初三数学旋转坐标与图形变换

合集下载

初中数学九年级旋转知识点总结

旋转是数学中的一个重要概念，主要是围绕一些中心点将图形绕着一些轴旋转一定的角度。

在初中数学九年级的课程中，学生会接触到旋转的一些基本知识点，下面是对这些知识点进行总结。

1.旋转概念旋转是指将一个平面图形绕一些固定点旋转一定角度，得到一个新的图形的操作。

固定点称为旋转中心，角度称为旋转角度。

2.旋转中心旋转中心是旋转的基准点，围绕该点进行旋转。

可以是图形上的任意一点，也可以是图形外的一点。

3.旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心旋转的角度，用度来表示，常用的旋转角度有90度、180度、270度和360度。

4.旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。

顺时针旋转是指沿着顺时针方向绕旋转中心旋转，逆时针旋转是指沿着逆时针方向绕旋转中心旋转。

5.旋转对称性旋转对称性是指一个图形经过旋转后与原来的位置、大小和形状完全相同。

旋转对称性有以下几种：-旋转对称：图形与它的一些旋转位置完全相同。

-旋转中心对称：图形围绕旋转中心旋转180度后与原来的位置完全相同。

-旋转中心旋转：图形围绕旋转中心旋转90度、180度或270度后与原来的位置完全相同。

6.旋转的性质旋转具有以下几个基本性质：-旋转不改变图形的面积。

-旋转不改变图形的内外角度。

-旋转不改变图形的对称性。

-旋转后的图形与原图形相似。

7.旋转图形的坐标变换当一个图形绕一些旋转中心旋转一定角度后，图形上的每个点都会发生坐标的变化。

对于二维平面上的点P(x,y)，绕坐标原点逆时针旋转a度后，点的新坐标为P'：- P'(x',y') = (x\cdot\cos{a}-y\cdot\sin{a},x\cdot\sin{a}+y\cdot\cos{a})8.旋转图形的运用旋转图形可以用来验证一些几何性质，解决一些几何问题。

比如可以通过旋转来证明两线段相等，两角相等，以及判断两个图形是否相似等等。

九年级数学旋转知识点总结

九年级数学旋转知识点总结数学中的旋转，是指图形在平面内绕某一点或者某一直线旋转成相似的图形。

在九年级的数学学习中，旋转是一个重要的知识点，它有着广泛的应用。

下面是对九年级数学旋转知识点的总结。

一、旋转的基本概念在数学中，旋转就是将一个点或一个图形绕某一点或某一直线旋转一定角度，得到与原图形形状相似的新图形。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

二、旋转的基本性质1. 旋转不改变图形的大小和形状。

2. 旋转保持图形的对称性。

3. 旋转可以使得图形在平面上任意位置进行变换。

三、旋转的表示方法1. 点的旋转：对于给定一个点P(x,y)，绕原点旋转θ度，旋转后的点为P'(x', y')。

根据旋转的性质，我们可以得到点的旋转公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ2. 图形的旋转：对于给定一个图形，绕某一点O旋转θ度，旋转后的图形与原图形相似。

在平面直角坐标系中，可以通过点的旋转来实现对图形的旋转。

四、旋转的应用场景1. 图形的变换：通过旋转，可以实现图形的转动，可以用于制作动画、机械运动等领域。

例如，风电机组的叶片通过旋转来转动风车。

2. 几何问题的解决：旋转在解决几何问题时可以起到关键作用。

例如，在解决平行四边形相关问题时，可以通过旋转把问题转化成熟悉的几何形状进行求解。

3. 数学建模：旋转可以应用于数学建模中，来解决与旋转相关的实际问题。

例如，在建筑设计中，通过数学方法模拟旋转来计算建筑物的结构和力学性能。

五、旋转相关定理1. 旋转定理：旋转不改变图形的面积和周长。

2. 旋转对称性：旋转图形保持图形对称特点不变。

3. 点的旋转定理：若直角坐标系中有点P(x,y)绕原点顺时针旋转θ度得到点Q(x',y')，则有：x' = x*cosθ + y*sinθy' = -x*sinθ + y*cosθ六、旋转的练习题请你计算以下图形绕指定点或直线旋转后的新图形坐标：1. 将点A(3,4)绕原点逆时针旋转90度。

