134系统的因果性和稳定性
第五节系统的稳定性和代数稳定判据
yδ (t ) = 0 ， − p j 和 −ζ k ωk 应为负实数。 要使 lim t →∞
其单位脉冲响应函数为：
Yδ ( s ) = Φ ( s ) ⋅1 = ∑
j =1 n1
线性定常系统稳定的充要条件：
Aj +∑ Bk ( s + ζ k ωk ) + Ck ωk 1 − ζ k2 s 2 + 2ζ k ωk s + ωk2 k =1
Monday, October 14, 2013
2
定义1：对于线性定常系统，在零初始条件下，当t→∞时，系 统的单位脉冲响应为零，即
lim yδ (t ) = 0
t →∞
设系统或元件的微分方程为：
y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + ... + a0 y (t ) = bm x ( m ) (t ) + bm −1 x ( m −1) (t ) + ... + b0 x (t )
0≤ t < ∞ 0≤ t < ∞
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai , (i = 0 ~ n − 1); b j , j = 0 ~ m ) 为常系数。将上式求拉氏变化，得
(sn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0 )Y (s) = (bm sm + bm−1sm−1 + ... + b1s + b0 ) X (s)
k =1 k =1
Monday, October 14, 2013
t≥0
5
Monday, October 14, 2013
第七章 系统的稳定性
s s5 s4 3 s s3 s2 1 s s0
6
1 8 20 16 2 12 16 0 1 6 8 0 ? F (s) s 4 + 6s 2 + 8 0 0 4 12 ? F ¢(s) =4s 3 12s 3 8 4/3 8
表中第一列元素均为正号，系统没有正实部特征根。但由 于劳斯数列表出现全零行，说明系统在虚轴上有共轭虚根， 求解辅助多项式构成的辅助方程，就可得该共轭虚根，即 求解 4 2 Fs =s +6 s + 8 () 得两对共轭虚根
b1 = a1 ,
a1a4 - a0a5 b2 = , a1
aa 1 6- a 0a 7 b = ,鬃 ? 3 a1 a3b1 - a1b2 a5b1 - a1b3 c1 = , c2 = , b1 b1
c3 = a7b 1- a 1b 4 ,鬃 ? b 1
每一行的元素计算到 零为止。为简化运算过程， 可以用一正整数去乘以或 除某一行的各项。
3）用 s+a（a为任意正数）乘以原特征方 程式，得到一个新的特征方程，再用劳 斯判据。
2. 劳斯数列中某一行的元素全部为零
这种情况意味着在s平面中存在着一些对称于虚轴的根：
1）一对（或几对）大小相等符号相反的实根； 2）一对共轭虚根； 3）呈对称位置的两对共轭复根。
在这种情况下，可以用该零行的上一行元素构成一个 辅助方程，取辅助方程的一阶导数所得到的一组系数来代 替该零行，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后 再按照前述方法进行判别。
在初始条件不为零的条件下取拉氏变换，得 n n 1 ( a s a s . . . as aX )o () s M () s 0 1 n 1 n 0
m m 1 ( b s b s . . . bs bX ) i() s N () s 0 1 m 1 m 0
系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)
6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。
本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。
、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t) 产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数) ，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。
这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。
，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。
可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t) 绝对可积，即< ∞( 6-36)证明设激励f(t) 为有界，即式中，为有界的正实常数。
又因有故有-37)由此式看出，若满足则一定有(6 <∞毕即也一定有界。
式中为有界的正实常数。
由式(6-36) 还可看出，系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36) 和式(6-38) 都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。
若系统为因果系统，则式(6-36) 和式(6-38) 可写为∞6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s 域中进行。
在时域中就是按式(6- 36)和式(6-38) 判断，已如上所述。
下面研究如何从s 域中判断。
1. 从H(s) 的极点［即D(s)=0 的根］分布来判定若系统函数H(s) 的所有极点均位于s 平面的左半开平面，则系统是稳定的。
若H(s) 在j ω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s 平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。
若H(s) 的极点中至少有一个极点位于s 平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在j ω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。
2. 用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s) 的极点值。
但当H(s) 分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s) 的极点就困难了。
134系统的因果性和稳定性
解：讨论因果性：
• y(n)=x(n)*h(n)=
n 0时 h(n) 0
k
x(k )u(n k )
• 因为当n-k<0时，u(n-k)=0；n-k≥0时，u(n-k)=1，因此， 求和限为k≤n，所以 n • (1.3.15) y (n) x(k )
1.3.4系统的因果性和稳定性
