任务七平面图形的几何性质
初中数学知识点归纳——平面几何图形的性质
初中数学知识点归纳——平面几何图形的性质平面几何图形是初中数学中的重要内容，其中包括了很多与图形性质相关的知识点。
本文将对初中数学中平面几何图形的性质进行详细归纳和介绍。
首先，我们来讨论三角形的性质。
三角形是由三条线段组成的图形，具有以下特点：1. 三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 三角形的角关系：三角形的三个内角之和为180度，其中每个内角小于180度。
3. 三角形的边对角关系：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则两个三角形全等；而如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则两个三角形相似。
接下来，我们来讨论四边形的性质。
四边形是由四条线段组成的图形，具有以下特点：1. 四边形对角线关系：四边形的对角线互相平分，即对角线的交点处于对角线上的点被平分为两等分。
2. 四边形的内角和关系：四边形的内角和为360度。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分。
4. 矩形的性质：矩形是一种特殊的平行四边形，有四个直角，对边相等。
5. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，有四个相等的边和四个直角。
此外，还有一些其他平面几何图形的性质也需要了解：1. 直线的性质：直线是由无数个点组成的，无宽度和无端点。
两个互不重合的直线在平面上最多只有一个交点。
2. 射线的性质：射线是由一个端点和一个方向所确定的线段，可以延伸到无穷远。
两个射线共线时，它们有一个公共端点。
3. 角的性质：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
角的大小可以用度数来表示，一个完整的角是360度。
4. 圆的性质：圆是由一组等距离于圆心的点组成的。
圆的周长公式是C=2πr，其中C代表周长，r代表半径。
圆的面积公式是S=πr^2，其中S代表面积。
最后，我们来讨论一下平面几何图形的应用。
在实际生活中，平面几何图形的知识经常被用于解决各种问题，比如测量房屋面积、计算行驶的路径等。
掌握了平面几何图形的性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
附录1：平面图形的几何性质new
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
平面图形的基本概念与性质
定义：直角三角形是有一个角为直角的三角形，等腰直角三角形是两边相等且有一个角为直角的三角形。
性质：直角三角形具有斜边最长的特点，等腰直角三角形除了具有直角三角形的性质外，还具有两边相等的特点。
面积计算：直角三角形的面积可以通过底和高来计算，等腰直角三角形的面积可以通过直角边来计算。
特殊性质：等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它具有一些特殊的性质，如两个锐角相等，两条直角边相等，斜边最长且等于直角边的平方和的平方根。
根据轴对称性分类：轴对称图形、中心对称图形等
根据是否封闭分类：封闭图形、开放图形等
02
平面图形的性质
形状与大小
添加标题
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平面图形的大小由其面积和周长衡量，表示平面图形所占据的区域大小。
平面图形的形状由其边界决定，可以是圆形、椭圆形、多边形等。
平面图形的形状和大小是描述平面图形的基本属性，对于确定图形的位置、关系和性质具有重要意义。
平面图形可以是封闭的，即由线段围成的区域，也可以是开放的，即由线段组成但没有形成封闭区域。
平面图形具有多种分类方式，如按照形状、边数、对称性等进行分类。
平面图形只存在于二维平面中，不具有三维空间中的深度和高度。
平面图形的分类
根据边数分类：三角形、四边形、五边形等
根据角数分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等
形状与大小是平面图形的基本性质之一，对于几何学、图形学等领域的研究和应用具有基础性作用。
边与角
边长：连接两个顶点的线段的长度
角度：两条射线之间的夹角大小
平行线：不相交的两条直线
对角线：连接一个角的顶点与其对边上一点的线段
对称性
定义：平面图形关于某一直线或点对称
第5章 平面图形的几何性质