九年级数学旋转知识点梳理

九年级数学旋转知识点梳理在九年级数学课程中，旋转是一个非常重要的知识点。

旋转可以用来描述平面图形或空间图形在固定点周围旋转一定角度后的变化情况。

为了帮助同学们更好地理解和掌握旋转的相关知识，本文将对九年级数学旋转知识点进行详细的梳理和总结。

1. 旋转的基本概念旋转是指平面或空间中的图形围绕某个点旋转一定角度后的变化。

在旋转中，围绕其旋转的点称为旋转中心，围绕旋转中心旋转的角度称为旋转角度。

2. 旋转的相关公式在进行旋转时，我们需要了解一些基本的旋转公式。

对于平面中的旋转，我们可以使用下面的公式：对于点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后得到新点P'(x', y')的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ3. 平面图形的旋转平面图形在旋转时，我们需要关注以下几个方面：(1) 旋转角度：指图形旋转的角度，可以是正数、负数或零。

(2) 旋转中心：图形绕其旋转的点，可以是原点或其他给定的点。

(3) 旋转方向：逆时针旋转为正方向，顺时针旋转为负方向。

(4) 旋转位置：图形旋转后的位置，可以是原位置、新位置或相对位置。

4. 平面图形的旋转性质平面图形在旋转中会保持一些性质不变，主要包括：(1) 面积：图形的面积在旋转中保持不变。

(2) 边长：图形的边长在旋转中保持不变。

(3) 平行线：平行线在旋转中仍然是平行的。

(4) 角度：图形中的角度在旋转中保持不变。

5. 旋转的应用旋转在现实生活中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：(1) 几何建模：旋转可以用于绘制几何图形或进行几何建模，如绘制圆、绘制旋转体等。

(2) 计算机图形学：旋转可以用于计算机图形学中的三维图形变换，实现旋转、平移、缩放等效果。

(3) 机械设计：旋转可以应用于机械设计中的零件旋转、装配、运动仿真等。

6. 旋转的计算方法在进行旋转计算时，我们可以通过几何方法或代数方法来求解：(1) 几何方法：通过绘制旋转图形，根据旋转的性质进行计算。

九年级上册数学旋转知识点总结

九年级上册数学旋转知识点总结
九年级上册数学中的旋转知识点主要包括以下内容：
1. 平面图形的旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形旋转一定角度的变换。

