高中数学笔记函数(页完)
高中数学笔记-3-三角函数(7页完)
高中数学笔记（3）-----------------三角函数基本概念：1、 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
2π23 5tan2α=α21tg -。
8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9、半角公式是：sin2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+±tan2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
10、升幂公式是：2cos2cos 12αα=+ 2sin2cos 12αα=-。
11、降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=。
122αtg12αtg -2αtg 1314 1516=，==（=2；2=-（1819、由余弦定理第一形式，2b =B ac c a cos 222-+由余弦定理第二形式，cosB=acb c a 2222-+20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则：① =⋅=a h a S 21 ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④RabcS 4=；⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=， 22、在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<， 2324①②③④25①②③④26○1 a r c t g x y =的定义域是R ，值域是)22(ππ，-，奇函数，增函数；a r c c t g x y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。
○2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，； 221)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=-=，x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π， 2arccos arcsin π=+x x对任意的R x ∈，有：)()()()(π-=--=-==arcctgx x arcctg arctgx x arctg xarcctgx ctg x arctgx tg ，，当○327{}。
高中数学笔记整理
高中数学笔记整理1. 函数函数是将某一个输入变量与另一个固定的变量或固定的常数相关联的定量规律。
一般来说，函数是以输入变量为基础，并对此变量进行转换而得到输出变量。
函数可以用及f(x)来表示，其中f表示函数，x表示输入变量。
2. 导数导数是函数的微小变化的变化率，表示函数的变化速率。
它可以表示一个函数f(x)，在一个微小变化a的时刻，即f（x+a）要发生的变化程度。
一般来说，导数是一个函数f （x）在一个微小变化a时，f（x+a）-f（x）的变化率。
通常用f′(x)来表示函数f（x）的导数。
3. 极限极限是指在函数的某个特定的变量的值不断靠近某个特定的值时，函数的值不断靠近另一个特定值的一种数量关系。
一般来说，极限可以写成：“当变量x的值趋近到a的时候，函数f(x)的值趋近于L”，用符号表示，可以表示为：“当x趋近a，则f(x)趋近于L”，用符号表示为：limf(x)=L。
增函数是指当函数f（x）在某一点X给出的输入变量值不断变大时，函数的值也会随之变大，而在此变量值不断变小时，函数的值也会随之变小。
用符号表示的增函数则为f （x）＞0，当x变化时，f（x）随之变化时，则称f（x）为增函数。
凹函数是指在函数f（x）沿着输入变量x在某点处发生反转的变化，其函数值会先升后降，或先降后升，而原x点处的函数值将凹入曲线中变低。
用符号表示，则为f（x1）>f（x2），x2>x1时，凹函数称为一个凹函数，其函数值将凹入曲线中减少。
反函数是指其f（x）的输入和输出的变量实际上是相反的，即反函数把f（x）的输入变量反向输出成为输出变量。
定义域内的每一点x都对应另一点f（x），而反函数则把这些点f（x）反转过来，而f（x）即为原x点处的输出变量。
一般来说，反函数为f（x）和f-1（x），其中f-1为反函数，x为输出变量。
函数知识点高三复习笔记
函数知识点高三复习笔记函数是高中数学学习中的一个重要章节，也是数学建模和解决实际问题中的基础工具之一。
在函数的学习过程中，我们需要了解函数的定义、性质、图像以及一些常见的函数类型。
下面是一些函数的知识点，供高三学生进行复习。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一个输入和一个输出之间的一种映射关系。
用数学符号表示，如果对于任意的输入x，存在唯一的输出y与之对应，那么我们就说y是x的函数。
通常用f(x)来表示函数。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，而值域则是函数输出的所有可能取值的集合。
3. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的图像关于y轴的对称性来确定。
如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数；若满足f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
4. 单调性：函数的单调性描述了其是否随着自变量的增加或减少而单调变化。
如果对于定义域内的任意x1、x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数为增函数；若f(x1)>f(x2)，则称函数为减函数。
5. 周期性：函数的周期性描述了其是否以一定的间隔重复出现相同的值。
如果对于定义域内的任意x，存在一个正数T使得f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
二、常见函数类型及其性质1. 一次函数：一次函数的形式为f(x) = kx+b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了函数的增长或减小速率，常数b决定了函数与y轴的交点。
2. 二次函数：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2+bx+c。
其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 幂函数：幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数。
幂函数的图像形状与指数a的奇偶性密切相关，若a为正奇数，则图像上升；若a为正偶数，则图像下降；若a为负数，则图像关于x 轴对称。
2023年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总笔记
(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总笔记单选题1、将函数f(x)=2cosx的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若对g(x)满足|g(x1)−g(x2)|=4，有|x1−x2|min=π4恒成立，且g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（）A．[π12，π3]B．[π3，π2]C．(π3，2π3]D．[π3，2π3]答案：D分析：可得g(x)=2cos(ωx−φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g(x)的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g(x)=2cos(ωx−φ)，若满足|g(x1)−g(x2)|=4，则x1和x2必然一个极大值点，一个极小值点，又|x1−x2|min=π4，则T2=π4，即T=π2，所以ω=2πT=4，令2kπ≤4x−φ≤2kπ+π，可得kπ2+φ4≤x≤kπ2+π4+φ4，即g(x)的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，因为g(x)在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k∈Z，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k∈Z，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.2、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ， ∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725，故选：A ．3、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ）A ．−169B ．169C ．−43D ．43答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.4、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−x cosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A.又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D 故选：C5、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值.sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.6、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A.7、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ）A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79， 故选：D8、已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 5π6,cos5π6)，则角α的最小正值为（ ）A ．π6B ．2π3C ．7π6D ．5π3 答案：D分析：先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 因为sin5π6>0，cos5π6<0，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知 sinα=cos5π6=−√32， 故角α的最小正值为α=2π−π3=5π3．故选：D ．9、已知函数f(x)=sin (x +π3)．给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为f(x)=sin(x+π3)，所以周期T=2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.10、已知函数f(x)=sin(2x+π3)，为了得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象只需将y=f(x)的图象（）A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π2个单位D．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin(2x+π3+π2)=cos(2x+π3)所以sin(2x+π3)→sin(2x+π2+π3)，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位，故选：A.11、已知函数f (x )=|cos 2x |+cos x ，下列四个结论中正确的是（ ） A ．函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点 B ．