2020高考数学专题测试《不等式推理与证明算法初步与复数和立体几何》含解析

2020全国高考数学专题测试

专题 一 不等式推理与证明算法初步与复数

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2018·南昌摸底)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为( )

A ．1

B ．－1

C ．i

D ．－i 答案 B 解析 因为z ＝

21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2

＝1－i ，则复数z 的虚部为－1，故选B. 2．(2018·太原三模)已知复数z 满足i z ＝4＋3i

1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在

( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 答案 C

解析 z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i

5＝－1－2i ，所以复数z 在复

平面内对应的点在第三象限，故选C.

3．(2018·大庆质检一)若m >n >0，p n

p B.m q n q

D.m p

答案 B

解析 由m >n >0，p |n |>0，|p |>|q |>0，所以n p

均为负数，所以n p >m q .而m p 与n q

的大小则无法比较，故选B.

4．(2018·青岛质检)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ＋z (1＋i)＝3－4i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 答案 B

解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，故z ＋z (1＋i)＝a ＋b i ＋(a －b i)(1＋i)＝(2a ＋b )＋a i ＝3－4i ，则a ＝－4，b ＝11，故z ＝－4＋11i ，则在复平面内，复数z 所对应的点为(－4，

11)，位于第二象限．故选B.

5．观察(x 2

)′＝2x ，(x 4

)′＝4x 3

，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )

A ．f (x )

B ．－f (x )

C ．g (x )

D ．－g (x ) 答案 D

解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．

6．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋y －3≥0，

x －2y ≤0，

则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 D

解析

不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－1

2x ，当直线过点A (2，1)时，z 有最

小值4.显然z 没有最大值．故选D.

7．(2018·长春质检)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最大值4 B.ab 有最小值12 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2

＋b 2

有最小值2

2

答案 C

解析 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，

∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2

－2ab

＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2

＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大

值 2.故选C.

8．(2018·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为( )

A ．120

B ．84

C ．56

D ．28 答案 B

解析 第一次循环，i ＝0＋1＝1，n ＝0＋1＝1，S ＝0＋1＝1；i <7，第二次循环，i ＝1＋1＝2，n ＝1＋2＝3，S ＝1＋3＝4；i <7，第三次循环，i ＝2＋1＝3，n ＝3＋3＝6，S ＝4＋6＝10；i <7，第四次循环，i ＝3＋1＝4，n ＝6＋4＝10，S ＝10＋10＝20；i <7，第五次循环，

i ＝4＋1＝5，n ＝10＋5＝15，S ＝20＋15＝35；i <7，第六次循环，i ＝5＋1＝6，n ＝15＋6

＝21，S ＝35＋21＝56；i <7，第七次循环，i ＝6＋1＝7，n ＝21＋7＝28，S ＝56＋28＝84；i ＝7，结束循环，输出S ＝84.故选B.

9．(2018·湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )