高考一轮复习之数列与数学归纳法
2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析
第5节数学归纳法(选用)考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1。
数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
2。
数学归纳法的框图表示［常用结论与易错提醒]1。
数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.诊断自测1。
判断下列说法的正误。
（1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（）(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(）(3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。
()解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案(1）√(2）×（3）×（4)×2。
（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（）A.1B.2C。
3 D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。
答案C3。
已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则(）A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误!C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误!D。
f（n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时,f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时,错误!＝错误!，错误!＝错误!，故f(2）＝错误!＋错误!＋错误!.答案D4.用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N，且n〉1）,第一步要证的不等式是________。
新高考数学一轮知识点归纳总结
新高考数学一轮知识点归纳总结随着新高考的实施，数学成为了考试科目之一，为了更好地应对新高考数学考试，掌握数学知识点是非常关键的。
在这篇文章中，我将对新高考数学一轮的知识点进行归纳总结，并提供一些备考建议。
一、函数与方程1. 一次函数- 定义：一次函数是指函数的最高次数是1的函数，通常表示为y = kx + b。
- 性质：一次函数的图像是直线，具有斜率k和截距b。
2. 二次函数- 定义：二次函数是指函数的最高次数是2的函数，通常表示为y = ax^2 + bx + c。
- 性质：二次函数的图像是抛物线，开口方向由系数a的符号决定。
3. 指数函数- 定义：指数函数是指以常数e为底的函数，通常表示为y = a^x。
- 性质：指数函数的图像是增长或衰减的曲线，取决于底数a的大小。
4. 对数函数- 定义：对数函数是指与指数函数相对应的函数，通常表示为y = loga(x)。
- 性质：对数函数的图像是上升或下降的曲线，取决于底数a的大小。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列- 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
- 性质：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列- 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。
- 性质：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 数学归纳法- 定义：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，分为初值、归纳假设和归纳步骤三个部分。
- 步骤：首先证明当n取初值时命题成立；然后假设当n=k时命题成立；最后证明当n=k+1时命题也成立。
三、几何与空间1. 平面几何- 点、线、面的定义和性质- 直线与平面的位置关系- 平行线与垂线的性质2. 三角形- 三角形的分类和性质- 三角形的周长和面积计算公式 - 三角形的相似性质3. 圆与圆的位置关系- 圆的定义和性质- 圆的面积和周长计算公式- 圆与直线的位置关系四、概率与统计1. 概率- 事件与样本空间的定义- 概率的定义和性质- 概率计算公式的应用2. 统计- 数据收集和整理的方法- 数据的表示和分析- 统计指标的计算和应用以上是新高考数学一轮的主要知识点归纳总结，希望对大家的复习备考有所帮助。
数列与数学归纳法
数列与数学归纳法数学中的数列是由一组按照一定规律排列的数字所组成的序列。
数列在数学研究中有着重要的地位，而数学归纳法则是一种常用于证明数列中某种性质或规律的方法。
本文将从数列的定义、分类以及数学归纳法的应用等方面进行讨论。
一、数列的定义与分类数列是按照一定的顺序排列的一组数字的集合。
在数列中，每个数字被称为数列的项，而数列的位置则由项的下标来表示。
一般来说，数列用大括号包围，项之间用逗号隔开，如{a₁, a₂, a₃, ...}。
根据数列的规律，我们可以将数列进行不同的分类。
最简单的是等差数列，即数列中的每一项与其前一项之差都相等。
例如：{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，其中公差为2。
另外一种常见的数列是等比数列，即数列中的每一项与其前一项之比都相等。
例如：{1, 2, 4, 8, 16, ...}就是一个等比数列，其中公比为2。
除了等差数列和等比数列之外，还有很多其他类型的数列，如斐波那契数列、调和数列等。
二、数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种用于证明数列中某种性质或规律的方法。
其基本思想是通过证明当某一性质在某个特定条件下成立时，该性质在下一个条件下也成立，从而推断该性质对于所有条件均成立。
数学归纳法的证明分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
基础步骤：证明当条件为数列中的第一个项时，所要证明的性质成立。
通常来说，这一步骤相对简单，通过计算或直接观察即可得出结论。
归纳假设：假设当条件为数列中的第k项时，所要证明的性质成立。
即假设P(k)成立。
归纳步骤：证明当条件为数列中的第k+1项时，所要证明的性质也成立。
即证明在P(k)成立的情况下，P(k+1)也成立。
通过这三个步骤的推理，我们就能够得出性质在数列的每一项都成立的结论。
数学归纳法的应用非常广泛，特别是在数列的相关问题中。
例如，我们要证明一个等差数列中的所有项的和公式为Sn=n(a₁+an)/2，其中Sn表示前n项的和，a₁表示第一项，an表示第n项。
数列、数列的极限与数学归纳法
一、复习策略本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：理解概念，熟练运算巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=__________．解析：，．显然当时有因数41，此时．答案：1681点评：本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点．例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)解析：(1)由，得，．(2)．(3)法一：，，由ln2=0.6931，计算>0，<0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，．法二：数列的通项，令，．点评：求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置．例3、已知数列的首项，前项和为，且．(1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．解析：(1)由已知时，．两式相减，得，即，从而．当时，．又．从而．故总有．又．从而．即是以为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，．当n=1时，(*)式=0，；当n=2时，(*)式=－12<0，；当n≥3时，n－1>0．又，，即(*)式>0，从而．考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋a33＋…＋a nn的值.分析：解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．