称为该微面积
dA对于O点的极惯性矩。整个面积A对O点的极惯性矩等于在A范
围内所有这些微面积极惯性矩的总和，即
工程力学
5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
微面积dA与其分别至y轴和x轴距离的乘积xyzdA，称为 该微面积dA对于x、y轴的惯性积。整个面积A对于x、y轴的
惯性积等于在A范围内所有这些微面积惯性积的总和，即
式中的ai为该细长条的中点至z轴的距离 。因为t很小，所以 与 相比可略去不计
。于是，整个截面对于z轴的惯性矩为：
工程力学
Thank you
工程力学
于x、y轴的惯性矩和惯性积。在计算它们时，常需用到平行
移轴公式。
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果已知某一平面图形对通过O点的一对直角坐标轴x、y的惯性
矩
和惯性积
（图5-12），则当这对坐标轴绕O点旋转了
一个α 角时（ α 角以逆时针旋转为正），平面图形对这一对新 坐标轴 的惯性矩 和惯性积 可按下述关系求得：
轴称为主惯性轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。当一对主 惯性轴的交点与图形的形心重合时，就称为形心主惯性轴。对形 心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。主惯性矩的计算公式如 下：
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果这里所说的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心 主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。
式中的
称为图形对x、y轴的惯性积。由上述定义可见，同一图形对于不同的坐标轴的惯性矩 或惯性积一般也是不相同的。
工程力学
5.3 平行移轴公式
平行移轴公式
1
2
组合图形的惯性矩与惯性积
工程力学
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
平面图形的性质与判定
平面图形的性质与判定导语：平面图形是几何学中的重要概念，它们具有不同的性质和特点。
本文将探讨平面图形的性质与判定，包括图形的对称性、角度、边长、面积等方面。
通过深入研究这些性质，我们可以更好地理解和应用平面图形。
一、对称性对称性是平面图形的一个重要性质，它可以分为轴对称和中心对称两种。
轴对称是指图形可以通过一条直线进行折叠，两边完全重合。
而中心对称是指图形可以通过一个点进行旋转，旋转180度后与原图形完全一致。
对称性的判定对于解题和构图都有重要意义。
例如，正方形就具有轴对称性。
当我们将正方形沿着中心线折叠时，两边完全重合。
而圆形则具有中心对称性，因为它可以通过旋转180度后与原图形完全一致。
二、角度角度是平面图形的重要性质之一，它可以分为直角、锐角和钝角。
直角是指两条线段相互垂直，形成90度的角。
锐角是指两条线段夹角小于90度，而钝角则是指两条线段夹角大于90度。
通过角度的判定，我们可以确定图形的性质和特点。
例如，在三角形中，如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
如果三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
而如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
三、边长边长是平面图形的另一个重要性质，它可以帮助我们判断图形的大小和形状。
例如，在矩形中，如果四条边的长度相等，则这个矩形是正方形。
而如果四条边的长度不相等，则这个矩形是长方形。
另外，边长还可以用来计算图形的周长。
周长是指图形的边界长度，可以通过将所有边长相加来计算。
例如，在正方形中，如果一条边的长度是a，则它的周长是4a。
四、面积面积是平面图形的一个重要性质，它可以帮助我们计算图形所占的空间大小。
面积的计算方法因图形而异。
例如，在矩形中，面积可以通过将长和宽相乘来计算。
在三角形中，面积可以通过将底边长度与高相乘再除以2来计算。
面积的计算不仅可以帮助我们理解图形的大小，还可以应用于各种实际问题中。
例如，在建筑设计中，我们需要计算各种房间的面积，以确定材料的使用量。
平面图形的性质与特征
平面图形的性质与特征一、点、线、面的基本概念及关系1.点：平面上的位置，没有长度、宽度和高度。
2.线：点的移动轨迹，有长度，没有宽度和高度。
3.面：线的移动轨迹，有长度和宽度，没有高度。
4.点、线、面的关系：点构成线，线构成面。
二、直线与射线的性质1.直线：无端点，无限长，同一平面内，直线外一点与直线上一点确定一条直线。
2.射线：有一个端点，无限长，从端点出发，沿直线方向延伸。
三、线段的性质1.线段：有两个端点，有限长。
2.线段的长度：两个端点之间的距离。
3.线段的垂直平分线：线段的中垂线，将线段平分为两个相等的部分，且与线段垂直。
四、角度的性质1.角度：由两条射线的公共端点和这两条射线的非公共部分组成的图形。
2.角度的度量：用度（°）作为单位，180°为直角，90°为锐角，小于90°为锐角，大于90°小于180°为钝角。
3.角度的补角：两个角的度数之和为180°。
4.角度的余角：两个角的度数之和为90°。
五、平行线的性质1.平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线。
2.平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3.平行线的判定：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
六、三角形的性质1.三角形：由三条边和三个角组成的多边形。
2.三角形的内角和：180°。
3.三角形的分类：根据边长关系，分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角度关系，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4.三角形的高：从顶点到对边的垂线段。
七、四边形的性质1.四边形：由四条边和四个角组成的多边形。
2.四边形的内角和：360°。
3.四边形的分类：根据边长关系，分为矩形、正方形、平行四边形和普通四边形；根据角度关系，分为锐角四边形、直角四边形和钝角四边形。
4.四边形的角度性质：对角线互相平分，对边平行。
八、圆的性质1.圆：平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
平面图形的性质
平面图形的性质在我们的日常生活中，平面图形无处不在。
从我们居住的房屋形状，到书本页面的轮廓，再到手机屏幕上的图标，平面图形构成了我们所见世界的一部分。
那么，什么是平面图形？平面图形又具有哪些独特的性质呢？平面图形，简单来说，就是在一个平面内由线段、曲线等构成的封闭或不封闭的图形。
常见的平面图形包括三角形、四边形、圆形、多边形等等。
先来说说三角形。
三角形是最为基础和常见的平面图形之一。
它具有稳定性，这一性质在建筑和工程领域有着广泛的应用。
比如，很多桥梁的结构中就运用了三角形的稳定性来确保桥梁的稳固。
三角形的内角和总是180 度，无论其形状大小如何。
根据边的长度和角的大小，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形等不同类型。
等边三角形的三条边长度相等，三个角也都为 60 度；等腰三角形有两条边长度相等，对应的两个角也相等；直角三角形则有一个角为90 度，其两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
四边形是另一种常见的平面图形。
其中，平行四边形具有两组对边分别平行且相等的性质。
矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角。
菱形也是特殊的平行四边形，其四条边长度相等。
正方形则更加特殊，它既是矩形又是菱形，具有矩形和菱形的所有性质。
圆形是一种优美而独特的平面图形。
圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离被称为半径。
圆的周长与直径的比值是一个固定的数，称为圆周率，通常用π表示。
圆的面积等于π乘以半径的平方。
在实际生活中，我们常见的车轮、井盖等很多物品都做成圆形，这是因为圆形在滚动时能够保持平稳，而且在相同周长的情况下，圆形所围成的面积最大。
多边形也是平面图形家族中的重要成员。
多边形可以根据边的数量分为三角形（三边）、四边形（四边）、五边形（五边）等等。
多边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度，其中 n 为多边形的边数。
平面图形的性质在数学、科学、工程、艺术等多个领域都发挥着重要作用。
平面图形的性质课件
平面图形的性质课件平面图形的性质平面图形是我们学习数学的重要内容之一。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还是我们日常生活中常见的形状。
