上海市交大附中高一(上)期中数学试卷含答案
上海交大附中高一上学期期中数学试卷含答案
上海交大附中高一上学期期中数学试卷一. 填空题1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =3. 函数1()2f x x=-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：则不等式(())0f g x ≥的解集为 6. 关于x 的不等式23208kx kx ++<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是 （假设出生当年的年龄为1岁）8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是9. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22220()0x x x f x xx ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为二. 选择题13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0x x <且1}x ≠-C. {|11}x x -<<D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）， 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命 题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（ ） A. 11()()4a b a b++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+≥三. 解答题17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.18. 已知a R ∈，若关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++证：令A =，B =2222112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++ 222212122211()22a ab b A B ++=+=，故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++. （1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +∈，有3333a b c abc ++≥）20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.21. 函数21()2f x ax x c =-+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值； （2）若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x +<； （3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 必要非充分2. {1,3}3. [1,2)(2,)-+∞ 4. 若2a ≤-5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥6. 3k >或0k <7. 1989年8. [1,1]-9. 15a ≥(,[2,)-∞+∞二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 当a b=时，min C =+18. 1[0,]4. 19. 略.20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.21.（1）14a c ==；（2）11(,)2211(,)2212b b x b b b ⎧<⎪⎪⎪∈>⎨⎪⎪∅=⎪⎩；（3）3m =-或1m =.。
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上海交大附中高一上学期期中考试（数学）（满分100 分， 90 分钟完成，同意使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：（共12 小题，每题 3 分）1.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。
2.已知会集 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。
3.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。
4.不等式11 的解集为_____________。
（用区间表示） x5.命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。
（填“真”或“假”）6.2会集 A={x|(a-1)x+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。
7.若不等式 |ax+2|<6的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。
8.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。
9.已知 a2 +b 2=1 ，则a 1 b2的最大值为 ___________ 。
10.19和各代表一个自然数，且满足+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.11.已知会集A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。
12.若是关于x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。
二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）13.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的：（）（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件14. 以下命题中正确的选项是：（）（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b15.设x>y>0，则以下各式中正确的选项是：（）（ A ） x> xy> xy >y （ B ） x> xy >xy>y22（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y >x y2216. 以下每 中两个函数是同一函数的 数共有：（）（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1（２） y1 x2 和 y1 x 2| x 2 | x 2（３） y=2x ， x ∈ {0,1} 和 y= 1 x 2 5 x 1， x ∈ {0,1}6 6 （４） y=1 和 y=x 0（５） y=x 1 x 2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y 3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2 （D ）4三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）17. （本 8 分）已知会集A x x a 1 ， Bx x 2 5x 4 0 ，且 AB ，求 数 a 的取 范 。
上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．在实数范围内，1681的四次方根是．2．已知{}{0,0,4,x ⊂，则x 的值为．3．比较下列两数的大小关系，4000.25000.3的大小（填>、<或=符号）4．关于x 的不等式10ax x a -≤-的解集为A ．若3A ∈，4A ∉，则a 的取值范围是．5．函数()2lg 1y ax ax =++的值域是R ，则a 的取值范围是6．已知()32x f x x +=-，()()(),0,0f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则方程()33g x x =-不同解的个数为．7．在区间[]22-,上恰有一个x 满足方程2210mx x --=，则m 的取值范围为．8．已知a 是常数，命题p ：存在实数x ，使得12220x x a -⋅+-<．若p 是假命题，则a 的取值范围是．9．函数()()311kk y k x k ==⋅+-⋅∑取到最小值时，实数x 的取值范围是．10．已知0x >的最大值为．11．已知()2)R (f x x ax b a b =++∈、，记集合(){}0A x f x =≤，()(){}10|B x f f x =+≤．若A B =≠∅，则a 的取值范围为．12．已知()111124f x x x x =+++--，()2321021x x g x -⋅-=+．函数()y f x =的图像是一个中心对称图形．若函数()y f x =与函数()y g x =的图像交点分别为()11,x y ，()12,x y ，…，(),m m x y （m 为正整数），则()1m i i i x y =+=∑．注：()()()()11221mi i m m i x y x y x y x y =+=++++++∑ ．二、单选题13．在“①难解的题目；②方程210x +=在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（）A ．②③B ．①③C ．②④D ．①②④14．已知幂函数()232321m m y m m x +-=-+是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，则满足条件的不同m 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知互不相等的正数a 、b 、c 满足222a c bc +=，则下列不等式中可能成立的是（）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>16．