解：(1)∵每一行的数列成等差数列，∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43= a42＋a44，a44=;又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=，且a n>0，∴q=.(2)a4k= a42＋(k－2)d=＋(k－2)( a43－a42)=.(3)∵第k列的数成等比数列，∴a kk= a4k·q k－4=·()k－4= k·()k (k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋a nn=S n，则S n=＋2·()2＋3·()2＋…＋n·()n，S n=()2＋2·()3＋…＋(n－1) ()n＋n()n＋1，两式相减，得S n=＋()2＋…＋()n－n()n＋1=1－，∴S n=2－，即a11＋a22＋a33＋…＋a nn=2－．例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，…)，在射线上从下到上依次有点，且=(n=2，3，4，…)．(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值．解析：(1)由已知，得，(2)由(1)知，．且均在射线上，．．(3)四边形的面积为．又的底边上的高为．又到直线的距离为．，而，．点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．考点三：数列的极限例6、给定抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，其次过作斜率为的直线与抛物线交于．过作斜率为的直线与抛物线交于，由此方法确定：一般地说，过作斜率为的直线与抛物线交于点．设的坐标为，试求，再试问：点，…向哪一点无限接近？解析：∵、都位于抛物线上，从而它们的坐标分别为，∴直线的斜率为，于是，即，．因此，数列是首项为，公比的等比数列．又，，因此点列向点无限接近．点评：本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律，从而便于求出极限值来．例7、已知点满足：对任意的，．又已知．(1)求过点的直线的方程；(2)证明点在直线上；(3)求点的极限位置．解析：(1)，，则．化简得，即直线的方程为．(2)已知在直线上，假设在直线上，则有，此时，也在直线上．∴点在直线上．(3)，即构成等差数列，公差，首项，，故．．．故的极限位置为(0，1)．考点四：数学归纳法例8、设是满足不等式的自然数的个数．(1)求的解析式；(2)设，求的解析式；(3)，试比较与的大小．解析：先由条件解关于的不等式，从而求出．(1)即得．(2)．(3)．n=1时，21－12>0；=2时，22－22=0；n=3时，23－32<0；n=4时，24－42=0；n=5时，25－52>0；n=6时，26－62>0．猜想：n≥5时，，下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明：(i)当n=5时，已证25>52．(ii)假设时，，那么．．，即当时不等式也成立．根据(i)和(ii)时，对，n≥5，2n>n2，即．综上，n=1或n≥5时，n=2或n=4时时．点评：这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识．对培养学生综合分析问题的能力有一定作用．例9、已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若数列中，，，证明：，．解：(1)由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．(2)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以．也就是说，当时，结论成立．根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．考点五：数列的应用例10、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？解：(1)设第次服药后，药在他体内残留量为毫克，依题意，故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.(2)由，，．故长期服用此药不会产生副作用．例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额。
数列与数学归纳法的基本概念和证明方法
数列与数学归纳法的基本概念和证明方法数列是数学中常见的一种数学对象，由一系列按照一定规律排列的数构成。
数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于数学中的数列问题。
本文将介绍数列和数学归纳法的基本概念以及证明方法。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的有序集合。
一般用{a1, a2, a3, ...}表示，其中ai代表数列中的第i项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列中的每一项都有一个位置，称为项数或索引。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
1. 等差数列等差数列是指数列中的任意两项之差保持不变的数列。
2. 等比数列等比数列是指数列中的任意两项之比保持不变的数列。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个以0和1开头，后续项等于前两项之和的数列。
二、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明方法，用于证明一个命题对于所有自然数都成立。
数学归纳法分为三个步骤：基础步态、归纳步态和归纳假设。
1. 基础步态首先证明命题对于最小的自然数成立，通常是0或1。
2. 归纳步态假设命题对于某个自然数n成立，然后证明当自然数为n+1时命题也成立。
3. 归纳假设假设命题对于某个自然数n成立，将其作为归纳的假设。
三、数学归纳法的证明方法数学归纳法的证明可以分为直接法和间接法两种方式。
1. 直接法直接法通过证明基础步态的成立，以及通过归纳步态证明对于自然数n成立时，命题也对于n+1成立。
从而得出命题对于所有自然数成立的结论。
2. 间接法间接法通过假设命题对于自然数n成立并且对于n+1不成立，推导出矛盾，从而得出命题对于所有自然数成立的结论。
数学归纳法的证明方法在解决数列问题中非常常见。
通过利用归纳假设和归纳步态，可以逐步推导出数列中的每一项满足特定的性质或规律。
这种证明方法的优点是简洁清晰，适用范围广泛，但需要特定的命题性质。
总结起来，数列与数学归纳法在数学中扮演着重要的角色。
掌握数列的基本概念和数学归纳法的证明方法，有助于我们解决数学中的相关问题。
数列与数学归纳法
数列与数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法之一，它基于对自然数的特性进行推理和证明。
而数列是数学中非常重要的概念，是一系列按照一定规律排列的数的集合。
本文将探讨数列与数学归纳法之间的关系，以及数学归纳法在解决数列问题中的应用。
一、数列的定义和性质数列可以看作是一个按照一定规律排列的数的集合，常用的表示方法是使用数学表达式或者递推公式来描述。
比如，1, 2, 3, 4, 5, ...就是一个自然数数列，通项公式为an = n，表示第n个数是n。
数列的性质包括：公差、通项公式、前n项和等。
二、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它包括三个步骤：基础步、归纳假设和归纳步。
基础步是证明命题在最小的自然数上成立；归纳假设是假设命题在某个自然数上成立；归纳步是证明假设命题在下一个自然数上仍然成立。
通过这三个步骤连续不断地证明，可以得出命题对所有自然数都成立的结论。
三、数学归纳法在数列问题中的应用数学归纳法在解决数列问题时，常用于证明某种数列的性质或者通项公式。
下面通过例子来说明数学归纳法在数列问题中的应用。
例子1：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n为自然数。
首先，在基础步中，将n = 1代入等式左边，可得1 = 1(1+1)/2，等式成立。
然后，在归纳假设中，假设等式对某个自然数k成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
最后，在归纳步中，将n = k + 1代入等式左边，即证明1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2。
根据归纳假设可知，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2，因此，左边的等式可化简为k(k+1)/2 + (k + 1)。
