离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)

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离散数学习题答案

离散数学习题答案1. 集合论1.1 基本概念集合论是离散数学中的一个重要分支，研究集合的性质、关系和运算等。

下面是一些常见的集合论学习题答案。

1.1.1 什么是集合？集合是由确定的元素所构成的整体。

集合中的元素是无序且不重复的。

例如，集合A = {1, 2, 3} 包含了元素1、2和3。

1.1.2 什么是空集？空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

1.1.3 什么是子集？集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A为集合B的子集，记作A ⊆ B。

如果集合A是集合B的子集且集合B不等于集合A，则称集合A为集合B的真子集，记作A ⊂ B。

1.1.4 什么是并集和交集？集合A和集合B的并集，记作A ∪ B，表示包含了A和B中所有元素的集合。

集合A和集合B的交集，记作A ∩ B，表示包含了A和B中共有的元素的集合。

1.1.5 什么是补集和差集？对于给定的集合U，集合A在集合U中的补集，记作A’或A^c，表示集合U中所有不属于集合A的元素构成的集合。

集合A和集合B的差集，记作A - B，表示集合A中除去与集合B相同的元素后剩下的元素构成的集合。

1.2 集合的运算性质1.2.1 幂集给定一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，记作P(A)。

例如，对于集合A = {1, 2}，它的幂集为P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}。

1.2.2 结合律、交换律和分配律集合的并运算和交运算满足结合律、交换律和分配律。

•结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)•交换律：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A•分配律：A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)1.2.3 求解集合的补集对于给定的集合A和全集U，集合A在全集U中的补集可以通过A’ = U - A求解。

离散数学集合论

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支，研究离散化的结构和对象，其中最基础的概念就是集合。

集合是一种包含元素的对象，元素可以是任何事物，例如数字、字母、颜色、人、动物等等。

在集合论中，我们将集合看作一个整体，而不考虑其中元素的顺序和重复。

集合的基本运算在集合论中，我们有以下基本的集合运算：1. 并集：将两个集合中的所有元素合并成一个集合，记作A∪B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集：从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合，记作A-B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集：对于一个集合A，在全集中去掉A所包含的元素所得到的集合，记作A'。

例如，在全集U={1,2,3,4,5}中，A={1,2,3}，则A'={4,5}。

集合的基本性质在集合论中，我们有以下基本的性质：1. 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4. 对偶律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。

集合的应用在实际应用中，集合论有很广泛的应用。

例如，在计算机科学中，集合论被广泛用于数据库的查询和数据分析中。

在概率论和统计学中，集合论被用于描述事件的概率和概率的计算。

在图论中，集合论被用于描述图的节点和边的关系。

在逻辑学中，集合论被用于描述命题和谓词的关系。

在数学中，集合论是许多学科的基础，例如数学逻辑、代数学、拓扑学等等。

总结集合论是离散数学的基础，是许多学科的基础。

离散数学答案

第一章集合论基础1.设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。

解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。

由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。

充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。

由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。

（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。

(完整word版)离散数学集合论部分测试题

离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次是集合论部分的综合练习。

一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．17．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．310．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2C ．6、2、6、2D ．8、1、6、113．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, }，R 2={<a ，1>, <a ，2>, }，R 3={<a ，1>, }，则（）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 3二、填空题1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为．2．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是．应该填写：{∅,{a ,b },{a },{b }}3．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为．4．设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的关系矩阵M R ＝．5．设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系R ={<a , b >,<c . a >}，S ={<a , a >,<a , b >,<c , c >}则(R •S )－1= ．6．设集合A =｛a ,b ,c ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, , , <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是．7．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为．8．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是．5 图一9．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．3．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．5．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R ，f (x )=x +6，则f 是单射．四、计算题 1．设集合A ＝{a , b , c }，B ={b , d , e }，求（1）B ⋂A ；（2）A ⋃B ；（3）A －B ；（4）B ⊕A ．2．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算（1）（A -B ）（2）（A ∪B ）（3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．3．设集合A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．4．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．5．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．（1）写出关系R 的表示式；（2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出集合B 的最大元、最小元．6．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的关系图如图三所示．（1）写出R 的表达式；（2）写出R 的关系矩阵；（3）求出R 2．7．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x -y |=1或x -y =0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．图一图二 a d bc 图三3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．4．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．参考解答一、单项选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B二、填空题1．2n2．{∅,{a ,b },{a },{b }}3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>4．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110000115．{<a . c >, }6．反自反的7．{<1, 1>, <2, 2>}8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}9．8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．解：错．设A ={1, 2}，B ={1}，C ={2}，则A ∪B =A ∪C ，但B ≠C ．2．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。

第1章离散数学习题解答

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。

⑷ 21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹ 2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。

⑾只有6是偶数，3才干是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不过出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵ 3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不克不及生存。

⑷ 8是偶数的充分需要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

西南交大离散数学1_1

1）否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作：‫ך‬P。若P为T， ‫ך‬P为F；若P为F， ‫ך‬P为T。 “‫ ”ך‬是一元运算。
其运算规则表如下：
P T F
‫ך‬P P： ‫ך‬P：太阳不从东边出来
注意： “‫”ך‬表示命题的否定。
2）合取
联词“∨ ”的运算法则： P T T F F Q T F T F P∨ Q T T T F
注意：“∨ ”为可兼或
例： P ：成都是中国的首都。 Q ：成都是一个故都。 P ∨Q：
P ∨ Q ：成都是中国的首都或者是一个故都。
4）条件
定义：给定两个命题P和Q，其条件命
题是一个复合命题，记作P→ Q ,读作：
“如果P，那么Q”或“若P则Q ”。当
且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，
P→ Q的真值为F，否则P→ Q 的真值
为T。
我们称P为前件，Q为后件。
联给词“→ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P→Q
T F T T
例： P ：x>y
Q ：x-y>0
P→Q ：
P→Q ：如果x>y 则x-y>0
以做这件事，并且李四也可以做这件事。若设： P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。则可表示为： P ∧ Q
不能表示为： P ∨ Q
关于命题逻辑--答案
答案: 1.？ 2.如果我问你右边的路是否通向废墟,你会说是吗?
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（6）明天是否开大会？（7）天气多好啊！（8）我正在说谎。（9）我学英语，或者我学日语。
3、命题的表示
在本课程中，我们将使用大写字母A、 B、…、P、Q、…，或带下标的大写字母，或方括号括起来的数字。来表示命题。如： P：太阳从西边出来。 [12]：太阳从西边出来。即命题既可用字母也可用数字来表示

2015年7月西安交通大学《离散数学》作业及满分答案-最新

2015年7月西安交通大学《离散数学》作业及满分答案解: 一般地, R1°R2≠R1°R2.反例: R1={(1,3), (3,1)} 对称!R2={(3,2), (2,3)} 对称!R1°R2 ={(1,2)} 不对称!证明: 不妨记A={a1, a2, a3, …,an, …}B={b1, b2, b3, …, bm}作映射φ: A→A∪Bφ(ai)=bi (i=1,…,m)φ(ai)=ai-m (i=m+1,m+2,…)则可以说明φ为A→A∪B的双射，故结论得证。

证明：因为G不连通，则G可以分为若干连通子图:G1=（V1，E1），--- ，Gn=（Vn，En）根据G的补图的构造过程知V1中每个顶点与其它顶点集V2，--- ，Vn中顶点有边相连。

这样，在G的补图中，有? 分别属于两个顶点子集Vi与Vj中的任意两个顶点之间有边直接相连，? 属于同一个顶点子集Vi的任意两个顶点借助顶点子集Vj的任意一个顶点连通。

所以，根据连通的定义知：G的补图一定连通。

证明：设T=(V,E)是一棵树，若T中最多只有一片树叶，则有∑d(v) ≥1+2(|V|-1)=2|E|+1,这与结论∑d(v) =2|E| 矛盾! 矛盾说明T 不止一片树叶。

解: A×B={({a},{b}), ({a},a), (a, {b}), (a, a), (b, {b}), (b, a)} A?B=(A-B) ∪(B-A)={{a}, b, {b}}P(A)={?, {a}, a, b, {{a}, a}, {{a},b}, {a,b}, A}.证明: (1) ?a,b? H?K,就有a,b? H, a,b? K，因为H, K是群G的子群，所以，a*b-1?H，a*b-1?K，因此a*b-1? H?K。