对任意R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，下列性质错误的是（）A ．存在R x ∈，使得[][]552x x =+B ．任意R x ∈，使得[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C ．任意x 、R y ∈，满足[][]x y =，则1x y -<D ．任意x 、R y ∈，都有[][][]+≤+x y x y 三、解答题17．解下列关于x 的不等式：(1)()5577log 35log 6x x +≤-．(2)()()3377356x x +≤-．18．已知函数()()4log 41x f x kx =++()x ∈R 是偶函数.(1)求k 的值；(2)若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围.19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30,0<30=18002+80,30<<100x f x x x x ≤⎧⎪⎨-⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；并求出()g x 的最小值.20．问题：正实数a 、b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：()12122123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b=且1a b +=时，即1a =且2b =12a b+的最小值是3+(1)已知a 、b 是正实数，且1a b +=，求1422a b b +++的最小值．(2)①已知实数a 、b 、x 、y ，满足22221x y a b-=，求证()222a b x y -≤-．②求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值．21．已知函数=的定义域为R ，现有下面两种对=变换的操作：ϕ变换：()()()y f x y f x f x t =→=--，其中0t >．ω变换：()()()y f x y f x t f x =→=+-，其中0t >．(1)若()3x f x =，1t =，对=进行ϕ变换后得到函数=，解方程()2g x =．(2)若()2f x x =，对=进行ω变换后得到函数()y h x =，解不等式()()f x h x ≥．(3)若函数=在(),0∞-上是严格增函数，对函数=先作ϕ变换，再作ω变换，得到函数()1y h x =，对函数=先作ω变换，再作ϕ变换，得到函数()2y h x =．对任意0t >，若()()12h x h x =恒成立，证明：函数=在R 上是严格增函数，22．已知函数()y f x =在R 上连续，且()()()()()()12120f x f x f x f x f x f x ++=⋅+++⋅+>恒成立，则()f x =[)0,999上至少有几个不同的解？。
2019-2020学年上海交通大学附属中学高一上学期期中考试数学试题
2019-2020学年上海交通大学附属中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一. 填空题 1.函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞ 【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x >考点：函数定义域的求法．2.已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =I ________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ，而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3.当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.4.设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__【答案】{5} 【解析】 【分析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =---集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.5.已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}- 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}-【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.6.满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16 【解析】 【分析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ， 所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.7.已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________【答案】3[,1)2-- 【解析】 【分析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围.【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式，综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题. 8.若函数()f x =a 的取值范围为________【答案】1a > 【解析】 【分析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案.【详解】由函数()f x 0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或，1，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x ==。
上海交通大学附属中学第一学期.高一数学期终试卷解答
高一数学试卷(满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上)一.填空题：(本大题共12题，每题3分，满分36分)1、设p: |x-1|<1 , q :丄上0，则p是q的_______________ 条件(充分必要性)。
2x 12、若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出一个“可倒”的数集 _______________ 。
3、在与2010角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是________________ 。
4、若方程x2-5x+m=0 与x2-nx+15=0 的解集分别为A、B，且A B={3}，贝U m+n= __________ 。
2 x 1 x 05、设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则X0的取值范围是 _____________ 。
V x x 06、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0 时，f(x)=x+lg|x|，贝U f(10)= ___________ 。
7、函数y=ln(4+3x-/)的单调减区间为______________ 。
&已知函数f(x)= 2x a在［-1，c］上为奇函数，则f(丄)？c的值为___________________ 。
x bx 1 29、不等式(x-2) J x2 x 6 0的解集为________________ 。
10、已知函数f(x)= a x的反函数f -1(x)的图像的对称中心是(b，3)，则实数a+b为_______________ 。
x a 111、定义：区间［x1，X2］( x1<x2)的长度为X2-X1，已知函数y= |log 0.5x|的定义域为［a，b］，值域为［0，2］，则区间［a，b］的长度的最大值为________ 。
12、设函数f(x)的定义域为D，若对于任意的X1 D,存在唯一X2 D的使丄血 ^^=5。
2 为常数)，则称函数f(x)在D上的均值为C。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
