综合法和分析法 课件

(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn
= 3 f(bn-1)(n∈N*,n≥2)，求证：{ 1 }为等差数列.
2
bn
【解析】1.选B.
已知条件 条件分析
求解
结论
方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根 组成一个首项1 为 的等比数列
2
方程x2-mx+2=0和x2-nx+2=0中两根之积都 可等以于利2 用等比数列的性质：a1a4=a2a3 不妨设 12是x2-mx+2=0的一根，另一根为a，则 m=a+1 , 1 a=2
综合法
综合法 (1)定义 一般地,利用_已__知__条__件__和某些数学_定__义___、__公__理___、_定__理___ 等，经过一系列的_推__理__论__证__，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法.
(2)推证过程
已知条件 公理 定理
定义
所要证明的结论
由因导果
顺推
an m 3
便下结论，这是错误的.原因是除了分母不为零还要注意公比不 为零.
综合法证明几何问题 【典例】(12分)(2012·武汉高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在 平面，PA=AD= 2 AB，E为线段PD上一点， G为线段PC的中点. (1)当E为PD的中点时， 求证：BD⊥CE； (2)当 PE =2时，求证：BG∥平面AEC.
22
设x2-nx+2的两根为b,c,则n=b+c,bc=2
由 12b, ,c,a成等比，又a=4可得b=1，c=2,从而 m=9 , n=3.
2
m n 3 .选B
2
2.(1)由(3-m)Sn+2man=m+3，得(3-
m)Sn+1+2man+1=m+3，两式相减得(3+m)an+1=2man,
xy
x
y
= (2 y )(2 x ) 5 2( x y ).
xy
yx
又∵x>0,y>0,∴ x+ ≥y2,
yx
∴(1+ 1)(1+ )1≥5+2×2=9.
x
y
【归纳】证明题1的关键及题2中方法二的优越性. 提示：1.题1条件“a,b,c是不全相等的实数”说明了在 a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,a4+c4≥2a2c2中的等号不能同时 取到；另一个关键是用 “a2c2+b2c2≥2abc2,a2b2+a2c2≥2a2bc, a2b2+b2c2≥2ab2c”来过渡. 2.题2中的方法二采用了“1”的代换，是一种较为优越的证明 方法.当逆用“1”的代换时，可使问题的证明变得 “柳暗花明”.
答案：a>b
3.设a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则 1 + 1 + 1 的最小值为_____.
abc
【解析】∵a+b+c=1,
∴ 11 1 abcabcabc
abc a
b
c
3(b a)(c a)(c b) ab ac bc
≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=1 时，取“＝”.
1.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 1
2
的等比数列，则|m-n|=( )
(A)1
(B) 3
2
(C) 5
2
(D) 9
2
2.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*).
其中m为常数，且m≠-3,m≠0.
(1)求证：{an}是等比数列；
解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法 的选取.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC的形状一定 是________________. 2.在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边， 且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (1)求证：A的大小为 ;
3
答案：9
1.综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从 数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待 证结论.
2.综合法的特点 (1)从“已知”看“需知”，逐步推向“未知”，由因导果， 其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件. (2)用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步 为营，条理清晰，形式简单，宜于表达推理的思维轨迹.并且 综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论 都是正确的，不同于合情推理.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)
在解答过程中，在①处不知道如何作出辅助线，导致
无法证明BD⊥CE，或想证BD⊥平面ACE，但却把 失 ① ABCD误看成正方形，从而导致AC⊥BD这一错误结
分
论.则本题在实际考试中不得分.
警
在解答过程中，根据PA⊥平面ABCD，即使作出
分析条件 选择方向
转化条件 组织过程
适当调整 回顾反思
综合法证明三角问题
【技法点拨】
综合法处理问题的“三步曲”
仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析 已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、 定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.
把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过 程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.
3
(2)若sinB+sinC= 3,证明△ABC为等边三角形.
【解析】1.∵cosAcosB>sinAsinB,
∴cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)>0, ∵0<A+B<π,∴0<A+B<,
2
又∵C=π-(A+B),∴C∈( π,),
2
即△ABC为钝角三角形.
答案：钝角三角形
2.(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC
③若a,b∈(0,+∞)，则 a b
2
ab
特别地， b a
ab
≥2；
④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R)，由不等式a2+b2≥2ab易得
a2+b2+c2≥ab+bc+ac，此结论是一个重要的不等式，在不等式
的证明中的使用频率很高;
⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，体现了a+b+c,a2+b2+c2与
ab+bc+ac这三个式子之间的关系.
【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）
1.已知a,b,c为不全相等的实数，求证：a4+b4+c4 >abc(a+b+c).
2.已知x>0,y>0,x+y=1，求证：(1+ 1 )(1+ 1 )≥9.
x
y
【证明】1.∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,
综合法在数列中的应用
【技法点拨】
综合法证明数列问题的主要依据
(1)等差、等比数列的定义；
(2)等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及基本性质；
(3)数列求和知识及等差中项，等比中项的概念；
(4)数列的前n项和Sn与通项an的关系
an
S1 Sn
Sn1
n 1， n 2.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)
∴BD⊥CE. ………………………6分
(2)取PE的中点F，连接GF，BF.③ ∵G为PC的中点，∴GF∥CE，…………7分 ∴GF∥平面ACE.设BD交AC于点O，连接OE.③
…………………………………………8分 ∵E为DF的中点，∴BF∥OE，…………9分 ∴BF∥平面ACE.∵BF∩GF=F， ∴平面BGF∥平面AEC.…………………11分 又BG BGF，∴BG∥平面AEC.……12分
3.综合法的思考过程 由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：
故要从A推理到D，由A推理出的中间结论未必唯一，如B，B1， B2等，可由B，B1，B2能推理出的进一步的中间结论则可能更多， 如C，C1，C2，C3，C4等.最终能有一个(或多个)可推理出结论D 即可. 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法 证明数学问题的关键.
bn
3
【思考】1.题2中证明数列为等差数列或等比数列的关键.
2.题2中证明{an}为等比数列时容易忽视什么问题？ 提示：1.证明某数列为等差数列或等比数列的关键是归结为满 足定义，只有满足定义，方可下结论. 2.题2中，因为等式中带有字母m，所以容易忽视的问题是不 强调“m≠0且m≠-3”，随便写a成n 1 2m ,
3sinB+ c3osB=
2
2Hale Waihona Puke 3即sin(B+30°)=1.
∵0°＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°,
∴B+30°=90°，B=60°,∴A=B=C=60°,
即△ABC为等边三角形.
【想一想】从本题来看,用综合法证明三角问题的主要依据有 哪些? 提示：用综合法证明三角问题的主要依据有 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式; (2)和、差、倍角的三角函数公式； (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理； (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等.