最新北师大版九年级中考数学总复习第一章数与代数知识点+练习试题

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北师大版中考复习专题讲义与习题：第一专题数与式

初中数学总复习基础知识梳理第一专题数与式本专题包括：有理数（七上第二章）用字母表示数（七上第三章）整式（七下第一章）实数（八上第二章）因式分解（八下第二章）分式（八下第三章）有理数与实数：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.1001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ；（2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

算术根的性质：2a ＝a ;⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a aa a（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

北师大版九年级数学上册第1章第1---3节同步复习题含答案

1.1菱形的性质一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，则对角线BD的长是( )A．1 B. 3 C．2 D.22．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是( )A．四边形ABCD是菱形B．AB＝ADC．AO＝OC，BO＝ODD．∠BAD＝∠ABC3．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是()A．1 B. 3 C．2 D．234．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是() A．8 B．7 C．4 D．35. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是( ) A．8 B．7 C．4 D．36. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A．20 B．24 C．40 D．487.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( ) A．24 B．16 C．413 D．2 38. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移(22－1)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E，F分别是边BC，CD的中点，则△AEF的周长为( )A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．310. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( )A．7 B．6 C．5 D．4第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11.11. 如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3 cm，则点P到AB的距离为____ cm.12. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法____．(填“正确”或“不正确”)13．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是____ cm.14. 已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为____ cm.15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝12∠ABC，DE＝.16．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为____________.17．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝.18. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是_____________三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．20. (6分) 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.(1)求∠ABC的度数；(2)如果AC＝43，求DE的长．21. (6分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．22．(6分) 如图，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为(0，3)，设点A 运动了t秒，求：(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；(2)点A在运动过程中，当t为何值时，可使得△OCP为等腰三角形？23．(6分) 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．24．(8分) 已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．25．(8分) 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.参考答案1-5 CDCAA6-10 ACDBD11. 312. 正确13. 414. 515. 816. 43或23 17. 35° 18. 119. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD. 又∵DE ⊥BD ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形 (2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6， ∴AO ＝4，DO ＝3，∴CD ＝AD ＝AO 2＋DO 2＝5. 又∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8，∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18 20. 解：(1)易证△ABD 为等边三角形．∴∠DAB ＝60°. ∵菱形ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°－∠DAB ＝180°－60°＝120°，即∠ABC ＝120° (2)∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC 于O ，AO ＝12AC ＝12×43＝23，由(1)可知DE 和AO 都是等边△ABD 的高，∴DE ＝AO ＝2321. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. 又∵BE ＝AB ， ∴BE ＝CD ，BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形．∴BD ＝EC (2)由(1)知四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥EC.∴∠ABO ＝∠E ＝50°.又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠AOB ＝90°. 在Rt △AOB 中，∴∠BAO ＝90°－∠ABO ＝40° 22. 解：(1)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，根据题意，得OA ＝t ＋1.∵四边形OABC 是菱形， ∴OC ＝OA ＝t ＋1. ∵∠AOC ＝60°，∴OH ＝12OC ＝12(t ＋1)，CH ＝32(t ＋1)，∴点C 的坐标为(t ＋12，3t ＋32)．(2)①当O 为等腰三角形顶点时，OC ＝OP ， ∴t ＋1＝3，∴t ＝2；②当C 为等腰三角形OCP 的顶点时，PC ＝OC ，则CH ＝12OP ＝32，即32(t ＋1)＝32，解得t ＝3－1；③当P 为等腰三角形OCP 的顶点时，OP ＝PC ，∠POC ＝30°，∴OC ＝33，∴1＋t ＝33， ∴t ＝33－1.综上可知，当t ＝3－1或2或33－1时，可使得△OCP 为等腰三角形． 23. 证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD.又∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAE ＋∠EAC ＝60°.又∵∠EAF ＝∠CAF ＋∠EAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF.又∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴∠ACF ＝12∠BCD ＝60°＝∠B ，∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴AE ＝AF ，∴△AEF 是等边三角形24. (1)证明：连接AC.∵BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AE ＝EC(2)点F 是线段BC 的中点．理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB.又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴∠BAC ＝60°. ∵AE ＝EC ，∴∠EAC ＝∠ACE.∵∠CEF ＝60°，∴∠EAC ＝30°，∴AF 是△ABC 的角平分线．又∵△ABC 是等边三角形， ∴BF ＝CF ，∴点F 是线段BC 的中点25. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ， ∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD ， ∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ， ∵CE ＝1，∴CD ＝2，∴BC ＝CD ＝2(2)证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC ，∴CF ＝CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠ACB ＝∠ACD ，CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM(SAS)，∴ME ＝MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ，∴∠G ＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ，∴AM ＝MG ，在△CDF 和△BGF 中，∵∴△CDF ≌△BGF(AAS)，∴GF ＝DF ，由图形可知，GM ＝GF ＋MF ，∴AM ＝DF ＋ME1.2矩形的判定一．填空题（共8小题，3*8=24）1. 如图，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件：______________________________________，使四边形ABCD 为矩形．2. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C点的坐标为____________．3．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC，BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有____．(填序号)4. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是_________.5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为.6．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC 满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．8. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二、选择题（共10小题，3*10=30）9．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AC＝BD D．AB＝BC10．如图所示，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是其边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH是矩形，则下列说法正确的是( )A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD一定是平行四边形C．AC⊥BDD．AC＝BD11．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE12．