2022-2023学年上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中数学试题一、单选题1．化简29log 3x 的结果为（ ）A ．xB ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C【分析】利用对数的运算性质求解即可. 【详解】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C2．函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >【答案】A 【分析】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围 【详解】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >， 因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <， 故选：A3．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的关系. 【详解】解：方程()f x x =无实根. ()0f x x ∴->或()0f x x -<. 0,()0a f x x >∴->对一切R 成立, ()f x x ∴>,用()f x 代入,[()]()f f x f x x ∴>>,命题①正确；同理若a<0,则有[()]f f x x <.命题②错误,命题③正确；0a b c ++=,(1)10f -<必然归为a<0,有[()]f f x x <.命题④正确. ①③④正确 . 故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大.二、多选题4．已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】CD【分析】根据基本不等式，结合题意，即可判断和选择.【详解】对AB ：2222a c bc ac +=>，又0c >，故b a >，则AB 错误；对C ：若b c >，则22222a c bc c +=>，即22a c >，又0,0a c >>，故a c >，则b a c >>满足题意，C 正确；对D ：若c b >，则c b a >>，D 正确. 故选：CD.三、填空题5．已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________． 【答案】{}2【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】解：因为集合{}1,A x x =< 所以{}|1A x x =≥ 又{}1,0,2B =-， 所以{}2A B ⋂=， 故答案为：{}2 6．函数y__________. 【答案】(,1)-∞【分析】由给定函数有意义列出不等式，解之即得. 【详解】在函数y=10x -≥，而分式分母不能为00，所以101010x x x -≥⎧⎪⇒->⇒<≠， 所以原函数定义域为(,1)-∞, 答案为：(,1)-∞7．“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空） 【答案】必要非充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】先证明0x y +>时，x 、y 中至少有一个大于0 假设x ,y 均不大于0，即x ≤0且y ≤0， 则x ＋y ≤0，这与x ＋y ＞0矛盾，即当x ＋y ＞0时，x ,y 中至少有一个大于0，即必要性成立，若x ＝1，y ＝−2，满足x ,y 中至少有一个数大于0，但x ＋y ＞0不成立，即充分性不成立， 故“x ,y 中至少有一个数大于0”是“x ＋y ＞0”成立的必要不充分条件， 故答案为：必要非充分．8．已知12x x +=，则331x x -的值为_____________． 【答案】0【分析】解方程求出x ，再代入计算即可. 【详解】12x x+= 2210x x ∴-+=，解得1x =333311101x x ∴-=-= 故答案为：0.9．已知0.63a =，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）． 【答案】12a a【分析】先通过换底公式得到31log 0.6a=，再将 5.4log 3转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.【详解】由0.63a =得0.631log 3log 0.6a ==，即31log 0.6a=， ()5.433331111log 31log 5.4log 0.69log 0.6log 9122aa a∴=====⨯+++故答案为：12a a10．不等式211x x-≤的解集为___________. 【答案】{}01x x <≤【分析】移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果. 【详解】211x x -≤等价于210x x x--≤等价于10x x -≤，等价于(1)0x x -≤且0x ≠，即01x <≤， 故不等式211x x-≤的解集为{}01x x <≤. 故答案为：{}01x x <≤.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于基础题.11．不等式41320x x --<的解集为_____________． 【答案】()0,1【分析】根据式子结构可得0x >，再通过不等式的性质及指数的运算性质变形，最后利用幂函数的性质解不等式即可.【详解】由41320x x --<中的结构12x -可得0x >， 41320x x ->>∴，14231x-->∴，即1161x -∴>，即61161111x =<116y x =在()0,∞+上单调递增，01x ∴<< 故答案为：()0,112．如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________． 【答案】[]4,7【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件，结合已知自变量的范围，列出不等关系，即可求得结果.【详解】因为|||2|x k x k -+-()()2x k x k k ≥---=，当且仅当()()20x k x k --≤时取得最小值； 当0k ≤时，因为[]7,8x ∈,所以不满足题意； 当0k >时，要取得最小值，则[],2x k k ∈；根据题意，当[]7,8x ∈，都要取得最小值，则[]7,8是[],2k k 的子集， 则7,28k k ≤≥，解得[]4,7k ∈. 故答案为：[]4,7.13．如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．2【分析】由题意，可用a 表示出线段AQ 及CP 的长度，再由基本不等式求最值，即可求得||||AQ CP +取最小时的a 值．【详解】解：点P 在函数12y x -=上，则12CP a a-==点Q 在函数22y x =上，则22Q x a =，的||2Q a AQ x =12||||22222a a AQ CP aa∴+≥⋅= 2a a2a =21>知，当||||AQ CP +最小时，a 2 2．14．已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________． 【答案】27【分析】根据题意，分类讨论a b =或a b 两种情况即可求解.【详解】设k a b c =-+，①：a b =，c 取1,2,3，则1,2,3k =， ②：a b ，则1a b -=或2a b -=，c 取1,2,3，则2,3,4,5k =，故12323452077n m ++++++==，则27m n += 故答案为：2715．已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a+++的最大值为___________． 233+【分析】设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，即可得到()00f =，从而求出1a b +=，令1b a =-，代入目标式子化简得到()13131a a ++-+，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，()()()110f x f f x ∴==，()00f ∴=，即()010f a b =+-=，故1a b +=，所以1b a =-， 又a 、b 为正实数，所以01a <<，则112a <+<所以()222221221111a b a a a b b a a a a a a a a ++=+=-+++-+--+ ()()211331a a a +=++-+()13131a a =≤=++-+ 当且仅当131a a +=+，即31a 时取等号，即222a b a b b a +++.四、解答题16．若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．【答案】()()8,,0+∞-∞【分析】根据指数函数的单调性化简，令()()()221f x x a x a =+-++，然后结合二次函数的图像列出不等式，即可得到结果.【详解】根据题意可得存在x 满足221x ax x a +<--，即()()2210x a x a +-++<令()()()221f x x a x a =+-++，即存在x 满足()0f x <所以()()22410a a ∆=--+>，解得8a >或a<0 即a 的取值范图是()()8,,0+∞-∞故答案为: ()()8,,0+∞-∞17．已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．(1)若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围； (2)若a A ∈，求A B ⋂． 【答案】(1)02a ≤≤ (2)答案见解析【分析】（1）求出集合AB ，然后根据并集结果列不等式求解即可；（2）分111a a -<-<+，1113a a -≤-<+≤，131a a -<<+讨论，确定A B ⋂【详解】（1）由已知{}[]22301,3A x x x =--≤=-，{}[]1,1,1B x x a a R a a =-≤∈=-++A B A =，B A ∴⊆1113a a -+≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤（2）由（1）[]1,3A =-，[]1,1B a a =-++，[]1,3a ∈-， 当111a a -<-<+，即10a -≤<时，[]1,1A B a ⋂=-+当1113a a -≤-<+≤，即02a ≤≤时，[]1,1A B a a =-+ 当131a a -<<+，即23a <≤时， []1,3A B a =- 18．已知()2()x f x x =∈R ． (1)解不等式：(2)()12f x f x +≤；(2)记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值． 