故H?K是G的子群。

(2) 对于?a? H?K, ? g?G, 就有a? H，a?K。

因为H，K是群G的正规子群，所以g*a*g-1?H,g*a*g-1?K,从而有g*a*g-1?H?K，故H?K是G的正规子群。

大学离散数学课后习题答案

大学离散数学课后习题答案大学离散数学课后习题答案离散数学是大学数学中的一门重要课程，它主要研究离散结构及其运算规则，是计算机科学、信息技术等领域的基础。

在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

然而，由于离散数学的题目种类繁多、难度不一，学生在解题过程中常常会遇到困难。

为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见习题的答案，并将其按照不同章节进行分类。

1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究命题的真假和推理的规则。

在命题逻辑中，常见的习题类型包括真值表、命题公式的等值变换等。

下面是一道典型的命题逻辑习题及其答案：习题：给定命题P: "如果我明天考试及格，那么我会去图书馆。

" 命题Q: "我没有去图书馆。

" 请判断以下命题的真假：(1) 如果我明天考试及格，那么我没有去图书馆。

(2) 如果我没有去图书馆，那么我明天考试不及格。

答案：根据题意可知，P是一个条件命题，Q是其否定。

根据条件命题的真值定义可知，当P为真，Q为假时，命题(1)为假；当P为假，Q为真时，命题(2)为真。

因此，命题(1)为假，命题(2)为真。

2. 集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的性质和运算规则。

在集合论中，常见的习题类型包括集合的运算、集合关系的判断等。

下面是一道典型的集合论习题及其答案：习题：设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}，求(A∪B)∩C的元素。

答案：首先，求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7}；然后，求A∪B和C 的交集，得到(A∪B)∩C={4,5}。

因此，(A∪B)∩C的元素为4和5。

3. 关系与函数关系与函数是离散数学中的另一个重要内容，它研究元素之间的关系和映射规则。

在关系与函数中，常见的习题类型包括关系的性质判断、函数的图像和原像等。

下面是一道典型的关系与函数习题及其答案：习题：设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，请判断以下命题的真假：(1) R是自反关系。

大学_《离散数学》课后习题答案

《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

《离散数学》题库及答案

《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。

离散数学复习题有答案

离散数学复习题有答案1. 什么是集合的子集？子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。

如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。

2. 描述有限集合和无限集合的区别。

有限集合是指元素数量有限的集合，可以被一一列举。

无限集合则包含无限多个元素，无法被完全列举。

3. 什么是二元关系？二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于集合A，b属于集合B。

4. 什么是函数？函数是一种特殊的二元关系，其中每个定义域中的元素都与值域中的一个且仅一个元素相关联。

5. 什么是等价关系？等价关系是一种自反的、对称的、传递的二元关系。

在集合A上的等价关系将A划分为若干个不相交的等价类。

6. 什么是偏序关系？偏序关系是一种自反的、反对称的、传递的二元关系。

它在集合上定义了一个部分顺序。

7. 什么是有向图和无向图？有向图是一种图，其中的边有方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。

无向图的边没有方向，表示两个顶点之间的双向连接。

8. 什么是强连通分量？在有向图中，强连通分量是指图中的一组顶点，这些顶点中的每一个顶点都可以到达集合中的其他任何顶点。

9. 什么是二进制数？二进制数是一种基数为2的数制，只使用0和1两个数字来表示数值。

10. 什么是逻辑运算？逻辑运算是对逻辑值（真或假）进行的操作，包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等运算。

11. 什么是归纳法？归纳法是一种数学证明方法，通过证明一个基本情况，然后假设某个情况成立，再证明下一个情况也成立，从而证明整个命题。

12. 什么是图的遍历？图的遍历是指按照一定的规则访问图中的每个顶点，确保每个顶点都被访问一次。

常见的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

13. 什么是正规表达式？正规表达式是一种描述字符串集合的模式，用于文本搜索和文本处理。

它由一系列字符和元字符组成，定义了字符串的匹配规则。

交大版《离散的数学结构》标准答案

交大版《离散的数学结构》标准答案离散数学辅助教材概念分析、结构思维和推理证明离散数学习题解答习题六（第六章图论）1.列出日常生活中的三个例子，自然地从这些例子中导出两个无向图和一个有向图。

[解]①用v代表全国城市的集合，e代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图g=（v，e）是全国铁路交通图。

是一个无向图。

② V代表中国象棋中的格点集，e代表任意两个相邻小方块的对角线集，那么图G=（V，e）就是“马”在中国象棋中可以走的路线图。

是一个无向图。

③用v代表fortran程序的块集合，e代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图g+（v，e）是fortran程序的调用关系图。

是一个有向图。

2．画出下左图的补图。

[解决方案]左图的补充图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

图11v1′v6v6′v2′v5v5′[证明]双射函数的存在性？：五、→ V'和双射函数？：E→e′?(v1)=v1′?(v2)=v2′?(v3)=v3′?(v4)=v4′?(v5)=v5′?(v6)=v6′（v1，v2）=（v1′，v2′？（v2，v3）=（v2′，v3′？（v3，v4）=（v3′，v4′？（v4，v5）=（v4′，v5）？（v5，v6）=（v5′，v6′？（v6，v1）=（v6′，v1′？（v1，v4）=（v1′，v4′？（v2，v5）=（v2′，v5′？（v3，v6）=（v3′，v6′）显然使下式成立：（vi，vj）=（vi，vj′）？？（vi）=vi′∧? （VJ）=VJ'（1≤ ij≤ 6）那么图G与图G’同构。

4．证明（a），（b）中的两个图都是不同构的。

v1v5v2Gg′Gg′v6v8v7v4v1？v5？v3v2？v6？v8？v7？v3？v3v4?v2v1v5v2？v4v3？v1？v5v4？二图g中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图g′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1?，v5?，v7?，v3?不成长度的4的圈。

(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档

3. 设 R 是实数集合，,,是 R 上的三个映射，(x) = x+3, (x) = 2x, (x) ＝ x/4, 试求复合映射•，•, •, •，••.
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
WORD 整理版
一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________;
(A)
- (B)＝ __________________________ . 2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是
专业资料学习参考
WORD 整理版
0 1 1 1 1
15. 设图 G 的相邻矩阵为 1 0 1 0 0 ，则 G 的顶点数与边数分别为(
).
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
(A)4, 5 (B)5, 6 三、计算证明题
(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合 A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).

西电离散数学习题答案

西电离散数学习题答案《西电离散数学习题答案》离散数学是计算机科学和数学中的重要分支，它研究离散对象和离散关系的数学结构。

西安电子科技大学是中国著名的工科院校，其离散数学课程一直以严谨的教学和丰富的习题而闻名。

在这篇文章中，我们将为大家提供西电离散数学习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握离散数学的知识。

1. 集合论1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求集合A和B的并集和交集。

答：A和B的并集为{1,2,3,4,5,6,7}，交集为{3,4,5}。

2) 若集合A={a,b,c}，B={b,c,d}，C={c,d,e}，求(A∩B)∪C。

答：(A∩B)∪C = {c,d}∪{c,d,e} = {c,d,e}。

2. 图论1) 给定一个简单图G，如果G有6个顶点和8条边，求G的度序列。

答：度序列为{2,2,2,2,1,1}。

2) 若一个图G有5个顶点和7条边，求G的连通分量数目。

答：连通分量数目为1，因为所有顶点都在同一个连通分量中。

3. 命题逻辑1) 设p为命题“今天下雨”，q为命题“我要带伞”，若今天下雨我就要带伞，用命题逻辑表示。

答：p→q。

2) 已知命题p为“我喜欢数学”，q为“我喜欢计算机”，用命题逻辑表示“我既喜欢数学又喜欢计算机”。

答：p∧q。

通过以上习题的答案，我们可以看到西电离散数学课程的内容涵盖了集合论、图论、命题逻辑等多个方面，而且题目设计严谨，能够帮助学生更好地理解和掌握离散数学的知识。

希望同学们在学习离散数学的过程中能够认真对待习题，不断巩固知识，提升自己的数学素养。

离散数学_第一章_集合

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离散数学
叙述恰当严谨，论证详尽严密，内容新颖丰富是本课程的特点。离散数学具有抽象性、非线性、非寻绎性、构造性、结构性、整体性等结构性数学特点。证明方法除了大量的运用常用的（数学）归纳法、演绎法、反证法、归谬法、二难法、二分法、枚举法（穷举法）、相容排斥法等方法之外，特别着重于存在性、结构性、构造性方法，以及各部分内容自己所特有的方法（比如图论的删点增点方法、删边增边方法、伸路蹦圈方法）。
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离散数学
X x Ａ y
Ｂ
例.X={a,b,c,d,e,f},A={ a,c,d} ,B={c, d,e} 。则 (AB)(BA) 。即A与B互不包含
定理1.设A,B,C为任意三个集合。那么 (1) 自反性：A A (每个集合是它自己的子集) ； (2) 反对称性：AB BA A=B ； (3) 传递性：AB BC AC ；这说明包含关系是集合间的半序关系(参见第二章 §6 )。 [证明].(1)(采用元素法)对于任何元素xX，若xA，则 xA。因此，根据元素x的任意性，可知AA。所以包含关系是自反的；
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离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。五.空集（empty,null,void set）：记为空集是没有成员的集合。即注.将空集作为集合实际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）；闭性所要求的 ! 所以={ }；空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同一集合。六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素）所构成的集合。全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。