本文将探讨平面图形的性质，以帮助读者更好地理解和应用它们。
一、点、线和面在几何学中，点是最基本的概念。
它没有大小和形状，只有位置。
线由无数个点构成，它们在空间中延伸而成。
线的长度是无限的，但我们通常通过两点来确定一条线的位置。
面是由多条线构成的，它们在空间中形成了一个封闭的区域。
面有无数个点和线，但它没有厚度。
我们常见的平面图形，如矩形、三角形和圆形，都是由线和面组成的。
二、多边形的性质多边形是由直线段构成的封闭图形。
它有以下几个重要的性质：1. 边的数量：多边形至少有三条边。
具体而言，三角形有三条边，四边形有四条边，五边形有五条边，以此类推。
2. 角的数量：多边形的内角数等于其边数减去2。
例如，三角形有3个内角，四边形有4个内角，五边形有5个内角。
3. 内角和：多边形内所有的内角和等于360度。
这意味着无论多边形的形状如何，内角的度数总和都是固定的。
4. 外角和：多边形的外角和总是等于360度。
外角是指由一条边和相邻内角的补角组成的角度。
三、矩形和正方形的性质矩形和正方形是常见的平面图形，它们有特殊的性质：1. 矩形的对角线相等且互相平分：对于任意矩形ABCD，其两条对角线AC和BD相等，且互相平分。
2. 矩形的内角为直角：矩形的四个内角都是直角（90度角）。
3. 正方形是一种特殊的矩形：正方形是边长相等的矩形，因此它也具备矩形的性质。
此外，正方形的内角也都是直角。
四、三角形的性质三角形是最简单的多边形，它有以下几个重要的性质：1. 三角形的内角和为180度：任意三角形的三个内角的度数之和等于180度。
2. 等边三角形的特点：等边三角形的三条边都相等，且三个内角都是60度。
3. 等腰三角形的特点：等腰三角形的两条边（腰）相等，且两个内角也相等。
4. 直角三角形的特点：直角三角形有一个内角是直角（90度），其他两个内角则相加等于90度。
平面图形的种类及性质
相似性
定义：两个平 面图形在形状 和大小上完全
相同
性质：具有相 同的角度、边
长和面积等
判定方法：通 过度量、比较 和计算等方法
进行判断
应用：在几何 学、工程学和 日常生活中广
泛应用
THANK YOU
汇报人：XX
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
应用：在几何学、 工程学、建筑设 计等领域中广泛 应用。
定理：平行线段 之间的距离最短， 且平行线段之间 的角度相等。
垂直性
定义：垂直性 是指两条直线 或线段在平面 上相交，并且 它们之间的夹 角为90度。
性质：垂直的 两条线段互相 垂直，且它们 之间的夹角为
直角。
应用：在几何 学中，垂直性 是研究平面图 形的重要性质 之一，它在解 决几何问题中 具有广泛应用。
平面图形的性质
对称性
定义：平面图形 关于某一直线或 点对称的性质
分类：轴对称和 中心对称
性质：对称的图 形具有稳定性、 平衡性和美观性
应用：在建筑设 计、艺术创作和 自然界中广泛存 在
平行性
定义：平行性是 指平面图形中， 一组直线段在平 面上无限延伸， 且永远不相交的 性质。
性质：平行线段 之间的距离保持 不变，平行线段 之间的角度保持 不变。
矩形
定义：矩形是一个四边形，其中相对边相等且相对角相等 性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角 面积计算公式：面积 = 长 × 宽 周长计算公式：周长 = 2 × (长 + 宽)
正方形
定义：四条边相等且四个角为直角的平行四边形 性质：对角线相等且互相平分，面积等于边长的平方 应用：建筑材料、包装盒、地板等 与其他图形的区别和联系
建筑力学 第7章 平面图形的
A2=200×40=8000，yc2=40/2=20 截面对Z轴的静矩为：
Sz1 Ai yci A1 yc1 A2 yc2 8000140 8000 20 1.28106
图7-7
7.2 惯性矩和惯性积
【例7-1】试求如图7-4所示工字形截面的 形心坐标。
解：将平面图形分割为三个矩形，每个图 形的面积和形心坐标分别为：
A1=80×40=3200，z1=0， y1=40+120+40/2=180
A2=120×40=4800， z2=0， y2=40+120/2=100
A3=40×120=4800， z3=0， y3=40/2=20
图7-6
2．组合平面图形的静矩 在工程实际中，经常会遇到由简单几何图形组合而
成的横截面构件，根据平面图形静矩的定义，组合图形对 z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数 和，即