函数f (x )在[0,π2]上单调递减 C ．f (π)=2D ．函数f (x )的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x 的范围进行分类讨论，由此判断A 的正确性.利用赋值法判断BC 选项的正确性.由f (π2+x)+f (π2−x)是否为0来判断D 选项的正确性.x ∈(0,π4),2x ∈(0,π2)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12,x =π3（舍去）. x ∈[π4,3π4],2x ∈[π2,3π2]，f (x )=−cos2x +cosx =−2cos 2x +cosx +1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3.x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0， cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确. f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误. 故选：A12、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A．2B．3C．5D．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15=15，所以k=0,t=5s.故选：C双空题13、2345°是第________象限角，−1015°是第________象限角. 答案：三一分析：由题意结合终边相同的角的概念可得2345°与185°、−1015°与65∘终边相同，再由象限角的概念即可得解. ∵2345°=360°×6+185°，185°为第三象限角，∴2345°是第三象限角；∵−1015°=360∘×(−3)+65∘，65∘为第一象限角，∴−1015°是第一象限角.所以答案是：三；一.小提示：本题考查了终边相同的角的概念的应用，考查了象限角概念的应用，关键是对知识点的熟练应用，属于基础题.14、函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1的振幅为______；将函数f(x)的图象右移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的最小正值为______.答案：2π6分析：先利用二倍角和辅助角公式整理f(x)得到振幅，再利用左加右减得到g(x)，又利用g(x)为偶函数得出φ=-kπ2−π3，对k取值即可得结论.f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，故振幅为2；函数f(x)的图象右移φ(φ>0)个单位长度，g(x)=2sin(2(x−φ)−π6)=2sin(2x−2φ−π6)，又函数g(x)为偶函数，所以-2φ-π6=kπ+π2(k∈Z)，φ=-kπ2−π3，当k=−1时，φ=π6即为φ的最小正值.所以答案是：2；π6.小提示：本题主要考查利用二倍角和辅助角公式化简三角函数，求振幅和φ的问题.属于较易题.15、已知α∈(π , 2π)，若tanα=34，则tan(α+π4)=__；cos 2α2=__.答案： 7 110分析：利用正切的和角公式即可求得tan(α+π4)，根据正切求得cos α，再利用余弦的降幂扩角公式即可求得结果.因为α∈(π , 2π)，若tanα=34， 故可得sin α=−35，cos α=−45. 则tan (α+π4)=tanα+11−tanα=7414=7；cos 2α2= 12(1+cosα)=12×15=110. 所以答案是：7；110.小提示：本题考查同角三角函数关系，以及正切的和角公式以及余弦的降幂扩角公式，属综合基础题. 16、两角和与差的正弦公式的推导sin(α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ， 即_____________(S α+β)， 以−β代β得___________(S α−β)．答案： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 分析：由两角和与差的正弦公式的推导直接可得sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，以−β代β计算得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ． 两角和与差的正弦公式的推导sin (α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ (S α+β)； 以−β代β得sin (α−β)=cos [π2−(α−β)]=cos [(π2−α)+β]=cos (π2−α)cos (−β)−sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ−cosαsinβ，得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ (S α−β)．所以答案是：①sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；②sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 17、已知角α的终边上一点坐标为(−3,a)，且α为第二象限角，cosα=−35，则sinα=_________，tanα=________． 答案： 45 −43分析：根据(−3,a)为α终边上的一点，且cosα=−35，由√(−3)2+a2=−35求得a 即可. 因为(−3,a)为α终边上的一点，cosα=−35， 所以√(−3)2+a2=−35， 解得a 2=16．又因为α为第二象限角，所以a >0即a =4． 所以sinα=45,tanα=−43． 所以答案是：45 −43 解答题18、已知函数f (x )=log 12(sinx −cosx )．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．答案：（1）定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，值域为[−12,+∞)；（2）单调增区间为[2kπ+3π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，单调减区间为(2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z)；（3）非奇非偶函数；（4）2π.分析：（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得f(x)=log12sin(x−π4)−12，由真数大于零，即sin(x−π4)>0，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数f(x)的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数f(x)的值域；（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数f(x)的单调增减区间；（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数f(x)为非奇非偶函数；（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数f(x)的周期.（1）f(x)=log12(sinx−cosx)=log12[√2sin(x−π4)]=log12sin(x−π4)−12，由sin(x−π4)>0,解得2kπ<x−π4<2kπ+π,∴2kπ+π4<x<2kπ+5π4,∴函数f(x)的定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)；由sin(x−π4)∈(0,1],∴log12sin(x−π4)≥0，∴函数f(x)的值域为[−12,+∞)；（2）在定义域内，当2kπ<x−π4≤2kπ+π2,即2kπ+π4<x≤2kπ+3π4时，sin(x−π4)是单调递增的，故函数f(x)时单调递减的；当2kπ+π2≤x−π4<2kπ+π,即2kπ+3π4≤x<2kπ+5π4时，sin(x−π4)是单调递减的，故函数f(x)时单调递增的；∴单调增区间为[2kπ+3π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，单调减区间为(2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z)；（3）由（1）得函数f(x)的定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z)，定义域不关于原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数；（4）∵sin (x −π4)的最小正周期为2π,∴函数f (x )=log 12sin (x −π4)−12的最小正周期为2π.小提示：本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.19、已知函数f (x )=2sin (x +π3)，且函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若存在x ∈[0,π2)，使等式[g (x )]2−mg (x )+2=0成立，求实数m 的取值范围；(3)若当x ∈[−π3,2π3]时，不等式12f (x )−ag (−x )>a −2恒成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)g (x )=2sin (x +π6)； (2)[2√2,3]； (3)(−2,23).分析：（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答. （2）利用正弦函数的性质求出g(x)的范围，再分离参数求解作答. （3）根据给定范围，按a =0，a >0，a <0分类并结合最值情况求解作答. （1）因函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称，则g(x)=f(π2−x)，所以g(x)=2sin(π2−x +π3)=2sin[π−(x +π6)]=2sin(x +π6)．（2）由（1）知，g (x )=2sin (x +π6)，当x ∈[0,π2)时，x +π6∈[π6,2π3)，则1≤g (x )≤2， 令g (x )=t ，则1≤t ≤2．存在x ∈[0,π2)，使[g (x )]2−mg (x )+2=0成立， 即存在t ∈[1,2]，使t 2−mt +2=0成立，则存在t ∈[1,2]，m =t +2t 成立，而函数m =t +2t在t ∈[1,√2]上递减，在t ∈[√2,2]上递增，当t =√2时，m min =2√2，当t =1或2时，m max =3 所以实数m 的取值范围为[2√2,3]． （3）由（1）知，不等式12f(x)−ag(−x)>a −2⇔sin(x +π3)+2asin(x −π6)>a −2，当x ∈[−π3,2π3]时，0≤x +π3≤π，−π2≤x −π6≤π2，若a =0，因0≤sin(x +π3)≤1，即sin(x +π3)>−2恒成立，则a =0，若a >0，因sin(x −π6)在[−π3,2π3]上单调递增，则当x =−π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(−π3+π3)+2asin(−π3−π6)>a −2恒成立，即−2a >a −2，因此0<a <23，若a <0，当x =2π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(2π3+π3)+2asin(2π3−π6)>a −2恒成立，即a >−2，因此−2<a <0， 所以a 的取值范围是(−2,23)．20、已知函数f (x )=2sinxsin (π3−x)+2cos 2x −12.（1）求函数f (x )的单调增区间；（2）当x ∈(−π6,π4)时，函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，求实数m 的取值范围. 