离散数学习题解答祝清顺版

祝清顺习题一(第1章集合)1.(1)A＝{0, 1, 2, 3};(2)A＝{(-2, 3), (-1, 0), (0, -1), (1, 0), (2, 3)};(3)A＝{-1, -2, -3};(4)A＝{1, 2, 3, 4, 5};(5) A＝{-6, 1}.2.(1) {x | x＝2k, k∈N+, k≤50};(2) {x | x＝6k, k∈Z};(3) {(x, y) | (x-x0)2+(y-y0)2＝r2};(4) {x | 15＜x＜40, x为素数}.3.(1)c＝a或c＝b;(2)a, b为任意值;(3)a＝c＝∅, b＝{∅};(4)b＝c＝d.4.当a=0时, 解得x=2/3满足题意; 当a≠0时, 由∆=9-8a≤0, 得a≥9/8.综上, 满足条件的a的范围是: {a | a≥9/8或a=0}.5.(1)∅, {a}, {{b}}, {c}, {a, {b}}, {a, c}, {{b}, c}, {a, {b}, c};(2)∅, {∅};(3)∅.6.(1) 2n;(2) 2n-1, n≥1, 当n＝0时不存在;(3) 没有. 因为集合只有n个元素, 其子集所含元素个数不可能比整个集合的元素个数多.7.(1) 成立; (2) 不成立; (3) 成立; (4) 成立.8.(1) 不正确, 例如A={a}, B={a, b}, C={{a}, {b}}, 从而A∈B且B∈C, 但A∈C.(2) 不正确, 例子同(1);(3) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{{1}, 2}, C＝{{1}, 3};(4) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{1, 2}, C＝{{1}, {1, 2}}.9.(1) 错误; (2) 正确; (3) 正确; (4) 错误; (5) 错误; (6) 错误; (7) 正确; (8) 正确; (9) 错误; (10) 错误.10.(1) {d }; (2) {a , c , e }; (3) {a , b , c , e }; (4) {b , d , e }. 11.各集合的文氏图如图所示(阴影部分).12.(a) B ∩(C -A );(b) (A -(B ∪C )∪(B ∩(C -A )); (c) C B A ∪(B ∩(C -A )). 13.A ∩B ＝{2, 3}; A ∪B ＝{1, 2, 3, 4, 5}; A -B ＝{1, 4}; B -A ＝{5}; A ⊕B ＝{1, 4, 5}. 14.(1) 不一定. 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={1, 3}, 则A ∪B ＝A ∪C , 但是B ≠C . (2) 不一定; 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={2, 3, 4}, 则A ∩B ＝A ∩C , 但是B ≠C . (3) 一定. 由条件有A ⊕(A ⊕B )＝A ⊕(A ⊕C ), 利用对称差的结合律, 有(A ⊕A )⊕B = (A ⊕A )⊕C ,因为A ⊕A = ∅, 有∅⊕B = ∅⊕C , 故有B =C .15.(1) 正确, 证明: 因为A ∩C ⊆ A ⊆ B , A ∩C ⊆ C ⊆ D , 故A ∩C ⊆ B ∩D . (2) 错误, 如A ＝C ＝{1}, B ＝{1, 2}, D ＝{1, 3}. 16.(1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; (2) {1, 2}; (3) {4, 5}; (4) N . 17.由于A ∪B ＝B , 故有A ⊆B , 而B ＝{x | x ＞3}, 故a ≥3. 18.由题意可得 x =3是x 2＋cx ＋15＝0的根, 故有9+3c +15=0, 解之得c = -8, x 2＋cx ＋15＝0即x 2-8x ＋15＝0, 解之得 x =3或x =5, 故B ={3, 5}.由已知条件可得A ={3}, 故有9+3a+b =0, 且 a 2-4b =0. 解之得a = -6, b = 9. 综上可得 a ＝-6, b ＝9, c ＝-8. 19.(1) 因为集合B ＝{x | x 2-5x ＋6＝0}={2, 3}. 又A ∩B ＝A ∪B , 故集合A ＝{x | x 2-ax ＋(A ∩B )∪C B EA BA B E A C C B A -⊕)( B A C B E A C )()(B C B A -a2-19＝0} ={2, 3}, 由根与系数的关系, 有2+3=a, 即a=5.(2) 因为集合C＝{x | x2＋2x-8＝0}={2, -4}, 而∅⊊A∩B, A∩C=∅, 所以3∈A, 2∉A. 故9-3a+a2-19=0, 4-2a+a2-19≠0; 解之得, a = -2.20.因为A∩B＝{-3}, 所以-3∈B, 而x2+1>-3, 所以只可能x-3= -3或2x-1= -3.若x-3 = -3, 则x=0, 此时A={-3, 0, 1}, B={-3, -1, 1}, 故A∩B={-3, 1}, 不合题意.若2x-1= -3, 则x = -1, 此时A={-3, 1, 0}, B={-4, -3, 2}, 故A∩B={-3}, 满足题意.综上所述, x = -1, 且A∪B={-4, -3, 0, 1, 2}.21.由于B=(A∩B)∪(A∩B), 故B={1}∪{3}={1, 3}, B={2, 4}. 由此知A∩B＝{3}, 3∈A, 1∉A; 由A∩B＝{2}知, 2∈A, 4∉A, 从而2∉A, 4∈A, 故A={3, 4}.22.A- (B-C)＝)A=)B(CAB(C=)A=(A-B)∪(A∩C).B()(CA23.(1) ((A∪(B-C))∩A)∪(B- (B-A)) = ((A∪(B∩C))∩A)∪(B∩)B )(A= A∪(B∩(B∪A))= A∪(∅∪(B∩A))=A.(2) ((A∪B)∩B)-(A∪B) = ((A∪B)∩B)∩)A(B= ((A∪B)∩B)∩(A∩B)= (A∪B)∩B∩A∩B=∅(3) ((A∪B∪C)-( B∪C))∪A = ((A∪B∪C) ∩)(CB )∪A= ((A∪B∪C) ∪A) ∩(CB ∪A)= (A∪B∪C) ∩()B )∪A)(C= A∪((B∪C) ∩)(CB )= A∪∅=A.24.将不超过100的正整数排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.25.由恒等式mq + np = (mn + pq) − (m− p)(n−q)及条件(m-p) | (mn+pq)可知, (m-p) | (mq+np).26.设n=2k+1, n2-1=(2k+1)2-1=4k(k+1). 因为k(k+1)是相邻两个自然数的乘积, 必然是2的倍数, 所以原式是8的倍数.27.101小于11的平方, 这样就可以只用2、3、5、7这四个质数来验证. 101无法被2、3、5、7整除, 所以101是质数.28.240=2⋅120=22⋅60=23⋅30=24⋅15=24⋅3⋅5.504=2⋅252=22⋅121=22⋅112.654=2⋅327=2⋅3⋅109=2⋅3⋅7⋅1751480 = 2⋅25740 = 22⋅12870 = 23⋅6435= 23⋅5⋅1287 = 23⋅5⋅3⋅429 = 23⋅5⋅32⋅143 = 23⋅32⋅5⋅11⋅13.29.(1) 因为258=21⨯12+6, 所以q=21, r=6.(2) 因为258=(-39)⨯( -15)+12, 所以q= -39, r=12.(3) 因为-367=(-16)⨯24+17, 所以q= -16, r=17.(4) 因为-334=26⨯(-13) +4, 所以q= 26, r=4.30.4475÷8=559⋅8+3559÷8=69⋅8+769÷8=8⋅8+58÷8=1⋅8+01÷8=0⋅8+1所以4475=(10573)8.31.(1) 运用辗转相除法可得934 = 4 ∙ 195 + 154195 = 1 ∙ 154 + 41 154 = 3 ∙ 41 + 31 41 = 1 ∙ 31 +10 31 = 3 ∙ 10 +1 10=10 ∙ 1 +0所以, gcd(934, 195) = 1. 代回去, 有gcd(540, 168) = 1 = 31 - 3 ∙ 10 = 31 - 3 ∙ (41 - 1∙31) = 4 ∙ 31 - 3 ∙ 41 = 4 ∙ (154 - 3 ∙ 41) - 3 ∙ 41 = 4 ∙ 154 - 15 ∙ 41= 4 ∙ 154 - 15 ∙ (195-1 ∙ 154) = 19 ∙ 154 - 15 ∙ 195 = 19 ∙ (934 - 4 ∙ 195) - 15 ∙ 195 = 19 ∙ 934 - 91 ∙ 195故gcd(540, 168) = 19 ∙ 934 - 91 ∙ 195, 其中m =19, n = - 91.(2) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 1, gcd(369, 25)= 4 ∙ 369 - 59 ∙ 25, 其中m =4, n = - 59. (3) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 33, gcd(369, 25)= 8 ∙ 165 - 1 ∙ 1287, 其中n =8, m = - 1. (4) 方法同(1). 计算可得：gcd(369, 25) = 2, gcd(369, 25)= 17 ∙ 42 - 2 ∙ 256, 其中n =8, m = - 1. 32.由定理1.3.8, 可得ab =lcm(a , b )⋅gcd(a , b )=24 ∙ 144. 由已知条件a +b =120, 根据根与系数的关系可构造一个一元二次方程x 2-120x +24 ∙ 144=0解之得, x 1=72, x 2=48. 由此可得a =72, b =48或a =48, b =72.33.(1) 运用辗转相除法可得10920 = 1 ∙ 8316 + 2604 8316 = 3 ∙ 2604 + 504 2604 = 5 ∙ 504 + 84 504 = 6 ∙ 84 +0所以, gcd(934, 195) = 84.(2) 对于(1)中各式回代过去, 有gcd(10920, 8316) = 84 = 2604 - 5 ∙ 504 = 2604 - 5 ∙ (8316 - 3 ∙ 2604)= 16 ∙ 2604 - 5 ∙ 8316= 16 ∙ (10920- 1 ∙ 8316) - 5 ∙ 8316 = 16 ∙ 10920- 21 ∙ 8316故gcd(10920, 8316) = - 21 ∙ 8316+16 ∙ 10920, 其中m = - 21, n =16.(3) 由最大公因子与最小公倍数的关系, 有84109208316),gcd(),(lcm ⨯==b a ab b a =1081080.34.记gcd(a , b )=d , 则有d | a 且d | b , 从而d | (ma+nb ), 即d | 1, 所以d =1. 35.由容斥原理, 得| A ∪B ∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |＋| A ∩B ∩C | | A ∩B ∩C |=| A ∪B ∪C |-(| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |)=11-(6+8+6-3-2-5) = 1.36.