下列四边形不是矩形的是( )A．有三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．一组对边平行，且对角相等的四边形D．对角线相等且互相平分的四边形13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为()A．4 B．3 C．2 D．115.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A ＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有() A．1组B．2组C．3组D．4组16. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是()A．∠BAC＝90° B．BC＝2AEC．ED平分∠AEB D．AE⊥BC17．如图，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，若使四边形EFGH是矩形．则需要再满足的条件是()A．AC＝BD B．BC∥ADC．AB=BC D．AC⊥BD18. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝ 3.则四边形ABCD的周长是()A．3-1B．1＋3C．2（3-1）D．2(1＋3)三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在▱ABCD中，M是边AB的中点，且∠AMD＝∠BMC，求证：四边形ABCD是矩形．20. (6分) 如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．21. (6分) 如图，已知MN ∥PQ ，同旁内角的平分线AB ，CB 和AD ，CD 分别相交于点B ，D ，连接BD ，试写出线段AC 和BD 之间的数量关系，并说明理由.22．(6分) 如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点． (1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则需给△ABC 添加什么条件，为什么？23．(6分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1)试猜想AE 与BF 有何关系,说明理由;(2)当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由.24．(8分) 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连接AE，AF，问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25．(8分) 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝_________时，四边形BECD是矩形．参考答案1. B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90°2. (2，1)3. ①②4. 235. 126. 等于7. 答案不唯一，如∠BAC ＝90°8. EB=DC9-13 CCBCB 14-18 BBDDD19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠A ＋∠B ＝180°，∠AMD ＝∠CDM ，∠BMC ＝∠DCM.又∵∠AMD ＝∠BMC ，∴∠CDM ＝∠DCM ，∴MD ＝MC.又∵M 是AB 的中点，∴MA ＝MB ，∴△AMD ≌△BMC(SAS)，∴∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∴▱ABCD 是矩形20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ，∴∠FAD ＝12∠DAB ，∠ADF ＝12∠ADC. ∴∠FAD ＋∠ADF ＝12(∠DAB ＋∠ADC)＝90°. ∴∠AFD ＝90°.同理可得∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是矩形21. 解：AC ＝BD ，理由如下：∵AB 平分∠MAC ，CB 平分∠PCA ，∴∠BAC ＝12∠MAC ，∠ACB ＝12∠ACP. 又∵MN ∥PQ ，∴∠MAC ＋∠ACP ＝180°，∴∠BAC ＋∠ACB ＝12(∠MAC ＋∠ACP)＝12×180°＝90°，∴∠ABC ＝90°. 同理可得∠ADC ＝90°.∵AB 平分∠MAC ，AD 平分∠NAC ，∴∠BAD ＝12(∠MAC ＋∠NAC)＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD 22. 证明：(1)连接AD ，BE ，∵E 是AC 中点，∴EC ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB ∥EC ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC ＝DE(2)添加AB ＝BC.理由：∵DB AE ，∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴平行四边形DBEA 是矩形23. 解: (1)AE ∥BF,AE=BF.理由:∵△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC,∴△ABC ≌△FEC,∴AB=FE∠ABC=∠FEC∴AB ∥FE∴四边形ABFE 为平行四边形∴AE ∥BF,AE=BF(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形.理由:∵∠ACB=60°,AB=AC,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=BC,结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF,∴AF=BE,∴四边形ABFE 是矩形.24. 解：(1)证明：∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.又∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ， ∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF.∵∠OCE ＋∠BCE ＋∠OCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5 (2)当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由：连接AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形25. (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝CD ，∴∠OEB ＝∠ODC ，又∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ，在△BOE 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD(AAS)，∴OE ＝OD ，∴四边形BECD 是平行四边形(2)解：若∠A ＝50°，则当∠BOD ＝100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠A ＝50°，∵∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD ，∴OC ＝OD ，∵BO ＝CO ，OD ＝OE ，∴DE ＝BC ，∵四边形BECD 是平行四边形，∴四边形BECD 是矩形1.3正方形的性质与判定一、选择题1、如图,直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ,分别过顶点B ,D 作DE ⊥a 于点E ,BF ⊥a 于点F .若DE=4,BF=3,则CD 的长为( )A .4B .5C .6D .72、下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）若点P （a ，b ）在第三象限，则点P （﹣a ，﹣b+1）在第一象限；（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（4）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 0个3、下列命题是真命题的是( )A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件⊥AB＝BC，⊥⊥ABC ＝90°，⊥AC＝BD，⊥AC⊥BD中选两个作为补充条件，使ABCD成为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．⊥⊥ B．⊥⊥ C．⊥⊥ D．⊥⊥5、如图，在等腰Rt⊥ABC中，⊥C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：⊥⊥DFE是等腰直角三角形；⊥四边形CDFE不可能为正方形；⊥DE长度的最小值为4；⊥四边形CDFE的面积保持不变；⊥⊥CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ⊥⊥⊥B. ⊥⊥⊥C. ⊥⊥⊥D. ⊥⊥⊥6. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当⊥ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形7. 已知四边形ABCD中，⊥A=⊥B=⊥C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ⊥D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD8、如图,四边形OABC是正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D的坐标为(2,0),P是OB上一动点,则P A+PD的最小值为()A.2B.3C.4D.69、如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连接DH，延长BE 交DH于点G，则下列结论错误的是()A．BE＝DHB．⊥H＋⊥BEC＝90°C．BG⊥DHD．⊥HDC＋⊥ABE＝90°10、把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边BC与D'C'交于点O,则四边形ABOD'的周长是()A.6B.6C.3D.3+3二、填空题11、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．12. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．13、已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O.(1)若AB＝BC，则ABCD是__ __；(2)若AC＝BD，则ABCD是__ __；(3)若⊥BCD＝90°，则ABCD是__ __；(4)若OA＝OB，且OA⊥OB，则ABCD是__ _；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则ABCD是__ _.14、如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为.15、矩形的四个内角平分线围成的四边形是.16、如图，在正方形ABCD的外侧作等边⊥ADE，则⊥BED的度数为__ __．三、解答题17、如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC 于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．18、如图，在Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，CD为⊥ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F.求证：四边形DECF是正方形．19、如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且⊥EAF=45°,将⊥ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到⊥ABQ,连接EQ,求证:(1)EA是⊥QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2.20、一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作……若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.如图①,在矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.(1)判断与操作:如图①,矩形ABCD长为5,宽为2,它是奇异矩形吗?如果是,请写出它是几阶奇异矩形,并在图中画出裁剪线;如果不是,请说明理由.(2)探究与计算:已知矩形的一边长为20,另一边长为a(a<20),且它是3阶奇异矩形,请画出矩形及裁剪线的示意图,并在图的下方写出a的值.。

