}

8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}

[解]1）真。因为空集是任意集合的子集；

2）假。因为空集不含任何元素；

3）真。因为空集是任意集合的子集；

4）真。因为∅是集合{∅}的元素；

5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；

6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；

7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；

8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：

1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。

3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：

1）如果A∈B∧B⊆C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B⊆C，则A⊆C。

3）如果A⊆B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊆B∧B∈C，则A⊆C。

[解] 1）真。因为B⊆C⇔∀x（x∈B⇒x∈C），因此A∈B⇒A∈C。

2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B⊆C，但A∉C。

3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。

4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。6．求下列集合的幂集：

1）{a，b，c}

2）{a，{b，c}}

3）{∅}

4）{∅，{∅}}

5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}

[解] 1）{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}

2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}

3）{∅，{∅}}

4）{∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}

5）{∅，{{a，b}}}

7．给定自然数集合N的下列子集：

A={1，2，7，8}

B={ x|x2＜50}

C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}

D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}

列出下面集合的元素：

1）A∪B∪C∪D

2）A∩B∩C∩D

3）B\（A∪C）

4）（A′∩B）∪D

[解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此

1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，

30，32，64}

2）A∩B∩C∩D=∅

3）B\（A∪C）={4，5}

4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}

8．设A、B、C是集合，证明：

1）（A\B）=A\(B\C)

2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）

3）（A\B）\C=(A\C)\B

[证明] 1）方法一：（A\B）\C

=（A∩B′）∩C′（差集的定义）

=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）

=A∩（B∪C）′（deMorgan律）

=A\（B∪C）（差集的定义）

方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则x∉C，同时，x∈A\B，x∈A，x∉B，所以，x∈A，x∉B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\C⊆A\（B∪C）。

反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且x∉B∪C，也就是说x∉A，x∉B，x∉C。所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）⊆（A\B）\C。

因此A\（B\C）。

2）方法一：（A\B）\C

=A\（B∪C）（根据1））