设A , B 分别表示在第一次和第二次考试中得5分的学生的集合, 那么有|S |=50, |A |=26, |B |=21, |)|B A =17. 由|)|B A = |S | – (|A | + |B |) + |A ∩B |, 得|A ∩B | =|)|B A – |S | + (|A | + |B |) = 17 – 50 + 26 + 21=14故有14人两次考试都得5分．37.令A ={修数学的学生}, B ={修物理的学生}, C={修化学的学生}, 则|A |=170, |B |=130, |C|=120, | A ∩B |=45, | A ∩C |=20, | B ∩C |=22, | A ∩B ∩C |=3, 故由容斥原理| A ∪B ∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A ∩B |-| A ∩C |-| B ∩C |＋| A ∩B ∩C |=170+130+120-45-20-22+3=336.38.设A 3={被3整除的数}, A 5={被5整除的数}, 则|A 3|=166, |A 5|=100, |A 3∩A 5| = 33, 所以由容斥原理, 有| A 3∪A 5 |＝| A 3 |＋| A 5 |-| A 3∩A 5|=166+100-33=233. 39.(1) 取全集S = {1, 2,…, 1000}, 令A 1 = { i ︱i ∈S 且5整除i }, A 2 = { i ︱i ∈S 且6整除i }, A 3 ={ i ︱i ∈S 且8整除i }, 于是|A 1| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡51000=200, |A 2| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡61000=166, |A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡81000=125, |A 1∩A 2| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯651000=33,|A 1∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯851000=25, |A 2∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡}8,6{lcm 1000=41, | A 1∩A 2∩A 3| =⎥⎦⎤⎢⎣⎡}8,6,5{lcm 1000=8, 则由容斥原理得| A 1∪A 2∪A 3 |＝|A 1|＋|A 2|＋|A 3|-|A 1∩A 2|-|A 1∩A 3|-|A 2∩A 3|＋|A 1∩A 2∩A 3 | = 200+166+125-33-25-41+8=400.(2) |1A ∩2A ∩3A |=|S |-| A 1∪A 2∪A 3 |=1000-400=600.即在1, 2, …, 1000中不能被5, 6和8中的任何一个数整除的数的个数为400个40.设U ={到游乐场去玩的儿童}, A ={骑旋转木马的儿童}, B ={坐滑行轨道的儿童}, C ={乘宇宙飞船的儿童}. 由题意得|U |=75, | A ∩B ∩C |=20, | A ∩B |+ |A ∩C |+ |B ∩C|-2| A ∩B ∩C |=55, 得| A∩B|+ A∩C|+ |B∩C|=55+2| A∩B∩C |=55+40=95,由700÷5=140知| A|+|B|+ |C|=140.| A∪B∪C |＝| A |＋| B |＋| C |-| A∩B |-| A∩C |-| B∩C |＋| A∩B∩C |=140-95+20=65.|A∩B∩C|=|U|-| A1∪A2∪A3|=75-65=10.因此有10名儿童没有玩过其中任何一种玩具.41.设U={被调查的大学生}, A={选修线性代数课程}, B={选修概率课程}, C={选修计算机科学课程}. 由题意得|U|=260, |A|=64, |B|=94, |C|=58, | A∩B|=26, |A∩C|=28, |B∩C|=22, | A∩B∩C |=14.利用容斥原理, 得(1) |A∩B∩C|=|U|-| A∪B∪C |=|U|-(| A |＋| B |＋| C |-| A∩B |-| A∩C |-| B∩C |＋| A∩B∩C|)=260-(64+94+58-26-28-22+14)=106.即三门课程都不选修的学生有106人.(2) |A∩B∩C|=|B|-| A∩B |-| B∩C |＋| A∩B∩C|)=94-26-22+14=60.即只选计算机科学课程的学生有60人.42.(1){∅, {a}, {{a}}, {a, {a}}}; (2){ ∅, {{1, {2, 3}}}};(3){∅, {∅}, {a}, {{b}}, {∅, a}, {∅, {b}}, {a, {b}}, {∅, a, {b}}}; (4){∅, {∅}};(5){∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.43.A＝{m, n}.44.(1) C∈ρ(A)∩ρ(B) ⇔C∈P(A)∧C∈ρ(B)⇔C ⊆A∧C⊆B⇔C ⊆A∩B⇔C∈ρ(A∩B)所以, ρ(A)∩ρ(B)＝ρ(A∩B).(2) 由幂集的定义易知, B∈ρ(A) ⇔B⊆A. …..(*)必要性：对任意的C∈ρ(A), 则由(*)得C⊆A. 又A⊆B, 所以C ⊆ B. 再由(*)得B∈ρ(B). 所以, ρ(A) ⊆ρ(B).充分性：若ρ(A) ⊆ρ(B), 则由A∈ρ(A)得A∈ρ(B), 再由(*)得A⊆B.(3) 因为C∈ρ(A)∪ρ(B) ⇒C∈ρ(A) 或C∈ρ(B)⇒C ⊆A或C⊆B⇒C ⊆A∪B⇒C∈ρ(A∪B)所以, ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ(A∪B).例如, 设A={1}, B={2}, 则P(A)={∅, {1}}, ρ(B)={∅, {2}}, ρ(A)∪ρ(B)={∅, {1}, {2}}. 而A∪B={1, 2}, ρ (A∪B)={∅, {1}, {2}, {1, 2}}, 所以ρ(A)∪ρ(B) ≠ρ(A∪B).45.(1) A×B×C ={〈a, 1, α〉, 〈a, 1, β〉, 〈a, 2, α〉, 〈a, 2, β〉, 〈a, 4, α〉, 〈a, 4, β〉, 〈b, 1, α〉, 〈b, 1, β〉, 〈b, 2, α〉, 〈b, 2, β〉, 〈b, 4, α〉, 〈b, 4, β〉, 〈c, 1, α〉, 〈c, 1, β〉, 〈c, 2, α〉, 〈c, 2, β〉, 〈c, 4, α〉, 〈c, 4, β〉};(2) B×A ={〈1, a〉, 〈1, b〉, 〈1, c〉, 〈2, a〉, 〈2, b〉, 〈2, c〉, 〈4, a〉, 〈4, b〉, 〈4, c〉};(3)A×B2={〈a, 〈1, 1〉〉, 〈a, 〈1, 2〉〉, 〈a, 〈1, 4〉〉, 〈a, 〈2, 1〉〉, 〈a, 〈2, 2〉〉, 〈a, 〈2, 4〉〉, 〈a, 〈4, 1〉〉, 〈a, 〈4, 2〉〉, 〈a, 〈4, 4〉〉, 〈b, 〈1, 1〉〉, 〈b, 〈1, 2〉〉, 〈b, 〈1, 4〉〉, 〈b, 〈2, 1〉〉, 〈b, 〈2, 2〉〉, 〈b, 〈2, 4〉〉, 〈b, 〈4, 1〉〉, 〈b, 〈4, 2〉〉, 〈b, 〈4, 4〉〉, 〈c, 〈1, 1〉〉, 〈c, 〈1, 2〉〉, 〈c, 〈1, 4〉〉, 〈c, 〈2, 1〉〉, 〈c, 〈2, 2〉〉, 〈c, 〈2, 4〉〉, 〈c, 〈4, 1〉〉, 〈c, 〈4, 2〉〉, 〈c, 〈4, 4〉〉};(4)A×C={〈a, α〉, 〈b, α〉, 〈c, α〉, 〈a, β〉, 〈b, β〉, 〈c, β〉}×{〈a, α〉, 〈b, α〉, 〈c, α〉, 〈a, β〉, 〈b, β〉, 〈c, β〉}.(A×C)2={〈〈a, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈a, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈a, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈a, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈b, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈b, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈a, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈b, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈c, α〉〉, 〈〈c, α〉, 〈a, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈b, β〉〉, 〈〈c, α〉, 〈c, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈a, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈a, β〉, 〈c, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈b, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈b, β〉, 〈c, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈a, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈b, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈c, α〉〉, 〈〈c, β〉, 〈a, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈b, β〉〉, 〈〈c, β〉, 〈c, β〉〉}46.(1) 对于任意a∈A, b∈B, 使得〈a, b〉∈A×B. 由于A ⊆C, B ⊆D, 故〈a, b〉∈ C×D, 即A×B ⊆C×D.(2) 对于任意a∈A, 因为〈a, a〉∈A×A, 而A×A＝B×B, 所以〈a, a〉∈B×B, 即a∈B, 从而有A⊆B. 反之, 类似地可以证明B ⊆ A, 因此A＝B.(3) 对于任意a∈A∪B, b∈A∩B, 使得〈a, b〉∈(A∪B)×(A∩B). 由于a∈A∪B, b∈A∩B, 而A∩B≠∅, 则有a∈A或a∈B, 从而〈a, b〉∈A×A或〈a, b〉∈B×B, 因此〈a, b〉∈(A×A)∪(B×B), 亦即(A∪B)×(A∩B) ⊆ (A×A)∪(B×B)成立.(4) 对于任意a∈ A∩B, b∈C∩D, 使得〈a, b〉∈(A∩B)×(C∩D). 