答案：（1）[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z （2）2√3+14<m <4√3−14分析：（1）化简f(x)的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. （1）f (x )=2sinxsin (π3−x)+2cos 2x −12=2sinx (sin π3cosx −cos π3sinx)+1+cos2x −12=√3sinxcosx −sin 2x +1+cos2x −12=√32sin2x +cos 2x +cos2x −12=√32sin2x +1+cos2x 2+cos2x −12=√32sin2x +32cos2x =√3sin(2x +π3)，由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−512π≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z . （2）当x ∈(−π6,π4)时，2x +π3∈(0,5π6)，f(x)=√3sin(2x +π3) ∈(0,√3]， 因为函数g (x )=f 2(x )−2mf (x )+m 2−116有四个零点，令t =f(x)， 则t ∈(0,√3)且ℎ(t)=t 2−2mt +m 2−116在(√32,√3)内有两个零点，所以{Δ=4m 2−4(m 2−116)>0√32<m <√3ℎ(√32)>0ℎ(√3)>0 ，即{ √32<m <√334−√3m +m 2−16>03−2√3m +m 2−16>0 ， 解得{√32<m <√3m <2√3−14或m >2√3+14m <4√3−14或m >4√3+14，解得2√3+14<m <4√3−14，所以实数m 的取值范围是2√3+14<m <4√3−14. 小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
函数知识点高一笔记总结
函数知识点高一笔记总结函数是数学中的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
通过学习函数，我们可以更好地理解数学中的关系以及解决问题的方法。
下面是关于函数知识点的高一笔记总结。
一、函数的定义和表示法函数是一种特殊的关系，每个自变量对应唯一一个因变量。
函数可以用以下几种表示法表示：1. 符号表示：用f(x)表示函数，其中f为函数名，x为自变量。
2. 表格表示：用一个表格列出自变量和对应的因变量的值。
3. 图像表示：将函数的自变量和因变量的值画在坐标系上，形成函数的图像。
二、函数的性质函数具有以下几个重要的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数的输出值的集合。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是递增的或递减的。
递增函数满足当x₁ < x₂时，f(x₁) < f(x₂)；递减函数满足当x₁ < x₂时，f(x₁) > f(x₂)。
4. 极值点：函数的极值点是函数在定义域内的局部最大值点或最小值点。
三、常见函数类型高中数学中经常会遇到的函数类型包括：1. 线性函数：函数的图像是一条直线，可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 幂函数：函数的图像是一条平滑的曲线，可以表示为y =ax^b，其中a和b为常数。
3. 指数函数：函数的图像是以常数e为底的指数曲线，可以表示为y = ab^x，其中a和b为常数。
4. 对数函数：函数是指数函数的反函数，可以表示为y =logb(x)，其中b为底数。
四、函数的运算函数之间可以进行常见的运算，包括：1. 函数的和、差、积和商：两个函数的和（差）是将对应的自变量值相加（相减），对应的因变量值也相加（相减）；函数的积是将对应的自变量值相乘，对应的因变量值也相乘；函数的商是将对应的自变量值相除，对应的因变量值也相除。
人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记
(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记单选题1、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可． 当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ， 所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A2、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11， 故选：C.3、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增 答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增， 在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减． 故选：B ．4、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x =(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1， 令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、设alog 34=2，则4−a =（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16 答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9， 所以有4−a =19， 故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.7、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3]. 故选：C.8、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ） A ．−1或2B ．−1 C ．2D ．12 答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1 ，解得m =2. 故选：C.9、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1， 所以c <1<a <b . 故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.10、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 填空题11、函数f （x ）＝{x 2+2x, x ⩽0ln x, x >0，则f （f （1e ））＝_____.答案：−1解析：先计算出f (1e )=−1，再计算f (−1)得值，由此得出结果. 解：依题意得f (f (1e ))=f(−1)=−1. 所以答案是：−1.小提示：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.12、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可） 答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)． 分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．13、已知5a =2，5b =3，则log 2594=___________（用a ､b 表示）. 答案：b −a ##−a +b分析：根据对数的运算性质可得log 2594=log 53−log 52，再由指对数关系有a =log 52，b =log 53，即可得答案. 由log 2594=log 532=log 53−log 52，又5a =2，5b =3， ∴a =log 52，b =log 53，故log 2594=b −a . 所以答案是：b −a .解答题14、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N（2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．15、已知函数f(x)=2x−12x+1．(1)判断并证明f(x)在其定义域上的单调性；(2)若f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．答案：(1)f(x)在R上单调递增；证明见解析(2)(−∞,43)分析：（1）设x2>x1，可整理得到f(x2)−f(x1)=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f(x)为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k<g(x)=3x−23x−1，由g(x)单调性可求得g(x)≥43，由此可得k的取值范围.（1）f(x)在R上单调递增，证明如下：设x2>x1，∴f(x2)−f(x1)=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=(2x2−1)(2x1+1)−(2x2+1)(2x1−1)(2x2+1)(2x1+1)=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1)；∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴f(x2)−f(x1)>0，∴f(x)在R上单调递增.（2）∵f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
高一数学第3章知识点笔记
高一数学第3章知识点笔记数学是一门需要理解和掌握的学科，而高中数学更是对基础知识的进一步拓展和应用。
高一数学的第3章是关于函数的学习，本文将对该章节中的知识点进行笔记整理。
1. 函数的定义和表示方法函数是两个集合间的一种特殊关系，通常用f(x)表示。
其中，x被称为自变量，f(x)是与之对应的因变量。
函数可以用各种图形、表格或公式来表示和描述。
2. 函数的性质（1）定义域与值域：定义域是指自变量的取值范围，值域是指所有可能因变量的取值范围。
（2）奇偶性：函数可以根据函数图像的对称性来判断奇偶性。
若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若既不满足偶函数也不满足奇函数的条件，则函数为非奇非偶函数。
（3）单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
可分为递增和递减。
若对于任意x1，x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤f(x2)，则函数为递增；若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减。
（4）周期性：如果存在正数T，使得对于所有x，有f(x) = f(x + T)，则函数是周期函数。
3. 基本初等函数高一数学学习的初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
（1）常函数：f(x) = c，其中c为常数。
它的图像是一条平行于x轴的直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为常数。
它的图像形状由n的奇偶性决定。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
（4）对数函数：f(x) = logₐx，其中a>0且a≠1。
对数函数是指数函数的逆运算。
（5）三角函数：包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
（6）反三角函数：以函数的值作为自变量，求出相应的角度。
高中数学知识汇总(笔记版)-数与代数部分