北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套

北师大版九年级数学中考复习试题及答案全套（共9套）《数与式》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题2分，共24分)1．下列各数：π3，sin 30°，－3，4，其中无理数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某种药品说明书上标明保存温度是(20±3) ℃，则该药品最合适保存的温度范围是 ( C )A ．17℃～20℃B ．20℃～23℃C ．17℃～23℃D ．17℃～24℃3．下列运算中，正确的是( D ) A ．a 2＋a 2＝2a 4 B ．(a －b )2＝a 2－b 2 C ．(－x 6)·(－x )2＝x 8D ．(－2a 2b )3÷4a 5＝－2ab 3 4．中国的“天眼”绝对是我们中国人的骄傲，它可以一眼看穿130亿光年以外，换句话来说就是它可以接收到130亿光年之外的电磁信号，几乎已经可以达到我们人类现在所了解到的宇宙的极限边缘．数据130亿(精确到亿位)正确的表示是( B )A ．1.3×1010B ．1.30×1010C ．0.13×1011D ．130×1085．设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7D ．86．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝ab；②a b ·ba＝1；③ab ÷ab＝－b ，其中正确的是( B )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③7．若最简二次根式3a －12a ＋5b 与a －2b ＋8是同类二次根式，则a 、b 的值为( A )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝18．整数n 满足n ＜26＜n ＋1，则n 的值为( A ) A ．4 B ．5 C ．6D ．79．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( C )A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b10．如图1，把一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( C )A ．2mB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 211．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2,4；第二组：6,8,10,12；第三组：14,16,18,20,22,24；第四组：26,28,30,32,34,36,38,40……则现有等式A m ＝(i ，j )表示正偶数m 是第i 组第j 个数(从左到右数)，如A 10＝(2,3)，则A 2020＝( B )A ．(31,63)B ．(32,18)C ．(33,16)D ．(34,2)12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3、…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，…，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是( D )A ．⎝⎛⎭⎫122019B ．⎝⎛⎭⎫122020C ．⎝⎛⎭⎫332020D ．⎝⎛⎭⎫332019二、填空题(每小题2分，共16分) 13．若分式x ＋1x －1有意义，则x 的取值范围为__x ≥－1且x ≠1__. 14．计算：2(2－3)＋6＝__2__.15．将多项式m 2n －2mn ＋n 分解因式的结果是__n (m －1)2__. 16．若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y ＝__14__.17．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a 用代数式表示为13＋12n ，实数b 用代数式表示为12n －13，则a －b 的值为__23__.18．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为__3__.19．若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为__18__.20．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋12n ＋….图1 图2图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是＝2⎣⎡⎦⎤1＋34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －1＋⎝⎛⎭⎫34n ＋…__.三、解答题(共60分) 21．(8分)计算： (1)⎝⎛⎭⎫46－412＋38÷22；解：(1)原式＝(46－22＋62)÷22＝(46＋42)÷22＝23＋2. (2)⎝⎛⎭⎫－12－2－|3－2|＋(2－1.414)0－3tan 30°－(－2)2.解：原式＝4－(2－3)＋1－3×33－2＝4－2＋3＋1－3－2＝1. 22．(5分)已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.23．(5分)已知实数a 、b 、c 满足|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，求－abc 的值．解：∵|a ＋6|＋b －2＋(c －3)2＝0，∴a ＋6＝0，b －2＝0，c －3＝0，∴a ＝－6，b ＝2，c ＝3，∴－abc ＝－(－6)×2×3＝36＝6.24．(5 分)化简：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷⎝⎛⎭⎫1－4x . 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2÷x －4x ＝x 2－4－(x 2－x )x (x －2)2·x x －4＝x －4x (x －2)2·x x －4＝1x 2－4x ＋4. 25．(5分)先化简，再求值：a 4－b 4a 2－2ab ＋b 2×b －aa 2＋b 2，其中a ＝2019，b ＝2020.[:学科网] 解：原式＝(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )(a －b )2·－(a －b )a 2＋b 2＝－(a ＋b )＝－a －b .当a ＝2019，b ＝2020时，原式＝－2019－2020＝－4039.26．(5分)先化简，再求值：a －2a 2－1÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1－2a －1a ＋1，其中a 是方程x 2－x ＝6的根．解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－(2a －1)a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝1a 2－a .∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6，∴原式＝16.27．(6分)先化简，再求值：a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷⎝⎛⎭⎫5b 2a －2b －a －2b －1a ，其中a 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2. 解：原式＝(a －3b )2a (a －2b )÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤5b 2a －2b －(a －2b )(a ＋2b )a －2b －1a ＝(a －3b )2a (a －2b )÷9b 2－a 2a －2b －1a ＝(a －3b )2a (a －2b )·a －2b(3b －a )(3b ＋a )－1a ＝－(a －3b )a ()3b ＋a －1a ＝－(a －3b )a (3b ＋a )－3b ＋a a (3b ＋a )＝－2a a (3b ＋a )＝－2a ＋3b .解⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，a －b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴当a ＝3，b ＝1时，原式＝－23＋3×1＝－13.28．(6分)先化简，再求值：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝⎛⎭⎫2x －1－1x ，其中整数x 满足－2＜x ≤2. 解：原式＝x (x ＋1)(x －1)2÷2x －(x －1)x (x －1)＝x (x ＋1)(x －1)2×x (x －1)x ＋1＝x 2x －1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1≠0，x (x －1)≠0，x ＋1≠0，即x ≠－1、0、1.又∵－2＜x ≤2，且x 为整数，∴x ＝2.将x ＝2代入x 2x －1中，得原式＝222－1＝4. 29．(7分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，因此，8,16,24这三个数都是“和谐数”．(1)在32,75,80这三个数中，是和谐数的是__32,80__；(2)若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为__100__；(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n －1和2n ＋1(其中n 取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．证明：∵(2n ＋1)2－(2n －1)2＝4n 2＋4n ＋1－(4n 2－4n ＋1)＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＋4n －1＝8n ，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．30．(8分)观察下列等式：第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1；第二个等式：a 2＝221＋3×22＋2×(22)2＝122＋1－123＋1；第三个等式：a 3＝231＋3×23＋2×(23)2＝123＋1－124＋1；第四个等式：a 4＝241＋3×24＋2×(24)2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a 6＝__261＋3×26＋2×(26)2__＝__126＋1－127＋1__； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝__2n1＋3×2＋2×(2)__＝__12＋1－12＋＋1；(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝__1443__(得出最简结果)；(4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n . 解：原式＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n ＋1＋1＝12＋1－12n ＋1＋1＝2n ＋1－23(2n ＋1＋1).《函数的图象与性质》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．函数y ＝x ＋2x －3的自变量的取值范围是( C ) A ．x ≠3B ．x ≥－2C ．x ≥－2且x ≠3D ．x ≥32．一辆复兴号高铁从青州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，复兴号到达下一个高铁站停下，乘客上、下车后，复兴号又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出这辆复兴号高铁在这段时间内的速度变化情况的是( D )3．已知二次函数y ＝－(x －h)2＋4(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为0，则h 的值为( A )A ．－1和6B ．2和6C ．－1和3D ．2和34．若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( C ) A ．(2,2)B ．(－2，－2)C ．(2,2)或(－2，－2)D ．(－2,2)或(2，－2)5．一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx在同一直角坐标系内的图象大致是( C )6．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S 1＋S 2＝( D )A ．3B ．4C ．5D ．67．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为( A )A ．(4，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)8．设A (－2，y 1)、B (1，y 2)、C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( A )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 2>y 1D ．y 2>y 1>y 39．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＋b ＋c ＜0；②a －b ＋c ＜0；③b ＋2a ＜0；④abc ＞0.其中所有正确结论的序号是( C )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．如图，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝kx(k ≠0)中k 的值的变化情况是( C )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大二、填空题(每小题3分，共18分)11．一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则k ·b 的值是__2或－7__.12．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A (m ，n )，B (m ＋6，n )，则n ＝__9__.13．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是__m ＞1__.14．如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝－1x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P是y 轴上任意一点，则△P AB 的面积是__1.5__15．如图，点A 在双曲线y ＝6x 上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当OA ＝4时，则△ABC 周长为16．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ，则这个门洞的高度为__9.1__m.(精确到0.1 m)三、解答题(共52分)17．(6分)已知一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (－2,0)、B (0,3)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)过点B 的另外一条直线l 与x 轴交于点C (c,0)，若点A 、B 、C 构成面积不大于6的三角形，求c 的取值范围．解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－2,0)、B (0,3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝3，所以一次函数解析式为y ＝32x ＋3.(2)根据题意得12·3·|c ＋2|≤6，即|c ＋2|≤4，所以－6≤c ≤2且c ≠－2.18．(6分)在平面直角坐标系中，已知点A (4,0)，点B (0,3)，点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在x 轴上向右平移，点Q 从B 点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y ＝3向右平移，又P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形OBPQ 的面积为8； (2)连接AQ ，当△APQ 是直角三角形时，求Q 的坐标．