由于a∈ A∩B, b∈C∩D,则有a∈A且a∈B, b∈C且b∈D, 从而〈a, b〉∈A×C且〈a, b〉∈B×D, 因此〈a, b〉∈(A×C)∩(B×D), 亦即(A∩B)×(C∩D)⊆ (A×C)∩(B×D)成立.类似地, 可以证明(A×C)∩(B×D)⊆(A∩B)×(C∩D)也成立. 故(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D).习题二 (第2章关系)1.(1) R ={〈0, 0〉, 〈0, 2〉, 〈2, 0〉, 〈2, 2〉}; (2) R ={〈1, 1〉, 〈4, 2〉};(3) R ={〈5, 6〉, 〈5, 7〉, 〈5, 9〉, 〈4, 25〉, 〈4, 7〉, 〈4 9〉, 〈35, 6〉, 〈35, 9〉, 〈49, 6〉, 〈49, 25〉, 〈49, 9〉};(4) R ={〈2, 6〉, 〈4, 6〉, 〈5, 3〉, 〈5, 7〉, 〈11, 3〉, 〈11, 7〉}.2.dom(R )={a | a =2k , k ∈Z }, ran(R )={b | b =3k , k ∈Z }. 3.(1) 〈25, 5〉∈R ; (2) 〈1, 7〉∉R ; (3) 〈8, 2〉∈R ; (4) 〈3, 3〉∈R ; (5) 〈216, 6〉∈R . 4.(1) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100010000010, 关系图为: (2) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000011100111001110011100, 关系图为:(3) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000100000, 关系图为:(4) M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000000001110000111100000000000000000, 关系图为: 5.R ＝{〈x , y 〉 | x ∈R , y ∈R 且0≤x ≤3, 0≤y ≤2}. 6.R ＝{〈b , a 〉, 〈b , d 〉, 〈b , e 〉, 〈c , c 〉, 〈c , a 〉, 〈c , e 〉, 〈d , f 〉, 〈d , c 〉, 〈f , e 〉}. 关系矩阵为:3∙14562 ∙0 ∙∙∙∙∙4 ∙ ∙ 1 23 ∙ ∙ ∙∙∙∙1 2 34 ∙0∙ ∙ ∙ ∙ 3 5 27 ∙ 6 8 1 ∙ ∙M R ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010000000000100100010101011001000000.7.(1) 对于任意x ∈dom(R ∪S ), 有x ∈dom(R ∪S ) ⇔ 存在y 使得〈x , y 〉∈ R ∪S ⇔存在y 使得〈x , y 〉∈R 或〈x , y 〉∈S⇔ 存在y 使得〈x , y 〉∈R 或存在y 使得〈x , y 〉∈S ⇔ x ∈ dom(R ) 或 x ∈ dom(S ) ⇔ x ∈dom(R )∪dom(S ).(2) 设b ∈ ran (R ∩S ), 则必存在a ∈A , 使得〈a , b 〉 ∈ R ∩S , 于是〈a , b 〉 ∈ R 且〈a , b 〉 ∈ S , 因此b ∈ran(R )且b ∈ran(S ), 由交集的定义, b ∈ran(R )∩ran(S ), 故ran(R ∩S ) ⊆ ran(R )∩ ran(S ).但是ran (R )∩ran (S )⊄ran (R ∩S ).设A ={1, 2, 3}, B ={2, 4, 5}, 且令R ={〈1, 2〉, 〈1, 4〉}, S ={〈3, 2〉, 〈1, 4〉, 〈3, 5〉}, 则R ∩S ={〈1, 4〉}. 于是ran(R )={2, 4}, ran(S )={2, 4, 5}, 因此ran(R )∩ran (S )={2, 4}, 而ran(R ∩S ) ={4}, 所以ran (R )∩ran (S )⊄ran (R ∩S ).8.(1) R ∪S ＝{〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}; R ∩S ＝{〈2, 4〉};R -S ＝{〈1, 2〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}, R -1＝{〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}.(2) dom(R )＝{1, 2, 3, 4}, ran R ＝{2, 4}, dom(R S )＝{2}, ran(R S )＝{4}. 9．R S ＝{〈1, 3〉 〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈3, 2〉}, S R ＝{〈1, 1〉, 〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 4〉},R 2={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 4〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 4〉}, R -1={〈1, 1〉, 〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈1, 3〉, 〈3, 3〉}, S -1＝{〈3, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈4, 4〉}, R -1 S -1＝{〈1, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉, 〈3, 1〉}. 各关系图如下:R S S RR 2 R -1∙∙∙∙3 2 4 1 ∙∙∙∙1 3 4 2 1 23 ∙∙4∙∙∙∙∙∙3 1 2 4∙ ∙ ∙ ∙1 32 4 ∙ ∙ ∙ ∙1 32 4 ∙ ∙ ∙ ∙1 3 42 R -1 S -1 S -1 10．由已知条件, 可得关系R 1={〈0, 0〉, 〈0, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈2, 1〉}, R 2＝{〈2, 0〉, 〈2, 1〉}. 经计算得:R 1R 2＝{〈1, 0〉, 〈2, 1〉};R 2R 1＝{〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈3, 2〉}; R 1R 2R 1＝{〈1, 0〉, 〈1, 1〉, 〈2, 3〉};21R ＝{〈0, 0〉, 〈0, 1〉, 〈0, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 1〉, 〈2, 2〉}; 22R ＝∅.11.(1) R 1R 2＝{〈b , a 〉, 〈b , d 〉}, R 2R 1={〈d , a 〉}.(2) 写出相应R 1, R 2的关系矩阵为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000001011000001R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01001001000100002R M , 计算 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000101100000121R R R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000= O . =21R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000101100000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001110000. =32R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100010000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100100100000000 由此可得, R 1 R 2 R 1＝∅, 21R ＝{〈b , a 〉, 〈b , b 〉, 〈b , c 〉}, 32R ＝{〈c , a 〉, 〈c , d 〉, 〈d , c 〉}.(3) 由关系R 1, R 2可得其逆关系为: 1-1R ={〈b , b 〉, 〈c , b 〉, 〈a , c 〉}, 1-2R ={〈a , b 〉, 〈d , c 〉, 〈a , c 〉, 〈c , d 〉}, 由(1)得(R 1R 2)-1＝{〈a , b 〉, 〈d , b 〉}, 从而有关系矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010010011-R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010010000000011012-R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0010000000000010121)(R R M . 12.(1) R ＝{〈1, 3〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈4, 4〉}, 关系图:︒︒︒︒︒︒︒(2) 依次计算出R 的各次幂.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000001001001001R M , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000001001001002R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001=E 4 (单位矩阵), =3R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000100100100=M R , =4R M E 4. 故有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001nR M , n ＝2k , k ∈N ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000100100100n R M , n ＝2k +1, k ∈N . 13.(1) 设〈x , y 〉∈ R 1 R 3, 则存在z ∈A , 使得〈x , z 〉∈ R 1且〈z , y 〉∈R 3, 由于R 1 ⊆ R 2, 所以〈x , z 〉∈ R 2, 由关系复合的定义, 有〈x , y 〉∈ R 2 R 3, 从而有R 1 R 3⊆ R 2 R 3.(2) 类似于(1)的方法证明. 14.