●均值不等式a,b 为两个正数，则算数平均数：2b a +，几何平均数：ab 均值不等式定理：2b a +≥ab （等且仅当a=b,a＞0,b＞0）推导过程：●不等式证明-求证A 式＞B 式比较法，A-B＞0或A/B=1综合法：条件→结果分析法：结论→条件反证法：假设结论不成立●不等式的解法一元二次不等式：结合函数图像，例如：0432≥--x x →()()041≥-+x x 分式不等式：例如01>x ，同用穿针引线法绝对值不等式132>-x 几何法是数轴上，x 到2的距离>32521≥++-x x代数法：令x=1和x=-2分类讨论，当x≥1，-2≤x＜1，x＜-2 几何法：如上图，x 到1和到-2的距离之和≥5，故x 必须在上图位置。
当x 在-2左边时，x 取-3的时候，到-2和1的距离=5，故x≤-3，同理，x≥2O A BDC 2ba +AC=a CB=b ab 4-1开始穿1-2XX 不等式重点：1.均值不等式定理（求极值）2.不等式证明-差值法、商值法、反证法、直接证明（综合法、分析法）3.解不等式：一元二次不等式解法（因式分解、穿针引线）、分式不等式解法（因式分解、穿针引线）、绝对值不等式解法（代数法、几何法）不等式重点：4、解不等式：线性规划的解题步骤（画可行域，观察目标函数）●复数的概念a+bi 为复数（其中a,b∈R），i 为虚数单位，规定i 2=-1，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部（b≠0）复数相等，则实部对应相等、虚部对应相等复数分类：纯虚数（a=0），非纯虚数（a≠0）共轭复数：虚部为相反数。
例：bi a +=z 的共轭复数是bi-a z =●复数的表示复数bi a +=z ，在复平面内有一一对应的点（a，b）复数的模：22z b a +=复数的三角形式：a=rcosθ，b=rsinθZ=r（cosθ+sinθi）●复数的计算四则运算：1加法：实部相加，虚部相加2乘法：直接乘3除法：分子分母同乘分母的共轭复数复数幂运算110=i ，i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ，i i =5...周期为4bi+a 实部虚部虚数单位，i 2=-1O xyZ （a,b ）θa b r简易逻辑同真假集合与简易逻辑重点：1.集合个数的运算，集合的运算（交、并、补）2.互为逆否命题同真假，否命题（若¬P则¬Q），命题的否定（¬Q）3.充分必要条件判断（小范围→大范围）几种重要函数1.函数问题，注意定义域、值域，取值范围2.常用指数函数图像要记住对数函数（y=㏒a x ,a＞0且a≠1）1意义：y=a x →x=㏒a y2重要对数：lgN（㏒10N），lnN（㏒e N）3对数函数比较大小对数函数图像，a＞1时，图像越陡，a 越大；当0＜a＜1时，图像越陡，a 越小 或者令y=1，带入对数函数中比较大小4对数函数的计算和式：()N M N M a a a log log log +=∙ 差值：NM NM a a a log log log -= 换底：a b bc c a log log log = 指系：b m n b a n a m log log =幂函数（y=x a ）1y=x （一次函数）2y=x 2（二次函数）3y=x 34y=x 1/25y=x -1（反比例函数）6y=x+1/x （对勾函数）1.掌握对数函数图像以及运算法则2.掌握幂函数的图像y x O 1a＞1y x O 10＜a＜1✓y=㏒a x 与y=a x 互为反函数步骤✓考虑定义域✓区间之间用逗号（，）隔开✓多用求导数方法求奇偶性：✓确定定义域是否关于原点对称✓求f(x)和f(-x)反函数1图像关于y=x 对称，相应区间单调性一致2y=f-1(x)●函数三大性质单调性1求单调性方法： 定义法：x 1,x 2∈D，且x 1＜x 2，做差f(x 1)-f(x 2)，判断正负图像法导数法 同增异减法（复合函数）奇偶性1奇函数 f(-x)=f(x)定义域关于原点对称图像关于原点对称 f(0)=0（0属于定义域）2偶函数 f(-x)=f(x)定义域关于原点对称图像关于y 轴对称周期性1f(x+T)=f(x)●三角函数三角函数概念1象限角函数重点：笔记函数判断符号借助象限角记忆：✓sin α在单位圆中，等于三角形的纵坐标，所以纵坐标为正，sinα为正✓cosα和tanα同理✓)sin(ϕω+=x A y 由x y sin =平移得到✓注意公式中的符号✓都是由和差公式推导出的2三角函数值在各象限的符号3同角三角函数基本关系平方关系：1cos sin 22=+αα 商数关系：αααcos sin tan =（22ππ+≠k α，k∈Z）4诱导公式奇变偶不变，符号看象限：⎩⎨⎧±±=+为奇数）为偶数πn n n (cos )(sin )2sin(ααα 判断原函数±，再n 为奇数，就改变函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念1振幅A；周期ωπ2；相位ϕω+x ；初相ϕ三角函数的基础公式1和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±2倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα ααα2tan 1tan 22tan -=函数重点：笔记函数✓tan α=sin α/cos α解决平移问题：✓左加右减，上加下减✓)42sin(π+=x y 的图像沿x 轴向左平移4π个单位，再向上平移2各单位平移后的函数：24)4(2sin(+++=）ππx y 解题步骤：✓识别题型：有三角形，三条边，用正余弦定理✓转化为角的关系，运用三角函数运算✓配凑法：2A=(A+B)+(A-B)2B=(A+B)-(A-B)3辅助角公式a b a b x b a x b x a ==++=+ϕϕϕtan ,arctan ),sin(cos sin 22即 b a b a x b a x b x a ==-+=+'''22tan ,arctan ),cos(cos sin ϕϕϕ即4万能公式 2tan 12tan 2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=5平方差公式)sin()sin(sin sin 22B A B A B A -+=-正、余弦定理1正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin === 三角形面积公式：C ab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===△2余弦定理 Cab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=函数重点：例如：✓3241a a a a +=+✓852,,a a a 仍为等差数列，公差为3d ✓46242,,S S S S S --仍为等差数列，公差为22d 等比数列Sn 推导：✓S n =a 1+a 2+a 3+...+a n✓qS n =a 2+a 3+...+a n +qa n ✓S n -qS n =a 1-qa n例如：✓a 1a 5=a 32=a 2a 4✓a 1,a 3,a 5仍为等比数列，公差为q 2●等差数列等差数列通项公式和前n 项和公式1通项公式：dn a a n )1(1-+=dm n a a m n )(-+=2前n 项和：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=等差数列基本性质1等差中项，若a,b,c 成等差数列，则2b=a+c，b 为等差中项2q p n m a a a a q p n m +=++=+则若,3若{}n a 为等差数列，公差为d，则k m k m m a a a 2,,++仍为等差数列，公差为kd 4若{}n a 为等差数列，公差为d，则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等差数列，公差为dn 2●等比数列等比数列通项公式和前n 项和1通项公式：11-=n n q a a mn m n q a a -=2前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(,11)1()1(,111q q q a a q q a q na Sn n n 等比数列基本性质1等比中项，若a，b，c 成等比数列，则b 2=ac2qp n m a a a a q p n m =+=+则若,3若{}n a 为等比数列，公比为q，则k m k m m a a a 2,,++仍为等比数列，公比为q k数列重点：求解步骤：✓公式法：先求a 1，再求a n ，再合并。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记单选题1、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.2、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ） A ．12a −b B ．12b +a C ．12a +b D ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916).故选：D ．4、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2) 答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．5、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e)D ．(0,√e )答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解. f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B.6、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ， 所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.7、已知对数式log (a+1)24−a（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可. 由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.8、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1 C ．±1D ．0 答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C. 多选题9、如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y =ka t (k ∈R 且k ≠0，a ≠1)．则下列说法正确的是（ ）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3=2t2答案：BCD分析：由题意结合函数图象可得{ka=1ka3=4，进而可得y=2t−1；由函数图象的类型可判断A；代入x=6可判断B；代入y=2、y=64可判断C；代入y=4、y=6、y=9，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则{ka=1ka3=4，解得{k=12a=2（负值舍去），∴函数关系式为y=12×2t=2t−1，对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；对于B，当x=6时，y=25=32>30，故选项B正确；对于C，令y=2得t=2；令y=64得t=7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确；对于D，令y=4得t1=3；令y=6得t2=log212；令y=9得t3=log218；所以t1+t3=3+log212=log2144=2log212=2t2，故选项D正确.故选：BCD.小提示：本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项. 依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD11、已知函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)，g(x)=2x+62x+2则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数B．g(x)的图象关于点(1，2)对称C．若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=4D．