解：(1)设运动时间为t 秒，BQ ＝2t ，OP ＝4＋t ，则S ＝12(3t ＋4)×3＝8，解得t ＝49.(2)当∠QAP ＝90°时，Q (4,3)；当∠QP A ＝90°时，Q (8,3)；当∠AQP ＝90°时，不存在Q 点的坐标，故Q 点坐标为(4,3)、(8,3)．19．(6分)如图1所示，在A 、B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站的距离y 1、y 2(千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系图象．(1)填空：A 、B 两地相距__420__千米；(2)求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； (3)客、货两车何时相遇？解：(2)由图可知货车的速度为60÷2＝30(千米/时)，货车到达A 地一共需要2＋360÷30＝14(小时)．设y 2＝kx ＋b ，代入点(2,0)、(14,360)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝0，14k ＋b ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－60，所以y 2＝30x －60.(3)设y 1＝mx ＋n ，代入点(6,0)、(0,360)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝0，n ＝360，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－60，n ＝360，所以y 1＝－60x ＋360.由y 1＝y 2，得－60x ＋360＝30x －60，解得x ＝143.故客、货两车经过143小时相遇．20．(6分)已知某市2017年企业用水量x (吨)与该月应缴的水费y (元)之间的函数关系如图．(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；(2)若某企业2018年10月份的水费为620元，求该企业2018年10月份的用水量； (3)为贯彻省委发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2019年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2018年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2019年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．解：(1)设y 关于x 的函数关系式y ＝kx ＋b .∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50,200)，(60,260)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝－100，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝6x －100.(2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50，∴6x －100＝620，解得x ＝120.故该企业2018年10月份的用水量为120吨．(3)由题意得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简，得x 2＋40x －14 000＝0，解得x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)．故这个企业2019年3月份的用水量是100吨．21．(6分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c (a ≠0)与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C两点，点C 坐标为(8,0)，连接AB 、AC .(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋c 与y 轴交于A (0,4)，与x 轴交于B 、C 两点，点C 坐标为(8,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)△ABC 为直角三角形，理由如下：当y ＝0时，即－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝8，x 2＝－2，∴点B 的坐标为(－2,0)．在Rt △ABO 中，AB 2＝BO 2＋AO 2＝22＋42＝20.在Rt △ACO 中，AC 2＝CO 2＋AO 2＝82＋42＝80.∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝20＋80＝102＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．22．(7分)如图，已知A ⎝⎛⎭⎫－4，12，B (－1,2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx (m ≠0，m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC 、PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故一次函数的值大于反比例函数的值．(2)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b .∵y ＝kx ＋b 的图象过点⎝⎛⎭⎫－4，12，(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12，－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝52，故一次函数的解析式为y ＝12x ＋52.反比例函数y ＝mx图象过点(－1,2)，则m ＝－1×2＝－2.(3)连接PC 、PD ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，12x ＋52.由△PCA 和△PDB 面积相等，得12×12×(x ＋4)＝12×|－1|×⎝⎛⎭⎫2－12x －52，解得x ＝－52，则y ＝12x ＋52＝54，∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－52，54. 23．(7分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系近似满足一次函数：y ＝－10x ＋500.(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？解：(1)当x ＝20时，y ＝－10x ＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．(2)依题意，得w ＝(x －10)(－10x ＋500)＝－10x 2＋600x －5000＝－10×(x －30)2＋4000.∵a ＝－10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．(3)由题意，得－10x 2＋600x －5000＝3000，解得x 1＝20，x 2＝40.∵a ＝－10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x ≤40时，w ≥3000.又∵x ≤25，∴当20≤x ≤25时，w ≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝(12－10)×(－10x ＋500)＝－20x ＋1000.∵k ＝－20＜0.∴p 随x 的增大而减小，∴当x ＝25时，p 有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．24．(8分)如图，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得－14x 2－12x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，解得x ＝－4或2，∴点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(－4,0)．令x ＝0，得y ＝2，∴点C 坐标为(0,2)．(2)①AB 为平行四边形的边时，∵AB ＝EF ＝6，对称轴x ＝－1，∴点E 的横坐标为－7或5，∴点E 坐标为⎝⎛⎭⎫－7，－274或⎝⎛⎭⎫5，－274，此时点F ⎝⎛⎭⎫－1，－274，∴以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为6×274＝812；②当点E 在抛物线顶点时，点E ⎝⎛⎭⎫－1，94，设对称轴与x 轴交点为M ，令EM 与FM 相等，则四边形AEBF 是菱形，此时以A 、B 、E 、F 为顶点的平行四边形的面积为12×6×92＝272.(3)如图所示，①当C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作M 1N ⊥OC 于点N .在Rt △CM 1N 中，CN ＝CM 21－M 1N 2＝7，∴点M 1坐标为(－1,2＋7)，点M 2坐标为(－1,2－7)；②当M 3为顶点时，∵直线AC 解析式为y ＝－x ＋2，线段AC 的垂直平分线为y ＝x ，∴点M 3坐标为(－1，－1)；③以点A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述，点M 坐标为(－1，－1)或(－1,2＋7)或(－1,2－7)．《方程(组)与不等式(组)》综合检测卷 (时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论错误的是( D ) A ．a －7＞b －7 B ．6＋a ＞b ＋6 C ．a 5>b 5D ．－3a ＞－3b2．已知x ＝2是方程2x ＋m －4＝0的解，则m 的值为( C ) A ．8 B ．－8 C ．0D ．23．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－13x >0的解集在数轴上表示正确的是( A )4．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m －n 的值是( D )A ．1B ．2C ．3D ．45．一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －5≤0的解集中，整数解的个数是( C )A ．4B ．5C ．6D ．76．关于x 的方程m 2x 2－8mx ＋12＝0至少有一个正整数解，且m 是整数，则满足条件的m 的值的个数是( B )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．为加快环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为( A )A ．400x ＝300x －30B ．400x －30＝300xC ．400x ＋30＝300xD ．400x ＝300x ＋308．大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务，并与图书馆达成如下协议：做满30天，图书馆将支付给他一套名著和生活费600元，但他在做到20天时，由于学校有临时任务，只能终止服务，图书馆只付出一套名著和300元，设这套名著的价格为x 元，则下面所列方程正确的是( B )A ．x ＋60020＝x ＋30030B ．x ＋60030＝x ＋30020C ．x －60030＝x －30020D ．x －60020＝x －300309．若解分式方程x －1x ＋4＝mx ＋4时产生增根，则m ＝( D )A ．1B ．0C ．－4D ．－510．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( B )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ba －3，那么a 的取值范围是__a >3__.12．方程x x －2 ＝ 12－x的根x ＝__－1__.13．对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab (a ≥b )，ab －b 2(a <b ).例如：4]__3或－3__. 14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为__78__cm.15．若方程x 2＋2x －13＝0的两根分别为m 、n ，则mn (m ＋n )＝__26__.16．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为__80__元．三、解答题(共52分) 17．(6分)解方程(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4， ①3x ＋y ＝16； ②解：(1)①＋②，得4x ＝20，即x ＝5.将x ＝5代入①，得y ＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.(2)(x －5)(x ＋4)＝10；解：去括号、移项、整理，得x 2－x －30＝0，解得x 1＝－5，x 2＝6. (3)1x －2－3＝x －12－x. 解：去分母，得1－3(x －2)＝－(x －1)，整理，得－2x ＋6＝0，解得x ＝3.经检验，x ＝3是原分式方程的根．18．(4分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x >x －6，x －12≤x ＋16，并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．解：⎩⎨⎧3x >x －6，①x －12≤x ＋16，②由①，得x ＞－3.由②，得x ≤2.∴原不等式组的解集为－3＜x ≤2.19．(6分)已知关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根是－1，求另外一个根及k 的值．(1)证明：b 2－4ac ＝k 2＋8>0，即方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．(2)解：把x ＝－1代入原方程，得2－k －1＝0，所以k ＝1，即原方程为2x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝12，即另外一根为12.20．(6分)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接五一劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x 元．由题意，得(100－60－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2＝20.∵尽量减少库存，∴x ＝20，∴100－20＝80(元)，故每件童装应定价为80元．21．(7分)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54，购进数量比第一次少了30支．(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元；(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问：每支售价至少是多少元？解：(1)设第一次每支铅笔进价为x 元．根据题意，得600x －60054x ＝30，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的解，故第一次每支铅笔的进价是4元．(2)设售价为y 元．根据题意，列不等式为6004×(y －4)＋6004×54×(y －5)≥420，解得y ≥6.故每支售价至少是6元．22．(7分)阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数必同时为零．例如：①若(a －1)2＋(b ＋5)2＝0，则(a －1)2＝0，(b ＋5)2＝0，∴a ＝1，b ＝－5. ②若m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2－4m ＋n 2＋6n ＋13＝(m 2－4m ＋4)＋(n 2＋6n ＋9)＝0(将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式)，∴(m －2)2＋(n ＋3)2＝0， ∴(m －2)2＝0，(n ＋3)2＝0， ∴m ＝2，n ＝－3.