写出相应R , S 的关系矩阵为: ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000010000001000010R M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000010000011000000010S M , 计算M R ∩S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000000000010, M R ∪S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000010010011001000010, M R S ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000101000010000.15.由R , S 可得R -1＝{〈x , x 〉, 〈z , x 〉, 〈x , y 〉, 〈y , y 〉, 〈x , z 〉, 〈y , z 〉, 〈z , z 〉}, S -1＝{〈a , x 〉, 〈d , x 〉, 〈a , y 〉, 〈c , y 〉, 〈e , y 〉, 〈b , z 〉, 〈d , z 〉}, (R S )-1={〈a , x 〉, 〈a , y 〉, 〈a , z 〉, 〈b , x 〉, 〈b , z 〉, 〈c , y 〉, 〈c , z 〉, 〈d , x 〉, 〈d , y 〉, 〈d , z 〉, 〈e , y 〉, 〈e , z 〉}.写出相应的矩阵为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1011101111R M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-011010101000111S M , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1101111101011111)(S R M ,o x y 11 o x y1 -1 o x y 11 -1 -1 而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯--1101111101011111011101110110101010001111R S M M 所以111)(---⨯=R S S R M M M .16.R 是自反的; S 是反自反的; T 既不是自反的也不是反自反的. 17.R 既是对称的也是反对称的; S 是对称的但不是反对称的; T 是反对称的但不是对称的; U 既不是对称的也不是反对称的.18.对于任意a ∈A , (a -a )/2=0, 所以〈a , a 〉∈R , 即R 是自反的.对于任意〈a , b 〉∈R , 则(a -b )/2是整数, 因为整数的相反数也是整数, 所以(b -a )/2是整数, 即〈b , a 〉∈R , 亦即R 是对称的.对于任意〈a , b 〉∈R , 〈b , c 〉∈R , 则(a -b )/2, (b -c )/2都是整数. 设(a -b )/2=m , (b -c )/2=k , 则a -b =2m , b -c =2k , 从而有a -c =2(m -k ), 即(a -c )/2=m -k , 故〈a , c 〉∈R , 因此R 是传递的.19.(1) 例如, 〈1, 2〉, 〈2,1〉∈R , 但〈1,1〉∉R , 故R 是不可传递的.(2) 例如, R 1={〈1,1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}, 是包含R 且具有传递性的关系.(3) 因为R 1并非全域关系(否则, 当R 1是全域关系时, 就找不到了), 所以只要取R 2=A ×A 是A 上的全域关系就可满足R 2⊇R , R 2≠R , 并且全域关系R 2显然是一个传递关系.当然这样的R 2可以构造多个, 如, R 2={〈1,1〉, 〈1, 2〉, 〈2,1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 3〉, 〈4, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉}也是满足R 2⊇R , R 2≠R 是一个传递关系.20.(1) 如图(a), 满足: 自反性, 对称性, 反对称性, 传递性. (2) 如图(b), 满足: 反对称性和传递性. (3) 如图(c), 满足: 传递性.(a) (b) (c )21.(1) 满足: 自反性、对称性与传递性, 不满足: 反自反性与反对称性. (2) 满足: 反自反性、反对称性与传递性, 不满足: 自反性、对称性.∙ ∙∙b c a (3) 不满足: 自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性.(4) 满足: 自反性、对称性、反对称性与传递性, 不满足: 反自反性. (5) 不满足: 自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性. 22.图2.26满足: 反对称性与传递性, 不满足: 自反性、反自反性与对称性. 图2.27满足: 反自反性、反对称性与传递性, 不满足: 自反性与对称性. 23.R 是反自反的, 既不是自反的, 对称的, 也不是反对称的, 也不具有传递性. R 的关系图如图所示.24.(1) 如, R ={〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈2, 4〉}∪I A . (2) 如, R ={〈2, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 1〉}∪I A . (3) 如, R ={〈4, 1〉, 〈1, 2〉}∪I A .(4) 如, R ={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 4〉}. 25.(1) 对于R 的关系矩阵M R , 由于对角线上全为0, R 是反自反的, 但不是自反的; 由于矩阵是对称的, 所以R 是对称的, 而M R 关于对角线对称位置上的元素不同时为1, 故R 是反对称的.经过计算可得, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10101101101111012R M , 故R 2⊄R , 因此R 不具有传递性. (2) 对于R 的关系矩阵, 由于对角线上不全为1, R 不是自反的; 由于对角线上元素全部非0元, R 不是反自反的; 由于矩阵是对称的, 所有R 是对称的; 因为R -1∩R =R ⊄ I A , 所以R 不是反对称的.经过计算可得, =2R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000110011=M R , 故R 2=R , 所以R 是传递的. 26.(1) 取最小集合A ＝{1, 2}, A 上关系R ＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉}, R 既不是自反的也不是反自反的.(2) 取最小集合A ＝{1, 2, 3}, A 上关系R ＝{〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉}, R 既不是对称的也不是反对称的.(3) 空集合上的关系既是自反的, 又是反自反的; 既是对称的, 又是反对称的. 因此, 结果同(1), (2).(1) 设R 是自反的, 对任意的a ∈A , 〈a , a 〉∈R , 则〈a , a 〉∈R -1, 故R -1也是自反的.(2) 设R 是传递的. 对于任意〈a , b 〉∈R -1, 〈b , c 〉∈R -1. 所以〈c , b 〉∈R , 〈b , a 〉∈R ; 又因为R 是传递的, 所以〈c , a 〉∈R , 因此〈a , c 〉∈R -1, 故R -1也是传递的.(3) 设R 是反自反的, 对任意的a ∈A , 〈a, a 〉∉R , 则〈a, a 〉∉R -1, 故R -1也是自反的. (4) 对于任意的〈a, b 〉∈ R -1, 则〈b , a 〉∈R , 因为R 是对称的, 故〈a, b 〉∈R , 所以〈b , a 〉∈ R -1. 因此R -1是对称的.(5) 反证法证明. 设R -1不是反对称的, 则存在〈a , b 〉∈R -1, 〈b , a 〉∈R -1, a ≠b , 则〈a , b 〉∈ R , 〈b , a 〉∈R , 与R 是反对称的矛盾.28.(1) 因为R 和S 是自反的, 对任意的a ∈A , 〈a , a 〉∈R 并且〈a , a 〉∈S , 则〈a , a 〉∈R ∩S , 〈a , a 〉∈R ∪S , 故R ∩S 和R ∪S 也是自反的.(2) 对任意的a , b ∈A , a ≠b , 使得〈a , b 〉∈R ∩S . 因为〈a , b 〉∈R ∩S , 所以〈a , b 〉∈R 并且〈a , b 〉∈S ; 因为R 和S 是对称的, 所以〈b , a 〉∈R 并且〈b , a 〉∈S , 则〈b , a 〉∈R ∩S , 〈b , a 〉∈R ∪S , 故R ∪S 和R ∩S 也是对称的.(3) 任意的〈a, b 〉∈R ∩S , 〈b , c 〉∈R ∩S , 则〈a , b 〉∈ R , 〈a , b 〉∈S , 〈b , c 〉∈R , 〈b , c 〉∈S , 因为R 和S 是传递的, 因此〈a , c 〉∈R , 〈a , c 〉∈S , 所以〈a , c 〉∈ R ∩S , 即R ∩S 也是传递的.29.由关系R 可直接写出r (R )和s (R )r (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 3〉}. s (R )＝{〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉, 〈3, 1〉, 〈1, 3〉}. 由关系R 写出关系矩阵M R , 并依次计算其幂为:M R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100010, 2R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010001100, 3R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001, M t (R )=M R +2R M +3R M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111, 亦即t (R )为A 上的全域关系. 故t (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈3, 3〉}. 30.由关系R 写出关系矩阵M R 并依次计算其幂为:M R =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000111001, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100101110012R M =3R M =4R M . M t (R )=M R +2R M +3R M +4R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010111001, 故 t (R )＝{〈1, 1〉, 〈1, 4〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉, 〈4, 4〉}.