主要涉及正方形、矩形、正三角形、等边三角形等图形的旋转。

2. 旋转中心和旋转角度：在平面图形旋转中，旋转中心是一个确定的点，旋转角度是指图形相对于旋转中心旋转的角度。

3. 旋转的性质和特点：旋转是一种保持形状不变的变换，旋转前后的图形是全等的。

旋转也满足交换律和结合律。

4. 旋转图形的坐标变化：根据图形的旋转中心和旋转角度，可以得到旋转后图形的新坐标。

5. 旋转的几何应用：旋转广泛应用于解决几何问题，例如确定图形的对称轴、找出图形的对称点等。

6. 旋转变换的表示方法：旋转变换可以用矩阵表示，通过矩阵运算可以得到旋转后的新坐标。

以上是九年级上册数学中关于旋转的主要知识点总结。

在学习中，需要了解旋转的基本性质和特点，掌握旋转图形的坐标变化方法，并能应用旋转解决几何问题。

旋转平移翻折的几何变换与性质

旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。

本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。

对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

平移变换可以用一个向量来表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。

对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。

下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。

现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。

九年级旋转知识点归纳总结

九年级旋转知识点归纳总结旋转是数学中的一个重要概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。

本文将对九年级旋转知识点进行归纳总结，包括旋转的基本定义、旋转图形的性质以及旋转的应用。

一、旋转的基本定义旋转是指将一个点或一幅图形绕着某一点旋转一定角度后，得到的新点或新图形。

在数学中，通常将绕着坐标平面上的原点旋转作为基本定义。

二、旋转图形的性质1. 旋转图形的对应点在一个图形经过旋转后，每一个点都与原来图形上的某一点存在对应关系。

这个对应关系可以通过旋转角度和旋转方向来确定。

2. 旋转图形的对称性绕着一个点旋转的图形在旋转前后保持对称。

如果旋转角度是360度的整数倍，那么旋转后的图形与旋转前的图形完全重合。

3. 旋转图形的角度关系在一个旋转图形中，旋转前后每两个相对的角度之和为360度。

这就是旋转图形中角度的平分原理。

三、旋转的应用旋转在几何图形的变换中有着广泛应用，并且在实际生活中也有一些实际的应用场景。

1. 图形的旋转变换通过旋转变换可以将图形按一定角度旋转，从而使得原本无规律的图形变得有规律，更美观。

例如，一个正方形可以通过旋转变换成一个六边形。

2. 游戏和艺术中的旋转在游戏和艺术领域中，旋转被广泛运用。

例如，电子游戏中的3D 模型，通过旋转操作可以让玩家从不同角度观察模型；绘画和雕塑中的旋转是非常常见的手段，可以展示更多的细节和视角。

3. 旋转的几何证明旋转在几何证明中也有非常重要的地位。

通过旋转变换可以使得一些几何命题的证明更加简洁、明了。

例如，可以通过旋转证明两条平行线之间的角度关系、相似三角形之间的角度关系等。

综上所述，旋转是九年级数学课程中的一个重要知识点。

掌握旋转的基本定义和性质，了解旋转的应用场景，将有助于深入理解几何变换的概念，提高数学解题和几何证明的能力。

希望本文对九年级学生们的数学学习有所启发和帮助。

初中数学图形的坐标与变换知识点归纳

初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。

它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。

下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。

1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。

它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。

2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

这种用数对表示点的方法称为点的坐标。

3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。

平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。

4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。

对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。

5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。

包括水平翻转和垂直翻转两种情况。

水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。

翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。

6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。

对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。

7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。

图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。

如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。

通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。

初中数学重点梳理：旋转

旋转知识定位旋转在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，是解决平面几何中最重要的工具之一，它的有关知识是今后我们学习综合题目重要基础。

本节需要掌握旋转图形变换的特征；学会运用旋转的特征进行图形的求解换。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中旋转相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。

注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2、旋转的基本特点（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3、旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。

常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4、中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)

中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。

2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做它的对称轴。

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。

(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

九年级数学旋转的知识点

九年级数学旋转的知识点九年级数学中，旋转是一个重要的几何变换，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。

本文将介绍九年级数学中旋转的基本概念、性质以及相关例题，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

1. 旋转的基本概念旋转是指在平面内，绕着一个点旋转图形，使得图形在平面上转动。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