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝0，求x y 的值；(2)已知a 、b (a ≠b )是等腰三角形的边长，且满足2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝0，求三角形的周长．解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2－6y ＋9＝x 2＋2xy ＋y 2＋y 2－6y ＋9＝(x ＋y )2＋(y －3)2＝0，∴x ＋y ＝0，y －3＝0，∴y ＝3，x ＝－y ＝－3，∴x y ＝(－3)3＝－27.(2)∵2a 2＋b 2－8a －6b ＋17＝2a 2－8a ＋8＋b 2－6b ＋9＝2(a 2－4a ＋4)＋(b 2－6b ＋9)＝2(a －2)2＋(b －3)2＝0，∴a －2＝0，b －3＝0，∴a ＝2，b ＝3.∴当a 为腰时，周长为7；当b 为腰时，周长为8.∴三角形的周长为7或8.23．(8分)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a 、b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋ba的值；(3)已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)设x 2＋mx ＋n ＝0 (n ≠0)的两根为x 1、x 2.∴x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n .∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－m n ，1x 1·1x 2＝1n .∴所求一元二次方程为x 2＋m n x ＋1n＝0，即nx 2＋mx ＋1＝0. (2)①当a ≠b 时，由题意知a 、b 是一元二次方程x 2－15x －5＝0的两根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47.②当a ＝b 时，a b ＋ba ＝1＋1＝2.综上，a b ＋ba＝－47或2.(3)∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，∴a ＋b ＝－c ，ab ＝16c .∴a 、b 是方程x 2＋cx ＋16c ＝0的两根，∴Δ＝c 2－4×16c≥0.∵c ＞0，∴c 3≥64，∴c ≥4，∴c 的最小值为4.24．(8分)某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．(1)该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？(2)若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？ (3)对(2)中的几种建造方案，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．解：(1)设新建一个地上停车位需x 万元，新建一个地下停车位需y 万元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝1.7，4x ＋2y ＝1.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.1，y ＝0.5.故新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元．(2)设新建m 个地上停车位，由题意，得14＜0.1m＋0.5(60－m )≤15，解得37.5≤m ＜40，因为m 为整数，所以m ＝38或39，对应的60－m ＝22或21，故一共有2种建造方案．(3)当m ＝38时，投资0.1×38＋0.5×22＝14.8(万元)，当m ＝39时，投资0.1×39＋0.5×21＝14.4(万元)，故当地上建39个车位，地下建21个车位时，投资最少，金额为14.4万元．《图形及其变化》综合检测卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是某几何体的三视图，该几何体是(B)A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．正方体3．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图，在该正方体中，和“超”相对的字是(C)A．沉B．信C．自D．着4．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是(C)5．如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为(C)A．16 cm B．18 cmC．20 cm D．22 cm6．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (5,3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是( C )A ．(2,10)B ．(－2,0)C ．(2,10)或(－2,0)D ．(10,2)或(－2,0)7．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (2,2)、B (3,1)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( C )A ．(3,1)B ．(3,3)C ．(4,4)D ．(4,1)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝70°，以B 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心、以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则∠BDC 为( B )A ．65°B ．75°C ．80°D ．85°9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( B )A ．35B ．45C ．23D ．3210．如图，△AOB 为等腰三角形，AO ＝AB ，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫203，103B ．⎝⎛⎭⎫163，435 C ．⎝⎛⎭⎫203，435D ．⎝⎛⎭⎫163，43二、填空题(每小题3分，共18分)11．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2，－3)，作点A 关于x 轴的对称点，得到点A ′，再作点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″，则点A ″的坐标是__(－2,3)__.12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为__12__.13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为__245__.14．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF ＝__5__.15．如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.16．如图，在直角坐标系中，已知点A(－3,0)、B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2020的直角顶点的坐标为__(8076,0)__.三、解答题(共52分)17．(6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为__(2,7)__，点C的坐标为__(6,5)__；(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则平移后点M1的坐标为__(a－7，b)__；(3)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2，请在网格内画出一个△A2B2C2，则点A2的坐标为__(1,3.5)__.18．(6分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)用直尺和圆规作出对角线AC的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)作出的图形中，连接CE、AF，若AB＝4，BC＝8，且AB⊥AC，求四边形AECF 的周长．解：(1)如图所示：(2)根据作图，易知四边形AECF 是菱形，∴AF ＝FC ，∴∠F AC ＝∠FCA ．∵AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∴∠BAF ＋∠F AC ＝90°，∠B ＋∠FCA ＝90°，∴∠B ＝∠BAF ，∴AF ＝BF ，∴BF ＝FC .∴四边形AECF 的周长＝4FC ＝2BC ＝16.19．(6分)如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD ＝0.8 m ，窗高CD ＝1.2 m ，并测得OE ＝0.8 m ，OF ＝3 m ，求围墙AB 的高度．解：延长OD .∵DO ⊥BF ，∴∠DOE ＝90°.∵OD ＝0.8 m ，OE ＝0.8 m ，∴∠DEB ＝45°.∵AB ⊥BF ，∴∠BAE ＝45°，∴AB ＝BE ，设AB ＝EB ＝x m ．∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ，∴AB BF ＝CO OF ，即x x ＋(3－0.8)＝1.2＋0.83，解得x ＝4.4.经检验，x ＝4.4是原方程的解．故围墙AB 的高度是4.4 m.20．(6分)如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(2,0)，∠COA ＝60°，将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF .(1)直接写出点F 的坐标；(2)求线段OB 的长及图中阴影部分的面积．解：(1)(－2,0)．(2)连接OE 、OB 、AC ，OB 与AC 相交于点H .∵菱形OABC 中，OA ＝2，∠COA ＝60°，∴∠BOC ＝∠BOA ＝30°，OB ⊥AC ，∴OB ＝2OH ＝2OA ·cos ∠BOA ＝2×2×32＝23，CH ＝AH ＝OA ·sin ∠BOA ＝2×12＝1.∵将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转120°得到菱形ODEF ，∴∠BOE＝120°.S 阴影＝S 扇形OBE －2S △OBC ＝120π×(23)2360－2×12×23×1＝4π－2 3.21．(7分)如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC (即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；(要求A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应)(2)作出△ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C ；(3)在(2)的条件下直接写出点B 旋转到B 2所经过的路径的长．(结果保留π)解：(1)△A 1B 1C 1如图所示． (2)△A 2B 2C 如图所示． (3)根据勾股定理，BC ＝12＋42＝17，所以点B 旋转到B 2所经过的路径的长＝π217.22．(7分)如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴的正半轴上，正方形OABC 的边长是3，点D 在AB 上，且AD ＝1.将△OAD 绕着点O 逆时针旋转得到△OCE .(1)求证：OE ⊥OD ；(2)在x 轴上找一点P ，使得PD ＋PE 的值最小，求出点P 的坐标．(1)证明：∵将△OAD 绕着点O 逆时针旋转得到△OCE ，∴∠AOD ＝∠COE .∵四边形OABC 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠COD ＝∠COE ＋∠COD ＝90°，即∠DOE ＝90°，∴OE ⊥OD .(2)解：∵OA ＝3，AD ＝1，∴D (3,1)．作点D 关于x 轴对称的点F ，连接EF 交x 轴于点P ，此时，PD ＋PE 的值最小．∵D (3,1)，∴F (3，－1)．∵将△OAD 绕着点O 逆时针旋转90°得到△OCE ，∴E (－1,3)．设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝－k ＋b ，－1＝3k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，∴直线EF 的解析式为y ＝－x ＋2.当y ＝0时，x ＝2，∴P (2,0)．23．(7分)如图，一伞状图形，已知∠AOB ＝120°，点P 是∠AOB 平分线上一点，且OP ＝2，∠MPN ＝60°，PM 与OB 交与点F ，PN 与OA 交于点E .(1)如图1，当PN 与PO 重合时，探索PE 、PF 的数量关系；(2)如图2，将∠MPN 在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转α(0＜α＜60°)，继续探索PE 、PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，∴∠POF ＝60°.∵∠MPN ＝60°，∴△PEF 是等边三角形，∴PE ＝PF .(2)过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB .∵OP 平分∠AOB ，∴PQ ＝PH ，∠PQO ＝∠PHO ＝90°.∵∠AOB ＝120°，∴∠QPH ＝60°＝∠MPN ，∴∠QPE ＋∠EPH ＝∠FPH ＋∠EPH ，∴∠QPE ＝∠HPF .在△QPE 和△HPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EQP ＝∠FHP ，PQ ＝PH ，∠QPE ＝∠HPF ，∴△QPE ≌△HPF ，∴PE ＝PF ，S 四边形OEPF ＝S 四边形OQPH .∵PQ⊥O A ，PH ⊥OB ，OP 平分∠AOB ，∴∠QPO ＝30°，∴OQ ＝1，QP ＝3，∴S △OPQ ＝32，∴S 四边形OEPF ＝2S △OPQ ＝3.24．(7分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为22的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．(1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长；(3)如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，使线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD＝∠AEB.延长EB交DG于点H.在△ADG中，∵∠AGD＋∠ADG ＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE.(2)∵AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG ＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD＝∠AMG ＝90°.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴DM＝AM＝ 2.在Rt△AMG中，根据勾股定理，得GM＝AG2－AM2＝6，∴DG＝DM＋GM＝2＋6，∴BE＝DG＝2＋ 6.(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6.理由如下：∵对于△GHE，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△GHE的面积最大．∵对于△BHD，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BHD的面积最大，∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2＋4＝6.《三角形》综合检测卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段，可以组成三角形的是(B)A．10、5、4B．3、4、2C．1、11、8D．5、3、82．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是(C)A．10B．9C．8D．63．如图，已知∠ABC＝∠BAD.下列条件中，不能作为判定△ABC≌△BAD的条件的是(D)A．∠C＝∠D B．∠BAC＝∠ABDC．BC＝AD D．AC＝BD。