稳定系统(stability system) 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 数学描述：若 x(n) M
则
y ( n) P
LSI系统是稳定系统的充要条件：
n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h( n) P
• LSI系统是稳定系统的充要条件
证明 先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则 输入有界输出必有界。
n
n
一个非因果数字系统地实现
1.3.4系统的因果性和稳定性
实际系统一般是因果系统 对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因 果系统 在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数 区分开来， 如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系统 在判断时必须考虑全部时间变量 如 y(n)=x(n-k) 是有条件因果系统
该系统是非因果系统
讨论稳定性：
n
h( n) a
n
0
n
a
n 0
n
有条件 稳定
1 1 1 a
a 1 a 1
当 a 1时系统稳定，当 a 1时系统不稳定
• 例1.3.7 设系统的)单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意
系统的稳定性常见判据
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1
B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
1
2
10.6
稳定
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1
P=0
G( s) H ( s) K (T1 s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或
① 确定P ② 作G(j)H(j)的Nyquist图
③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2
G( s ) H ( s ) K (Ta s 1)(Tb s 1) (T12 s 2 2T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
1 19 30 s4 1 11 0 s 3 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 0 30 s 30 0 0
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
数字信号处理(第三版)第1章习题答案
n
0
s(n) am am am am 1
m
mn
mn
m0
1 an 1
1
1 a1 1 a
1 an 1 an a 1 1 a 1 a
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） n>0 时,
s(n)
0
am am
1
m
m0
1 a
最后得到
s(n) 1 [anu(n) u(n 1)] 1 a
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1.1
（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。
（2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递
题1图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。
设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n) 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法） 或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公 式可表示为
系统稳定性判别方法
2、当开环传递函数 G s 在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时
当遇到位于虚轴上G s 的极点 图中用×表示 时,要用半径很小 的半圆从右侧绕过，Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定，
幅频特性
Gk(s)G1(s)es
|G K (j)| |G 1(j)|
相频特性 G k(j) G 1(j)
优点：1、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出,所以它在 应用上非常方便和直观，
开环传递函数： G KsGsHs
特征方程：Fs1G sHs
若
G
B
G sK sGsHsF s M Nss
GK s
零零则点点Fs极 点1G sH 零s 点M 极sN 点 sN s零零点点 极点
相同
相同
G Bs1G G ssH sM M ss N N ss
作图方法： 1、写出幅频特性|G jω |和相频特性 G jω 表达式， 2、求出ω=0和ω→∞时的G jω ， 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点， 4、必要时画几点中间的,并勾勒大致曲线
2、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题，
3、能定量指出系统的稳定储备,即系统的相对稳定性定量 指标,进一步提高和改善系统动态性能，
由伯德图判断系统的稳定性
与乃奎斯特稳定性判据类似,该方法是利用开环系统的伯德图来 判别系统的稳定性,同样也是能够用实验来获得,因此也得到广泛 的应用，
等s于0 在w1右半平面若上第根一的列个系数数，有负数,则第一列系数符号的改变次数
优点：不必求解方程,方便系统的稳定性的判断，不但可以判别绝 对稳定性还可以判别相对稳定性，
应用领域：分析系统参数对稳定性的影响，
赫尔维兹稳定性判据 先依据特征方程写出Δ
西安电子数字信号处理课后答案第1章
•
1.4
• 1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
•题1图
西安电子数字信号处理课后答案第1 章
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
•(x(n) =
西安电子数字信号处理课后答案第1 章
•% • n=0： length(yn)－1； • subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′) • xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) • 程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑 动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。