【答案】(1)(]2,log 3-∞ (2)2-【分析】（1）首先求出()2f x ，则不等式即为22212x x +≤，解得423x -≤≤，再根据指数函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，从而得到(2)2()y g x g x =-的解析式，令22x x t -=+，利用基本不等式求出t的取值范围，则问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，根据二次函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为()2()x f x x =∈R ，所以2(2)2x f x =，则不等式(2)()12f x f x +≤，即22212x x +≤，即()222120x x +-≤，即()()24230x x+-≤，解得423x -≤≤，显然24x ≥-恒成立，则只需满足23x ≤，解得2log 3x ≤，即不等式的解集为(]2,log 3-∞. （2）解：()()()22x x g x f x f x -=+-=+，则()()22(2)2()22222x x x xy g x g x --=-=+-+，令22x x t -=+，则222x x t -=+≥=当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号， 则()2222222222x x x x t --+=+-=-，所以问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，因为()()213h t t =--对称轴为1t =，开口向上，所以()h t 在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 22h t h ==-，所以函数(2)2()y g x g x =-的最小值为2-.19．某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x （万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．(1)当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；(2)若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）． 【答案】(1)()10,40； (2)14.5万元.【分析】（1）根据已知函数模型，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，求得利润关于投资B 项目资金x 的函数关系，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）根据题意，当020x ≤≤时，10302x xx >-，即()100x x ->，解得0x <或10x >， 故满足题意的(]10,20x ∈； 当20x >时，202x>，解得40x <，则此时()20,40x ∈； 综上所述，()10,40x ∈，故当B 项目比A 项目创造的利润高时，投入A 项目的资金x （万元）的取值范围()10,40. （2）根据题意，设投资A 项目x （万元），则投资B 项目30x -（万元），则03010x ≤-≤，解得[]20,30x ∈；则公司一年的利润()10301600110101014.5222x x y x x x -⎛⎫=+=+-≥⨯=≈ ⎪⎝⎭（万元），当且仅当600x x=，即x =. 即该公司一年至少能创造14.5万元的利润. 20．已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．(1)若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；(2)若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+->恒成立，求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx -=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)0k =或1k = (2)97a <-或1a ≥(3)10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的性质得到220k k -++>，求出不等式的解析，再结合k ∈Z ，求出k 的值； （2）首先分析22k k -++的取值情况，依题意及幂函数的性质可得()f x 在(),0∞-上单调递减，即可确定()f x 的解析式，则问题即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究0x ≥的情况即可，结合二次函数的性质计算可得；（3）由（2）可得方程222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x -=()0,x ∈+∞，分析()m x 的取值情况，则问题转化为2211220x x m x x ---+=，即22()()20m x m x m -+=，再令()s m x =，关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可.【详解】（1）解：函数22(),k k f x x k -++=∈Z 的定义域为R ，则220k k -++>，所以()()210k k -+<，解得12k -<<，又k ∈Z ，所以0k =或1k =；（2）解：因为()2212k k k k -++=--+且Z k ∈，若k 为奇数，则1k -为偶数，则()12k k --+为偶数，若k 为偶数，则1k -为奇数，则()12k k --+为偶数， 且221992244k k k ⎛⎫-++=--+≤ ⎪⎝⎭， 因为(4)(3)f f ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，若222k k -++=，即0k =或1k =时()2f x x =符合题意，若220k k -++=，即1k =-或2k =时()0f x x =，不符合题意，若220k k -++<，则22()kk f x x -++=为偶函数且在()0,∞+上单调递减，则()f x 在(),0∞-上单调递增，不符合题意；所以()2f x x =，则不等式()21()(20a f x a -+->恒成立，即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，因为()()221(1)2h x a x a x =-+-+为偶函数，由()0h x >恒成立，只需研究0x ≥的情况即可， ①当0x =时显然成立，②当0x >时()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，若210a -=解得1a =或1a =-，当1a =时显然成立，当1a =-时不等式即220x -+>，解得1x <，不符合题意；若210a -<，即11a -<<时，显然不成立，若210a ->，即1a >或1a <-时，函数()()221(1)2g x a x a x =-+-+的对称轴为()121x a -=+，开口向上，当1a >时()1021x a -=<+，又()020g =>，所以()()221(1)20g x a x a x =-+-+>()0,x ∈+∞恒成立，符合题意，当1a <-时()1021x a -=>+，则()()221810a a ∆=---<，解得1a >（舍去）或97a <-， 综上可得：97a <-或1a ≥；（3）解：由（2）可得22(1)20f x mx -=，即()222(1)120x x x mx ---+=，因为方程22(1)20f x mx -=在()0,∞+上有4个不同的根， 即222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x -=，()0,x ∈+∞，当1x >时，()111x m x x x -==-，所以()m x 在(1,)+∞上单调递增，则()()0,1m x ∈；当01x <<时，()111xm x x x -==-，所以()m x 在(0,1)上单调递减，则()(0,)m x ∈+∞． 方程222(1)120x x x mx ---+=可变形为2211220x x m x x ---+=，即22()()20m x m x m -+=，令()s m x =，则方程为2220s s m -+=，要使得原方程有4个不同的正根，则关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根1s ，2s ，所以211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，故实数m 的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．21．已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ====或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++-．(1)对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；(2)设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求()d P 的最大值；(3)对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=---．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．【答案】(1)证明见解析(2)83， (3)证明见解析【分析】（1）（2）由新定义计算，（3）由新定义与反证法证明，【详解】（1）由题意得2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}S =，22,A S B S ∈∈，则(,)d A B 可能的值为0,1,2，（2）设{,,,}P A B C D =，4个元素中第1个位置共t 个1，4t -个0，当0=t 时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当1t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当2t =时，1111111111111=||||||||||||4s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当3t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当4t =时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，若要使()d P 最大，则2t =，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，()d P 的最大值为44863⨯=， （3）①由题意得,,{0,1}i i i a b c ∈，1,2,,i n =，若0i c =，则||i i i a c a -=，||i i i b c b -=，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-，若1i c =，则||1i i i a c a -=-，||1i i i b c b -=-，||||||||||i i i i i i i i a c b c b a a b ---=-=-， 故(,)(,)d A C B C d A B --=，②由①可设(,)(,0)d A B d A B k =-=，(,)(,0)d B C d B C m =-=，(,)(,)d A C d A B C B n =--=， 则||A B -中有k 个1，||C B -中有m 个1，设t 是使得||||1i i i i a b c b -=-=成立的i 的个数，则2n k m t =+-，假设,,k m n 均为奇数，则2k m t +-为偶数，矛盾，故假设不成立，故(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
上海市上海交通大学附属中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y =的定义域为_______________. 2．已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则AB =________3．当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 4．设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =__5．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 6．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =的所有集合A 的个数是________个7．已知不等式2202x x x a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 8．若函数()f x =a 的取值范围为________9．已知a 、b 是常数，且0ab ≠，若函数3()3f x ax =+的最大值为10，则()f x 的最小值为_____10．设正实数a 、b 满足324a ab b ++=，那么1ab的最小值为________ 11．已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．12．若方程22(4)20ax a x --+=在(0,2)内恰有一个不等实根，则实数a 的取值范围为________二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．4xx +的最小值是4 B 的最小值是2C ．如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D ．如果22ac bc >，那么a b >14．设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要15．非空集合A 、B 满足，AB =∅，{|}P x x A =⊆，{|Q x x = }B ，则下列关系一定成立的是（ ）A ．AB P Q = B ．P Q =∅C ．{}P Q =∅D ．A B P Q 16．已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）A ．()()f x f x =-B ．(1)(1)f x f x +=-+C ．(1)(1)f x f x +=--D ．(1)()f x f x -+=三、解答题17．已知集合21{|1,}1x A x x x -=≤∈+R ，集合22{|210,}B x x ax a x =-+-≤∈R . （1）求集合A ；（2）若集合U =R ，()U B A B =，求实数a 的取值范围.18．已知函数()||||f x x a x b =-++（1）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解；（2）对任意0a >，0b >，试确定函数()y f x =的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足42a b ab +=，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()2f x mx 3,g x 2x x m =+=++ (1)求证：函数f(x)-g(x)必有零点；(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1①若函数G(x)有两相异零点且()G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围． ②是否存在整数a,b 使得()a G X b ≤≤的解集恰好为[],,a b 若存在，求出a,b 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．()0,+∞【解析】 试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x > 考点：函数定义域的求法．2．(0,2)【解析】【分析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ，而集合{|12}A x x =-<<所以{|02}A B x x ⋂=<<故答案为：(0,2)【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.3．[2,)+∞【分析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x-=+≥，得到答案.【详解】因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥，当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立.所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.4．{5}【分析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，所以{}5,4,3,3,4,5U =---集合{3,3,4}B =-，所以{}5,4,5U B =--，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-, 所以{}5U A B =，故答案为：{}5.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.5．{0,1,2}-【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆，集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a ，则1a =-或2a =，综上0a =或1a =-或2a =故答案为：{0,1,2}-【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.6．16【分析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个，故满足要求的集合A 的个数是16.故答案为：16.【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.7．3[,1)2-- 【分析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围.【详解】因为不等式2202x x x a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉， 所以可得代入2x =，不等式成立， 即2022222a≤+⨯+，解得1a <-， 代入3x =，不等式不成立， 即2323032a+⨯>+，解得32a >-， 且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.8．1a >【分析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案.【详解】由函数()f x =0a ≥，函数()f x 要为偶函数，则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或1≥，即1a ≥当1a =时，函数()0f x =。