令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a+1)>4，则实数a的取值范围是(−1,+∞)答案：BCD分析：利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.由题意函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)=lg(√(x−1)2+1−(x−1))，因为√(x−1)2+1−(x−1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f(0)=lg(√2+1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误；将g (x )=2x +62x +2的图象向下平移两个单位得到y =2x +62x +2−2=2−2x 2+2x，再向左平移一个单位得到ℎ(x )=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，此时ℎ(−x )=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x )，所以ℎ(x )图象关于点(0,0)对称， 所以g (x )的图象关于(1,2)对称，所以B 正确；将函数f (x )的图象向左平移一个单位得m (x )=lg(√x 2+1−x)， 因为m (−x )+m (x )=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0， 即m(−x)=−m(x)，所以函数m (x )为奇函数， 所以函数f (x )关于(1,0)点对称，所以F (x )若在1+a 处 取得最大值，则F (x )在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，所以C 正确； 由F(a)+F(−2a +1)>4，可得f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， 由f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))， 设m (x )=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， 可得t ′=√x 2+1−1<0，所以t =√x 2+1−x 为减函数，可得函数m (x )=lg(√x 2+1−x)为减函数，所以函数f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))为单调递减函数， 又由g (x )=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，所以F (x )为减函数，因为F (x )关于点(1,2)对称，所以F (a )+F (−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)，即F(−2a +1)>F(2−a)， 即−2a +1<2−a ，解得a >−1，所以D 正确. 故选：BCD.小提示：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1 、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据函数f (x )的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式，从而得解. 2 、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 填空题12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____． 答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解. ∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．14、对于任意不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (2x +3)+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______. 答案：(−1,4)分析：根据log a 1=0求得正确结论.依题意，当2x +3=1，即x =−1时，f (−1)=log a 1+4=4， 所以定点为(−1,4). 所以答案是：(−1,4)解答题15、已知函数f(x)=2x−12x.（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。
高中数学笔记-2-函数(18页完)
高中数学笔记--------⑵函数1基础概念基本性质：注意：①函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;②函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像2,常见函数图像：○1y=f（x）=x+；○2。
y=（a，c0）；○3+=2；+=2○1○2○3○4○4指数函数与对数函数的图象与性质注意: ①指数函数与对数函数, 当a>1时,都是其定义域上的单调增函数, 当0<a<1,都是定义域上的单调减函数;指数函数的图象都过点(0,1),对数函数的图象都过点(1,0).②设函数2()log ()m f x ax bx c =++(a≠0), 记24b ac ∆=-,若f(x)的定义域为R, 则a>0,且0∆<, 若f(x)的值域为R,则a>0, 且0∆≥..幂函数:注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+∝)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减,所有幂函数的图象都过点(1,1). 3图形变换：高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n 次函数，幂函数（xa），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对值的函数）①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X 一方变换的，如果也针对y 则为“下加上减”即y=f （x ）按向量（a ，b ）平移为y-b=f （x-a ）。
） ②伸缩变换：y=f(x )→y=f （ax ）即沿x 轴方向向y 轴变为原来的。
○3绝对值的变换：y=f （x ），y=f （｜x ｜），y=｜f （x ）｜，｜y ｜=f （x ）的相互转换。
4，函数的常见性质○1若函数y=f （x ）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f （mx ）的图像关于x==对称○2对一函数y=f （x ），有y=f （a+bx ）与y=f （c-bx ）的图像关于a+bx=c-bx ，即x=，对称○3若y=f （x+a ）的图像关于y 轴对称，则有f （x+a ）=f （-x+a ），及f （x ）关于x=a 对称 ○4函数f （x ）= （a ，c 0）值域为，图像关于点（，）中心对称。
高中数学必修一函数及其性质笔记重点大全
(每日一练)高中数学必修一函数及其性质笔记重点大全单选题1、函数f(x)=e x+e−x|x|的图象大致为（）A．B．C．D．答案：D解析：先判断函数为偶函数，再根据导数判断出函数的单调性后可得正确的选项.f(x)=e x+e−x|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，而f(−x)=e −x+e x|x|=f(x)，故f(x)为偶函数，故排除AC，当x>0时，f(x)=e x+e−xx，则f′(x)=(x−1)e x−(x+1)e−xx2，设S(x)=(x −1)e x −(x +1)e −x ，x >0，则S ′(x)=x(e x +e −x )>0，故S(x)在(0,+∞)上为增函数，而S(1)=−2e −1<0,S(2)=e 2−3e >0，故S(x)在(0,+∞)上存在一个零点x 0，且1<x 0<2，当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0,x 0)上为减函数，在(x 0,+∞)上为增函数，故选：D.2、已知函数f(x)={x eln x ,x >1,5−2x −x 2,x ≤1, 若函数y =[f(x)]2+(2−4a)f(x)+1恰有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[98,4924)B ．(1,4924)C ．(1,98]D ．[98,+∞)答案：A解析： 先研究x >1时，f(x)=x e lnx 的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.当x >1时，f(x)=x e lnx ，则f ′(x )=lnx−1e ln 2x ，当1<x <e 时，f ′(x )<0，f(x)单调递减，当x >e 时，f ′(x )>0，f(x)单调递增，则x >1时，f(x)≥f(e )=1.当x ≤1时，f(x)=5−2x −x 2=−(x +1)2+6≤6.作出f(x)大致图象，函数y =[f(x)]2−(4a −2)f(x)+1恰有5个不同零点，即方程[f(x)]2+(2−4a)f(x)+1=0恰有5个根.令f(x)=t ，则需方程t 2+(2−4a)t +1=0(∗).（l ）在区间(−∞,1)和[2,6)上各有一个实数根，令函数u(t)=t 2+(2−4a)t +1，则{u(1)=1+2−4a +1<0,u(2)=4+2(2−4a)+1≤0,u(6)=36+6(2−4a)+1>0,解得98≤a <4924. （2）方程（*）在(1,2)和(6,+∞)各有一根时，则{u(1)=1+2−4a +1>0,u(2)=4+2(2−4a)+1<0,u(6)=36+6(2−4a)+1<0,即{a <1,a >98,a >4924,无解.（3）方程（*）的一个根为6时，可得a =2924，验证得另一根为16，不满足.（4）方程（*）的一个根为1时，可得a =1，可知不满足.综上，98≤a <4924.故选：A小提示：复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令f(x)=t ，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.3、已知函数f(x)=13x 3−x 2−3x +9，给出四个函数①|f （x ）|，②f （-x ），③f （|x |），④-f （-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（）A．甲-②，乙-③，丙-④，丁-①B．甲-②，乙-④，丙-①，丁-③C．甲-④，乙-②，丙-①，丁-③D．甲-①，乙-④，丙-③，丁-②答案：B解析：根据题意，求出函数f(x)的导数，分析函数f(x)的单调性，可以得到f(x)的草图，结合函数图象变化的规律分析四个函数对应的图象，即可得答案．根据题意，函数f(x)=13x3−x2−3x+9，其导数f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，在区间(−∞,−1)上，f′(x)>0，f(x)为增函数，且f(−1)=1023，在区间(−1,3)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，且f（3）=0，其简图如图：对于①|f(x)|，有|f(x)|={f(x),f(x)⩾0−f(x),f(x)<0，其图象全部在x轴上和x轴上方，对应图象丙，②f(−x)，其图象与f(x)的图象关于y轴对称，对应图象甲，③f(|x|)，有f(|x|)={f(x),x⩾0f(−x),x<0，为偶函数，对应图象丁，④−f(−x)，其图象与f(x)的图象关于原点对称，对应图象乙，故选：B．小提示：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x →0+,x →0−,x →+∞,x →−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4、函数f (x )在区间[−1,5]上的图象如图所示，g (x )=∫f (t )dt x0，则下列结论正确的是A ．在区间(−1,0)上，g (x )递增且g (x )>0B ．在区间(−1,0)上，g (x )递增且g (x )<0C ．在区间(−1,0)上，g (x )递减且g (x )>0D ．在区间(−1,0)上，g (x )递减且g (x )<0答案：B解析：由题得g (x )=−∫0x f (t )d t ，x ∈(−1,0)，再利用定积分的几何意义分析得解.如图，g(x)=−∫0xf(t)d t，x∈(−1,0)，因为x∈(−1,0)，∴t∈(−1,0)，故f(t)>0，故∫0xf(t)d t表示曲线f(t)与t轴以及直线t=0和t=x所围区域面积，当x增大时，面积减小，∫0xf(t)d t减小，g(x)增大，故g(x)递增且g(x)<0，故选B.小提示：本题主要考查定积分的几何意义和函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、已知f(−x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为（）A．(1，3)B．(−12,0)C．(-1，3)D．(12,1)答案：B解析：抽象函数单调性，注意同一对应法则f下，括号内的式子的取值范围相同因为x∈(−1,0)，所以−x∈(0,1)，故2x+1∈(0,1)，解得：x∈(−12,0)故选：B。