S z
A1 yC1 A2 yC2 An yCn
n
Ai yCi
S y
我们把这些只与平面图形几何形状和尺
寸有关的几何量称之为平面图形的几何性质， 它是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性 质无关，但它是影响构件承载力的重要因素。 例如，在前两章介绍的应力和变形的计算公 式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力 有关，还与杆件截面的横截面积A、极惯性 矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切 相关，以后在弯曲等问题中我们还会遇到平 面图形其它的一些几何性质。
2 19953750
Iy
I1y
I2y
640
平面图形的性质与应用
平面图形的性质与应用在数学中，平面图形是指由点和线构成的二维几何图形。
它们具有独特的性质，广泛应用于几何学、工程学、建筑学等领域。
本文将探讨平面图形的一些主要性质，并介绍它们在实际生活中的应用。
一、点、线和平面在平面图形中，点是最基本的要素。
它没有大小和形状，只具有位置信息。
线由两个点确定，可以看作是一条无限延伸的路径。
而平面由无数个点和线组成，是一个无限大的二维空间。
二、多边形的性质多边形是由线段相连而成的封闭图形。
它有许多重要的性质，如：边数、顶点数、内角和外角等。
1. 边数和顶点数一个多边形的边数等于它的顶点数，代表了多边形的复杂程度。
例如，三角形有三个边和三个顶点，矩形有四个边和四个顶点。
2. 内角和外角内角是多边形内部的角度，而外角则是多边形内部一条边的延长线与相邻边之间的角度。
对于一个n边形（n≥3），它的内角和外角满足以下关系：内角和= (n-2) × 180°，外角和= 360°。
这些性质有助于我们计算多边形内部和外部的角度。
三、常见平面图形的性质与应用除了多边形，还有许多其他常见的平面图形，它们也具有自己独特的性质和应用。
1. 圆形圆形是由一条固定半径的弧线围成的平面图形。
它有以下重要性质：半径、直径、周长和面积。
- 半径是由圆心到圆上任意一点的线段，它决定了圆的大小。
- 直径是通过圆心并且两端均在圆上的线段，等于两倍的半径。
- 周长是圆的边界长度，等于2πr（r为半径）。
- 面积是圆内部的空间大小，等于πr²。
圆形的应用非常广泛，如在建筑设计中，圆形的柱子可以提供更好的支撑力；在工程中，圆形的轮胎可以减少摩擦力。
2. 正方形正方形是一种具有四个相等边的矩形，它具有许多特点性质，并广泛应用于实际生活中。
- 边长和周长：正方形的四条边长度相等，周长等于4a（a为边长）。
- 面积：正方形的面积等于a²。
- 对角线：正方形的对角线相等，长度为√2a。
平面图形的几何性质
截面的几何性质 500 A1 120 C1 C A2 yc C2 O 250 z1 z z2
580
z’
y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以
I y I1 y I 2 y 120 5003 580 2503 4 8 4 mm 20.1 10 mm 12 12
机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部
分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其 用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
截面的几何性质
第一节 静矩
一、静距的概念
静距是面积与它到轴的距离之积。 y z
dS z ydA
A
dS y zdA
A
S z dS z ydA S y dS y zdA
h/2
y
S z1
h bh A y C bh 2 2
2
h/2
C
z z1
(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩 截面对z轴的静矩为
b/2
b/2
由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形
Sz=0
截面的几何性质
例7-2 试计算如图7-3所示的平面图形对z1和y1的静矩， 并求该图形的形心位置。
i 1
n
y1
10
求得该平面图形的形心坐标为
yC
C1（5,60） C2（45,5）
Ai yC
i 1 i 1 n
n
i
C1
120
Ai
i
n
7.55 104 mm 39.74mm 1200 700
C2
80
10
z1
zC
附_平面图形的几何性质
y
材料力学