得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得
到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析
法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于
画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的
线性卷积， 实验中常用。
西安电子数字信号处理课后答案第1 章
• 解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。
西安电子数字信号处理课后答案第1 章
图1.2.1
西安电子数字信号处理课后答案第1 章
•
1.3 例
• ［例1.3.1］ 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示，
输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为
系统的稳定性解析
➢ 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空 间中只有一个平衡态。
➢ 对于线性定常系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定 是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统，渐近稳定性是 一个局部性的概念，而非全局性的概念。
5.2.4 不稳定
在初始时刻t0，对于某个给定实
数 >0和任意一个实数 >0，总
存在一个位于平衡态xe的邻域
S(xe,)的初始状态x0，使得从x0
出发的状态方程的解x(t)将脱离 球域S(xe,)，则称系统的平衡态 xe是李雅普诺夫意义下不稳定 的。
x2
x1
x (0 )
5.2.5 线性定常系统状态稳定性与外部稳定性的关系
x2
xe
➢ 若平衡态附近某充分小邻
域内所有状态的运动最后 不 稳 定
都趋于该平衡态，则称该 平 衡 态
xe
平衡态是渐近稳定的;
➢ 若发散掉则称为不稳定的， 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的。
xe
x1 渐近稳定
平衡态 稳定 平衡态
对于线性定常系统，状态方程为
平衡方程为
xAx
Axe 0
趋近于系统的平衡态xe，即
Limt x(t)=xe
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳 定的。
x2
x(0)
x1
渐进稳定
x2
x(0) x(0)
x1
李雅普诺夫稳定
大范围渐近稳定性 对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状
态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的。
因果系统的充要条件
《因果系统的充要条件》
1.因果系统得有时序性，这就像做事得有先后顺序，得有。
比如信号的输出不能先于输入，要
是没这顺序，就不是因果系统。
2.系统得稳定，这就像大楼得牢固，得稳。
比如不会出现无限制增长的情况，要是不稳定，可
不行。
3.响应得合理，这就像回答得靠谱，得对。
比如对输入有恰当的反应，要是响应不合理，那不
是因果系统。
4.有确定性，这就像答案得明确，得准。
比如给定输入就有确定的输出，要是不确定，不是因
果系统。
5.能持续工作，这就像机器得不停转，得行。
比如不会突然停止或出错，要是不能持续，不是
因果系统。
6.对输入敏感，这就像人得有感觉，得灵。
比如输入变化能引起输出变化，要是不敏感，不是
因果系统。
7.输出得有意义，这就像说话得让人懂，得好。
比如不能是无规律的乱输出，要是没意义，不
是因果系统。
8.有逻辑性，这就像推理得合理，得对。
比如输出和输入之间有逻辑关系，要是没逻辑，不是
因果系统。
9.可预测性，这就像知道明天会怎样，得有。
比如能根据输入大致预测输出，要是不可预测，
不是因果系统。
10.有实际用途，这就像工具得有用，得棒。
比如能在实际中解决问题，要是没用途，不是因果
系统。
结论：因果系统的充要条件很重要，得满足这些条件才是好的因果系统。
(优选)第一节系统的稳定性
稳定的充要条件和属性
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1 a j
j 1s p j
b s n2
1
b2
b3
第一行为1，3，5，…项系数组成，
c s n3
1
d1
c2 d2
c3 d3
第二行为2，4，6，…项系数组成。
s0
g1
sn s n1
an an1
an2 an3
an4 an5
b s n2
1
b2
b3
c s n3
1
c2
c3
d s n4
1
d2
d3
s1 s0
f1
g1
劳斯判据
以下各项的计算式为：
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期
振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
不稳定。
I m S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的 结构、参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；
sn4
d1
c2
d2
c3 d3
s1
an1 an7
s0
c3
线性时不变系统的因果和稳定性
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
关于系统稳定性
控制工程基础课程资料1：关于系统稳定性1 概念稳定性是宇宙的根本法则之一，不稳定的对象只有走向死亡。
可以通过社会的、生活的例子说明之。
工程举例：稳定的单摆，不稳定的倒立摆。
系统受干扰作用，具有了初始位能，放手后，振荡衰减的过程是位能和动能相互进行能量转换的过程，系统最后能回到（恢复到）原来的平衡状态，是因为初始能量可以被消耗掉（被系统吸收）。
还可以举家用空调的例子；还可以举生病的例子——稳定者恢复健康，不稳定者——去见阎王老子。
社会要安定谐和——不稳定的社会什么也不能干。
2 定义在控制工程中，系统稳定性定义为：系统受扰动作用，会偏离原来的平衡位置（平衡工作点、平衡态），随着时间的推移，系统能恢复到原平衡状态的性能，称为系统稳定性。
稳定性是系统的固有属性，是系统的一种动态特性，与外作用（指令输入）无关。
对初学者，不宜介绍李雅普诺夫意义下的稳定性概念。
注意：以前有不少教材把稳定性定义为从一个平衡工作点能过渡到另一个平衡工作点的性能，是不确切的，不是经典的定义。