(完整版)高中数学知识点笔记
基本函数 --- 高中数学知识点笔记1. 函数解析式：)()(x f y b kx f y =⇔+=2. 函数的定义域：指x ，图像在x 轴上的影子有3种情况：分母≠0，平方根内≥0，对数真数>0解法：先列不等式组，解交集3. 函数的值域：指y ，图像在y 轴上的影子解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法4. 函数单调性单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化 单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化 会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔5. 比较大小的方法利用函数的单调性6. 函数求值；分段函数问题注意x 的取值范围；不同题型的解法7. 函数图像：会画图像利用函数图像，求定义域、值域、单调区间8. 二次函数：0,2≠++=a c bx ax y图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域9. 一次函数：b kx y +=会画图像：会求单调区间、定义域、值域10. 反比例函数:xk y = 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 11. 对勾函数:0,>+=k x k x y 会画图像，会求单调区间、定义域、值域12. 函数零点方程0)(==x f y 的根；图像与x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点13. 指数指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式14. 指数函数时，单调递减；时，单调递增；当；当1010,,1,0,)(<<>>∈≠>=a a y R x a a a x f x 会画图像，会判断单调性、定义域、值域15. 对数对数和指数的互化，对数的求值 运算公式：,log log log ,log log log yx y x xy y x aa a a a a =-=+x a x m x x a m a a ==log ,log log 16. 对数函数时，单调递减；时，单调递增；当；当101,0,1,0,log )(<<>∈>≠>=a a R y x a a x x f a 会画图像，会判断单调性、定义域、值域集合 --- 高中数学知识点笔记1. 集合和元素用描述法表示集合，集合表示的含义，元素的分类，元素的特征表示常用集合的符号，集合与元素的关系，符号表示2. 集合之间的关系包含和包含于，子集和真子集，子集的个数，符号表示3. 集合的3种运算集合的交集、并集、补集运算，符号表示命题、充要条件、逻辑 --- 高中数学知识点笔记1. 命题4种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；判断命题的真假命题的否定，全称量词，特称量词， 符号表示；4种命题形式之间的真假关系2. 充分、必要条件若Q P ⇒,则P 是Q 的充分条件；若Q P ⇐,则P 是Q 的必要条件；3. 逻辑连接词：且、或、非命题的且、或、非运算。
函数高一知识点笔记
函数高一知识点笔记函数是数学中的一个重要概念，它在高中数学教学中占据着重要地位。
下面是对高一阶段涉及的函数知识点进行的笔记，以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的定义函数是指一个集合到另一个集合的映射关系，即x的每个元素都对应着y的唯一元素。
函数通常用y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数可以通过表格、图像或公式来表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是x的取值范围，值域是y的取值范围。
注意，函数的值域可能不等于其定义域。
2. 奇偶性：若对任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减关系。
可以分为递增和递减两种情况。
4. 周期性：若存在一个正数T，对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
三、常见函数的图像和性质1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和角度，截距b决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，同时a不等于0。
二次函数的图像为一条开口朝上或朝下的抛物线，抛物线的开口方向和形状由a的正负决定，顶点的横坐标由-b/2a确定。
3. 幂函数：y = x^a，其中a为常数且不等于0。
幂函数的图像根据a的正负和大小有不同形状。
当a大于0且不等于1时，函数递增；当a小于0时，函数递减；当a等于1时，函数为一次函数。
4. 指数函数：y = a^x，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线经过点(0, 1)。
5. 对数函数：y = logₐx，其中a为正常数且不等于1。
对数函数的图像是一条增长很慢的曲线，曲线经过点(1, 0)。
四、复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量或因变量。
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记单选题1、设2a=5b=m，且1a +1b=2，则m=（）A．√10B．10C．20D．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m2，1b=log m5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a=5b=m，可得a=log2m，b=log5m，由换底公式得1a =log m2，1b=log m5，所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2，又因为m>0，可得m=√10．故选：A.2、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A3、函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．答案：A分析：由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.4、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B5、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为r1，第2月的口罩月消耗量增长率为r2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为r，则以下关系正确的是（）A．r2=r1r2B．r2≤r1r2C．2r=r1+r2D．2r≤r1+r2答案：D分析：求出r1,r2,r的关系，再根据基本不等式判断．由题意(1+r1)(1+r2)=(1+r)2，r2+2r=r1r2+r1+r2，r1=r2时，r2=r1r2，2r=r1+r2，r1≠r2时，r1+r2>2√r1r2，，2r<r1+r2，因此r2>r1r2，1+r=√(1+r1)(1+r2)<1+r1+1+r22综上2r≤r1+r2，r2≥r1r2．故选：D．6、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x2，则f(2)+f(−1)=（）A．11B．5C．−8D．−5答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5.故选：B7、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916)答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案. 函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点， 若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916.故m ∈(0,916).故选：D ． 8、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x 为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数.故选：B.多选题9、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2|答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值． 对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值．对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值．故选：AB ．10、若直线y =2a 与函数y =|a x −1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2答案：AB分析：对a 分类讨论，利用数形结合分析得解.（1）当a >1时，由题得0<2a <1,∴0<a <12，因为a >1，所以此种情况不存在；（2）当0<a <1时，由题得0<2a <1,∴0<a <12，因为0<a <1，所以0<a <12.故选：AB小提示：方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.11、已知函数f(x)=2x −12x +1，下面说法正确的有（ ）A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的值域为(−1,1)D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立答案：BC解析：判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得正确选项.f(x)=2x−12x+1的定义域为R关于原点对称,f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)2x(2−x+1)2x=1−2x1+2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C正确；设任意的x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故选项D不正确；故选：BC小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；（2）作差变形：即作差，即作差f(x1)−f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差f(x1)−f(x2)的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.填空题12、已知二次函数y=mx2−3x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围______．答案：(−∞,0)∪(0,94]分析：求出二次函数图像与y轴的交点,结合一元二次方程根的分布根据m取值不同分情况讨论求解即可. 由题意知，二次函数的图像与y轴的交点为(0,1)，因为y=mx2−3x+1为二次函数，所以m≠0，所以当m<0时，二次函数的图像与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意．当m>0时，设一元二次方程mx2−3x+1=0的两根分别为x1、x2，则需满足{Δ=9−4m≥0x1+x2=3m>0，解得0<m≤94．综上所述，实数m的取值范围是(−∞,0)∪(0,94]．所以答案是：(−∞,0)∪(0,94].。