FI-2 惯性矩
五、平行轴定理
截面对任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
z
O
y
b
z
C
z0
a
y0
dA
I y I y0 b 2 A
z0
A
I z I z0 a 2 A
y
y0
材料力学
FI-3 惯性积
yzdA：微面积dA对一对 z 正交轴y，z的惯性积
b
Iz
z h
A
y dA
2
h 2 h 2
y 2bdy
dy
y
C
b 3 y 3 h
2
h 2
1 3 bh 12
2
y
1 3 I y z dA hb A 12
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
2. 圆形截面
d
已知
1 d 4 I dA A 32
A
极惯性矩和惯性矩之间的关系 2 I dA ( z 2 y 2 )dA
A
A
y
z 2 dA y 2 dA
A A
I y Iz
截面对任意点的极惯性矩等于此截面对于过该点 任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
1. 矩形截面
dA
O
y z
A
平面图形对一对正交轴y， z的惯性积：
I yz = yzdA
A
y
量纲为长度的四次方。 Iyz可能为正，为负或为零。
平面图形的性质及相关定理
平面图形的性质及相关定理平面图形是几何学中的重要概念，大致可以分为线段、直线、角和面。
每种图形都有其独特的性质及相关定理，本文将针对这些内容展开论述。
1. 线段线段是由两个端点构成的有限部分直线。
线段的性质包括长度、方向和位置等方面。
其中最基本的定理是线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得出，即欧几里得距离公式。
此外，线段的方向可以用斜率来描述。
若两线段的斜率相同，则它们平行；若两线段互为负倒数，则它们垂直。
2. 直线直线是没有端点的最长线段，也是平面几何中最基本的图形之一。
直线的性质主要有长度无穷大、方向唯一和位置平行等特点。
对于平行直线，我们可以利用同位角、内错角等相关定理进行证明。
同时，两直线交角的大小与它们的斜率有密切关系，通过求解斜率方程可得到直线之间的关系。
3. 角角是由两条射线共享一个端点所形成的图形。
角的性质包括大小、内外角和相互关系几个方面。
其中最重要的定理是角的度量可以通过弧度或角度计算。
弧度是一个非常重要的新单位，它的定义是角所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
此外，角的内外角关系也是值得研究的，例如内错角之和等于180度。
4. 面面是由三条边围成的平面图形。
面的性质包括面积、形状和位置等方面。
最常见的面包括三角形、矩形和圆形。
对于三角形而言，海伦公式可以帮助我们计算其面积，它要求已知三边长度。
另外，矩形具有特殊的性质，如相邻边互相垂直且对角线相等。
而圆是一种特殊的面，它具有无限多个对称轴、周长和面积计算公式等。
总结：平面图形的性质及相关定理是数学研究的重要内容。
通过对线段、直线、角和面的研究，我们可以深入了解它们各自的特点及内在关系。
这些性质及定理的应用广泛，涉及到数学、物理、工程等领域。
在实际生活中，我们也能发现许多与平面图形相关的现象，比如日常用品的设计、城市规划等。
因此，深入掌握平面图形的性质及相关定理对于我们的学习和实践具有重要意义。
平面形的性质知识点总结
平面形的性质知识点总结平面形是几何学中一类常见的二维图形，包括了许多不同的图形，如矩形、正方形、三角形、梯形等。
了解平面形的性质对于解题和分析几何问题非常重要。
本文将对平面形的性质进行总结，并提供一些实例进行说明。
一、矩形的性质矩形是一种特殊的四边形，它的对边相等且平行，且内角均为直角。
以下是矩形的几个重要性质：1. 两对对边分别相等且平行。
2. 对角线相等并且相交于中点。
3. 任意一条边均与其相对的边垂直。
例如，ABCD为矩形，AB＝CD，BC＝AD，AC＝BD，AC和BD为对角线。
二、正方形的性质正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且平行，且内角均为直角。
以下是正方形的几个重要性质：1. 所有边长相等且平行。
2. 所有角均为直角。
3. 对角线相等且垂直于彼此。
例如，ABCD为正方形，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，AC和BD为对角线。
三、三角形的性质三角形是一个有三条边和三个角的平面形。
以下是三角形的一些重要性质：1. 三角形的内角之和为180度。