将右边化简得(k^2 + k + 2k + 2)/2，继续化简得(k^2 + 3k + 2)/2，再继续化简得(k + 1)(k + 2)/2，等式成立。
2022年高考数学一轮复习必备 极限-数列的极限、数学归纳法
第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一） 数列的极限1定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|A a n n =∞→lim lim nn a →∞lim nn b →∞lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞±=±lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n b b a b aS=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在数分别是0n =112322+++n n n nnn b ∞→lim122limnn na a a nb →∞+++na +222221lim()111n n n n n →∞-++++++)2(lim 2n n n n -+∞→nnn a a a a a a 24221lim ++++++∞→ 1)11(lim 2=--++∞→b an n n n lim()n n n A S n →∞-1(1,2,)n n S n S +=nn T ∞→lim n )31(1A 2A||||lim11n n n n n A A A A -+∞→)1,(,12131211>∈<-++++n N n n n 12)1(+n n n 131211++++ n 2131211++++ 22+n na a a a ,,,,321 nb b b b ,,,,321 nn n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,2)(1n a a n +b b b b 112101145=+++=，…a b n a n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪log 11131log a n b +nn S ∞→lim )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n nn n a 1S lim =∞→122321222)2221(lim -∞→+++++++n nn n n n C C C nn n S S 1lim+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n nn n S nalim ∞→nn n1i 1i i nS lim 则,a a 1∞→=+∑=nn a ∞→lim 9423lim=+-∞→nn n a a nn a ∞→lim 11)2(3)2(3lim+-∞→-+-+n n n n n )1n 2n1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ n876n 321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ n n nnn a a a a --∞→+-lim ••8100.0••810000.0nn n21)1(21211212121122⋅-+-+-++++nb)(11+：1212=1,与M 交于点A 、B ，L 与φ交于点C 、D ，求22||||lim CD AB n ∞→1)n(n 3221n +++⋅+⋅= n ＝1,2,3……,b 1)n(n a nn+= n ＝1,2,3……,用极限定义证明21lim =∞→n n b 85年练习（数学归纳法）1．由归纳原理分别探求：1凸n 边形的内角和fn= ; 2凸n 边形的对角线条数fn= ;3平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数fn=2．平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成fn 个区域，则fn1=fn3．当n 为正奇数时，求证nn被整除，当第二步假设n=2─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。
数字的秘密高中数学中的数列与数学归纳法
数字的秘密高中数学中的数列与数学归纳法数字的秘密：高中数学中的数列与数学归纳法在高中数学中，数列是一个常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
数列不仅仅是一串数字的集合，更重要的是，它隐藏着数学的一些奥秘。
本文将探讨数列与数学归纳法之间的关系，以及通过数学归纳法来揭示数字的秘密。
一、数列的定义与性质数列可以被定义为一系列按照一定顺序排列的数字。
通常可以用公式来表示数列的通项公式，例如等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d （其中a1是首项，d是公差，n是项数），等比数列的通项公式为an=a1×r^(n-1)（其中a1是首项，r是公比，n是项数）。
数列还有一些重要的性质。
例如，数列可以是有限的（即只有有限个项）或者无限的（即无穷多个项）。
对于无限数列来说，我们可以讨论它的极限，即随着项数趋近无穷大，数列的趋势是向某个常数靠近还是无限增长或减小。
这些性质使得数列成为了研究数学问题的重要工具。
二、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种数学证明方法，它可以用来证明一类关于自然数的命题。
数学归纳法基于两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明命题对某个特定的值成立，通常是证明命题对自然数1（或0，根据具体情况而定）成立。
这个步骤相对简单，只需要验证命题在特定值上是否成立。
归纳步骤是假设命题在某个自然数k上成立，并证明在k+1上也成立。
换句话说，如果我们能证明当n=k时命题成立，则可以通过归纳步骤证明当n=k+1时命题也成立。
三、数列与数学归纳法的联系数列与数学归纳法之间有着密不可分的联系。
事实上，数学归纳法常常被用来证明和研究数列的性质。
首先，数学归纳法可以用来证明数列的递推公式。
通过假设递推公式在某个自然数k上成立，并证明在k+1上也成立，我们可以得出递推公式对所有自然数成立的结论。
其次，数学归纳法可以用来证明数列的性质。
例如，我们可以利用数学归纳法证明等差数列的和公式Sn=n(a1+an)/2，或者等比数列的部分和公式Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。
高考第一轮复习指导方法之数学归纳法
高考第一轮复习指导方法之数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范畴内成立。
(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立要练说，得练看。
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如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题数列与数学归纳法是高考数学中的重要难点之一。
很多学生在这部分内容上遇到困难，对于数列的特征与公式推导、数学归纳法的运用不太熟悉。
然而，只要我们掌握一些解题技巧和方法，就能轻松应对高考中的数列与数学归纳法难题。
本文将介绍几个解题的思路和策略，帮助考生更好地应对高考中的数学难题。
第一部分：数列的特征与公式推导数列是指按照一定规律排列的一组数。
在考试中，我们常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解决数列问题的关键是要发现数列之间的规律，并根据规律进行推导。
首先，我们来看等差数列。
等差数列的特点是首项与公差确定，任意一项与项数之间的关系可以通过公式推导得出。
当我们遇到一个等差数列时，可以先求出公差，然后根据公式求出所需项数，这样就能轻松解决问题。
接下来是等比数列。
等比数列的特点是首项与公比确定，任意一项与项数之间的关系同样可以通过公式推导得出。
与等差数列类似，我们可以先求出公比，再根据公式求出所需项数，进而解决问题。
第二部分：数学归纳法的运用数学归纳法是解决一类问题的一种常用的证明方法。
在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数学命题和不等式。
在解决数列问题时，数学归纳法也是一种重要的推理和证明工具。
数学归纳法的基本思想是：先证明当n=k时某个命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
通过不断地递推，最终我们就能证明当n为任意自然数时命题都成立。
在解决数列问题中，数学归纳法通常用于证明某个数列的通项公式。
