第12章 薄板的小挠度弯曲问题
薄板弯曲问题
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz
h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
《弹性力学》第十二章薄板弯曲资料
与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板 的边界方程为:
x2 a2
y2 b2
1
ao x
b
y
25
设挠度的表达式为:
w
C 1
x2 a2
y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
Qx
2 t
xzdz
2
t
M y
2 t
y
zdz
2
t
M yx
2 t
yx
zdz
2
t
Qy
2 t
xzdz
2
17
将上节给出的应力分量与挠度 w 之间关系代入，并积分
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应 力、应变和位移。
第12章-薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
薄板的小挠度弯曲问题
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中， 为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表 达 式
挠 度
内 力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的 ；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出 ，再由边界条件确定 和 。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即 。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚 与板面内的最小特征尺寸
之比大于 ，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚 与板面内的最小特征尺
寸 之比在 和 之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度 比板厚 要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中： 为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2
薄板弯曲问题
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
17
各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
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专题：薄板弯曲问题
4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲
matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲变厚度薄板小挠度弯曲是材料力学中一个重要的问题。
本文将借助MATLAB进行求解，并从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行全面探讨，旨在帮助读者深入了解该问题并指导实际工程应用。
首先，我们来介绍一下问题的背景和定义。
变厚度薄板小挠度弯曲指的是在较小应变范围内，薄板受外力作用而发生的弯曲变形。
该问题在航空航天、汽车工程、建筑结构等领域具有重要应用价值。
为了求解该问题，我们首先需要建立适当的数学模型。
在本文中，我们采用经典的薄板理论，即Kirchhoff-Love理论，假设薄板具有较大的宽度和长度，但厚度很小。
根据该理论，薄板在弯曲过程中的纵向位移可以用二维弯曲方程描述。
接下来，我们需要对薄板的边界条件进行分析和处理。
常见的边界条件有自由边界、固支边界以及边缘支持等情况。
根据实际问题的具体要求，我们可以在MATLAB中定义这些边界条件，并将其纳入模型中。
然后，我们利用MATLAB的数值计算能力来求解薄板的小挠度弯曲问题。
MATLAB提供了丰富的工具和函数，例如PDE工具箱和优化工具箱，可以高效地进行数值计算和求解。
我们可以通过离散化和微分方程求解方法，将变厚度薄板小挠度弯曲问题转化为一个数值求解问题，并利用MATLAB进行计算。
在得到数值解之后，我们需要对结果进行分析和评估。
通过使用MATLAB中的数据可视化工具，如绘图函数和动画函数，我们可以直观地观察薄板的变形情况，并分析不同参数对挠度的影响。
这将有助于我们深入理解薄板弯曲问题的本质，并为实际工程中的优化设计提供指导。
最后，我们可以通过MATLAB的优化工具箱来进一步优化薄板的设计。
通过设定目标函数和约束条件，我们可以使用MATLAB中的优化算法来寻找最佳的设计方案。
这将有助于我们在满足实际应用需求的前提下，提高薄板的性能和效率。
总之，本文通过MATLAB求解变厚度薄板小挠度弯曲问题，从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行了全面讨论。
弹性薄板的小挠度弯曲课件
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
薄板弯曲问题
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y3
3w yx2
)
1
Ez
2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z
Et3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0
薄板弯曲问题3
2 D( w) 0 y
1 2 D w r
其中：
w 1 w 1 w w 2 2 2 r r r r
2 2 2
圆形薄板的边界条件：（坐标原点取在 薄板的中心） a、在r=a处固定
(w) r a 0
b、在r=a处简支
w ( ) r a 0 r
12.8 Bending of Circular Plates
圆形薄板的弯曲
求解圆形薄板的弯曲问题，用极坐标比较方 便，我们把挠度w和荷载q看作是极坐标r和的 函数，即
w w( x, y)
q q( x, y )
因为w和q既是r、 的函数，又是x、y的 函数，利用极坐标与直角坐标之间的关 系，可以得出下列变换式：
2 2 2 2 2
sin cos r sin cos 2 r
w cos sin w r r2 2w 2
2 2
w 1 w 1 w w 2 2 2 r r r r
2 2 2
弹性曲面得微分方程可以变换为：
1 1 w 1 w 1 w D( 2 2 )( 2 2 )q 2 2 r r r r r r r r
1 M r Vr Qr r
边界条件变为：
(M r ) r a 0
(Vr ) r a 1 M r (Qr ) r a 0 r
或
( M r ) r a M
(Vr ) r a 1 M r (Qr ) r a V r
归纳
根据对称性，Q等于零，而Qr可由平衡条件得 到。C3和C4由边界条件确定
如，半径为a的薄板具有固定边，边界条件为：
(w) r a 0
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
§13.2弹性曲面的微分方程
3.力平衡方程
z
w 表示，取体力分量 Z 0
z xz yz
z x y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
z
z
E (z2t2)4w
2(12) 4
推导过程
21
PPT课件
z xz yz z x y
zx
y xy zy 0 y x z
z
xz
yz
Z
0
z x y
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
yzvzw y,zx
uw z x
物理方程
x E1[(x (y z)];y E1[(y (x z)];
z E1[(z (x y)]
xy
8G1xy;yz
G1yz;zx
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
2w y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
20
PPT课件
z E (z2t2)4w
z 2(12) 4
22
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
薄板弯曲问题的理论分析
薄板弯曲问题的理论分析洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析薄板弯曲问题的理论分析汽车工程研究院洪兵?胡小仙问题研究?【摘要]本文主要讨论汽车车身上常用的薄板材料的弯曲问题,分析其变形的特征,平衡方程以及相应的边界条件,为薄板的结构分析提供理论基础.主题词:薄板弯曲平衡方程边界条件薄钢板在汽车车身上的使用相当普遍,如顶盖,侧围,地板,门板,前罩板,横梁,纵梁及各种加强件等车身上的主要结构零件均由薄钢板冲压而成,重量占汽车车身总重量的70%以上,在车身结构中,薄钢板具有承载作用,负荷使薄钢板产生扭转,弯曲等变形,其中以弯曲变形最为常见.因此,从理论上分析薄板的弯曲变形问题,对于分析车身结构强度和受力状况是相当必要的.1薄板弯曲变形的基本特征利用材料力学和弹性力学的知识,可以得到三维弹性体的边界平衡方程为_1,2㈣1.1aQ:i(u)nj=&i=1,2,3第一式为弹性体Q内部,第二式为Q的边界.其中,为应力,nj为各面法向,u为应变位移,￡为体积载荷,gi为边界载荷.方程(1)适用于包括薄板在内的一般性三维弹性体,而薄板具有其自身的特点,从这一方程出发可以得到薄板变形的一些特殊性.以薄板的中性面(即弯曲前后无变化的面)作为x,_x平面建立坐标系进行分析.下面就先分别给出两个显着的特征,再进行证明.(1)3】==33=0在薄板弯曲过程中,板的厚度远小于其他两个方向的几何尺寸(如汽车顶盖厚度与长,宽尺寸的差别可以达到200倍以上),因此为了得到弯曲变形,只需要在板平面上加上一个不大的载荷,这一载荷远小于由此而产生的内部的纵向伸缩应力.因此,在平衡方程(1)中,可以略去载荷gi,从而得到3∑(o)n:o()j2ii=gO()j=l此处n=(n,n,n)为边界面的外法向.在车身的结构设计中,不可能允许薄板由于承载产生较大的变形,这对于汽车的安全是有极大隐患的,所以,这里只考虑小变形,可以认为弯曲后薄板的外法向与坐标轴X3平行,即n一(0,0,±1).因此,在板面上有3ni±j3O(3)j=l由于是薄板,可以认为式(3)在板内部也是成立的,于是就得到第一个特征.当然,这个特征是近似的,但至少相对于其他应力分量是极小量.(2)薄板的弯曲变形完全取决于横向位移(即所谓挠度,它只依赖于纵向坐标xl,x),而纵向位移LII~.U2以及应变(~11TM.￡￡12,￡2l则完全由挠度决定.薄板在弯曲变形时,内部的纵向纤维产生拉伸或压缩.在板受载荷向内凹的一面是压收稿日期:2005—08—21问题研究?长安科技2005年第11卷第4期缩,向外凸的一面是拉伸.