2. 三角形的外角之和为360度。
3. 三角形的三边满足任意两边之和大于第三边的三角不等式。
例如，ABC为三角形，∠A+∠B+∠C＝180度。
四、梯形的性质梯形是一个有两个平行边的四边形。
以下是梯形的一些重要性质：1. 两个底角（梯形两边且不与平行边相邻的内角）之和等于180度。
2. 两个顶角（梯形两边且与平行边相邻的内角）之和等于180度。
3. 非平行边（腰）不等。
例如，ABCD为梯形，AB平行于CD，∠A+∠B＝180度。
五、圆的性质圆是由一条曲线（圆周）上的所有点与一个固定点（圆心）的距离相等的图形。
以下是圆的一些重要性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆周上的弧度等于圆心角所对的弧度。
3. 圆上的切线与半径垂直。
例如，O为圆心，AB为圆上的一条弧，OA与OB为半径，∠AOB为圆心角。
六、五边形和六边形的性质五边形和六边形是常见的多边形，它们具有一些共同的性质：1. 五边形的内角之和为540度，六边形的内角之和为720度。
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任务七 平面图形的几何性质
一、填空题
1. 图示B H ⨯的矩形中挖掉一个b h ⨯的矩形，则此平面图形的
z W =( 23
66z BH bh W H
=
- )。
2. 对图示矩形，若已知x I 、y I 、b 、h ，则
11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。
3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴，等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。
4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形，则该图形对y 轴的惯性矩为( 45
4
a )。
5.图形对所有平行轴的惯性矩中，图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。
6.对直径为d 的圆形截面，它的惯性半径为( i=d/4 )。
二、选择题
1.在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心；
B.图形两个对称轴的交点必为形心；
C.图形对对称轴的静矩为零；
D.使静矩为零的轴为对称轴。
2.在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩
B.极惯性矩和惯性矩
C.惯性矩和惯性积
D.静矩和惯性积。
3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ，则当其长宽比保持不变。
而面积增加1倍时，该矩形对z 的惯性矩将变为（ D ）。
A. 2I
B. 4I
C. 8I
D. 16I 4.若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A.静矩为零，惯性矩不为零
B.静矩不为零，惯性矩为零
C.静矩和惯性矩均为零
D.静矩和惯性矩均不为零 5．若截面有一个对称轴，则下列说法中（ D ）是错误的。
A. 截面对对称轴的静矩为零；
B. 对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等；
C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零；
D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。
6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。
B
b
h
H C
z
a
2 a
y
z
A.形心轴
B.主惯性轴
C.行心主惯性轴
D.对称轴
7.有下述两个结论：①对称轴一定是形心主惯性轴；②形心主惯性轴一定是对称轴。
其中 （B ）。
A. ①是正确的；②是错误的
B. ①是错误的；②是正确的
C. ①、②都是正确的
D. ①、②都是错误的 8. 由惯性矩的平行移轴公式，2
z I 的答案有四种：( C )
A.2134z z bh I I =+；
B. 23
4
z z bh I I =+；
C.2
3z z I I bh =+； D.2
1
3z z I I bh =+。
9. 工字形截面如图所示，z I 有四种答案：( A )
D.