我们可以先通过观察和猜测，找出数列的规律，然后利用数学归纳法证明这个规律对所有项都成立。
这样，我们就能快速确定数列的通项公式，从而方便地求解题目。
综上所述，要解决高考数学中的数列与数学归纳法难题，关键是要发现数列之间的规律，并通过公式推导或数学归纳法证明这个规律的正确性。
在备考过程中，我们可以通过大量的练习和题目分析来提高解题的能力和水平。
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤高考数学一轮总复习：数列与数列极限的数学归纳法证明步骤数列与数列极限是高中数学中的重要概念，在高考数学考试中也是常见的考点。
本文将介绍数学归纳法证明数列与数列极限的步骤及其应用。
在解题过程中，我们将以具体的例子进行说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学方法。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于数学归纳思想的证明方法，常用于证明一般性陈述在自然数集上成立。
使用数学归纳法证明一个命题通常分为三个步骤：1. 证明基本情况：首先证明当 n 取一个特定的值时，命题成立。
这一步又称为“递归起点”。
2. 归纳假设：假设当 n=k 时，命题成立，即假设命题对于某个特定的自然数 k 成立。
3. 归纳步骤：通过归纳假设证明当 n=k+1 时，命题也成立。
这一步又称为“递归关系”。
二、数列定义与数列极限的概念在进行数学归纳法证明数列与数列极限之前，我们先来回顾一下数列的定义及数列极限的概念。
数列是将自然数与实数联系起来的一种函数关系。
通常用 {an} 或者 (an) 表示一个数列，其中 an 表示数列的第 n 个元素。
数列极限是指数列随着 n 趋向无穷大时的极限值。
当数列随着 n 的增大无限逼近某个实数 L 时，就称数列 {an} 的极限为 L，记作 lim an = L。
三、数学归纳法证明数列与数列极限的步骤下面我们将以一个具体的例子来说明如何使用数学归纳法证明数列与数列极限。
【例】证明数列 {an} = 2^n + 1 是递增数列。
解：首先，我们先验证 n=1 时数列成立。
当 n=1 时，a1 = 2^1 + 1 = 3。
根据数列的定义，可以得出 a1 = 3，所以当 n=1 时，数列成立。
这就是我们要证明的基本情况。
接下来，我们假设当 n=k 时数列成立，即 ak < ak+1。
这个假设就是我们的归纳假设。
现在我们来证明当 n=k+1 时数列也成立，即证明 ak+1 < ak+2。
高考数学中的数学归纳法和数列极限
高考数学中的数学归纳法和数列极限高考数学是考生们最关注的一门考试科目，其中数学归纳法和数列极限是高考数学中不可忽视的重点内容。
本文将从数学归纳法的基本原理及应用，数列极限的概念、性质和计算方法等多个方面进行分析和探讨，以期对广大高中生的数学学习有所帮助。
一、数学归纳法数学归纳法是高中数学中重要的证明方法。
归纳法的基本思想是证明当$x$满足某种条件时，命题$P(x)$成立，再证明当$x$不满足该条件时，命题$P(x)$依然成立。
下面介绍具体的数学归纳法思想及其应用。
1.1 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种用自然数的递增法证明表达式的方法。
它的基本思想是先证明当$n=1$时，命题成立，再证明当$n=k$时命题成立，则可以证明当$n=k+1$时也成立。
用公式表示为：如果$P(1)$成立且对于任意正整数$k$，只要$P(k)$成立，就有$P(k+1)$成立，那么对于所有正整数，$P(n)$都成立。
1.2 数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于高中数学中的数列、函数、不等式等问题的证明中，也是高考数学中的常见命题证明方法。
常见的应用如下：(1)证明数列性质：证明数列$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_1$满足某些条件，则$a_n$满足某些性质。
(2)证明不等式：证明某个不等式在正整数范围内成立。
(3)证明等式：证明某个等式在正整数范围内成立。
二、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念之一。
它是计算机科学、物理学、工程学等学科中的基础知识。
下面将从基本概念、性质和计算方法三个方面对数列极限进行分析和探讨。
2.1 基本概念数列极限是数学分析中用来描述数列等无限序列的一种重要概念。
常用的数列有等差数列、等比数列、Fibonacci数列等。
一个数列的极限是指随着$n$无限增大，数列的值逐渐接近某个值，称为这个数列的极限。
用数学符号表示为：$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，表示当$n$趋近于无穷大时，数列$a_n$的极限为$a$。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。
本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。
一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。
然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。
常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。
2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。
首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。
3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。
需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。
二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。
解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。
通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。
2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。
通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。
3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。
4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。
通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。
5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。
高中数学的解析解析数列与数学归纳法的重要性与应用
高中数学的解析解析数列与数学归纳法的重要性与应用数列是高中数学中常见的概念，而解析解析数列和数学归纳法是解决数列问题的重要方法。
本文将探讨解析解析数列和数学归纳法的重要性以及应用。
一、解析解析数列的重要性解析解析数列是一种用公式表示数列元素的方法，可以帮助我们在不列举全部元素的情况下，快速计算出数列中任意位置的元素。
解析解析数列的重要性主要包括以下几个方面。
1.1 简化计算过程使用解析解析数列的公式，可以避免繁琐的数据列举和计算，使复杂的问题变得简单化。
例如，若考虑一个等差数列，利用解析解析数列的公式an=a1+(n-1)d，我们可以轻松找到数列中任意位置的元素，而无需逐个计算。
1.2 发现数列的规律解析解析数列不仅可以帮助我们计算数列的元素，还能揭示数列的规律。
通过观察解析解析数列的公式，我们可以发现元素之间的关系，进而推导出数列的通项公式。
这样的分析过程对于数学问题的解决具有重要意义。
1.3 推广数列的性质解析解析数列的研究涉及到一些数学概念和性质，如等差数列、等比数列等。
通过研究解析解析数列，我们可以更深入地了解数列的性质，并进一步推广到其他数学问题中。
解析解析数列的重要性在于培养学生对数学思维和推理能力的培养。
二、数学归纳法的重要性与应用数学归纳法是解决数学问题中常用的证明方法，其基本思想是通过证明当某个命题对于某个特定的数值成立后，推导出对于下一个数值也成立，并最终得出当数值为正整数时命题总是成立的结论。
2.1 严谨的数学证明数学归纳法是一种严谨的数学证明方法，在数学推理过程中起到重要的作用。
通过使用数学归纳法，我们可以推导出一些重要的数学命题，为数学定理的证明提供了有效的工具。
2.2 解决复杂问题数学归纳法的应用不仅限于证明数学定理，还可以用于解决一些复杂的问题。
例如，在组合数学和离散数学中，数学归纳法常常被用来证明和推导组合公式和恒等式。