高中数学笔记(全部版)
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高中数学笔记整理五篇分享
高中数学笔记整理五篇分享1. 高中数学笔记整理之函数函数是现代数学中最基本的概念之一，它在数学中有着重要的应用。
函数是一种将一组数值映射到另一组数值的关系。
其中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数可以用符号表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
例如以下函数：- f(x) = 2x + 1，其中x为实数，表示y轴上的点位于直线2x+1上；- f(x) = x^2，其中x为实数，表示y轴上的点位于抛物线x^2上；- f(x) = sin(x)，其中x为实数，表示y轴上的点位于正弦曲线上。
2. 高中数学笔记整理之概率概率是数学中的一个分支，它研究某个事件发生的可能性。
概率通常用一个介于0和1之间的数字表示，0表示不可能发生，1表示一定发生。
例如，投掷一枚硬币，正反面的概率各为0.5，抽取一张红色的扑克牌的概率为26/52=1/2，因为一副扑克牌中有26张红色的牌。
概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A)/n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中的有利结果数，n(S)表示总结果数。
例如，当抛一枚硬币时，正面朝上的概率为P(正面)=1/2，因为有1个正面朝上的结果，总共有2个结果。
3. 高中数学笔记整理之三角函数三角函数是数学中的一个分支，它研究与三角形有关的函数。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
其中，正弦函数表示一个角的正弦值，通常用sin(x)表示。
余弦函数表示一个角的余弦值，通常用cos(x)表示。
正切函数表示一个角的正切值，通常用tan(x)表示。
三角函数有很多应用，例如：- 在几何学中，三角函数用于计算三角形的各种属性，例如角度、边长、面积等；- 在物理学中，三角函数用于描述波动、振动等现象，例如正弦波、音波等；- 在工程学中，三角函数用于计算角度、距离、速度等，例如测量天体距离、确定船舶方向等。
4. 高中数学笔记整理之微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它是研究极限、导数、积分等概念与应用的学科。
高中数学函数知识点总结(学霸笔记)
高中数学 函数总结一、本章知识网络结构：F:A →B对数函数指数函数二次函数二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=（二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。
必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。
反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点大全笔记
四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点大全笔记单选题1、函数y =|lg(x +1)|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：由函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数y =lg(x +1)的图象可由函数y =lgx 的图象左移一个单位而得到，函数y =lgx 的图象与x 轴的交点是(1,0)，故函数y =lg(x +1)的图象与x 轴的交点是(0,0)，即函数y =|lg(x +1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A 选项满足.故选：A.2、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数， 所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解得32≤a <5， 故选：B3、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12)a −(12)b≠0， 所以(12)a +(12)b =1， 故选：B ．4、近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为r 1，第2月的口罩月消耗量增长率为r 2，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为r ，则以下关系正确的是（ ）A ．r 2=r 1r 2B ．r 2≤r 1r 2C ．2r =r 1+r 2D ．2r ≤r 1+r 2答案：D分析：求出r 1,r 2,r 的关系，再根据基本不等式判断．由题意(1+r 1)(1+r 2)=(1+r)2，r 2+2r =r 1r 2+r 1+r 2，r 1=r 2时，r 2=r 1r 2，2r =r 1+r 2，r 1≠r 2时，r 1+r 2>2√r 1r 2，1+r =√(1+r 1)(1+r 2)<1+r 1+1+r 22，2r <r 1+r 2，因此r 2>r 1r 2，综上2r ≤r 1+r 2，r 2≥r 1r 2．故选：D ．5、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ）A ．11B ．5C ．−8D ．−5答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5.故选：B6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ）A ．12a −bB ．12b +aC ．12a +bD ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .故选：C.7、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916)答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点， 若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0， 若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916.故m ∈(0,916). 故选：D ．8、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．9、我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）(x ∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500] ，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）A ．120B ．200C ．240D ．400答案：D分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x ∈[120,144)和x ∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S ={13x 2−80x +5040,x[120,144)12x −200+80000x ,x ∈[144,500] ， 当x ∈[120,144)时，S =13x 2−80x +5040=13(x −120)2+240，当x =120时，S 取得最小值240，当x ∈[144,500] 时，S =12x +80000x −200≥2√12x ⋅80000x −200=200， 当且仅当12x =80000x ，即x =400时取等号，此时S 取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.填空题11、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________. 答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数. 所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数， t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数. 所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞). 所以答案是：(3,+∞)12、设函数f (x )=(x+1)2+2021x −2021−x x 2+1在区间[−2022,2022]上的最大值和最小值分别为M ､m ，则M +m =___________.答案：2分析：f (x )=(x+1)2+2021x −2021−xx 2+1 =1+2x+2021x −2021−xx 2+1，令g (x )=2x+2021x −2021−xx 2+1,x ∈[−2022,2022]，易得函数g (x )为奇函数，则g (x )max =−g (x )min ，从而可得出答案.解：f (x )=(x+1)2+2021x −2021−xx 2+1=x 2+2x +1+2021x −2021−xx 2+1=1+2x+2021x −2021−xx 2+1，令g (x )=2x+2021x −2021−x x 2+1,x ∈[−2022,2022]，因为g (−x )=−2x+2021−x −2021x x 2+1=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，所以g (x )max =−g (x )min ，即g (x )max +g (x )min =0，所以f (x )max +f (x )min =1+g (x )max +1+g (x )min =2，即M +m =2.所以答案是：2.13、若alog 43=12，则3a +9a =___________； 答案：6分析：首先利用换底公式表示a =log 32，再代入3a +9a 求值.由条件得a =12log 34=log 32，所以3a +9a =3log 32+9log 32=3log 32+3log 34=2+4=6. 所以答案是：6解答题14、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点．答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可.要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾，从而知两函数图象仅有一个公共点．15、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ；当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ；综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0； （2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点，由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).。