由关系R 的关系矩阵M R , 经计算得M r (R )＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101010111100101, M s (R )＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111111111001101, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010101010101012R M =3R M ＝4R M , M t (R )=M R +2R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010101010101. 32.(a) 自反闭包为: ; 对称闭包 ; 传递闭包 .(b) 自反闭包为: ; 对称闭包为: ; 传递闭包为: .(c) 自反闭包为: ; 对称闭包为: ; 传递闭包为: . 33.由关系R 的关系矩阵M R , 可直接写出r (R )和s (R )r (R ) =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010001110001111011011001, s (R ) =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011100111111111110011101.依次计算关系矩阵M R 的各次幂得2R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1011110111111111011111111, 3R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111111111111=4R M =5R M ,因此有M t (R )=M R +2R M +3R M +4R M +5R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111111111111, 亦即t (R )为A 上的全域关系.34.∙ ∙ ∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙ ∙ ∙ ∙∙∙∙(1) r (R ), s (R ), t (R )的关系图如图所示.R 的自反闭包 R 的对称闭包 R 的传递闭包(2) r (R )={〈a , c 〉, 〈b , d 〉}∪I A ;s (R )={〈a , a 〉, 〈a , c 〉, 〈c , a 〉, 〈b , d 〉, 〈d , b 〉}; t (R )={〈a , a 〉, 〈b , d 〉, 〈a , c 〉}. 35.(1) 因为R 自反, 得r (R )=R , 即R ∪I A =R ,r (s (R ))=s (R )∪I A =(R ∪R -1)∪I A = (R ∪I A )∪R -1=r (R )∪R -1 =R ∪R -1 =s (R ),所以s (R )自反的.类似可以证明t (R )也是自反的. (2) 证明t (R )对称:(t (R ))-1=(R ∪R 2∪…∪R n ∪…)-1= R -1∪(R 2)-1 ∪…∪(R n )-1∪… = R -1∪(R -1)2 ∪…∪(R -1)n ∪…=R ∪R 2∪…∪R n ∪… (∵R 对称，∴R -1 =R ) =t (R )所以t (R )是对称的. 类似可以证明r (R )也是对称的.(3) 证明r (R )传递: 先用归纳法证明下面结论:(R ∪I A )i = I A ∪R ∪R 2∪…∪R i .(i) 当i =1时, R ∪I A = I A ∪R , 结论成立. (ii) 假设i ≤k 时结论成立, 即(R ∪I A )k = I A ∪R ∪R 2∪…∪R k .(iii) 当i =k +1时(R ∪I A )k +1=(R ∪I A )k (R ∪I A )= (I A ∪R ∪R 2∪…∪R k )(I A ∪R )= (I A ∪R ∪R 2∪…∪R k )∪(R ∪R 2∪…∪R k +1) = I A ∪R ∪R 2∪…∪R k ∪R k +1所以结论成立.t (r (R ))=t (R ∪I A )= (R ∪I A )∪(R ∪I A )2∪(R ∪I A )3∪…=(I A ∪R )∪(I A ∪R ∪R 2)∪(I A ∪R ∪R 2∪R 3)∪… = I A ∪R ∪R 2∪R 3∪…= I A ∪t(R ) = I A ∪R (R 传递t(R )=R ) =r (R )所以r (R )是传递的.∙∙ ∙∙a c b d ∙∙a cb ∙ ∙d ∙∙ ∙∙a c b d36.(1) 左边= r (R 1∪R 2)=R 1∪R 2 ⋃I A右边= r (R 1)∪r (R 2) =R 1∪I A ∪R 2∪I A =R 1∪R 2∪I A(1)式得证.(2) 左边=s (R 1∪R 2)=(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)-1= R 1∪R 2∪R 1-1∪R 2-1= (R 1∪R 1-1)∪(R 2∪R 2-1)=s (R 1)∪s (R 2)(2)式得证.(3) 证明t (R 1∪R 2)⊇t (R 1)∪t (R 2).t (R 1∪R 2)=(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)2∪┄∪(R 1∪R 2)n而 (R 1∪R 2)2= (R 1∪R 2)o(R 1∪R 2)=((R 1∪R 2)o R 1)∪((R 1∪R 2)o R 2)= R 12∪R 2o R 1∪R 1o R 2∪R 22 ⊇R 12∪R 22 ………(R 1∪R 2)n ⊇R 1n ∪R 2n . 于是有(R 1∪R 2)∪(R 1∪R 2)2 ∪…∪(R 1∪R 2)n ⊇R 1∪R 12∪…∪R 1n ∪R 2∪R 22∪R 22…∪R 2n 即t (R 1∪R 2) ⊇ t (R 1)∪t (R 2), (3)式得证．37.(1) 不满足自反性、反对称性, 所以不是偏序关系; (2) 是偏序关系;(3) 不是偏序关系. 因为若取a =2, 则22|/2, 所以〈2, 2〉∉R , 即R 不具有自反性.38.(a) R={〈5, 2〉, 〈5, 3〉, 〈5, 4〉, 〈5, 1〉, 〈2, 3〉, 〈2, 4〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈3, 4〉} I A ; 关系矩阵为：M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111010*******0111001101.(b) R={〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉, 〈5, 2〉, 〈5, 3〉, 〈5, 4〉, 〈3, 4〉, 〈2, 4〉} I A ; 关系矩阵为: M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111001000011000101001111.39. . 40. (a) ; (b) ; (c), 全序关系.∙∙∙∙∙12345∙∙∙∙1234∙∙∙∙1234∙∙∙∙123441. 哈斯图为：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ,其中(2)、(3)是全序关系.42.因为R 1不满足自反性, 但满足反自反性和传递性, 因而R 1是拟序关系; 而R 2, R 3满足自反性, 反对称性和传递性, 故R 2, R 3是偏序关系.43.(1) 因为R 是S 上的偏序, 所以R 是自反的、反对称的、传递的. 因而对于任意x ∈S , 〈x , x 〉∈R , 又对于任意x ∈S ', 有〈x , x 〉∈ S '⨯S '. 所以对于任意x ∈S ', 有〈x , x 〉∈ R ', 所以R '是自反的.设〈x , y 〉∈ R ', 〈y , x 〉∈ R ', 则〈x , y 〉∈ R , 〈y , x 〉∈ R , 由R 是反对称的, 故x =y . 因而若R 是反对称的, 则R '也是反对称的.若R 在S 上是传递的, 则由〈a , b 〉∈ R ', 〈b , c 〉∈ R ', 有〈a , b 〉∈ R , 〈a , b 〉∈ S '⨯S ', 〈b , c 〉∈ R ', 〈b , c 〉∈ S '⨯S ', 故〈a , c 〉∈ R , 〈a , c 〉∈ S '⨯S ', 因此〈a , c 〉∈ R ', 即R '是传递的, 因此R 是也是传递的, 所以R '是偏序.(2) 因为R 是S 上的拟序, 所以R 是反自反的、传递的. 因而对于任意x ∈ S ', 〈x , x 〉∉R ,所以〈x , x 〉∉ R ', 因而R '也是反自反的. 由(1)的证明过程可以知道, R '是传递的, 因此R '是拟序.(3) 若R 是线序的, 则R 是偏序的, 且对于任意的a , b ∈S , 或者〈a , b 〉∈ R 或者〈b , a 〉∈ R .因而对于任意的x , y ∈ S ', 也有〈x , y 〉∈ R 或〈y , x 〉∈ R . 但〈x , y 〉∈ S '⨯S ', 〈y , x 〉∈ S '⨯S ', 所以, 或者〈x , y 〉∈ R '或者〈y , x 〉∈ R '. 因而S '上任一元素是可比较的, 又由(1)知R '也是偏序, 所以R '是S '上的线序.44.对于任意x ∈N , 则x 为自然数, 所以x ≥x , 所以〈x , x 〉∈ R ≥, 即为自反关系. 若〈x , y 〉∈ R ≥, 〈y , x 〉∈ R ≥, 则x ≥y 且y ≥x , 故x=y , 因此R ≥是反对称的. 若〈x , y 〉∈ R ≥, 〈y , z 〉∈ R ≥, 则x ≥y 且y ≥z , 故x ≥z , 因此R ≥是可传递的.综上所述, 关系R ≥是一种偏序关系. 又在N 上任意两个自然数都可以比较大小, 也就是在N 上关于关系R ≥都是可比较的, 因此R ≥是全序关系.45.由于包含关系R ⊆是一种偏序关系, 对于ρ的元素按照包含关系有：∅⊆{a }⊆{a , b }⊆{a , b , c }.由此可知ρ的元素按照包含关系存在一条链, 因此R ⊆是全序关系.46．在集合A ＝{x | x 是一个实数且-5≤x ≤20}中, 因为任意一个实数自身不会小于自身, 所以小于关系是反自反的; 又因为小于关系具有传递性; 所以小于关系是A 上的拟∙∙∙∙∙24816 32 ∙∙∙∙∙3612 36 72 ∙∙∙∙24 36 2 ∙ ∙ 36 12 ∙∙ 10 3 2 6 4 12∙ ∙ ∙ ∙ ∙130 ∙序关系.47.因为I A ⊆R , 所以R 具有自反性. R 的关系矩阵为:M R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000000011000000001000000011000000101000001111000011101000000001. 