2.3 培养思维能力数学归纳法要求学生在证明过程中运用抽象思维、逻辑思维和推理能力，培养学生的严密思维和逻辑推理能力。
高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法
⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。
数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。
⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。
递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。
②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。
例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。
由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。
由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。
数列与数学归纳法
数列与数学归纳法数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，用于证明一些关于自然数的命题。
而数列是由一系列有序的数字所组成的序列。
数列与数学归纳法有着密切的联系，本文将从数列的定义开始，探讨数列与数学归纳法之间的关系。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数字按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数字称为数列的项，用通项公式来表示。
通项公式是数列中第n 个项与n的关系式。
例如，斐波那契数列是一个经典的数列，其通项公式为Fn=Fn-1+Fn-2，其中F0=0，F1=1，F2=1，F3=2，以此类推。
二、数学归纳法的原理数学归纳法是一种数学证明方法，通过证明命题在第一个条件成立的情况下，假设命题在第n个条件成立，再证明命题在第n+1个条件也成立，从而得出命题对于所有自然数都成立的结论。
具体的，数学归纳法分为三步：1. 基础步骤：证明命题在第一个条件成立，即证明P(1)成立。
2. 归纳假设：假设命题在第n个条件成立，即假设P(n)成立。
3. 归纳步骤：证明命题在第n+1个条件也成立，即证明P(n+1)成立。
三、数列与数学归纳法的关系数列与数学归纳法之间存在紧密的联系。
归纳法常用于证明数列的性质。
以斐波那契数列为例，我们可以利用数学归纳法来证明斐波那契数列的通项公式。
首先，我们可以验证斐波那契数列的基础步骤，即证明F(1)=1，F(2)=1成立。
接下来，我们假设斐波那契数列的第n个和第n-1个项满足通项公式Fn=Fn-1+Fn-2。
然后，我们通过归纳步骤来证明斐波那契数列的第n+1个项也满足通项公式Fn+1=Fn+Fn-1。
由于数学归纳法的原理，我们可以通过归纳法得出斐波那契数列的通项公式成立。
除了证明数列的通项公式，数学归纳法还可用于证明数列中的其他性质，如数列的递增性、递减性、周期性等。
四、总结数列与数学归纳法密不可分，数学归纳法是一种常用的证明数列性质的方法。
通过数学归纳法，我们可以证明数列的通项公式及其他性质成立。
数学中的数列与数学归纳法
数学中的数列与数学归纳法在数学中，数列与数学归纳法是两个相关且重要的概念。
数列是指按照一定规律排列的数的集合，而数学归纳法则是一种证明数学命题的方法。
本文将对数列与数学归纳法进行详细讨论。
数列是数学中常见的一种对象，它由一系列数字按照一定的规律排列而成。
数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列指的是相邻两个数之间的差等于一个常数，如1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等比数列则是相邻两个数之间的比等于一个常数，如2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它由两个步骤组成：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤要证明命题在某个初始值上成立，通常是证明当n等于1时命题成立。
归纳步骤则是假设命题在某个整数n成立，并证明在n+1时也成立，从而得出结论命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法在证明数列中的命题时经常被使用。
例如，我们要证明对于等差数列，公差为d，数列中的任意第n个数可以表示为a+(n-1)d，其中a是数列中的首项。
通过数学归纳法，我们可以证明这一命题成立。
首先，在n等于1时，显然a+(1-1)d=a，命题成立。
然后，在假设命题在n时成立的基础上，我们来证明在n+1时命题也成立。
假设a+(n-1)d能表示数列中的第n个数，那么我们可以通过增加一个公差d得到a+(n-1)d+d=a+nd，即数列中的第n+1个数。
因此，通过归纳步骤，我们得出结论，命题对于所有正整数n成立。
数列与数学归纳法在数学中的应用非常广泛。
它们不仅在基础数学中起着重要的作用，也被广泛应用于高阶数学和实际问题的解决中。
例如，在微积分中，数列的极限概念与数学归纳法密切相关，通过引入极限概念，我们可以对数列的收敛性进行分析。
在实际问题中，数列与数学归纳法也可以用来解决一些有规律的问题，如证明某种模式或规律在特定情况下成立。
综上所述，数列与数学归纳法在数学中扮演着重要的角色。
数列可以通过一定的规则来生成一系列数字，而数学归纳法则是一种证明数学命题的方法。
数列与数学归纳法
数列与数学归纳法数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成。
数列在数学中具有广泛的应用，而数学归纳法则是研究数列时常用的一种证明方法。
本文将介绍数列的基本概念以及数学归纳法的原理和应用。
一、数列的概念和分类数列是按照一定规律排列的一组数。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
通常用公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1是首项，d是公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。
通常用公式an = a1 * r^(n - 1)来表示，其中a1是首项，r是公比。
二、数学归纳法的原理和应用数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
1. 基础步骤：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。
这通常是通过直接计算或其他方法来完成的。
2. 归纳步骤：假设当n取k(k≥1)时，命题成立，即命题对于k成立。
然后利用这一假设，证明当n取k+1时，命题也成立。
这一步骤可以通过代入法或其他方法来完成。
数学归纳法的应用非常广泛，特别是在数列的证明中。
通过使用数学归纳法，可以证明等差数列和等比数列的一些性质和定理。
三、数学归纳法在数列中的应用举例1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，可以使用数学归纳法来证明其通项公式。
首先，当n=1时，an=a1成立。
然后，假设当n=k(k≥1)时，an=a1+(k-1)d成立。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，an=a1+kd也成立。
根据归纳假设，an=a1+(k-1)d，将其代入等式an+1=an+d可以得到an+1=a1+kd，即当n=k+1时，命题也成立。
2. 证明等比数列的通项公式：对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，同样可以使用数学归纳法来证明其通项公式。
首先，当n=1时，an=a1成立。
高三一轮复习6.7 数学归纳法
)
【解析】 当 n＝1 时，左边＝1＋2＋22，故选 C.
3．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(n＋n) n3n＋1 * ＝ ( n ∈ N )的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n 2 ＝k时的等式左边的差等于________．
答案
解析
3k＋2
n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k
答案 B
)
B．8 D．10
1 1－ n 1 1 1 2 127 解析 1＋ ＋ ＋„＋ n－1＝ > 2 4 1 64 2 1－ 2 整理得2n>128，解得n>7 ∴初始值至少应取8.