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高中数学笔记--------⑵函数1基础概念基本性质：注意：①函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;②函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像2,常见函数图像：○1y=f（x）=x+；○2。
y=（a，c0）；○3+=2；+=2○1○2○3○4○4指数函数与对数函数的图象与性质注意: ①指数函数与对数函数, 当a>1时,都是其定义域上的单调增函数, 当0<a<1,都是定义域上的单调减函数;指数函数的图象都过点(0,1),对数函数的图象都过点(1,0).②设函数2()log ()m f x ax bx c =++(a≠0), 记24b ac ∆=-,若f(x)的定义域为R, 则a>0,且0∆<, 若f(x)的值域为R,则a>0, 且0∆≥..幂函数:注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+∝)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减,所有幂函数的图象都过点(1,1).3图形变换：高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n 次函数，幂函数（x a ），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对值的函数）①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X 一方变换的，如果也针对y 则为“下加上减”即y=f （x ）按向量（a ，b ）平移为y-b=f （x-a ）。
）②伸缩变换：y=f(x )→y=f （ax ）即沿x 轴方向向y 轴变为原来的。
○3绝对值的变换：y=f （x ），y=f （｜x ｜），y=｜f （x ）｜，｜y ｜=f （x ）的相互转换。
4，函数的常见性质○1若函数y=f （x ）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f （mx ）的图像关于x==对称○2对一函数y=f （x ），有y=f （a+bx ）与y=f （c-bx ）的图像关于a+bx=c-bx ，即x=，对称○3若y=f （x+a ）的图像关于y 轴对称，则有f （x+a ）=f （-x+a ），及f （x ）关于x=a 对称○4函数f （x ）= （a ，c 0）值域为 ，图像关于点（，）中心对称。
（其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心对称。
）○5若f （x ）= （a ，c0）则f -1（x ）==，（a ，d 对调）○6周期函数不一定有最小正周期。
如狄利克雷函数D(X)= 这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期，但是它不存在最小正周期。
○7原函数与反函数的奇函数性和单调性相同，原函数与导函数的奇偶性相反。
○8设a 为非0常数，若f （x ）在定义域内恒有下列条件之一 ：I ，f （x+a ）=--f(x)，II ，f （x+a ）f(x)=1,III ，f （x+a ）= IV ，f （x+a ）=f （x —a ）。
则f （x ）为周期函数，2a 为其周期。
○9若f （x ）同时关于x=a 和x=b 对称，则2b-2a 为一周期 若f （x ）关于x=a 对称，且关于点（b ，0）对称（a 与b 不相等）则4b-4a 为其一周期 若f （x ）同时关于点（a ，0）和点（b ，0）对称，则2b-2a 为其一周期。
5.抽象函数问题抽象函数性质特殊函数模型f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2） f （x ）=kxf （x 1+x 2）=f （x 1）.f （x 2） 或f （x 1-x 2）=f （x 1）f （x 2） f （x ）=a xf （x 1x 2）=f （x 1）+f （x 2） 或f （x 1x 2）=f （x 1）-f （x 2） f （x ）=log a xf （x 1）+f （x 2）=2f ff （x ）=cosx抽象函数问题的”原型”解法例析例1，设函数()f x 满足()()2()()22x y x y f x f y f f +-+=，且f (2π)=0，x 、y ∈R ；求证：()f x 为周期函数，并指出它的一个周期。
分析与简证：由()()2()()22x y x y f x f y f f +-+= 想：12cos cos x x +=2cos221x x +cos 221x x -原型：y =cos x ，为周期函数且2π为它的一个周期。
猜测：()f x 为周期函数，2π为它的一个周期令1x =x +π，2x =π 则()()2()()22f x f x f x f πππ++=+=0 ∴()()(2)()f x f x f x f x ππ+=-⇒+= ∴()f x 为周期函数且2π是它的一个周期。
例2，已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求f (2005)。
分析与略解：由1()(1)1()f x f x f x ++=-想：tan (x +4π)=1tan 1tan x x+- 原型：y =tan x 为周期函数且周期为4×4π=π。
猜测：()f x 为周期函数且周期为4×1=4∵1(1)(2)[(1)1]1(1)f x f x f x f x +++=++=-+=)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f -+--++=-)(1x f∴1(4)[(2)2]()(2)f x f x f x f x +=++==+⇒f (x +4)=()f x∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵f(2)=2004∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003∴f(2005)=-20052003例 3.已知函数()f x 对于任意实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，()f x ＞0，f (-1)=-2，求函数()f x 在区间[-2，1]上的值域。
分析与略解：由：()()()f x y f x f y +=+想：k (x +y )=k x +k y原型：y ＝k x （k 为常数）为奇函数。
k ＜0时为减函数，k ＞0时为增函数。
猜测：()f x 为奇函数且()f x 为R 上的单调增函数，且()f x 在[－2,1]上有()f x ∈[－4,2]设1x <2x 且1x ，2x ∈R 则2x －1x >0 ∴f (2x －1x )>0∴212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+-=2111()()()f x x f x f x -+-=21()f x x -＞0 ∴21()()f x f x >,∴()f x 为R 上的单调增函数。
令x =y =0,则f (0)=0,令y =－x ，则f (－x )=－()f x∴()f x 为R 上的奇函数。
∴f (-1)=- f (1)=-2 ∴f (1)=2，f (-2)=2f (-1)=-4 ∴-4≤()f x ≤2(x ∈[-2,1]) 故()f x 在[-2,1]上的值域为[-4，2]例4.已知函数()f x 对于一切实数x 、y 满足f (0)≠0，()()()f x y f x f y +=，且当x <0时， ()f x ＞1；（1）当x ＞0时，求()f x 的取值范围（2）判断()f x 在R 上的单调性分析与略解：由：()()()f x y f x f y +=想：x y x y a a a +=原型：y =x a （a ＞0, a ≠1），0a =1≠0。
当a ＞1时为单调增函数，且x ＞0时，y ＞1，x ＜0时，0＜y ＜1；0＜a ＜1时为单调减函数，且x ＜0时，y ＞1，x ＞0时，0＜y ＜1。
猜测： ()f x 为减函数，且当x ＞0时，0＜()f x ＜1。
（1）对于一切x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=且f (0)≠0 令x =y =0，则f (0)=1，现设x ＞0，则-x ＜0，∴f(-x ) ＞1 又f (0)=f (x -x )= ()f x ()f x -=1 ∴()f x -=)(1x f ＞1 ∴0＜()f x ＜1（2）设1x <2x ，1x 、2x ∈R ，则1x －2x <0，f (1x －2x )＞1且)()()()()()()()(212221222121x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f -=-=+-=＞1 ∴12()()f x f x >， ∴f(x)在R 上为单调减函数例5.已知函数()f x 定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f (4)=1，()()()f xy f x f y =+ （1）证明：f (1)=0；(2)求f (16)；（3）若()f x + f (x -3)≤1，求x 的范围； （4）试证f (nx )=n ()f x （n ∈N ） 分析与略解：由：()()()f xy f x f y =+想：log log log a a a xy x y =+（x 、y ∈R +） 原型：log a y x =（a ＞0，a ≠0） 猜测：()f x 有f (1)=0，f (16)=2，……（1）令x =1，y =4，则f (4)=f (1×4)=f (1)+f (4)∴f (1)=0 （2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2(3)()f x +f (x －3)=f ［x (x －3)］≤1=f (4)()f x 在（0，+∞）上单调递增∴ (3)414303430x x x x x x x -≤⎧-≤≤⎧⎪->⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪>⎩∴ x ∈（3，4]（4）∵()()()f xy f x f y =+ ∴()()()n n f x f x x x x nf x =••••=个例6.已知函数()f x 对于一切正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =且x ＞1时，()f x ＜1，f (2)=91 (1)求证：()f x ＞0；（2）求证：11()[()]f x f x --= （3）求证：()f x 在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若()f m =9，试求m 的值。
分析与简证：由()()()f xy f x f y =，想：1212()n n nx x x x =原型：n y x =（n 为常数（y =2x -）猜测：()f x ＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……(1)对任意x ＞0，()f x=f)=2[f ≥0假设存在y ＞0，使()f y =0，则对任意x ＞0()f x =f(()x f y y•=()()xf f y y =0，这与已知矛盾故对任意x ＞0，均有()f x ＞0（2）∵()(1)()(1)f x f x f x f =⨯=，()f x ＞0, ∴f (1)=1 ∴()f x f (x 1)=f (x1·x )=f (1)=1 ∴11()[()]f x f x --= (3)1x 、2x ∈(0,+∞)，且1x ＜2x ，则12x x ＞1，∴f (12x x)＜1， ∴22211111()()()()()x xf x f x f f x f x x x =•=< 即21()()f x f x < ∴()f x 在（0，+∞）上为单调减函数。