北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数第一讲实数一.知识梳理： 1.实数的基本概念 (1)正数和负数定义：大于0的数叫做正数。

在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

(2)有理数分类：正整数、0、负整数统称整数。

正分数、负分数统称分数。

整数和分数统称为有理数。

即：(3)无理数：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数，归纳起来有四类： a.开方开不尽的数，如32,7等；b.有特定结构的数，如0.1010010001…等；c.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； d.某些三角函数值，如sin60o等注：小数是分数。

(4)实数：有理数和无理数统称为实数，即：正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）注意：实数与数轴的点是一一对应的。

3.相反数：代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0⇔a 、b 互为相反数，反之亦成立.注意：零的相反数是零一般地，如果a 、b 互为相反数，则a+b=0. 4.绝对值定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离做该数的绝对值，记作|a|。

①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。

即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ①a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。

很显然，a ≥0。

北师大版数学中考总复习：数与式综合复习--巩固练习(提高)(可编辑修改word版)

中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 把多项式 1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是（）A. (1+ x - y )(1- x + y )B. (1- x - y )(1+ x - y )C. (1- x - y )(1- x + y )D. (1+ x - y )(1+ x + y )1 1 1 1 1 12. 按一定的规律排列的一列数依次为：个数是（）, , , , , 2 3 10 15 26 35 ┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第 7 1 111A.B ．C ．D ．454046503. 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（）000110010111 001 111A ．100，011B ．011，100C ．011，101D ．101，1104. 在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大 1 米，需增加 m 米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大 1 米，需增加 n 米长的铁丝，则 m 与 n 的大小关系是（）A. m ＞nB ．m ＜nC ．m =nD ．不能确定5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折 n 次后折痕的条数是（） A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1 6．（2015 秋•重庆校级月考）如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第 1 个图形中有 5 个小正方形，第 2 个图形有 13 个小正方形，第 3 个图形有 25 个小正方形，…，按此规律，则第 8 个图形中小正方形的个数为（）A ．181B ．145C ．100D ．88二、填空题7. 若非零实数 a ，b 满足4a 2 + b 2 = 4ab ，则 b=．a2 3 1 18.已知分式 x 2 - 1(x - 2)(x - 1)，当 x ＝时，分式的值为 0．9. 在实数范围内分解因式x+y （ 2 - 4(x + y - 1) =.10. （2015 秋•平ft 区校级月考）化简：（1）当 x≥0 时，= ；（2）当 a≤0 时，=；（3）当 a≥0，b ＜0 时，=．11. 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数）：1第一行第二行第三行第四行111 221 1 1 3 631 1 1 1第五行4 12 1 1 1 520 30 12 41 1 20 5… …… …根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：．12. 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数 n 1=5 ，计算 n 2+1 得 a ；第二步：算出 a 1 的各位数字之和得 n 2，计算 n 2+1 得 a 2；第三步：算出 a 2 的各位数字之和得 n 3，再计算 n 2 ＋1 得 a 3； …………依此类推，则 a 2012= ．三、解答题13．（2015 春•碑林区期中）图①是一个长为 2m ，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．S 1 S 2 S n（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②，三个代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn 之间的等量关系是；（3）观察图③，你能得到怎样的代数等式呢？（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n ）（m+3n ）；（5）若 x+y=﹣6，xy=2.75，求 x ﹣y 的值．14. 阅读下列题目的计算过程：x - 3 x 2 - 1 - 2 1 + xx - 3＝ (x + 1)(x - 1) -2(x - 1)(x + 1)(x - 1)（A ）＝（x －3）－2（x －1）（B ）＝x －3－2x ＋1 （C ）＝－x －1 （D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号．（2）错误的原因．（3）本题目正确的结论为．xx 215．已知x 2 - x +1 = 7 ,求x 4 + x 2 +1的值.1 1 1 1 1 1 1 116. 设 S 1 =1+ 12 + 22 , S 2 =1+ 22 + 32 , S 3 =1+ 32 + 42 ,…, S n =1+ n 2 +(n +1)2设 S = + +... + ，求 S 的值 (用含n 的代数式表示，其中 n 为正整数)．【答案与解析】一、选择题 1. 【答案】A ；【解析】1-x2+ 2xy -y2= 1- (x2- 2xy +y2 ) = 1- (x -y)2= (1+x -y)(1-x +y) ．2.【答案】D；【解析】每个分数的分子均为 1，分母为n2+1或n2-1（当n为奇数时加 1，当n为偶数时减 1），7 为奇数，因而其分母为72+1 = 50 ．3.【答案】B；【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示 0，而一条长横表示 1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这 011 和100 ．4.【答案】C；【解析】设地球仪赤道半径为r，则m =2(r +1) -2r =2；设地球赤道半径为R，则n = 2(R +1) - 2R = 2，所以相等．5.【答案】C；【解析】除了第一次对折得到 1 条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍． 6.【答案】B；【解析】∵第 1 个图案中小正方形的个数为 3+1+1=5；第2 个图案中小正方形的个数为 5+3+1+3+1=13；第 3 个图案中小正方形的个数为 7+5+3+1+5+3+1=25；…∴第 n 个图形的小正方体的个数（n+1）2+n2；∴第 8 个图形中小正方形的个数为 92+（9﹣1）2=81+64=145 个．故选：B．二、填空题7.【答案】2；【解析】将原式改写为4a2- 4ab +b2= 0 ，所以(2a -b)2= 0 ，可求出b=2a．8.【答案】－1；【解析】由题意x2-1 = 0 且(x - 2)(x -1) ≠ 0 ，所以x=－1．9.【答案】x+y- 2（2；【解析】此题如果按一般方法去分解，须将(x + y)2 展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化为(x + y)2 - 4(x + y) + 4 ，将x + y 看成一个整体，再用公式法分解因式.(x + y)2- 4(x + y -1).= (x + y)2- 4(x + y) + 4= (x + y - 2)210. 【答案】3x ；﹣a ；﹣3ab【解析】解：（1）∵x≥0， ∴=|3x|=﹣3x ，故答案为：3x ．（2）∵a≤0， ∴=|a|=﹣a ，故答案为：﹣a ．（3）∵a≥0，b ＜0， ∴=|3ab|=﹣3ab，故答案为：﹣3ab．1. 【答案】1 1、 6 301111 、、、、；6060306【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．12. 【答案】65；【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．由题目得，a 1=26；n 2=8，a 2=65；n 3=11，a 3=122；看不出什么规律，那就继续：n 4=5，a 4=26；…；这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即 a 2012= a 2=65．答案为 65.三、解答题13. 【答案与解析】解：（1）阴影部分的边长为（m ﹣n ），所以阴影部分的面积为（m ﹣n ）2；故答案为：（m ﹣n ）2；（2）（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2=4mn ；故答案为：（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2=4mn ；（3）（m+n ）（2m+n ）=2m 2+3mn+n 2；（4）答案不唯一：（5）（x ﹣y ）2=（x+y ）2﹣4xy=（﹣6）2﹣2.75×4=25， ∴x﹣y=±5．14. 【答案与解析】（1）B ；1 21 （2）去分母；x - 3 2 （3） x 2 - -1 1+ x=x - 3 - 2(x -1) = x - 3 - 2x + 2 =-x -1 = 1． (x +1)(x -1) (x +1)(x -1) (x +1)(x -1) (x +1)(x -1) 1- x15. 【答案与解析】xx 2 - x +1 1 1 8因为= 7 ,所以, 所以 = ,即 x + = ,x 2 - x +1x 7 x 7x 4 + x 2 +11⎛ 1 ⎫215 所以= x 2+ +1 = x + ⎪ -1 =x 2x 2 ⎝ x ⎭49 所以x = 49.x 4 + x 2 +1 1516. 【答案与解析】S n = 1+ n 2=[1++ 1 (n +1)21 ]2=1+[ - n 1 (n +1) ]2 + 2 ⨯ 1 n (n +1) =1+[ 1 n (n +1)]2 + 2 ⨯1n (n +1)n (n +1)∴S= (1+1 1⨯2 ) + (1+ 1 2 ⨯3 ) + (1+ 1 3⨯ 4) +…+ (1+1 )n (n +1) =n + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1=n + 1 -2 23 34 1n + 1n n + 1 n 2 + 2n .n + 1（利用拆项1 = 1 -1 即可求和）． n (n +1) n n +1=。

北师大版数学九年级上册全册复习

解：由已知，得 EF＝DE＝5 cm，由勾股定理，得 CF＝ 52－32 ＝4 (cm)，设 BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝x＋4，在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 82＋x2＝(x＋4)2，解得 x＝6， 1 1 2 所以阴影部分的面积为 ×6×8＋ ×4×3＝30(cm )． 2 2
┃考点攻略┃
► 考点一例1 用配方法解方程
用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.
[解析] 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x ＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．
解：把方程的各项都除以 3，得 4 4 4 4 2 x ＋ x－＝0，即 x ＋ x＝ . 3 3 3 3
2
2 4 2 4 22 配方，得 x ＋ x＋＝＋， 3 3 3 3
2
2 2 16 即x＋＝ . 3 9
2 4 解这个方程，得 x＋＝± ， 3 3 2 即 x1＝，x2＝－2. 3
►
考点二例2
用分解因式法解方程
用分解因式法解方程：(x－3)2＋3－x＝0.
4．配方法 (1) 配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成 (x ＋ a)2 ＝ b(b≥0) 的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
►
考点三
用公式法解方程
例3
用公式法解方程：x2＋x－1＝0.
[解析] 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．