常用的表示方法是以旋转中心为原点，旋转角度为正，顺时针旋转为负。

2. 旋转的性质（1）旋转是一个保角变换，即旋转前后的两条线段之间的夹角相等。

（2）旋转是一个保距变换，即旋转前后的两条线段的长度相等。

（3）旋转不改变图形的对称性，即旋转前后的图形具有相同的对称性。

3. 点、线和图形的旋转（1）点的旋转：点的旋转只是将一个点绕旋转中心旋转一定角度，并保持距离不变。

（2）线的旋转：线的旋转是通过将线段的两个端点绕旋转中心旋转一定角度，并保持线段长度不变。

（3）图形的旋转：图形的旋转是将整个图形绕旋转中心旋转一定角度，并保持图形的形状和大小不变。

4. 旋转的变换规律（1）旋转180度：一个图形绕旋转中心旋转180度后，得到的图形与原图关于旋转中心对称。

（2）旋转90度或270度：一个图形绕旋转中心旋转90度或270度后，得到的图形与原图关于旋转中心垂直对称。

（3）旋转360度：一个图形绕旋转中心旋转360度后，得到的图形与原图完全相同。

5. 旋转的应用举例（1）构造一个正方形：通过旋转一个合适的线段，可以构造一个正方形。

（2）判断图形是否重合：通过判断图形旋转一周后是否与原图形重合，可以判断两个图形是否重合。

（3）辅助解题：在解决一些几何问题时，通过对图形进行旋转可以得到一些有用的信息。

通过以上的介绍，希望同学们对九年级数学中旋转的知识点有了更深入的了解。

在学习和应用中，同学们可以灵活运用旋转的性质和规律，解决各种几何问题。

同时，建议同学们多做练习，加深对旋转的理解和运用能力。

祝大家在数学学习中取得更好的成绩！。

初三数学旋转坐标与图形变换

初三数学旋转坐标与图形变换1.在平面直角坐标系中，点P(-3,2)绕原点逆时针旋转90度得到P1，P1的坐标为(-2,-3)或(3,-4)。

2.已知点P(1,1)，将其绕原点逆时针旋转45度得到P1，P1的坐标为(-1,1)。

3.在平面直角坐标系中，等边三角形OAB边长为2，点B 在第一象限内，AB//x轴。

将三角形绕点O逆时针旋转120度，再关于y轴对称后得到三角形A1B1O，A1的坐标为(-1,-3)或(2,-1)。

4.等边三角形ABC中，A(1,1)，B(3,1)，中心点为D。

将点D绕点A逆时针旋转90度得到点D1，D1的坐标为(1+√3,2)或(1-√3,2)。

5.三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,-1)，B(2,-2)，C(4,-1)，将三角形绕原点逆时针旋转75度得到三角形A1B1C1，B1的坐标为(6,2)或(-2,-6)。

6.已知点A(2,1)，将其绕原点逆时针旋转90度得到点A1，A1的坐标为(-1,2)。

7.平面直角坐标系中，已知点B(-3,2)，将三角形ABO绕点O沿顺时针方向旋转90度得到三角形A1B1O，点B的对应点B1的坐标为(2,3)。

2018宜昌）在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为（-5，2），（-2，-2），（5，-2），将其绕原点O旋转180度得到三角形CDA，求点D的坐标。

解析：根据旋转变换的性质，绕原点旋转180度相当于将坐标取反，即（x，y）变为（-x，-y）。

因此，点C的坐标为（-5，-2），点D的坐标为（-(-2)，-(-2)），即（2，2）。

9、（2018济宁）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点C的坐标为（-1，），且AC=2.将直角三角形ABC绕点C顺时针旋转90度，再向右平移3个单位长度，求变换后点A的对应点坐标。

解析：根据旋转变换的性质，绕点C顺时针旋转90度相当于将点A绕点C逆时针旋转90度。

因此，点A的对应点坐标为（2，2）。

九年级数学知识点旋转

九年级数学知识点旋转旋转是几何学中的一个重要概念，也是九年级数学中的一项重要知识点。

通过旋转，我们可以改变几何图形的位置和形状，进而解决一些与几何相关的问题。

本文将介绍九年级数学中的旋转知识点，包括旋转的定义、旋转的性质、旋转的公式以及旋转在几何问题中的应用。

一、旋转的定义旋转是指围绕一个中心点，将一个图形按照一定的角度转动的操作。

在旋转中，中心点是固定不动的，只有图形发生位置和形状的改变。

旋转可以使得图形在平面上发生移动，使得我们可以观察到图形在不同位置和不同角度下的特征。

二、旋转的性质1. 旋转可以改变图形的位置和形状，但不改变图形的面积和周长。

这是因为旋转只是对图形进行了转动操作，而没有改变图形内部的构造和尺寸。

2. 旋转不改变图形的对称性。

如果一个图形具有对称性，那么它的旋转图形也将具有相同的对称性。

3. 旋转操作可以通过多次重复进行。

如果我们将一个图形按照一定的角度旋转一次之后，再按照同样的角度再次进行旋转，那么我们将得到一个新的图形，这个新的图形是原图形旋转后的结果。

三、旋转的公式在几何中，我们可以使用一些公式来描述旋转的操作。

关于旋转的公式有以下几种：1. 计算旋转中心：给定一个图形和它在旋转后的位置，我们可以通过求解方程组来计算旋转中心。

假设原图形中某点坐标为(x, y)，它在旋转后的位置为(x', y')，则有如下方程组：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x', y')为旋转后点的坐标，θ为旋转的角度。

2. 计算旋转后的坐标：将一个点绕旋转中心旋转一定的角度，可以使用如下公式计算旋转后的坐标：x' = (x - h) * cosθ - (y - k) * sinθ + hy' = (x - h) * sinθ + (y - k) * cosθ + k其中，(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为旋转后点的坐标，(h, k)为旋转中心的坐标，θ为旋转的角度。

九年级数学上册教学课件《旋转作图与坐标系中的旋转变换》

旋转中心旋转方向旋转角
顺时针逆时针
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
01
找
找出旋转中心、旋转方向、旋转角以及表示图形的关键点(如顶点)
02 连连接图形的每一个关键点与旋转中心
03
转
把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(旋转角的度数)
举例：画出旋转后的三角形.
04
截
在旋转后所得的射线上截取与关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各关键点的对应点
05
作
按原图顺次连接各关键点的对应点，并标上相应字母，写出结论
知识点一用旋转的知识作图
例如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
逆时针旋转，画出旋转后的图形.【教材P62习题23.1 第3题】
A
A
P'
BP
C
BP
C
解：如图所示，△ACP'即为所求作的图形.
3. 分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和
180°后的图形. 【教材P62习题23.1 第4题】
B'' A''
解：旋转90° 后的图形如图所示.
C' C''
OC
B'
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的