应该说，只有稳定的系统才能具有此能力，或者说，这是系统稳定性的一种表现！用此定义无法说明稳定性的物理含义。
3 系统稳定的必要充分条件系统特征根（极点）全部具有负实部。
数学证明如下：一般地，系统传递函数为11101110)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s X s n n n n m m m m i ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==Φ---- 如果能求出系统的零、极点，可写成零、极点表达形式，即稳定 不稳定 c 点稳定，a 、e 点不稳定∏∏==--=-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--==Φni im j j n m i p s z s K p s p s p s z s z s z s K s X s X s 1121210)()()())(()())(()()()( 式中，s ＝z j （j ＝1，2，…，m ）为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点；s ＝p i （i ＝1，2，…，n ）为传递函数分母多项式的根，称为传递函数的极点。
系统稳定性理论
系统稳定性理论稳定性可以这样定义：当一个实际的系统处于一个平衡的状态时，如果受到外来作用的影响时，系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的，否则称系统不稳定。
一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的。
在实际的应用系统中，由于系统中存在储能元件，并且每个元件都存在惯性。
这样当给定系统的输入时，输出量一般会在期望的输出量之间摆动。
此时系统会从外界吸收能量。
对于稳定的系统振荡是减幅的，而对于不稳定的系统，振荡是增幅的振荡。
前者会平衡于一个状态，后者却会不断增大直到系统被损坏。
既然稳定性很重要，那么怎么才能知道系统是否稳定呢？控制学家们给我们提出了很多系统稳定与否的判定定理。
这些定理都是基于系统的数学模型，根据数学模型的形式，经过一定的计算就能够得出稳定与否的结论，这些定理中比较有名的有：劳斯判据、赫尔维茨判据、李亚谱若夫三个定理。
这些稳定性的判别方法分别适合于不同的数学模型，前两者主要是通过判断系统的特征值是否小于零来判定系统是否稳定，后者主要是通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。
当然系统的稳定性只是对系统的一个基本要求，一个另人满意的控制系统必须还要满足许多别的指标，例如过渡时间、超调量、稳态误差、调节时间等。
一个好的系统往往是这些方面的综合考虑的结果。
劳斯判据劳斯判据，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。
假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。
劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。
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解：讨论因果性： ∵ n < 0时 h(n) = 0
y(n)=x(n)*h(n)=
k =∞
∑ x ( k )u ( n k )
∞
因为当n-k<0时，u(n-k)=0；n-k≥0时，u(n-k)=1，因此， 求和限为k≤n，所以 n (1.3.15) y (n ) = ∑ x (k )
k =∞
分析该系统的稳定性： n∑ h(n) = ∑ u(n) n =0 =∞
y (2) = ay (1) + x(2) = a 2 y (3) = ay (2) + x(3) = a 3 y ( n ) = a ，n ≥ 0
n
1 y ( 3) = [ y ( 2) x ( 2)] = 0 a y ( n ) = 0，n ≤ 1
n
∴ h(n ) = y (n ) = a u( n )
注意： 1.一个常系数线性差分方程并不一定代表 因果系统，也不一定表示线性移不变系 统。这些都由边界条件（初始）所决定。 2.我们以后讨论的系统都假定：常系数线 性差分方程就代表线性移不变系统，且 多数代表因果系统。
作业
1-4 ； 1-5 （1）（3）（5）（7） 1-6 （1）（3）（5）； 1-7 1-8
稳定系统(stability system) 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 数学描述：若 x(n) ≤ M < ∞ 则
∞
y ( n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充要条件：
n =∞
∑ h( n) = P < ∞
LSI系统是稳定系统的充要条件
先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则 证明 输入有界输出必有界。
∞
∞
=∞
单位取样响应h(n)=u(n)代表的系统为因果非稳定系统 代表的系统为因果非稳定系统 单位取样响应
1.4时域离散系统的输入输出描述 1.4时域离散系统的输入输出描述 ----线性常系数差分方程 ----线性常系数差分方程
x(n)
离散时间系统
y(n)
T[ ]
描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统 看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的 关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我 们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时 域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关 系。
y1 ( n ) = a n ( a + 1)，n ≥ 0
y1 ( n ) = a n +1，n ≤ 1
∴ y1 ( n ) = (1 + a )a n u( n ) + a n +1u ( n 1)
判断是否为线性时不变系统
∵当输入x1 ( n ) = δ ( n )时，输出
y1 ( n ) = (1 + a )a n u( n ) + a n +1u( n 1)
例1：已知常系数线性差分方程
y ( n ) ay ( n 1) = x ( n )
（1）若边界条件
y (1) = 0
求其单位抽样响应。 （2）若边界条件
y (1) = 1
求其单位抽样响应，并判断是否为线 性时不变系统。
解：1)令输入x(n) = δ ( n)，则输出y (n) = h( n)， 又已知y (1) = 0
讨论稳定性：
n =∞
∑
∞
h(n) = ∑ a = lim ∑ a = lim
n n n =0 N →∞ n =0
∞