九年级数学中考专题复习(数与式)北师大版

实数的有关概念◆【基础知识回顾】 1. 12-的倒数为（） A ．12B ．2C ．2-D ．1-2.某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元．将2580000元用科学记数法表示为（） A ．72.5810⨯元 B ．70.25810⨯元 C ．62.5810⨯元 D ．625.810⨯元 3.如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（）A ．－60 mB ．︱－60︱mC ．－（－60）mD ．601m 4.2-的相反数是（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-5.－2的绝对值是__________.【参考答案】1.C 2.C 3.A 4.A 5. 2 ◆【应考知识点】⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数零负整数有理数实数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数还可以分为零负整数负有理数负实数负分数负无理数知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值大纲要求：1.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义.3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 .4.画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小. 考查重点：1.有理数、无理数、实数、非负数概念；2.相反数、倒数、数的绝对值概念；3.在已知中，以非负数a 2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题. ◆【复习目标】了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义.注意：（1）近似数、有效数字.如0.030是2个有效数字（3,0），精确到千分位；3.14×105是3个有效数字，精确到千位；3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．（2）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．（3）在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.◆【应考重点例举】 1．有理数的意义⑴ 数轴的三要素为、和 . 数轴上的点与构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += . ⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = .⑷ 绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数. ⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 2.数的开方c a⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根，0的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 .⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .3. 实数的分类和统称实数. ◆【典型例题及解析】例1在实数－23，0，－3.14，2π，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，而不是分数．在上面所给，2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.例2（1）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值；（2）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简【答案】解：（1）依题意，有a+b=0，cd=1，e≠0（a+b ）+12cd －2e 0=0+12－2=－32．（2）由图知a>0，b<c<0，且│b│>│a│，∴a+b<0，b －c<0，a －b －│c│－（c －b ）=a －a －b+c －c+b=0．【解析】相反数、倒数、绝对值都是主要的概念，解答时应从概念蕴含着的数学关系式入手．含有绝对值的代数式的化简，首先要确定绝对值符号内的数或式的值是正、负还是零，然后再根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉，第（2）•题是数形结合的题目，解题的关键在于通过观察数轴，弄清数轴上各点所表示的正负性及各实数之间的大小关系，从而才能正确地去掉绝对值符号，达到化简的目的．例3今年6月，南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算，本届大会合同投资总额达2260亿元.将2260用科学记数法表示为（结果保留2个有效数字）（）A ．32.310⨯ B ．32.210⨯C ．32.2610⨯D ．40.2310⨯【答案】A【解析】准确把握概念.把一个数写成a×10 n的形式（其中1≤│a│<10，n 为整数），•这种记数法叫做科学记数法．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.根据题意，可知答案为A.例4若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．【答案】49或1;【解析】根据绝对值的定义来进行解答. │a│=(1)(0)(0)aa a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩.由题意︱m －n ︱= n －m 知道，n>m. 而︱m ︱=4, ︱n ︱=3 故m=±4，n=±3.所以m=－4，n=3或m=－4，n=－3.故（m+n ）2=1或49.例5已知x 、y+（y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（）A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74【解答】（y －3）2=0∴3x+4=0，y －3=0 ∴x=－43，y=3． ∵axy－3x=y ， ∴－43×3a－3×（－43）=3∴a=14∴选A【解析】若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个y －3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y－3=0，由此可求得x ，y 的值，将其代入axy －3x=y 中，即求得a 的值． ◆【09年中考题分类汇编】一、选择题1.（2009年河南省）－5的相反数是（）A ．15B ．15-C ．-5 D.52.(2009年广东梅州)12-的倒数为（） A ．12B ．2C ．2-D ．1-3.(2009年湖北咸宁)4-的绝对值是（）A ．4-B ．14-C ．4D ．144.（2009年广东省）《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A ．107.2610⨯ 元 B ．972.610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元5.（2009年内蒙古包头）国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（）A ．42610⨯平方米B ．42.610⨯平方米 C ．52.610⨯平方米D ．62.610⨯平方米6.（2009年四川绵阳）如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（）A ．－60 mB ．︱－60︱mC ．－（－60）mD ．601m 7.（2009年山西太原）在数轴上表示2-的点离开原点的距离等于（）A ．2B ．2-C ．2±D ．48.（2009年湖北襄樊）A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B 点所表示的数为（）A ．3-B ．3C ．1D ．1或3-9.（2009年湖北宜昌）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示( )．A ．增加14%B ．增加6%C ．减少6%D ．减少26% 10.（2009年内蒙古包头）27的立方根是（）A ．3B ．3-C ．9D ．9-11.（2009年黑龙江哈尔滨）36的算术平方根是（）．A.6B.±6C.6D.±6 二、填空题1.（2009年湖南邵阳）－2的绝对值是__________.2.（2009年青海）15-的相反数是；立方等于8-的数是．3.(2009年湖北黄冈)13-=_________；0(=_________；14-的相反数是_________．4.（2009年湖南怀化）若()2240a c --=，则=+-c b a ． 5.(2009年福建泉州)宝岛台湾的面积约为36 000平方公里，用科学记数法表示约为平方公里．6.（2009年山西省）山西有着丰富的旅游资源，如五台山、平遥古城、乔家大院等著名景点，吸引了众多的海内外游客，2008年全省旅游总收入739.3亿元，这个数据用科学记数法可表示为．【参考答案】选择题 1. D 2. C 3. C 4. A5. D 【解析】本题考查科学记数法和有效数字，将一个数用科学记数法表示为()10110na a ⨯≤<的形式，其中a 的有效数字就是10na ⨯的有效数字，且n 等于这个数的整数位数减1。

北师大版九年级上册数学第1章复习题答案

北师大版九年级上册数学第1章复习题答案1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），即林习惯的边长为2√5 cm.2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°. 因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD 相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积. 解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB 中，OB=√(AB2-AO2)=√(502-302)=40（cm）. 所以BD=2OB=80cm. （2）S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点. 求证：四边形EFPQ为正方形. 证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，∴四边形EFPQ为平行四边形. ∵AC=BD,∴EF=EQ.∴□EFPQ为菱形. ∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ. ∴∠QEF=90°. ∴菱形EFPQ是正方形.6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE, ∴∠DAE=∠CEA=∠CAE. 又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC=1/2×45°=22.5°.7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形. （2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8.证明：如图1-4-22所示，∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2. ∵DE//AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE. ∵DE//AC,DF//AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. 又AE=DE,∴□AEDF是菱形.9.证明：如图1-4-23所示，∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC 的中线，∴ME=1/2BC. 同理MF=1/2BC,∴ME=MF.10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB2=l2,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.11.证明：∵CP//BD,DP//AC, ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. ∵OC=1/2 AC,OD=1/2 BD,∴OC=OD ∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OA=OC,OB=OD, 又∵AM=BP=CN=DQ, ∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ, ∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD, ∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB, ∴∠FCD=1/2∠ACB=45°. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°. 在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD. ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°. ∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）. ∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC-CQ=（20-t）cm. ∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm. 当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP, ∴20-t=4t，解得t=4 ∴当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠FBD=∠DBC, ∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF. ∴△BFD是等腰三角形.16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,∴AB=FG,BC=GC,AC=FC, ∴△ABC≌△FGC,∴∠ACB=∠FCG. ∵∠ACB+∠ACD=90°，∴∠FCG+∠ACD=90°，即∠ACF=90°. ∵AC=CF,∴△ACF 是等腰直角三角形. ∴∠AFC=45°.17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC, ∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°. ∴∠H=90°. 同理可证∠F=90°，∠HEF=90°. ∴四边形EFGH是矩形.19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.。

(完整word版)北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九年级上册知识点总结第一章特殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。

内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用知识点归纳一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

；矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，•求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.ADEO12例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。