329
144
bh 10. 图示由三角形和半圆组成的图形，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴
B.是形心主轴
C.是主轴
D.不是主轴
11. y 轴上、下两部分图形面积相等，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴；
B.是形心主轴；
C.是主轴；
D.不是主轴。
12.惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
13.静矩的量纲为长度的（ C ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
14.极惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
15.惯性半径的量纲为长度的（ A ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
16.受弯构件正应力计算公式σ=My/Iz 中，Iz 叫（C ）
y
z
z 1
z 2
h /2
h /2
h /2
b /2
b /2
︒45y 1
y b b
b
a O a
A.截面面积
B.截面抵抗矩
C.惯性矩
D.面积矩
三、计算题
1. 试应用p I ，y I 及z I
间的关系式求直角扇形的y I 及z I 。
解：4
p 8
R I π=
因为y z I I =，所以4
16
y z R I I π==
2. 求由三个直径为d 的相切圆，构成组合截面对形心轴x 的惯性矩。
解：三角形的形心即该组合截面的形心。
3.计算惯性矩
（1） 矩形： a 截面对形心轴的I z ，I y
解：d A =bd y
I z =A A
d y ⎰2=y h h bd y ⎰
-2
/2
/2=b[y 3
/3]2
/2/h h -=bh 3
/12
D A =hd z
I y =A A d z ⎰2
=hdA z b b ⎰
-2
/2
/2= h[z 3
/3]2/2/b b -=hb 3
/12
B 截面对z ，y 轴的I z ，I y 解：d A =bd y
I z =A A d y ⎰2=y h
bd y ⎰0
2=b[y 3/3]h
0 =bh 3/3
I y =A A d z ⎰2=hdz z b
⎰0
2= h[z 3/3]b 0=hb 3/3
（2）圆形截面： I z ，I y
解：I z =I y=dA y d d ⎰
-2/2
/2==y d d d y d y 222
/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-=64/4d π
d A =d y ⋅⋅22
2)2/(y d -
4.求图形对形心主轴的惯性矩Ｉzc 。
答案：
5.求图形对形心主轴的惯性矩Izc 。
答案：
z
y
R
x
d y
b
d z
d A
A
d y
x
b
y
d z
d z
y
6.用平行移轴定理求图形对Z' 轴的惯性矩，已知。
答案：
7.试求图所示图形的形心位置(图中单位mm)。
（a ）解：将图形分成三部
分，
28001008mm A Ⅰ=⨯= ， mm x Ⅰ4= ， 0=Ⅰy 27207210mm A Ⅱ=⨯= ， mm x Ⅱ442
72
8=+
= ，mm y Ⅱ45-= 27207210mm A Ⅲ=⨯= ，mm x Ⅲ44= ， mm y Ⅲ45= （b ）解：将图形看成矩形减去圆形，
矩形：2
80000200400mm A Ⅰ=⨯= ， 0=Ⅰx ， 0=Ⅰy 22278505014.3mm R A Ⅱ-=⨯-=-=π ， mm x Ⅱ100= ，0=Ⅱy
8. 矩形截面截去一角,如图5-19所示,求其形心位置。
解：将图形看成矩形截面减去等腰三角形，
矩形：2
120000300400mm A Ⅰ=⨯= ，
0=Ⅰx ， mm y
Ⅰ150= 21125015015021mm A Ⅱ-=⨯⨯-= ， mm x Ⅱ15015032
50=⨯+= ，
mm y Ⅱ501503
1
=⨯=
9. 水坝截面如图所示,求其形心位置(图中单位m)。
解：将图形分成三部分，
2
5.255.0m A Ⅰ=⨯= ， m x
Ⅰ75.025.05.0=+= ， m y Ⅰ5.35.21=+=
225.655.221m A Ⅱ=⨯⨯=
，m x Ⅱ83.15.23
1
1=⨯+= ，m y Ⅱ67.25311=⨯+=
2441m A Ⅲ=⨯= ，m x Ⅲ2= ， m y Ⅲ5.0=
10. 如图所示为Z 形截面型钢，求其形心位置（图中单位cm ）。
解：将Z 图形分成三部分，
2
50105cm A Ⅰ=⨯= ， cm x
Ⅰ5-= ， cm y Ⅰ5.375.240=-= 2200405cm A Ⅱ=⨯= ，cm x Ⅱ5.2= ，cm y Ⅱ20= 275155cm A Ⅲ=⨯= ，cm x Ⅲ5.122
15
5=+
= ， cm y Ⅲ5.2= 11. 确定下列图形的形心位置，计算平面图形对形心轴y c 的惯性矩。
解：
（1）查型钢表得 槽钢No14b 工字钢No20b （2）计算形心位置
由组合图形的对称性（对称轴是z c 轴）知：y c =0； （3）用平行移轴公式计算各个图形对y c 轴的惯性矩
（4）求组合图形对yc 轴的惯性矩
z c
y
y c 1
y c
y c 2
c) C
C 1
C 2
No14b
No20b
O z o 1 h
z c。