任务七平面图形的几何性质

任务七 平面图形的几何性质
一、填空题
1. 图示B H ⨯的矩形中挖掉一个b h ⨯的矩形，则此平面图形的
z W =( 23
66z BH bh W H
=
- )。

2. 对图示矩形，若已知x I 、y I 、b 、h ，则
11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。

3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴，等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。

4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形，则该图形对y 轴的惯性矩为( 45
4
a )。

5.图形对所有平行轴的惯性矩中，图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。

6.对直径为d 的圆形截面，它的惯性半径为( i=d/4 )。

二、选择题
1.在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。

A.图形的对称轴必定通过形心；
B.图形两个对称轴的交点必为形心；
C.图形对对称轴的静矩为零；
D.使静矩为零的轴为对称轴。

2.在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正、可负、也可为零。

A.静矩和惯性矩
B.极惯性矩和惯性矩
C.惯性矩和惯性积
D.静矩和惯性积。

3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ，则当其长宽比保持不变。

而面积增加1倍时，该矩形对z 的惯性矩将变为（ D ）。

A. 2I
B. 4I
C. 8I
D. 16I 4.若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。

A.静矩为零，惯性矩不为零
B.静矩不为零，惯性矩为零
C.静矩和惯性矩均为零
D.静矩和惯性矩均不为零 5．若截面有一个对称轴，则下列说法中（ D ）是错误的。

A. 截面对对称轴的静矩为零；
B. 对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等；
C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零；
D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。

6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。

B
b
h
H C
z
a
2 a
y
z
A.形心轴
B.主惯性轴
C.行心主惯性轴
D.对称轴
7.有下述两个结论：①对称轴一定是形心主惯性轴；②形心主惯性轴一定是对称轴。

其中 （B ）。

A. ①是正确的；②是错误的
B. ①是错误的；②是正确的
C. ①、②都是正确的
D. ①、②都是错误的 8. 由惯性矩的平行移轴公式，2
z I 的答案有四种：( C )
A.2134z z bh I I =+；
B. 23
4
z z bh I I =+；
C.2
3z z I I bh =+； D.2
1
3z z I I bh =+。

9. 工字形截面如图所示，z I 有四种答案：( A )
D.
329
144
bh 10. 图示由三角形和半圆组成的图形，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴
B.是形心主轴
C.是主轴
D.不是主轴
11. y 轴上、下两部分图形面积相等，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴；
B.是形心主轴；
C.是主轴；
D.不是主轴。

12.惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。

A.一
B.二
C.三
D.四
13.静矩的量纲为长度的（ C ）次方。

A.一
B.二
C.三
D.四
14.极惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。

A.一
B.二
C.三
D.四
15.惯性半径的量纲为长度的（ A ）次方。

A.一
B.二
C.三
D.四
16.受弯构件正应力计算公式σ=My/Iz 中，Iz 叫（C ）
y
z
z 1
z 2
h /2
h /2
h /2
b /2
b /2
︒45y 1
y b b
b
a O a
A.截面面积
B.截面抵抗矩
C.惯性矩
D.面积矩
三、计算题
1. 试应用p I ，y I 及z I
间的关系式求直角扇形的y I 及z I 。

解：4
p 8
R I π=
因为y z I I =，所以4
16
y z R I I π==
2. 求由三个直径为d 的相切圆，构成组合截面对形心轴x 的惯性矩。

解：三角形的形心即该组合截面的形心。

3.计算惯性矩
（1） 矩形： a 截面对形心轴的I z ，I y
解：d A =bd y
I z =A A
d y ⎰2=y h h bd y ⎰
-2
/2
/2=b[y 3
/3]2
/2/h h -=bh 3
/12
D A =hd z
I y =A A d z ⎰2
=hdA z b b ⎰
-2
/2
/2= h[z 3
/3]2/2/b b -=hb 3
/12
B 截面对z ，y 轴的I z ，I y 解：d A =bd y
I z =A A d y ⎰2=y h
bd y ⎰0
2=b[y 3/3]h
0 =bh 3/3
I y =A A d z ⎰2=hdz z b
⎰0
2= h[z 3/3]b 0=hb 3/3
（2）圆形截面： I z ，I y
解：I z =I y=dA y d d ⎰
-2/2
/2==y d d d y d y 222
/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-=64/4d π
d A =d y ⋅⋅22
2)2/(y d -
4.求图形对形心主轴的惯性矩Ｉzc 。

答案：
5.求图形对形心主轴的惯性矩Izc 。

答案：
z
y
R
x
d y
b
d z
d A
A
d y
x
b
y
d z
d z
y
6.用平行移轴定理求图形对Z' 轴的惯性矩，已知。

答案：
7.试求图所示图形的形心位置(图中单位mm)。

（a ）解：将图形分成三部
分，
28001008mm A Ⅰ=⨯= ， mm x Ⅰ4= ， 0=Ⅰy 27207210mm A Ⅱ=⨯= ， mm x Ⅱ442
72
8=+
= ，mm y Ⅱ45-= 27207210mm A Ⅲ=⨯= ，mm x Ⅲ44= ， mm y Ⅲ45= （b ）解：将图形看成矩形减去圆形，
矩形：2
80000200400mm A Ⅰ=⨯= ， 0=Ⅰx ， 0=Ⅰy 22278505014.3mm R A Ⅱ-=⨯-=-=π ， mm x Ⅱ100= ，0=Ⅱy
8. 矩形截面截去一角,如图5-19所示,求其形心位置。

解：将图形看成矩形截面减去等腰三角形，
矩形：2
120000300400mm A Ⅰ=⨯= ，
0=Ⅰx ， mm y
Ⅰ150= 21125015015021mm A Ⅱ-=⨯⨯-= ， mm x Ⅱ15015032
50=⨯+= ，
mm y Ⅱ501503
1
=⨯=
9. 水坝截面如图所示,求其形心位置(图中单位m)。

解：将图形分成三部分，
2
5.255.0m A Ⅰ=⨯= ， m x
Ⅰ75.025.05.0=+= ， m y Ⅰ5.35.21=+=
225.655.221m A Ⅱ=⨯⨯=
，m x Ⅱ83.15.23
1
1=⨯+= ，m y Ⅱ67.25311=⨯+=
2441m A Ⅲ=⨯= ，m x Ⅲ2= ， m y Ⅲ5.0=
10. 如图所示为Z 形截面型钢，求其形心位置（图中单位cm ）。

解：将Z 图形分成三部分，
2
50105cm A Ⅰ=⨯= ， cm x
Ⅰ5-= ， cm y Ⅰ5.375.240=-= 2200405cm A Ⅱ=⨯= ，cm x Ⅱ5.2= ，cm y Ⅱ20= 275155cm A Ⅲ=⨯= ，cm x Ⅲ5.122
15
5=+
= ， cm y Ⅲ5.2= 11. 确定下列图形的形心位置，计算平面图形对形心轴y c 的惯性矩。

解：
（1）查型钢表得 槽钢No14b 工字钢No20b （2）计算形心位置
由组合图形的对称性（对称轴是z c 轴）知：y c =0； （3）用平行移轴公式计算各个图形对y c 轴的惯性矩
（4）求组合图形对yc 轴的惯性矩
z c
y
y c 1
y c
y c 2
c) C
C 1
C 2
No14b
No20b
O z o 1 h
z c。