N 1
1 a 1 a
N
N →∞
只有当|a|<1时
n =∞
∑
∞
1 h(n ) = 1 a
例：某LSI系统，其单位抽样响应为 h ( n) = a nu ( n ) 试讨论其是否是因果的、稳定的。 解：讨论因果性： ∵ n < 0时 h(n) ≠ 0
∴该系统是非因果系统
讨论稳定性：
∵ ∑ h ( n) =
n =∞ ∞ n =∞
∑a
0
n
=∑a
n =0
∞
n
有条件 稳定
1 1 = 1 a ∞
a >1 a ≤1
∴当 a > 1时系统稳定，当 a ≤ 1时系统不稳定
例1.3.7 设系统的)单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意
输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。
对应一个因果系统
解：2）令输入x1 (n) = δ (n)，由y1 (1) = 1，求输出y1 (n)
由y1 ( n ) = ay1 (n 1) + x1 ( n )，得
1 y1 (0) = ay1 ( 1) + x1 (0) = a + 1 由y1 ( n 1) = a [ y1 (n ) x1 (n )]，得 1 y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = a (a + 1) y1 ( 2) = [ y1 ( 1) x1 ( 1)] = a 1 a y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = a 2 (a + 1) 1 3 y1 ( 3) = [ y1 ( 2) x1 ( 2)] = a 2 y1 (3) = ay1 (2) + x1 (3) = a ( a + 1) a
n =∞
∑ h(n ) =∞
∞
那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输 出，例如：
x(n)=
∞
h ( n ) , h(n ) ≠ 0 h( n ) 0, h(n ) = 0
说明输入 有界
y (n) =
k =∞ ∞
∑ h(k ) x(n k )
∞
令n=0
∞ h (k ) y (0) = ∑ h (k ) x (n k ) = ∑ h( k ) = ∑ h(k ) = ∞ h (k ) k =∞ k =∞ k =∞
一、系统的时域描述
（1）单位冲击响应h(n) （2）差分方程
y(n) = ∑ bi x(n i) ∑ ai y(n i)
i =0 i =1
M
N
求解条件：N个初始值和M各输入序列
二、常系数线性差分方程
一个N阶常系数线性差分方程表示为：
i =0
∑ ai y ( n i ) = ∑ bi x(n i )
实际系统一般是因果系统 对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因 果系统 在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数 区分开来， 如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系统 在判断时必须考虑全部时间变量 如 y(n)=x(n-k) 是有条件因果系统
1.3.4系统的因果性和稳定性 1.3.4系统的因果性和稳定性
i =0
N
M
其中：
*
a0 = 1， ai， bi 是常数
差分方程的阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序 号之差 ，如 N=N-0. 线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的 乘积项。
求解常系数线性差分方程的方法： 1）经典解法 2）递推解法 3）变换域方法
差分方程与系统的关系
第三讲
1.3.4系统的因果性和稳定性 1.3.4系统的因果性和稳定性 1.4时域离散系统的输入输出描述 1.4时域离散系统的输入输出描述 ----线性常系数差分方程 ----线性常系数差分方程
要点
LSI系统因果稳定性定义及判断方法 时域离散系统的输入输出描述及求解方法 线性常系数差分方程、初始条件与系统特 性之间的关系
1.3.4系统的因果性和稳定性 1.3.4系统的因果性和稳定性
因果系统(causality system)
若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的 输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因 果系统。 LSI系统是因果系统的充要条件：
h( n) = 0 n < 0
满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样 响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易 理解，因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在 n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零， 注：关于此条件的严格证明可参考程佩青《数字信号处理 教程〉
n
m =∞
∑
1
4m
∑4
m =1
∞
m
4 1 1 n n =2 = 2 1 1 4 3 4 n 1 n ∴ y ( n ) = 2 u ( n 1) + 2 u ( n ) 3 3
2 已知一个线性时不变系统的单位抽样响 h 应 ( n ) 除区间 N 0 ≤ n ≤ N1 之外皆为零； 又已知输入 x ( n ) 除区间 N 2 ≤ n ≤ N 3 之外 皆为零；设输出 y ( n ) 除区间 N 4 ≤ n ≤ N5 之外皆为零，试以 N 0 , N1 , N 2 和 N 3 表示 N 4 和 N5 。 本题的目的旨在解释当参与卷积的两序 列为有限长时，如何确定卷积和的非零 区间。
1.3.4系统的因果性和稳定性 1.3.4系统的因果性和稳定性
如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入 序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现， 则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性 是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可 实现的系统。非因果数字系统是可以近似
实现的系统。
1.3.4系统的因果性和稳定性 1.3.4系统的因果性和稳定性
1 由y( n) = ay ( n 1) + δ (n)，得 由y ( n 1) = [ y ( n ) x ( n )]，得 a y (0) = ay (1) + x(0) = 1 1 y ( 2) = [ y ( 1) x ( 1)] = 0 y (1) = ay (0) + x(1) = a a