形变在整个厚度方向连续地从压缩方向变到拉伸方向,根据数学上连续函数的罗尔定理,可知必然存在—个既没有压缩,又没有拉伸的中性面,在中性面两侧的变形方向相反.由于是均质材料,所以中性面x,-J-~,于上下板面,即位于板厚的中间.根据坐标设定,可知变形前的中性面为Xl--X平面,即x3=O.在中性面上,三个方向的位移分别为u=u=0,u=u(XI,x2)(4)由于板厚度很小,可以认为挠度u沿着薄板厚度方向是一致的,即u3(x1,x2,x3)≈u(xl'x2)(5)根据推导出的第一个特征,考虑到是小变形,并记中性面的横向位移(即挠度),w=u于是有变关系)一)-lT(11)==l2此即三维弹性问题的Hook定理.其中,E为材料的弹性模量,为材料的泊松比,仅为线膨胀系数,下为温升.同时也可以得到薄板弯曲的应变能体密度w一~-1-琳e22.2](12)(6)2薄板弯曲变形的变分形式和平衡方程由此即可得到应变s与无穷小旋转角通过挠度W的表达式20xi一袅2(7)lq=争磬一争磬+磬{产等一=等一磬(8)}:=争一如杂令曲率一},i,j=l,2,这就是中性面经过弯曲后的曲率张量的一阶近似,容易得到s----X3KⅡ,Kij=Kjii,j=l,2(9)对式(8)分别求X1xX的偏导,可以得到一Kl2,一I(22(10):K根据以卜分析.可以得到薄板弯曲的府力府F面便用变分原理分析薄板的弯曲变形.不考虑热效应(即温升下=0),于是Ho0k 定理式(11)和应变能式(12)通过关系式(9), 可用曲率K表示为],f(1-v)ZKi2i+(ZKk)l(14)1-vlk=l"其中,符号函数6ij:{:--≠ji.由于中性面对称于上下板面,设板厚为h,令MijJ—Il,2X3%dx,,i,j=1,2(15)将式(14)代入式(15)雷得到MD【(1一)K+(∑k=lKkk)6J(16)其中,D:—.进一步写为2啦一Ⅳ洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析M11=D(K11+1JK22),M22=D(vK11+),M12=M21=D(1一r)K12(17)此即薄板弯曲变形的Hook定理,此处刻画"应变"的是曲率K刻画"应力"的是M根据式(15)可知M的力学意义即为力矩,其中M..表示x.方向断面上绕+x轴的弯矩,M表示x方向断面上绕一x.轴的弯矩,M.表示x:方向断面上绕+x轴的扭矩, M.表示x.方向断面上绕一x.轴的扭矩.比例常数D即为材料的抗弯刚度.类似地计算应变能面积密度,可得到外功势能F(w)=』P3wdx1dx2+Iq3wdl+IⅡ,dl(18)要从变分原理导出薄板弯曲的平衡方程,就需要建立Green公式,即运用Gauss积分公式把Dw,v1变为区域Q上只含v本身而不含其导数的表达式.由于此处D(w,v1中含有v的二阶导数,因此需要两次运用Gauss积分公式.汽车车身上使用的薄板一般为成品钢板材,可以认为是等厚均质材料,即在Q内E,P.h等为常数,于是相应的平衡解W有足够的光滑度以保证Gauss积分公式的合法性.经过理论推导可得到Green公式1.1D(w,V):llMij(w)Kj(v)dx.d】【2:一』喜+讪一l(w)dl+[(w)】=-)(19)由式(18),式(19)可得附一:一I(窆dxd】【2+In(Q)+i=1d]【i.J砸l. -q3)vdI+dll(w)+m-)dl问题研究?+∑[M(w)】):0(20)其中ft:Q3i:喜警J'a:∑iJ=12(21)1一aQ:MZMij,ninjFIaQ:M=∑M1n.(22)可以从力学意义上理解各个系数,P,表示作用在板Q上的横向载荷,q,表示作用在边界aQ上的横向载荷,m.表示作用在边界aQ上的弯矩载荷,Q,i表示xi方向断面上的横向剪力,Q,表示法向为n的断面上的横向剪力,M表示法向为n的断面上绕切向t的弯矩,一M表示同一断面上绕法向n的扭矩. 由于v在Q内部,边界aQ以及点P;上的任意性,根据式(20)可以得到薄板弯曲的平衡方程和边界条件Q:一2-P.(23)IQ,n(w)+-q3aQ:lM(w):ml(24)l[M(w)】;=0i=l2一,m将式(21),Hook定理(17)以及曲率K的定义代人式(23),得到用挠度W表示的薄板弯曲方程毒OX蔷0誓OX)+2矗1D(卜1X1,…～l2 最告誓+警p(25)这是关于挠度的四阶椭圆型偏微分方程. 对于{习质等厚度的薄板,由于D,1J均为常数,方程可以简化为双调和方程Q:DAw=p3(26)29问题研究?长安科技2005年第11卷第4期3薄板弯曲变形的边界条件根据以上分析可知,薄板弯曲的平衡方程(25)或(26)是关于挠度w的四阶椭圆型偏微分方程,在定解时一般要在边界上规定两个边界条件.根据汽车车身的具体情况, 可以将边界条件分为三类.第一类边界条件是规定几何约束,又可分两种情况.(1-1)规定横向位移,即:已知.f27)(1-2)规定切向转角,即F"60,(W)=CD已知,或:一已知.(28)对于这两种几何约束,变分问题中的虚位移v必须满足相应的化零约束条件F】:v=0,F:=0(29)dn而应变能泛函照旧,但外功势能则改为一fq,vdl+m-dOvdl}(30)于是可以利用Green公式,由变分原理得到平衡方程(23),而边界条件则改为F:Q3n+:q,(31)aft—F:M咖(w)=ml(32)恰好补足了几何约束(27),(28)式以外的边界条件.也就是说,当在边界某段上规定了横向位移w后,当地的任何横向载荷q 就不起作用了,同理,规定了切向转角(1)i后, 当地的切向弯矩mi也不起作用了.第二类边界条件是规定载荷即力学边界条件,也分两种情况.(2—1)F上规定横向载荷q,.由式(36),边界条件的数学形式为Qn(w)+_q3(33)它表示在边界上的横向剪力平衡,包含有w 的三阶导数,此处可以认为是板边界上的扭30矩落差产生有效的横向剪力,和Q一al起与外载荷q平衡.