数学人教版九年级上册图形旋转与点的坐标问题——专题复习

教学设计图形旋转与点的坐标问题——专题复习（一）学情分析对于九年级的学生，虽然有了一定的知识储备，但是学生基础高低参差不齐，两极分化已经比较明显了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对图形的变换有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

这样要因材施教，使他们在各自原有的基础上不断发展进步。

（二）教法学法我将结合学案，采用探究发现、合作交流等学习方法。

教学中加强对旋转性质的认识，通过变式训练进行深入研究，在学生的积极思考努力下，自主参与知识的发生、发展、发现的过程，使学生掌握知识，培养思维能力。

（三）教学目标图形的变换包括平移、轴对称、旋转、位似、投影等，本节课还是主要探究“图形旋转与坐标”。

1、掌握图形旋转的性质，能利用含30度角的直角三角形的三边关系、一次函数、相似三角形的判定与性质等解决问题。

2、在直角坐标系中，把握好图形变换后点的坐标的变化。

3、灵活运用不同的方式求值，体会数形结合思想.（四）教学重点、教学难点：重点是在直角坐标系中，把握好图形变换后点的坐标的变化。

难点是灵活运用不同的方式求值。

（五）教学过程一、温故辅新1.如图1：在平面直角坐标系中若点A′的坐标为（3，7），点A的坐标为（0，4），则A、A′两点间的距离为（）。

图3（小结：要求A 、A ′两点间的距离，需构造以AA ′为斜边的直角三角形，利用勾股定理即可求解）2.已知直线m ： 3335-=x y ，若m 与x 轴交于点P, 则点P 的坐标为( )。

（小结：令y=0，即可求出点P 的坐标)。

如图2：已知Rt △AB Ｏ中∠Ｏ=90°OA=4，OB=3，把△AB Ｏ绕点B 逆时针旋转，得△A ′B Ｏ′，点A ，Ｏ旋转后的对应点为A,Ｏ′，记旋转角为α．若α=90°，则AA ′的长＝（）。

