高等数学 第七章 定积分的应用

第七章 定积分的应用

一、本章提要

1. 基本概念

微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法

(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，

(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．

二、要点解析

问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？

解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2）Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：

（1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,；

（2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ∆（Q ∆为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b

a

a

Q Q f x x =⎰⎰．

下面举例说明．

例1 用定积分求半径为R 的圆的面积．

解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间

[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元

x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=，

于是

⎰

⎰---==R

R

R R

x x R A A d 2d 22=2πR ．

解二 选取如图所示的坐标系，

取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2

1d 2

R A =

，于是

22π

20

2π

20

ππ22

1

d 21d R R R A A =⋅===⎰

⎰θ．

解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是

20

2

π2

π2d π2R r r r A R

R =⋅

==

⎰

．

问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值⎰-=b a

x x f a b u d )(1

是有限

个数的算术平均值的推广．

解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,⋅⋅⋅的算术平均值为

y y y y n n y n k k n

=++⋅⋅⋅+==∑()/121

1，

对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<<⋅⋅⋅<=．区间的长度(1,2,,)i b a

x i n n

-∆=

=⋅⋅⋅，各分点i x 所对应的函数值为12(),(),f x f x ,⋅⋅⋅()n f x ，其算术平均值 ∑=n

i i x f n 1)(1可近似地表达函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值．显然，

n 越大，分点越多，这个平均值就越接近函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值． 因此，

称极限

lim n →∞11

n f x i i n

()=∑

为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均值，记为[]b a y ,．

下面用定积分表示函数)(x f 在[]b a ,上的平均值[]b a y ,．在定积分定义中，若取

ξi i x =，∆x b a

n

i =-，则

∑∑⎰

=∞

→=→-=∆=n

i i n n i i i b a

n

a

b x f x f x x f 1

1

)

(lim )(lim d )(ξλ，

这里{}12max ,,,n b a

x x x n

λ-=∆∆∆=

． 因此

n a

b x f a b x f n n

i i n n i i n --=∑∑=∞→=∞→1

1)(lim 1)(1lim

1

1

lim ()n

i i n i f x x b a →∞==

∆-∑ ⎰-=b a x x f a

b d )(1

， 即 ⎰-=

b a b a x x f a

b y d )(1

],[． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电

压、平均功率等等．

例2 求从0到T 这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度gt v =，所以

200

1111

d 022

T

T v gt t gt gT T T ⎛⎫

===

⎪-⎝⎭

⎰． 三、例题精解

例3 求纯电阻电路中正弦电流 t I t i m ωsin )(=在一个周期上的平均功率（其中m

I 及ω均为常数）．

解 设电阻为R （R 为常数），则电路中的电压

t RI iR u m ωsin ==，

而功率 2

)sin (t I R iu p m ω==，

因此p 在2π0,

ω⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的平均功率（功率的平均值） 2π

2π

222

2π00

11cos 2sin d d 0

2π2

m m RI t

p R t t t I ωω

ωωωω-==-⎰⎰