2019-2020学年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．函数y＝的定义域为．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是个．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是．12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．函数y＝的定义域为（0，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x＞0，则定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝（0，2）．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝（0，2）．故答案为：（0，2）．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）＝x+x﹣1＝x+．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝{5}．【解答】解：∵U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}＝{﹣5，﹣4，﹣3，3，4，5}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}＝{﹣3，5}，B＝{﹣3，3，4}，∴∁U B＝{﹣5，﹣4，5}，∴A∩∁U B＝{5}．故答案为：{5}．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为{0，﹣1，2}．【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，a＝0；②B≠∅时，，则或，解得a＝﹣1或2，∴实数a值集合为{0，﹣1，2}．故答案为：{0，﹣1，2}．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是16个．【解答】解：∵{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．故答案为：16．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为的解集为A，且2∈A，3∉A，所以≤0，①＞0，②3+2a＝0，③解①得：a＜﹣1．解②得：a＞﹣，解③得：a＝﹣，故实数a的取值范围为．故答案是：．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a＞1．【解答】解：∵函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a＝1，函数f（x）＝+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为﹣4．【解答】解：函数定义域为[﹣1，1]，设g（x）＝为奇函数，f（x）max＝g（x）max+3＝10，所以g（x）min＝﹣g（x）max＝﹣7，所以f（x）min＝﹣7+3＝﹣4，故答案为：﹣4．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．【解答】解：因为a，b为正数，满足3a+ab+b＝24，所以24＝3a+b+ab≥2+ab；令＝t，t＞0，则t2+2t﹣24≤0；解得0＜t≤2，即0＜ab≤12，所以，；所以的最小值为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是[0，4]．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）＝的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：﹣1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为（﹣3，1]．【解答】解：设f（x）＝ax2﹣（4﹣a2）x+2，若a＝0时，f（x）＝0，得x＝成立，若a≠0，ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，因为f（0）＝2＞0，所以只需f（2）＝4a﹣2（4﹣a2）+2≤0，则a2+2a﹣3≤0，得a∈[﹣3，1]，当a＝﹣3时，﹣3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x＝﹣不成立，所以a∈（﹣3，1]，故答案为：（﹣3，1]．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b【解答】解：A．x＜0时，不正确；B.＞2，最小值不为2，不正确；C．a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d即a﹣d＞b﹣c，因此不正确；D．∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，正确．故选：D．14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由|x﹣2|＜3，得：﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即q：﹣1＜x＜5，故p是q的充分不必要条件，故选：A．15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 【解答】解：∵A∩B＝∅，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，∅是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{∅}，故选：C．16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）【解答】解：∵y＝f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），故B正确，故选：B．三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得，；解得﹣1＜x≤2；∴A＝{x|﹣1＜x≤2}；（2）∁U A＝{x|x≤﹣1，或x＞2}；∵B∩（∁U A）＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a﹣1≤x≤a+1}；∴a﹣1＞2，或a+1≤﹣1；∴a＞3，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围为{a|a≤﹣2，或a＞3}．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．【解答】解：（1）数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．由于a＝1，b＝2，所以|x﹣1|+|x+2|≤5，令x﹣1＝0，解得x＝1，令x+2＝0，解得x＝﹣2，故：①当x≤﹣2时，不等式转换为1﹣x﹣x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤﹣2．当②﹣2＜x＜1时，不等式转换为x+2﹣1﹣x≤5，即1≤5，故不等式的解为﹣2＜x＜1．当③x≥1时，不等式转换为x﹣1+x+2≤5，解得x≤2，由①②③得：不等式的解集为：x∈[﹣3，2]；（2）对任意a＞0，b＞0，所以）|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|＝a+b．所以函数y＝f（x）的最小值M＝a+b，由于正数a、b满足a+4b＝2ab，整理得，所以＝＝当a＝43，时，M最小值为．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造费用为C1（x）＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（）＝＝1，得a＝1或0．因为a＞0，所以a＝1，所以f（x）＝．当x＞1时，f（x）＝＝1﹣为增函数，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+＝，因为1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）g（x）＝＝＝，当1≤x≤4时，g（x）＝＝﹣＝﹣（﹣）2+，因为≤≤1，所以当＝时，g（x）max＝；当≤x＜1时，g（x）＝＝（﹣）2﹣，因为≤x＜1时，所以1＜≤2，所以当＝2时，g（x）max＝2；综上，当x＝时，g（x）max＝2；（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）＝1﹣∈（0，1）．同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣1∈（0，+∞）．方程2（x﹣1）2﹣x|x﹣1|+2mx2＝0可化为2•﹣+2m＝0，即2f2（x）﹣f（x）+2m＝0，设t＝f（x），方程可化为2t2﹣t+2m＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2﹣t+2m＝0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，则有，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围为（0，）．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．令f（x）﹣g（x）＝0．则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立，∴方程f（x）﹣g（x）＝0有解，即函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，∴|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴≥0，解得m≥2．∴2≤m≤6．当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x＝≤﹣1．∴或解得m＞2或m≤0．∴m≤0或m＞6．∴m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．②∵a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，∴即，消m，得ab﹣2a﹣b＝0，显然b≠2．∴a＝＝1+．∵a，b为整数，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．解得或或或，∵a＜b，且a≤≤b，∴或．。