九年级下册旋转知识点总结

九年级下册旋转知识点总结在九年级下册的学习中，旋转是一个重要的数学概念和技巧。

通过旋转，我们可以改变平面图形的位置和方向，进而解决一些几何问题。

下面是对九年级下册旋转知识点的总结。

一、旋转的基本概念和性质旋转是指围绕一定中心点旋转一个平面图形，使其保持形状不变。

旋转固定点称为旋转中心，旋转的角度叫做旋转角度。

对于旋转，我们需要了解以下基本性质：1. 旋转有顺时针和逆时针两个方向。

顺时针旋转表示为负旋转角度，逆时针旋转表示为正旋转角度。

2. 旋转90度、180度和270度等于逆时针旋转一个直角、两个直角和三个直角。

3. 旋转不改变图形的面积和内角和，但可能改变图形的位置和顺序。

二、图形的旋转变换旋转变换可以应用于不同的图形，包括点、线段、直线、角度和图形等。

以下是对不同图形旋转的方法和特点：1. 点的旋转：点的旋转不改变其位置，旋转前后点的坐标保持不变。

2. 线段和直线的旋转：线段和直线旋转后，仍然保持直线性质。

旋转后的线段或直线与原始线段或直线平行或重合。

3. 角度的旋转：角度的旋转主要通过旋转角度来改变。

旋转前后的角度大小保持不变，但角度的顶点可能会发生变化。

4. 图形的旋转：对于不规则图形的旋转，通常围绕一定的中心点旋转。

旋转可以使图形对称，也可以改变图形的位置和方向。

三、旋转的运用旋转在几何问题和实际生活中都有广泛的应用。

以下是旋转运用的几个常见示例：1. 定位和寻找图形：通过旋转，我们可以将一个图形与另一个图形进行比较，判断它们是否相似或相等。

2. 解决几何问题：旋转可以帮助我们解决与形状和位置有关的几何问题，如求面积、周长等。

3. 设计和绘图：在设计和绘图中，旋转可以帮助我们创建对称美观的图案，以及修饰和调整原始图形。

4. 机器人和航天器控制：旋转被广泛应用于机器人和航天器的控制中，以改变其位置、方向和运动轨迹。

四、习题练习为了加强对旋转知识的理解和应用，以下是几道习题供大家练习：1. 旋转正方形ABCD，使得AB与原始位置的BC重合，请问旋转的角度是多少？2. 旋转直线l，使得其与x轴平行，请问旋转的角度是多少？3. 图形PQRS绕点O顺时针旋转90度，变为图形P'Q'R'S'，请问旋转后的坐标是多少？4. 旋转角度为180度的图形与原始图形之间有什么关系？通过以上习题的练习，相信大家对九年级下册的旋转知识有了更深入的理解和掌握。

中考数学旋转知识点总结

中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。

在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。

2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。

最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。

3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。

这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。

二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。

对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。

2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。

旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。

三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。

通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。

2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。

向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。

3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。

通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。

四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。

通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。

2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。

通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。

3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案坐标与图形变化﹣旋转综合题专训1、(2016天津.中考真卷) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）2、(2015大连.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．3、(2017松北.中考模拟) 平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．4、(2017安徽.中考模拟) 如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．①作出△ABC关于原点O中心对称的图形；②将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．5、(2015泉州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点A（， 1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=图象经过点A．（1）求k的值（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？6、(2017江西.中考模拟) 已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，（1）写出两个不同类型的结论；（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，如图2，连接PC，QE，①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．7、(2017历下.中考模拟) 在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A，点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接A1B1、BB1（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA1=∠PBB2．（2）如图②，直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E，F．设∠ABP=β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当α=90°时，点E、F与点B重合．直线A1B与直线PB相交于点M，直线BB′与AC相交于点Q．若AB= ，设AP=x，求y关于x的函数关系式．8、(2017新泰.中考模拟) 已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2（1）在图2中证明BE=CF；（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；（3）当CF= 时，直接写出旋转角α的度数．9、(2016聊城.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．10、(2016张家界.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．11、(2016张家界.中考真卷) 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．12、(2016百色.中考真卷) △ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．（1）求过点B′的反比例函数解析式；（2）求线段CC′的长．13、(2017兰州.中考模拟) 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．①将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．14、(2016兰州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．15、如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(4，0)，C(0，﹣1)．（1）以点C为旋转中心，把ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②则此时B'点的坐标为．坐标与图形变化﹣旋转综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

沪科版九年级数学下册在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换

[解析] (1)根据轴对称的概念先找到图形上的关键点关于AB所在直线的对称点，然后顺次连接起来即可； (2)将图形的各个顶点绕旋转中心O逆时针旋转90°后的对应点描出来，然后顺次连接起来即可；(3)根据自己的想象恰当地涂色．
解：如图：
[归纳] 利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一般都是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次连接起来即可．
原图形上任意一点坐标以点o为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标旋转90旋转180旋转270旋转360xyyxxyyxxy这里把xy变换成xy的变换叫做恒等变换即在平面直角坐标系中一个图形绕点o作360旋转是一个恒等变换
第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
沪科版九年级下册
复习导入
旋转的定义：
2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为中
心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点E′的坐标为 (____4_，__－__2____)．
3．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
(1)作出关于AB所在直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
y
A′
C′
2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
-2
A
C
2x
（1）
y 2
1
C′ B′B
-2 -1 O
1
A′
-1
-2
A
C
2x
（2）
y 2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
A

初三数学旋转坐标与图形变换

最新人教版初中九年级上册数学【旋转作图与坐标系中的旋转变换】教学课件

初中数学九年级旋转知识点总结

九年级数学旋转知识点总结

九年级数学旋转知识点梳理

九年级上册数学旋转知识点总结

旋转平移翻折的几何变换与性质

九年级旋转知识点归纳总结

初中数学图形的坐标与变换知识点归纳

初中数学重点梳理：旋转

中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)

九年级数学旋转的知识点

初三数学旋转坐标与图形变换

九年级数学知识点旋转

九年级数学上册教学课件《旋转作图与坐标系中的旋转变换》

数学人教版九年级上册图形旋转与点的坐标问题——专题复习

九年级下册旋转知识点总结

中考数学旋转知识点总结

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案

沪科版九年级数学下册在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换