(2—2)r上规定弯矩载荷m..由式(24),边界条件的数学形式为r2:M(w)=ml(34)它表示边界上的弯矩平衡.此外,从式(24)还可以看出,当边界aQ的角点Pi不受载荷时,扭矩M在该点为连续.若在Pi有点载荷,则在外功势能一F(v) 中应增加"点项"v(pi),此时可导出Pi点的平衡方程Pi:[M(w)]:=(35)它表示扭矩在点Pi处必有跳跃,以产生有效的横向点力而与点载荷ri平衡.需要指出的是,力学边界条件是变分问题的自然边界条件,与内部平衡方程一样都是在势能达到极小值时自动得到满足的,它们其实就是边界上的平衡方程.在这里,自然边界条件包含w的二阶或三阶导数,解析形式非常复杂,变分原理的优越性在此就得到了充分的体现.第三类边界条件是弹性支承,出现于板在边界上或板面上与外界有弹性耦合时,可分为三种情况.(3一1)r3上除横向载荷q外,还承受正比于挠度w的横向弹性反力一CoW,co>O为弹性耦合常数.此时r上单位长度有弹性能,对外功势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为Q3~(w)++c0w-q3(36)(3-2)F3~I~,T弯矩载荷In.外,还承受正比于切向转角的弹性反矩一cco=c,el>0为弹性耦合常数.此时上F3上单位长度有弹性能,对外功洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为r3:M(w)--C1m-(37)f3—31板面上与外界有弹性耦合,即弹性地基板.设在Q的子域Q上承受正比于挠度的横向弹性反力一cw,c>0为弹性耦合常数. 此时板面Q,的单位面积上有弹性能,对总势能和虚功泛函均有贡献,可以得到板体Q 内的平衡方程为Q～Q:Q:在工程实际中,可以根据材料的受力状态,在上述三类边界条件中任取两个,并且在不同的区段上可以有不同的取法,因此可能出现很复杂的组合.应该注意,边界条件(1—1)对(2—1)或(3—1),(1—2)对(2—2)或(3—2)是互相矛盾的,不能同时选取.另外,在实际的结构中,由于形状和受力状态复杂,计算量非常巨大,必须使用有限元软件进行分析处理.运用有限元对薄问题研究?板进行分析,常使用以下三种板元:不完全双三次矩形~(Adini—Clough—Melosh元),不完全三次三角形元(Zienkiewicz元)和完全二次三角形元(Morley元).4结束语经过一系列的理论分析,推导出了薄板弯曲变形的平衡方程及边界条件,为实践中对薄板材料的结构和受力状态进行分析提供了理论基础.当然,在工程实际中,各种材料的结构和受力非常复杂,仅依靠理论的分析计算是不够的,必须有相关试验进行实际的验证和调整.参考文献[1】冯康.弹性结构的数学理论.上海交通大学出版社.1996年4月第1版[2】钱伟长.弹性力学.科学出版社,1980年9月第1版[3】孙国钧.材料力学.上海交通大学出版社,2002年6月第1版[4】章仰文,邵国年.数学分析.上海交通大学出版社, 2000年7月第1版责任编辑曾莉(上接第26页)建模,并用非线性接触算法求解.在本文中,利用非线性有限元软件ABAQUS实现.(3)通过仿真表明,后端盖刚度过低,导致在螺栓力作用下发生较大翘曲变形,使得与密封垫失去接触,导致密封失效,仿真结果与试验现象相符合.(4)优化后的结构在后端盖边缘处增加了加强筋,并适当调整了中间加强筋的位置和大小,经仿真和试验验证,达到密封要求.参考文献I1]BelytschoT.,"uw.K.,MoranB.NonlinearFinite ElementsforContinuaandStructl?res,JohnWileyand SonsLtd,2000【2】王勖成有限单元法.北京:清华大学出版}土2o03 【3】ABAQUSInc.ABAQUS有限元软件6.4版入门指南.北京:清华大学出版社,2004【4】ABAQUSInc.ABAQUSAnalysisUsersManua1. ABAQUSInc.2003责任编辑曾莉31,托监啦: ∑:∑。
圆形薄板的弯曲问题
dz
Et3 2w
12(1 ) x
xz
Qx
同样可得Qy,记 可得
D Et 2
12(1 2 )
Mx
D
2w x2
2w y2
My
D
2w y 2
2w x2
M xy
D(1
)
2w xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
x
12M x t3
z
y
12M y t3
D
d2
d 2
1
d
d
d2 d 2
1
d d
q
这个常微分方程的解答是：
A2 B2 ln C ln K 1
此时，从板中取出一单元体，则单元
体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力 分别为：
d2 d
M
D
d
2
d
M
D
1
d d
d2 d 2
M M 0
应力分别为：
Εz
1 2
zx
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
x
2w
zy
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
y
2w
另由平衡方程可得
y xz yx
z
x y
即
z Ez t2 z2 4w
z 2(1 2 ) 4
积分得
z
Ez
2(1
2)
t2 4
z
z3 3
4w
F3( x,
y)
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板的弯曲问题
2)
1 2
z t
2
1
z t
4 w
根据薄板上面内的边界条件：
q z z t 2
代入
z
Et2
6(1 2 )
1 2
z 2 1 t
z t
4 w
最后得到：
Et 2 4w q
12(1 2 )
M xy