北师版九年级数学上册第一章综合测试卷含答案

北师版九年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2023揭阳期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质是() A．对角线互相垂直B．对角线相等C．四条边相等，四个角相等D．两组对边分别平行且相等2．[2024邢台襄都区模拟]如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是() A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝43．[2023成都温江区期末]如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E.若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为()A．65°B．70°C．75°D．80°4．[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝() A．α－90°B．α－45°C．180°－αD．270°－α5．[2023东莞期中]若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是()A．菱形B．矩形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形6. 三个边长为8 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为()A．16 cm2B．24 cm2C．28 cm2 D．32 cm27．在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm8. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5，12)，则AC的长是()A．5 B．7 C．12 D．139．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N 分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为()A．3 B．3.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②当∠EAF＝45°时，∠AEB＝∠AEF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当CE＝(2－2)BC时，BE＋DF＝EF.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD ＝________°.12．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和25，则此平行四边形的面积为________．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，PD＝1 2AC，∠P＝52°，则∠PDC＝________．14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠A＝60°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E 的速度为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当一点到达B点时，另一点随之停止移动，经过t s后△DEF恰为等边三角形，则此时t 的值为________．15．[2024东莞模拟]如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC 上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF.有下列结论：①AE＝EF；②CF＝2BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)三、解答题(共7小题，第16～21题每题10分，第22题15分，共75分)16．[2023扬州邗江区期末]如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N 分别是AC，BD的中点，连接BM，DM.求证：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.17．[2023广州海珠区期中]如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF 是菱形．18．[2024宝鸡陈仓区期中]在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．(1)如图①，求证：四边形AFCD是矩形；(2)如图②，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF.求证：DE＝DC.19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°. (1)求∠1＋∠2的度数；(2)求证：四边形ABCD是正方形．20. 在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E.(1)当点F运动到与点B重合时(如图①)，线段EF与AG的数量关系是________．(2)当点F运动到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?答：________．(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，点O为线段AC的中点．【感知】如图①，当点P在线段AO上(点P不与点A，O重合)时，①易证：△ABP≌△ADP(不需要证明)．进而得到PE与PD的数量关系是__________；②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)．进而得到PE与PD的位置关系是__________；【探究】如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；【应用】如图③，当点P在AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝2时线段DE的长．答案一、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D7.C8.D9．D 【点拨】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线．∴AC＝2MN＝2×3＝6.∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝12AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，12AC·BD＝24.即12×6×BD＝24，∴BD＝8.∴OD＝12BD＝4.∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝OC2＋OD2＝32＋42＝5.∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝12CD＝2.5.10．D 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF . ∴∠EAC ＝∠F AC . ∴AC 垂直平分EF ，故①正确； ∵∠EAF ＝45°， ∴易得∠EAC ＝∠F AC ＝∠BAE ＝∠DAF ＝22.5°. ∴∠BEA ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°. ∵BC ＝CD ，BE ＝DF ，∴CE ＝CF . ∴∠CEF ＝45°. ∴∠AEF ＝180°－∠CEF －∠BEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB ，故②正确； ∵∠DAF ＝15°， ∴∠EAF ＝∠BAD －∠BAE －∠DAF ＝90°－15°－15°＝60°. ∵AE ＝AF ， ∴△AEF 为等边三角形，故③正确； ∵CE ＝(2－2)BC ， ∴BE ＝DF ＝BC －CE ＝BC －(2－2)BC ＝(2－1)BC . ∴BE ＋DF ＝2(2－1)BC . ∴EF ＝EC 2＋FC 2＝2EC ＝2(2－2)BC ＝2(2－1)BC ＝BE ＋DF ，故④正确； ∴正确的结论有4个．二、11.62 12.45 13.12° 14.5315．①② 【点拨】如图，在AB 上取点H ，使AH ＝EC ，连接EH .∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥AE ，∴∠BCD ＝∠B ＝∠AEF ＝90°，AB ＝BC .∴∠HAE ＋∠AEB ＝90°，∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠HAE ＝∠CEF .∵AH ＝CE ，AB ＝BC ，∴BH ＝BE .∴△BHE 为等腰直角三角形．∴易得∠AHE ＝135°.∵CF 是正方形外角的平分线，∴易得∠ECF ＝135°.∴∠AHE ＝∠ECF .在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HAE ＝∠CEF ，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF (ASA)．∴AE ＝EF ，EH ＝CF ，∠AEH ＝∠EFC .故①正确；∵BE ＝BH ，∠B ＝90°，∴EH ＝BH 2＋BE 2＝2BE .∴CF＝2BE.故②正确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE＋∠AEH＝45°.∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°.∴∠HAE＋∠DAF＝45°.∴∠AEH＝∠DAF.∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC.而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误．故答案为①②.三、16.【证明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝12AC，DM＝12AC.∴BM＝DM.(2)∵点N是BD的中点，BM＝DM，∴MN⊥BD.17．【证明】如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC .∴∠1＝∠2.∵O 为BD 的中点，∴BO ＝DO .∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△OBE ≌△ODF (ASA)．∴BE ＝DF .∴四边形BEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．18．【证明】(1)∵F 是BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC .∵BC ＝2AD ，∴AD ＝12BC .∴AD ＝CF ＝BF .∵AD ∥BC ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.∴四边形AFCD是矩形．(2)如图，连接DF交CE于G，由(1)知AD＝BF.∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．∴AB∥DF.∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF. 又∵F是BC的中点，∴EF＝12BC＝CF.∴GE＝GC.∴DF是线段CE的垂直平分线．∴DE＝DC.19．(1)【解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠1＝90°.∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.(2)【证明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形．20．【解】(1)EF＝AG【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.∴∠AEB＋∠DAG＝90°.∴∠ABE＝∠DAG.∴△ABE≌△DAG(ASA)．∴EF＝BE＝AG.(2)成立．证明：如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，则∠EMF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°，AD＝CD.∴易得MF＝CD＝AD.∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE＋∠E＝90°.又∵∠E＋∠EFM＝90°，∴∠HAE＝∠EFM.∴△ADG≌△FME(ASA)．∴EF＝AG.21．【解】(1)四边形EGFH是平行四边形(2)如图①，②，连接GH.由题意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝6.①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2.②如图②，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8.综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8. (3)如图③，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O.∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，AD＝BC＝8.∴AM＝4.∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH.∴AG＝AH.∴四边形AGCH为菱形．∴AG＝CG.设AG ＝CG ＝x ，则DG ＝8－x ，∴在Rt △CDG 中，由勾股定理可得CD 2＋DG 2＝CG 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254. ∴MG ＝254－4＝94，即t ＝94，∴当t 的值为94时，四边形EGFH 为菱形．22．【解】【感知】①PE ＝PD 【点拨】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ＝45°.在△ABP 和△ADP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ，∴△ABP ≌△ADP (SAS)．∴PB ＝PD .∵PB ＝PE ，∴PE ＝PD .②PE ⊥PD 【点拨】由题意得∠PNE ＝∠PMD ＝∠PMC ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴CP 平分∠MCN ，∠NCM ＝90°.∴四边形PMCN 是矩形，PN ＝PM .∴∠MPN ＝90°.在Rt △PNE 和Rt △PMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，PN ＝PM ， ∴Rt △PNE ≌Rt △PMD (HL)．∴∠EPN ＝∠DPM .∵∠MPN ＝∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠MPE ＋∠DPM ＝90°，即∠DPE ＝90°.∴PE ⊥PD .【探究】PE 与PD 的数量关系和位置关系为PE ＝PD ， PE ⊥PD ，理由如下：设PE 交CD 于F .∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ACB ＝∠ACD ＝45°. 在△CBP 和△CDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠PCB ＝∠PCD ，PC ＝PC ，∴△CBP ≌△CDP (SAS)．∴PD ＝PB ，∠PBC ＝∠PDF .又∵PB ＝PE ，∴PD ＝PE ，∠PBE ＝∠PEB .∴∠PDF ＝∠PEB .∵∠PFD ＝∠CFE ，∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF.∵∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠DPF＝90°.∴PD⊥PE.【应用】线段DE的长为34. 【点拨】设PD交BE于H.由题意易证△CBP≌△CDP.∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.∴易得∠PDC＝∠PEB，PE＝PD.∵∠PHE＝∠CHD，∴180°－∠CHD－∠PDC＝180°－∠PHE－∠PEB，即∠DPE＝∠DCE.又∵易知∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°.∴△DPE是等腰直角三角形．过点P作PQ⊥BE于Q，∵PB＝PE，∴BQ＝EQ.∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，∴△CQP是等腰直角三角形．∴CQ＝PQ＝22CP＝1.∴EQ＝BQ＝BC＋CQ＝AB＋CQ＝3＋1＝4. ∴PE＝EQ2＋PQ2＝42＋12＝17.∴DE＝PD2＋PE2＝2PE＝2×17＝34.。

第一章复习北师大版九年级上册数学第一章复习2

第一章特殊平行四边形总分120分120分钟一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形C．矩形 D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B．C．1 D．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB 于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=_________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是_________．11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________．12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是_________．13．一组邻边相等的_________是正方形，有一个角是_________角的菱形是正方形．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件_________使得四边形AEFD是正方形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O 点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB 与∠ACP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。

北师大版九年级1-3单元知识点总结和典型例题docx

特殊的平行四边形知识点一：矩形1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质定理（1）矩形的四个角是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、判定定理（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形（2）对角线相等平行四边形为矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形归纳补充：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题3、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab知识点二：菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质定理：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形是菱形※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形归纳补充:1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、性质定理（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。

（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形3、判定定理（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相互垂直的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形方法总结：（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。