2.用数学归纳法证明 1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n∈N*)
＋ ＋
的过程中，在验证 n＝1 时，左端计算所得的式子应为( A．1 C．1＋2＋22 B．1＋2 D．1＋2＋21 6×8
＋„＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2] k 1 ＝ ＋ 4k＋1 4k＋1k＋2 kk＋2＋1 k＋12 ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋1 ＝ ， 4[k＋1＋1]
即n＝k＋1时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
5 1 1 1 1 > ＋( ＋ ＋ － ) 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 5 1 1 5 > ＋(3× － )＝ 6 3k＋3 k＋1 6 ∴当n＝k＋1时不等式亦成立． ∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
探究2
由n＝k到n＝k＋1时，要弄清命题的变化，
应用放缩技巧． 思考题2 1 (2009· 陕西理)已知数列{xn}满足x1＝ ，xn 2
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
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43 / 1843 / 18第三章 数列及数学归纳法知识结构高考能力要求1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．3．1 数列的概念知识要点 1．数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．2．数列的通项公式一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为：=n a⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．例题讲练【例1】 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，…．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1【例3】 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n ≥2)【例4】 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．小结归纳1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项及项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f (n )，n n a a1+＝f (n )，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．基础训练题 一、选择题1．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③2． 函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f +（n ∈N *）且f (1)＝2，则f (20)＝ （ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．1923． （2005年山东高考）{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668C ．669D ．6704． 已知数列{a n }满足a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2)，且a 1＝1，则35a a＝ （ ）A ．1315 B ．34 C ．158D ．385． 已知数列3，3，15，…)12(3-n ，那么9是它的第几项 （ ） A ．12 B ．13C ．14D ．156． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝90n（21n －n 2－5）（n ＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A ．5月，6月 B ．6月，7月C ．7月，8月D ．8月，9月二、填空题45 / 1845 / 187． 已知a n ＝1562+n n（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为第 项．8． 已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2)13(1-na (n ≥1)，且a 4＝54，则a 1的数值是 ．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3)2)(1(++n n n ，则数列{na 1}的前n 项和T n ＝ ．三、解答题 11．（2002·天律）已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n +1·a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3，4，5…，求a 3．12．(2005年山东高考)已知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处导数f 1 (1)．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．提高训练题 14．已知a n ＝nn n 10)1(9+(n ∈N)，试问：数列{a n }有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1．(1)写出数列{a n }的前3项a 1，a 2，a 3； (2)求数列{a n }的通项公式．3．2 等差数列知识要点1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）． 2．等差数列的通项公式： ⑴ a n ＝a 1＋ ×d⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 及c 的等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q (p , q ∈R) ⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a , b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m , n , p , q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例题讲练【例1】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n ≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1． ⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式．【例3】 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{nSn }前n 项和。
求T n ．【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元．问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？小结归纳1．欲证{a n }为等差数列，最常见的做法是证明：a n ＋1－a n ＝d (d 是一个及n 无关的常数)．2．a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a 1，d ，再求其他的量，但有时运算较繁．3．对等差数列{a n }的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d 的等差数列进行求和．4．遇到及等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．基础训练题 一、选择题1． 已知数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝a n －32（n ∈N *），则使a n ·a n ＋2<0成立的n 的值是 （ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 2． 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有（ ） A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝513． 已知数列{a n }，a n ＝－2n ＋25，当S n 达到最大值时，n为 （ ） A ．10 B ．11C ．12D ．134． (2005年全国)如果a 1、a 2，…a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则 （ ） A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 55． 等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ） A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10 D ．a 116． 在等差数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 1947 / 1847 / 18＋a 20的值为 （ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题7． 等差数列{a n }中，a 1＝1，公差为d ，当a 1a 2＋a 2a 3取得最小值时，d ＝ ．8． (2003年·上海)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．9． 已知{n a 1}为等差数列且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，那么a 10＝ ． 10．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，且S 6<S 7，S 7>S 8，结合下列命题： ⑴ 当n ≤7时，S n 是递增的，当n >7时，S n 是递减的．⑵ S 9一定小于S 6． ⑶ a 7>0，a 8<0． ⑷ S 13<0．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题11．有两个等差数列{a n }，{b n }，3272121++=++++n n b b b a a a n n ，求55b a 的值．12．已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n ． (1) 求证：{a n }为等差数列； (2) 求S n 的最小值及相应的n ；(3) 记数列{n a }的前n 项和为T n ，求T n 表达式．13．下表给出一个“等差数阵”．ij 列的数．⑴ 写出a 45的值．⑵ 写出a ij 的计算公式．⑶ 证明正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以写成两个不是1的正整数之积． 提高训练题14．已知函数f (x )＝ab x 的图象过点A （4，41）和B(5，1)．(1) 求函数f (x )的解析式； (2) 记a n ＝log 2 f (n )，n 是正整数，S n 是数列{a n }的前n项和，解关于n 的不等式a n S n ≤0；(3) 对于(2)中的a n 及S n ，整数96是否为数列{a n S n }中的项？若是则求出相应的项数；若不是，则说明理由．15．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．⑴ 若首项a 1＝23，公差d ＝1，求满足2)(2k k S S =的正整数k ．⑵ 求所有的无穷等差数列{a n }，使得对一切正整数k都有2)(2k k S S =成立．3．3 等比数列知识要点 1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m 3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 及c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ． 例题讲练【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值．【例2】 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数及第四个数的和是16，第二个数及第三个数的和是12，求这四个数．【例4】 已知函数f (x )＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)，b 1＝f (q －1)，b 3＝f (q ＋1)，(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：12211)1(++=+++n nn a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ．小结归纳1．在等比数列的求和公式中，当公比q ≠1时，适用公式S n ＝qq a n --1)1(1，且要注意n 表示项数；当q ＝1时，适用公式S n ＝na 1；若q 的范围未确定时，应对q ＝1和q ≠1讨论求和．2．在等比数列中，若公比q > 0且q ≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x －d ，x ，x ＋d ，xd x 2)(+再依题意列出方程求x 、d 即可．