xy
截面上的内力：剪力
由
zx
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2w
2
Qx t xz dz 2 t
可得
Qx
Ez
1 2
x
2w
t
2 t
2
z
2
t2 4
dz
Et3 2w
2、假设
薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计 算假设为基础的。
（1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。 即
z 0
由几何方程可得
0, x, y
z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚 度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。
与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有 各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。
（2）、应力分量 zx , zy 和 z 远小于其余
三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的 形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲 相同之处，也有不同 之处，梁的弯曲我们 只考虑横截面，板的 弯曲有两个方向，要 考虑两个横截面上的 应力。
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第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
实践证明是完全正确的。
学习思路：1、薄板基本概念；2、基尔霍夫假设1、薄板基本概念薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。
两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。
平分板厚的平面称为板的中面。
设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；如果δ/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤δ/b≤1/5，称为薄板。
厚板属于弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。
如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。
如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。
中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。
对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。
本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
2、基尔霍夫假设薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
设中面为xy平面，则1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。
这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示根据这一假设，εz＝γzx＝γzy＝0。
2、垂直于中面方向的应力分量σz，τzx，τzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的，这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。
3、薄板弯曲时，中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即u z=0=0，v z=0=0，w=w(x, y)根据这一假设，板的中面将没有变形发生。
板的中面位移函数w(x, y)称为挠度函数。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的。
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。
下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。
§12.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程学习要点:根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。
本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。
但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。
通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移。
根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。
然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。