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）A.4xx+的最小值是4 +的最小值是2C.如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D.如果22ac bc >，那么a b >【答案】D【解析】利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】选项A 中，若0x <，则无最小值，所以错误；选项B 中，2t ，则函数y =1y t t=+，在[)2,+∞上单调递增，所以最小值为52，所以错误；选项C 中，若,a c b d ==，则a c b d -=-，所以错误；选项D 中，如果22ac bc >，则0c ≠，所以20c >，所以可得a b >. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.2．设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 【答案】A【解析】对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案. 【详解】命题乙：|2|3x -<，解得15x -<<； 命题甲：05x <<；显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲， 所以甲是乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题. 3．非空集合A 、B 满足，A B =∅，{|}P x x A =⊆，{|Q x x =}B ，则下列关系一定成立的是（ ） A.A B P Q =U U B.PQ =∅ C.{}P Q =∅I D.A B P Q U【答案】B【解析】根据集合P 是集合A 的子集所构成的集合，集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合，以及非空集合A 、B 满足A B =∅，从而可以得到集合P 与集合Q 没有相同元素，从而得到答案. 【详解】因为{|}P x x A =⊆，{|Q x x=}B所以可得集合P 是集合A 的子集所构成的集合， 集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合 而非空集合A 、B 满足，AB =∅，可知集合A 与集合B 中没有相同元素， 则其各自的子集或真子集也不会由相同的集合， 所以可得P Q =∅，故选：B. 【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，属于简单题. 4．已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()f x f x =- B.(1)(1)f x f x +=-+ C.(1)(1)f x f x +=-- D.(1)()f x f x -+=【答案】B【解析】函数(1)y f x =+为偶函数，可得函数()y f x =的图像关于1x =对称，在四个选项中选择能表示函数()y f x =的图像关于1x =对称的，得到答案. 【详解】函数(1)y f x =+为偶函数，可得()y f x =的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称， 所以()y f x =的图像关于1x =对称，在所给四个选项中，只有选项B. (1)(1)f x f x +=-+也表示()y f x =的图像关于1x =对称，故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.二、填空题 5．函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x > 【考点】函数定义域的求法．6．已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =________【答案】(0,2)【解析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.7．当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞【解析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】 因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题. 8．设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__【答案】{5}【解析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.9．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}-【解析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案. 【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}- 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.10．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16【解析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案. 【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16. 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.11．已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 【答案】3[,1)2-- 【解析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.12．若函数()f x =a 的取值范围为________ 【答案】1a >【解析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案. 【详解】由函数()f x =0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或1≥，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x =。
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10. 满足条件{1,3，5} ∪ 퐴 ∪ {3，5，7} = {1，3，5，7，9}的所有集合 A 的个数是______
个．
11.
已知不等式푥푥2
+ +
2푥
2푎
≤
0的解集为
A，且2
∈
퐴，3 ∉ 퐴，则实数 a 的取值范围是
______．
12. 若函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为
푥
+
4 푥
+
3푎,푥
> 0，且푓(0)为푓(푥)的最小值，则实数 a
的取值范围
是______． 16. 若方程푎푥2−(4−푎2)푥 + 2 = 0 在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17.
己知集合퐴
2푥 −1 = {푥|푥 + 1 ≤ 1,푥
12.【答案】푎 > 1
【解析】解： ∵ 函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数， ∴ 푓(−푥) = 푓(푥)，且푓(−푥) ≠ −푓(푥)，
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{푥2−1 ≥ 0
又 푎−푥2 ≥ 0， ∴ 푎 ≥ 1． 푎 = 1，函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且奇函数， 故答案为：푎 > 1． 利用函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出
万元．源消耗费用之和． (Ⅰ)求 k 的值及푓(푥)的表达式． (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用푓(푥)达到最小，并求最小值．
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20. 已知函数푓(푥) = |푥−푥푎|(푎 > 0)，且满足푓(12) = 1． (1)判断函数푓(푥)在(1, + ∞)上的单调性，并用定义证明； (2)设函数푔(푥) = 푓(푥푥)，求푔(푥)在区间[12,4]上的最大值； (3)若存在实数 m，使得关于 x 的方程2(푥−푎)2−푥|푥−푎| + 2푚푥2 = 0恰有 4 个不同的 正根，求实数 m 的取值范围．
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7. 当푥 > 0时，函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的值域为______．
8.
设푈
= {푥|−5 ≤ 푥
< −2或2 < 푥
≤ 5，푥
∈
푍}，퐴
= {푥|푥2−2푥−15
= 0} ，
퐵 = {−3,
3，4}，则퐴
∩∁ 퐵
푈
= ______．
9. 已知集合퐴 = {−2,1}，퐵 = {푥|푎푥 = 2}，若퐴 ∪ 퐵 = 퐴，则实数 a 值集合为 ______．
7.【答案】[2, + ∞)
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【解析】解： ∵ 푥 > 0，
∴
푓(푥)
=푥
+ 푥−1 = 푥
+
1 푥
≥
2
푥
⋅
1 푥
=
2．
当且仅当푥 = 1时，上式“ = ”成立． ∴ 函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的值域为[2, + ∞)．
故答案为：[2, + ∞)．
直接利用基本不等式求得函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的最小值得答案．
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热
层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万
元．该建筑物每年的能源消耗费用퐶(单位：万元)与隔热层厚度푥(单位：푐푚)满足关
系：퐶(푥)
=
3푥
푘 +
5(0
≤
푥
≤ 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8
高一（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 1. 下列命题中，正确的是( )
A. 푥 + 4푥的最小值是 4
B.