4．a 1及q 是等比数列{a n }中最活跃的两个基本量． 基础训练题 一、选择题1． 在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足 （ ） A ．q >1 B ．q <149 / 1849 / 18C ．0<q <1D ．q <0 2． 若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋a ，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．0D ．－13． 已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则212b aa -的值为 （ ）A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．414． 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…a n ＝2n －1，则22221n a a a +++ 等于（ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n－1) C ．4n －1 D ．31(4n －1)5． 等比数列{a n }中，a n >0，a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于 （ ） A ．12 B ．16C ．18D ．20 6． 已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于 （ ）A ．2nB ．)1(21+n nC ．2n－1 D ．2n －1二、填空题7． 设k ≠0，则等比数列a ＋k ，a ＋21k ，a ＋31k 的公比是 ．8． 已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．9． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝ ．10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝4，使S n ＞3000的最小自然数n ＝ ．三、解答题11．已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式．12．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＝0，S 4－S 2＝81．(1) 求a n 的表达式；(2) 解关于n 的不等式a n ≥161． 13．已知：f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n （n ∈N *），且f (1)＝n 2． ⑴ 求a n ．⑵ 求证：0<f (31)<1．提高训练题14．等比数列{a n }的公比q ＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞n a a a 11121+++ 成立的正整数n 的取值范围．15．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1，2，…)(1) 求q 的取值范围；(2) 设b n ＝a n ＋2－123+n a ，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．3．4 等差数列和等比数列的综合应用知识要点1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列．⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n达到最 值时n 的值．⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 例题讲练【例1】 是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：① a ＋b ＋c ＝6② a 、b 、c 成等差数列．③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．【例2】 已知公差大于0的等差数列{n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．【例3】 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．【例4】 （2005年北京）数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3……求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.小结归纳 1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m 、n 、p 、r ∈N*，若m ＋n ＝p ＋r ，则a m ＋a n ＝a p ＋a r （或a m ·a n ＝a p ·a r ）进行解答．2．若a 、b 、c 成等差（或等比）数列，则有2b ＝a ＋c （或b 2＝ac ）．3．遇到及三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．4．在涉及a n 及S n 相关式子中用S n －1和S n 的关系表示a n 时应该注意“n ≥2”这个特点． 基础训练题 一、选择题1． 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2等于 （ ） A ．－4 B ．－6C ．－8D ．－10 2． 若等差数列{a n }中，a 1>0，a 2005＋a 2006>0，a 2005·a 2006<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4008 B ．4009C ．4010D ．40113． 在等比数列中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q51 / 1851 / 18的值可能个数为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44． 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1－a n ＝2n ，那么a 2007的值为 （ ） A ．2005×2006 B ．2006×2007C ．2007×2008D ．200725． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 : S 3＝1:2，则S 9 : S 3＝ （ ） A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:36． 已知等比数列{a n }的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5及S 5a 4的大小关系是 （ ） A ．S 4a 5＝S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5<S 5a 4D ．以上都不正确二、填空题7． 数列{a n }按下列条件给出：a 1＝2， 当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2008＝ ． 8． 已知等差数列{a n }中，102a a =公差d ＞0，则使前n 项和S n 取得最小值的自然数n 是 ．9． 若数列{a n }是等差数列， 令 b n ＝ na a a n+++ 21（n ∈N *）．则数列{b n }也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n >0，（n ∈N *），令d n ＝ ，则数列{d n }也是等比数列．10．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝5，前20项的和S 20＝400，则(a 22＋a 42＋…a 202)－(a 12＋a 32＋…a 192)＝ ．三、解答题11．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2…)，a 1＝1．⑴ 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明{b n }是等比数列；⑵ 设C n ＝nn a2(n ＝1，2，…)，求证{C n }是等差数列．12．等差数列{a n }中，已知公差d ≠0，a n ≠0，设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0（r ∈N *）是关于x 的一组方程． ⑴ 证明这些方程必有公共根，并求出这个公共根．⑵ 设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0的另一根记为m r ，且m 1＝2，证明{11+r m }也是等差数列． 13．已知等比数列{a n }共有m 项(m ≥3)，且各项均为正数，a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b m ＝a m ，判断数列{a n }前m 项和S m 及数列{b n －21}的前m 项和T m 的大小，并加以证明．提高训练题 14．（2005年福建）已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1、a 2、a 3成等差数列． （1）求q 的值.（2）设{b n }是以2为首项，以q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 及b n 的大小，并说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n＋1)，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝n nS 2，如果对一切正整数n 都有b n ≤t ，求t 的最小值．3．5 数列求和知识要点求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． 2．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q ≠1时，S n ＝ ．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列及原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例题讲练【例1】 已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫⎝⎛++41211，⎪⎭⎫⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n项的和S n ．【例2】 求S n ＝1＋211+＋3211++＋…＋n++++ (3211)．【例3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21(*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【例4】 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！．小结归纳1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．2．对通项中含有(－1)n 的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n 项和用到的方法，在复习中应给予重视．基础训练题 一、选择题1． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．S 6 B ．S 11C ．S 12D ．S 132． 在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项和及偶数项和之比为 （ ）A ．n n 1+ B ．n n 21+C ．nn 12+ D ．13． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3＝1:2，则S 9：S 3等于 A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:34． 数列{a n }的通项公式是a n ＝11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为 （ ） A ．11 B ．9953 / 1853 / 18C ．120D ．1215． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝n n2，则前n 项和为（ ）A ．1－n 21B ．2－121-n －n n2C ．n (1－n 21)D ．2－121-n ＋n n26． 将棱长相等的正方体按右下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2005层正方体的个数是 （ ） A ．4011 B ．4009 C ．2011015 D ．2009010二、填空题7． －1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n －1)＝ ． 8． 等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ， 且S 3＝S 12，则a 8＝ ．9．数列{a n }的通项为a n ＝2n －7，(n ∈N*)，则| a 1 |＋| a 2 |＋…＋| a 15 |＝ ． 10．关于数列有下面四个判断：①若a 、b 、c 、d 成等比数列，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋d 也成等比数列；②若数列{a n }既是等差数列也是等比数列，则{a n }为常数列；③数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －1(a ∈R)，则数列{a n }为等差数列或等比数列；④数列{a n }为等差数列时且公差不为零，则数列{a n }中不会有a m ＝a n （m ≠n ）．