学习思路：1、位移与应变分量；2、应力分量；3、广义力；4、广义位移与平衡关系；5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程。
1、薄板位移和应变分量根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为根据几何方程的第3式，则，从而w=w(x，y)。
薄板厚度方向的位移与z 坐标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。
根据几何方程的5，6式，有对z积分，可得注意到第3个假设，u z=0=0, v z=0=0，因此f(x，y)= g(x，y)=0，所以上述分析将位移分量通过挠度函数w(x, y)表示。
根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。
有上式表明，薄板的弯曲应变是沿厚度线性分布的，在板的中面为零，上下板面处达到极值。
2、薄板的应力分量根据基尔霍夫假设，本构方程简化为代入应变表达式有薄板小挠度弯曲问题的正应力和切应力沿厚度也是线性分布的。
基本假设中的εz＝γzx＝γzy＝0，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是不计的。
应该注意的问题是，这些应力分量相对于其它应力分量产生的变形可以不计，但是对于平衡的影响必须考虑。
这里必须放弃物理方程中关于的εz＝γzx＝γzy＝0的结论，而要求σ z ＝-ν (σx+σy) ≠0；τzx≠τzy≠0。
由于不计τxz，τyz，所以γxz＝γyz＝0，根据几何方程，当然必须放弃物理方程中关于的γxz和γyz的部分，即要γxz＝γyz＝0，而τxz，τyz又不等于0。
3、广义力对于矩形薄板，采用图示坐标系。
如果从薄板中选取一个微小单元体δd x d y，单元体在Oxy平面的投影为矩形abcd，单元体上部有横向载荷q d x d y，底面为自由表面。
其中外法线与x轴平行的的侧面有应力分量σx，τxz，τxy，根据公式可以知道，应力分量σx，τxz，τxy均以中面为对称面而反对称分布。
这些应力分量将分别组成合成弯矩M x，扭矩M y和横向剪力F S x，如图所示如果用M x，M y和F S x分别单位长度的弯矩，扭矩和横向剪力。
则同理，讨论外法线与x轴平行的的侧面，有下面设法将上述内力用挠度函数w(x, y)表示。
将应力表达式代入上述内力分量表达式，有其中同理上述内力M x，M y，M yy和F S x和F S y称为广义力。
分别作用于单元体的侧面边界如图所示。
4、广义位移与平衡关系上述广义力对应的广义应变为x是薄板中面在与Oxz平面平行的平面内的曲率，曲率取负号是由于挠曲面凸面向下为正曲率，而对应的挠度函数的二阶导数为负值。
k xy称为中面对于x，y轴的扭率。
利用广义应变，可以将广义力表示为考虑单元体的平衡则如果讨论，即绕x轴的力矩之和等于零。
考虑单元体内力对于角点的力矩平衡，有整理并且略去高阶小量，有5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程同理，根据，有根据，可以得到简化并且略去高阶小量，有将公式代入上式，并且注意到M xy=M yx，有将挠度函数w(x, y)代入上式，则或者写作其中号为拉普拉斯算符。
公式就是薄板小挠度弯曲问题的基本方程。
从而，问题归结为在满足边界条件的基础上求解基本方程，确定挠度函数；然后根据公式计算广义力弯矩和扭矩；再根据公式确定薄板应力分量。
§12.3 薄板边界条件学习要点:薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。
由于薄板基本方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。
薄板弯曲问题的典型边界条件形式可以分为几何边界条件、面力边界条件和混合边界条件。
分别对应薄板的固定边界、自由边界和简支边界约束。
由于薄板弯曲问题应用位移解法，因此，本节对于不同的边界约束，推导边界条件的挠度函数表达形式。
应该注意的自由边界条件，由于自由边界属于面力边界，因此转换为位移边界条件时并不是完全独立的，必须作进一步的简化，特别是两个自由边界角点的约束变换。
学习思路：1、典型边界条件形式；2、自由边界条件。
1、典型边界条件形式薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。
由于方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。
薄板弯曲问题的典型边界条件形式为1、几何边界条件：就是在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角，t 为边界切线方向。
2、面力边界条件：在边界给定横向剪力和弯矩。
3、混合边界条件。
在边界同时给出广义力和广义位移。
以下讨论常见的边界支承形式和对应的边界条件：一、固定边界对于固定边界，如图所示显然有边界挠度和转角均为零的几何条件。
因此，在x=0边界，有二、简支边界薄板在简支边界，不能有挠度，但是可以有微小的转动。
因此边界条件为挠度为零和弯矩为零，属于混合边界条件。
在x=0边界，有由于，同时在边界x=0，有。
所以边界条件可以写作三、自由边界对于自由边界在x=0边界，有上式给出了3个面力边界条件，进一步分析可以证明，这3个面力边界条件并不是独立的。
其中扭矩可以用等效剪力来表示。
作用在x=a边界上长度为d y的微单元体上的扭矩可以用两个大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。
显然这种代换是静力等效的根据圣维南原理，代换的影响仅仅是局部的。