Hermite插值

i 0 i 0
n
n
(x xj ) li ( x ) ( xi x j ) ji
其中 i(xj) = ij , i’(xj) = 0,
( i xj) = 0, i’(xj) = ij
2 i(x) 有根 x0 , …, x , …, x 且都是 2 重根 ( x ) ( A x B ) l i n i i i ( x) i
0 0
(m0 1)!
一般只考虑 f 与f ' 的值。
例：设 x0 x1 x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 解：首先，P 的阶数 = 3 模仿 Lagrange 多项式的思想，设
0
1
2
3
4
5
6
x
求Hermite多项式的基本步骤： 写出相应于条件的i(x)、 i(x) 的组合形式； 对每一个i(x)、 i(x)找出尽可能多的条件给出的根； 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 最后完整写出H2n+1(x)。 注：待定系数法仍适用，但插值节点多
由余下条件 i (xi) = 1 和 i’(xi) = 0 可解Ai 和 Bi
i ( x) [1 2li( xi )( x xi )]li2 ( x)
i(x) 有根 x0 , …, xn, 除了xi 外都是2重根 i ( x) Ci ( x xi ) li2(x)
时比较麻烦。
P3 ( x ) f ( x i ) hi ( x ) f ’( x1) h1 ( x )
2

其中 hi(xj) = ij , hi’(x1) = 0, h1 (xi) = 0, h1 ’(x 1) = 1
2 h0(x) 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0 x1 是重根。h0 ( x ) C 0 ( x x1 ) ( x x2 ) 2 ( x x ) ( x x2 ) 1 又: h0(x0) = 1 C0 h0 ( x ) ( x0 x1 )2 ( x0 x2 ) h2(x) 与h0(x) 完全类似。
2源自文库
与 Lagrange 分析完全类 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 似 (x) 有根 x0, x1, x2 h h1 1( x ) C 1 ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) 又: h1’(x1) = 1 C1 可解。
§5.2 Hermite Interpolation
一般地，已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 y0’ , …, yn’ ，求 H2n+1(x) 满足 H2n+1(xi) = yi ， H’2n+1(xi) = yi’。
这样的Hermite 插值唯一
解：设 H2n+1( x ) yi i( x ) yi’ i ( x )
类似的，
Th. 设f(x)C 2n+2[a,b],则 [a,b], s.t. 满足下面插值条件
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 i(x)的图像？
y
110.5 0.50 1 2 3 4 5 6
y
斜率=1

x
§5.2 厄米插值
/* Hermite Interpolation */
厄米插值
不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。 即：要求插值函数 (x) 满足 (xi) = f (xi), ’ (xi) = f ’ (xi),
…, (mi) (xi) = f (mi) (xi).
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。
要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插
值多项式即为Taylor多项式
f ( m0 ) ( x0 ) ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ... ( x x0 ) m0 m0 ! f ( m 1) ( ) 其余项为 R( x ) f ( x ) ( x ) ( x x0 )( m 1)
又 ’i (xi) = 1 Ci = 1
设 a x0 x1 ... xn b,
i ( x) ( x xi ) li2(x)
2
f ( 2 n 2 ) ( x ) n 2n f C [a, b] 则 Rn ( x ) ( x x ) i ( 2n 2)! i 0
i 0


h1(x) 有根 x0, x2 h1 ( x ) ( Ax B )( x x0 )( x x 2 )
f ( 4 ) ( x ) R3 ( x) f ( x) P3 ( x) K ( x)( x x0 )( x x1 ) ( x x2 ), K ( x ) 4!