푥2 + 4 +
1
푥2 + 4的最小值是 2
C. 如果푎 > 푏，푐 > 푑，那么푎−푐 < 푏−푑
D. 如果푎푐2 > 푏푐2，那么푎 > 푏
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∵ 푃 = {푥|푥 ⊆ 퐴}，푄 = {푥|푥⫋퐵}，⌀是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， ∴ 푃 ∩ 푄 = {푥|푥 ⊆ 퐴且푥⫋퐵} = {⌀}， 故选：B．
4.【答案】B
【解析】解： ∵ 푦 = 푓(푥 + 1)为偶函数， ∴ 푓(−푥 + 1) = 푓(푥 + 1)，故 B 正确， 故选：B． 根据偶函数的定义进行判断即可． 本题主要考查函数奇偶性的应用，结合偶函数的定义是解决本题的关键，比较基础．
C. 푃 ∩ 푄 = {⌀} D. 퐴 ∪ 퐵⫋푃 ∪ 푄
4. 已知函数푦 = 푓(푥 + 1)为偶函数，则下列关系一定成立的是( )
A. 푓(푥) = 푓(−푥) C. 푓(푥 + 1) = 푓(−푥−1)
B. 푓(푥 + 1) = 푓(−푥 + 1) D. 푓(−푥 + 1) = 푓(푥)
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数푦 = 1푥的定义域为______． 6. 已知퐴 = {푥|−1 < 푥 < 2}，{푥|푥2−3푥 < 0,푥 ∈ 푅}，则퐴 ∩ 퐵 = ______．
______ ．
13.
已知 a、b 是常数，且푎푏
≠ 0，若函数푓(푥)
= 푎푥3 +푏푥
1−푥2
+3 的最大值为
10，则
푓(푥)的最小值为______．
14. 设正实数 a、b 满足3푎 + 푎푏 + 푏 = 24，那么푎1푏的最小值为______．
{(푥−푎)2,푥 ≤ 0
15.
已知函数푓(푥) =
9.【答案】{0,−1,2}
【解析】解： ∵ 퐴 ∪ 퐵 = 퐴， ∴ 퐵 ⊆ 퐴， ∴ ①퐵 = ⌀时，푎 = 0； ②퐵 ≠ ⌀时，퐵 = {푎2}，则2푎 = −2或푎2 = 1，解得푎 = −1或 2， ∴ 实数 a 值集合为{0,−1,2}． 故答案为：{0,−1,2}． 根据퐴 ∪ 퐵 = 퐴即可得出퐵 ⊆ 퐴，从而可讨论 B 是否为空集：퐵 = ⌀时，푎 = 0；퐵 ≠ ⌀ 时，푎2 = −2或1，解出 a 即可． 本题考查了描述法、列举法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力， 属于基础题．
考查奇函数与最值的关系，基础题．
14.【答案】112
【解析】解：因为 a，b 为正数，满足3푎 + 푎푏 + 푏 = 24，
所以24 = 3푎 + 푏 + 푎푏 ≥ 2 3푎푏 +푎푏 ；
若存在，求出 a、b 的值，若不存在，请说明理由．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质，属于基础题．
根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于 A，当푥 < 0时，푥 + 4푥的最大值是−4，故 A 不正确；
对于 B， 푥2 + 4 +
1 푥2 +
4
>
2，等号不成立，最小值不为
2，故
B
不正确；
对于 C，푎 > 푏，푐 > 푑，那么푎 + 푐 > 푏 + 푑即푎−푑 > 푏−푐，故 C 不正确；
对于 D， ∵ 푎푐2 > 푏푐2 ， ∴ 푐2 > 0∴，푎 > 푏，故 D 正确．
故选 D．
2.【答案】A
【解析】解：由|푥−2| < 3，得：−3 < 푥−2 < 3，即−1 < 푥 < 5，即 q：−1 < 푥 < 5， 故 p 是 q 的充分不必要条件， 故选：A． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 由퐴 ∩ 퐵 = ⌀得 A 与 B 无公共元素，而 P、Q 分别是由集合 A 的子集、集合 B 的真子集
构成的集合，空集是任何非空集合的真子集．
【解答】 解： ∵ 퐴 ∩ 퐵 = ⌀， ∴ 퐴与 B 没有任何公共元素，
∈
푅}，集合퐵
= {푥|푥2−2푎푥
+ 푎2−1 ≤ 0,푥
∈
푅} ．
(1)求集合 A； (2)若퐵 ∩ (∁푈퐴) = 퐵，求实数 a 的取值范围．
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18. 己知函数푓(푥) = |푥−푎| + |푥 + 푏|． (1)若푎 = 1，푏 = 2，求不等式푓(푥) ≤ 5的解； (2)对任意푎 > 0，푏 > 0，试确定函数푦 = 푓(푥)的最小值푀(用含 a，b 的代数式表示 )，若正数 a、b 满足푎 + 4푏 = 2푎푏，则 a、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出 此最小值．
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题．
8.【答案】{5}
【解析】解： ∵ 푈 = {푥|−5 ≤ 푥 < −2或2 < 푥 ≤ 5，푥 ∈ 푍} = {−5，−4，−3，3，4， 5}， 퐴 = {푥|푥2−2푥−15 = 0} = {−3,5}，퐵 = {−3,3，4}， ∴ 퐶푈퐵 = {−5,−4,5}， ∴ 퐴 ∩ ∁푈퐵 = {5}． 故答案为：{5}． 先分别求出集合 U，A，B，由此能求出结果． 本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．