其中正确判断的序号是 ． （注：把你认为正确的序号都填上．）三、解答题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．12．求和1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －1)a n －1． 13．（2005年湖北文科）设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式．⑵ 设C n ＝nnb a ，求数列{C n }前n 项和T n ．提高训练题14．以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．15．已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k＝2550．⑴ 求a 及k 的值．⑵ 求)111(lim 21n n S S S +++∞→ ．… …3．6 * 数学归纳法知识要点1．数学归纳法证明的步骤是：⑴ ． ⑵ ． 2．数学归纳法是证明有关自然数n 的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤，第一步验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推论命题正确性的可传递性，是递推的依据，两步缺一不可，证明步骤及格式的规范是数学归纳法的一个特征．3．命题成立的起始值，不一定是自然数1．4．由k ⇒k ＋1必须运用归纳假设．例题讲练【例1】 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(2n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)（n ∈N *）【例2】 用数学归纳法证明 x n －y n 能被x －y 整除 （n ∈N *）．【例3】 设a 0为常数，且a n ＝3n －1－2a n －1（n ∈N *），证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．【例4】 平面内有n 条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成12)1(++n n 个区域．小结归纳使用数学归纳法证明命题，第一步是验证，一般较简单，但不能省略；第二步推证，必须用到归纳假设，否则不是数学归纳法．第二步从k 到k ＋1时，注意项数的变化．基础训练题一、选择题1． 设f (n )＝nn n n 21312111+++++++ （n ∈N *），则f (n ＋1)－f (n )等于 （ ）A ．121+n B ．221+nC ．121+n ＋221+nD ．121+n －221+n2． 用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝aa n --+112(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得结果为 （ ） A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 33． 用数学归纳法证明不等式2n ≥n 2时，n 应取的第一个值为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44． 用数学归纳法证明“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n55 / 1855 / 18241113121≥++++++n n n n ”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是 （ ）A ．)1(21+kB ．121+k ＋221+k C ．121+k ＋221+k －11+kD ．121+k ＋221+k －11+k －21+k5． 设)(n f ＝1＋1313121-+++n （n ∈N *），那么)1(+n f －)(n f ＝（ ） A ．231+n B ．n 31＋131+nC ．131+n ·231+nD ．n 31＋131+n ＋231+n6． 设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)等于 （ ） A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n －1C ．f (n )＋nD ．f (n )＋n －2 二、填空题7． 求证x n ＋y n （n ∈N *）被x ＋y 整除，当第二步假设n＝2k －1命题成立时，进而需证明n ＝ 时命题成立．8． 用数学归纳法证明：1－121413121-+-+n －n n n n 21211121+++++= ，第一步应验证左式是 ，右式是 ．9． 若f (n )＝1＋1213121++++n （n ∈N *），则当n ＝1时，f (1)＝ ．10．若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－na 1，且a 1＝2，则a 2006＝ ．三、解答题11．试证S n ＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除．12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)213．设a n ＝1＋n13121+++ （n ∈N *），试证明：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n （a n －1），其中n ≥2．提高训练题14．已知n ≥2，n ∈N *，求证：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n 15．（2005年·重庆）数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝(1＋nn +21)a n ＋n 21(n ≥1)． (1) 用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2)；(2) 已知不等式ln(1＋x )＜x 对x ＞0成立，证明：a n ＜e 2(n ≥1)其中无理数e ＝2.71828…．3．7 * 归纳、猜想、证明知识要点从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究，认识发现规律的有效途径，也是培养创新思维能力的有效办法．这类题型是高考命题的热点之一．例题讲练【例1】 设数列{a n }满足a n ＋1＝12+-n nna a ，n ＝1,2,3,……⑴ 当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．⑵ 当a 1≥3时，证明对所有的n ∈N *，有a n ≥n ＋2．【例2】 已知数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，（n ∈N *），求出前四项，猜想出a n 的表达式，并证明．【例3】 是否存在自然数m 使)(n f ＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意自然数都能被整数m 整除．若存在，求m 最大值；若不存在，则说明理由．【例4】 数列{a n }中，a 1＝－32，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋nS 1＋2，其中n ≥2．⑴ 求出S 1、S 2、S 3、S 4．⑵ 猜想S n 的表达式，并证明你的猜想．小结归纳1．“归纳、猜想、证明”的思想方法实质上是由特殊到一般的认识事物的重要方法，是不完全归纳法及完全归纳法的结合使用．一般是通过观察、分析等手段，利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法（或其它方法）给出证明．2．归纳猜想能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视．此类问题分为归纳型问题和存在型问题．解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观57 / 1857 / 18察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想．基础训练题 一、选择题1． 利用数学归纳法证明不等式“1＋1213121-+++n ＞2n（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边增加了 （ ）A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项2． 观察下列所给式子：1＋23212<，35312122<+，1＋47413121222<++，…，则可归纳出 （ ）A ．1＋n n n113121222+<++B ．1＋n n n1213121222+<++C ．1＋12)1(13121222++<+++n n n D ．1＋11213121222++<++n n n3． 已知数列211⋅，321⋅，431⋅，…，)1(1+n n ，经过计算S 1、S 2、S 3，可由此推测S n 等于 （ ） A ．12+n nB ．1+n nC ．121+n D ．121+-n n4． 如果命题p (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2成立，又若p (n )对n ＝2成立，则p (n )对所有 （ ） A ．正整数n 成立B ．正偶数n 成立C ．正奇数n 成立D ．大于1的自然数n 成立5． 数列{a n }满足a 1＝21，a n ＋1＝1－n a 1，则a 30等于（ ）A ．21B ．－1C ．2D ．36． 一机器狗每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗按前进2步，然后再后退1步的规律移动．若将此机器狗放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1单位长度，令P(n )表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是（ ） A ．P(3)＝1 B ．P(5)＝3C ．P(2002)＝667D ．P(2004)<P(2005)二、填空题7． 已知f (x )＝22+x x，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，则x 2，x 3，x 4的值分别为 ，猜想x n ＝ ． 8． 若给出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子为 ．9． 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝1221+-n a (n ∈N *，n ≥2)，猜想{a n }的通项公式a n ＝ ．10．已知A n ＝2＋4＋6＋…＋2n ，B n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1(n ∈N *)，试猜想A n 及B n 的大小关系是 （不要求证明）．三、解答题11．已知数列 {a n } 前n 项和为S n ， 且a 1＝1， S n ＝n 2a n ，(n ∈N *)．⑴ 试求S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． ⑵ 证明你的猜想，并求a n 的表达式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2 a n ＋1．请求出a 2、a 3、a 4，猜想{a n }的通项公式并加以证明．13．是否存在常数a 、b ，使得等式：3211⨯⨯＋4321⨯⨯＋5431⨯⨯＋…＋)2)(1(1++n n n ＝)2)(1(42+++n n bn an 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论．提高训练题14．设数列{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，对于所有自然数n ，a n 及2的等差中项等于S n 及2的等比中项.⑴ 写出数列{a n }的前3项.⑵ 求数列{a n }的通项公式并写出推理过程．15．某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量． ⑴ 求a n 的表达式．⑵ 为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不小于a 97，若b ＝a 7219，则该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2＝0.30）单 元 测 试一、选择题1． 若数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝log 3(n ＋1)，则a 5等于（ ） A ．65logB ．563logC ．63logD ．53log2． 若f (1)＝3，f (n ＋1)＝31)(3+n f ，（n ∈N *），则f (100)等于 （ ） A ．30 B ．32C ．34D ．363． 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1131a 的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．174． 等比数列前n 项和S n ＝2n －1，则前n 项的平方和为 （ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n －1)2C ．4n －1D ．31(4n －1)5． 在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2＋kx ＋5＝0的两个根，则a 2a 4a 6的值为 （ ）A ．55±B ．55C ．－55D ．256． 在一个数列中，若每一项及其后一项的积为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为“公积”。