由关系矩阵可知, r ij +r ji ≤1, 故R 是反对称的; 可计算对应的关系矩阵为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000000110000000010000000110000001010000011110000111010000000012R M = M R 由以上矩阵可知R 是传递的. 所以, R 是偏序关系, 即〈A , R 〉是偏序集. 所对应的哈斯图如图所示:极大元：a , f , h ; 极小元：a , b , c , g.48.哈斯图为：(1) 上界12, 24, 36, 下界2; (2) 无上界, 下界2, 4, 6, 12. 49.(1) 哈斯图和关系图如图所示:∙ ∙ ∙∙ f c d b ∙ e ∙∙g h a∙∙∙ ∙ ∙ 24 2 4 8 ∙∙612 36 ∙(2) 没有最小元素最大元素为a ; (3) 极小元为d , e , 极大元为a ;(4) 各子集的上界、下界, 最小上界、最大下界情况如下表:子集上界下界最小上界最大下界{b , c , d } a , c d , c c d {c , d , e } a , c 不存在 c 不存在 {a , b , c }ab , dab50.最大元：9, 极大元：9, 上界：27, 18, 9, 最小上界：9, 最小元：3, 极小元：3, 下界：3, 最大下界：3.51.上界为f , 下界为a , b , 最大上界为f , 最小下界不存在. 52.B 的极大元为19, 极小元为2, 最大元为19, 最小元为2. 53.哈斯图如图所示. 对于集合B : 无最小元素, 最大元素, 下界和最大下界为1, 上界和最小上界不存在, 极大元不存在, 极小元为1.54.(1) 等价关系;(2) 不是等价关系; 因为〈2, 1〉, 〈1, 3〉∈R , 但〈2, 3〉∉R , 即传递性不成立. (3) 等价关系; (4) 等价关系; (5) 等价关系. 55.(1) 等价关系. 因为M R 主对角线上元素全为1, 所以R 是自反的; 又M R 是对称矩阵, 所以关系R 是对称的; 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101100012R M=M R , 亦即R 2=R , 故R 具有传递性, 所以R ∙∙ ∙∙ a c b d e ∙ ∙ ∙ ∙ 5 13 6 ∙24∙∙ c ∙ ∙ ∙a eb d ∙是等价关系.(2) 不是等价关系. 因为M R不是对称矩阵, 所以关系R不具有对称性, 故R不是等价关系.56.(1) 不是A上等价关系. 因为A×A-R1不再满足自反性. 例如, A={a, b}, R1={〈a, a〉, 〈b, b〉}, 则A×A-R1={〈a, b〉, 〈b, a〉}, 显然A×A-R1不是A上等价关系.(2) 不是A上等价关系. 因为R1-R2不再满足自反性. 例如, A={a, b, c}, R1={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈b, c〉, 〈c, b〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}, R2={〈b, c〉, 〈c, b〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}, 则R1-R2={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉}, 显然R1-R2不是A上等价关系.(3) 21R是A上等价关系. (见67题证明)(4) r (R1-R2)不一定是A上等价关系. 例如, (2)中所设R1和R2是集合A上的等价关系, 但r (R1-R2)={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, c〉, 〈c, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉}不是A上等价关系.例如, A={a, b}, R1={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉}, R2={〈a, a〉, 〈b, b〉}, 则r (R1-R2)={〈a, b〉, 〈b, a〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉}是A上等价关系.(5) 不是A上等价关系, 因为R1 R2不再满足对称性. 例如, A={a, b}, R1={〈a, b〉}, R2={〈b, a〉}, 则R1 R2={〈a, a〉}, 显然R1 R2不是A上等价关系.57.若任取〈x, y〉∈A, 因为|x-y|=|x-y|, 故〈x, y〉R〈x, y〉, 所以R是自反的;任取〈x, y〉,〈u, v〉∈A, 使得〈x, y〉R〈u, v〉, 则|x-y|=|u-v|, 故〈u, v〉 R〈x, y〉, 所以R是对称的;任取〈x, y〉, 〈u, v〉, 〈w, z〉∈A, 使得〈x, y〉R〈u, v〉, 〈u, v〉R〈w, z〉, 则有|x-y|=|u-v |, |u-v| = |w-z|, 从而有|x-y|= |w-z|, 即〈x, y〉R〈w, z〉, 所以R是传递的.综上, R是等价关系.A/R={{〈1, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 3〉}, {〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉, 〈3, 4〉}, {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 1〉}, {〈1, 4〉}}.58.(1) 对于任意〈a, b〉∈A, 有a2+b2= a2+b2, 故〈a, b〉R〈a, b〉, 自反性成立.对于任意〈a, b〉∈A, 有a2+b2= a2+b2, 则有〈a, b〉R〈b, a〉, 对称性成立.若任意〈a, b〉, 〈c, d〉, 〈e, f〉∈A, 有〈a, b〉R〈c, d〉, 〈c, d〉R〈e, f〉, 即a2+b2= c2+d 2, c2+d 2= e2+f 2, 故a2+b2= e2+f 2, 则必有〈a, b〉R〈e, f〉, 传递性成立.综上R是A上等价关系.(2)A/R的等价类是以(0, 0)为中心的无穷多个同心圆, 包括半径为0的圆.59.(1) 由关系矩阵可知: 对角线元素全为1, 故R自反性成立; M R是对称矩阵, 故R是对称的; 又因为因为对于任意的a ij = 1, a jk = 1, 有a ik = 1, 故R传递性成立.综上R是等价关系.(2) 由等价关系可得其等价类为：[1]R= [2]R = [3]R =[5]R ={1, 2, 3, 5}, [4]R ={4}, 故A/R={{1, 2, 3, 5}, {4}}.(1)A上最大的等价关系是全域关系R=A×A={〈a, b〉 | a, b∈A}, 因此有n2个元素在A 上的最大的等价关系R中, 因为所有n2个二元组都在R=A×A中.(2) A上的最大的等价关系R的秩是1. 这是因为A中任何两个元素都有全域关系R= A×A, 因此R的等价块包含了A的所有元素, 即A的所有元素都在同一个等价块中. 所以商集只有一个等价块{A}, 它包含了A的所有元素.(3) A上的最小的等价关系是恒等关系I A={〈a, a〉 | a∈A }, 它中有n个元素, 即n个自反对.(4) A上的最小的等价关系的商集包含n个元素, 因为恒等关系的每一个元素都自成一个等价块, 每一等价块中也只有一个元素.61.等价关系R的等价类为[1]=[5]={1, 5}, [2]=[4]={2, 4}, [3]=[6]={3, 6}, 故R诱导的划分π={{1, 5}, {2, 4}, {3, 6}}.62.(1) 不是划分; 因为A≠{1, 3, 6}∪{2, 8, 10}∪{4, 5, 7}.(2) 不是划分; 因为{1, 5, 7}∩{3, 5, 6, 10}={5}≠∅.(3) 是划分, 它诱导的等价关系为：R={1, 2, 7}⨯{1, 2, 7}∪{3, 5, 10}⨯{3, 5, 10}∪{4, 6, 8}⨯{4, 6, 8}∪{9}⨯{9}={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 7〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 7〉, 〈7, 1〉, 〈7, 2〉, 〈7, 7〉, 〈3, 3〉, 〈3, 5〉, 〈3, 10〉, 〈5, 3〉, 〈5, 5〉, 〈5, 10〉, 〈10, 3〉, 〈10, 5〉, 〈10, 10〉, 〈4, 4〉, 〈4, 6〉, 〈4, 8〉, 〈6, 4〉, 〈6, 6〉, 〈6, 8〉, 〈8, 4〉, 〈8, 6〉, 〈8, 8〉, 〈9, 9〉}.(4) 是划分, 它诱导的等价关系为：R={1, 2, 5}⨯{1, 2, 5}∪{3, 4}⨯{3, 4}∪{6, 7, 8}⨯{6, 7, 8}∪{9, 10}⨯{9, 10}={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈1, 5〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈2, 5〉, 〈5, 1〉, 〈5, 2〉, 〈5, 5〉, 〈3, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 3〉, 〈4, 4〉, 〈6, 6〉, 〈6, 7〉, 〈6, 8〉, 〈7, 6〉, 〈7, 7〉, 〈7, 8〉, 〈9, 9〉, 〈9, 10〉, 〈10, 9〉, 〈10, 10〉}.63.只要求出A上的全部划分, 即为等价关系.划分为一个块的情况: 1种, 即{a, b, c, d};划分为两个块的情况: 7种, 即{{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, {{a, d}, {b, c}}, {{a}, {b, c, d}}, {{b}, {a, c, d}}, {{c}, {a, b, d}}, {{d},{a, b, c}};划分为三个块的情况: 6种, 即{{a, b}, {c}, {d}}, {{a, c}, {b}, {d}}, {{a, d}, {b}, {c}}, {{a}, {b}, {c, d}}, {{a}, {c}, {b, d}}, {{a}, {d}, {b, c}};划分为四个块的情况: 1种, 即{{a}, {b}, {c}, {d}},因此, 共有15种不同的等价关系.。

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离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。

因为空集是任意集合的子集；2）假。

因为空集不含任何元素；3）真。

因为空集是任意集合的子集；4）真。

因为∅是集合{∅}的元素；5）真。

因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。

因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

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