伴随矩阵的性质论文2

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伴随矩阵的性质探讨

伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。

伴随矩阵的性质

伴随矩阵的性质1. 什么是伴随矩阵在线性代数中, 对于一个n阶方阵A, 定义其伴随矩阵(adjugate matrix)为矩阵A的伴随矩阵是一个与A的行列式相差一个符号的转置矩阵, 记作adj(A)。

伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。

2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质：2.1 行列式的关系伴随矩阵和原始矩阵的行列式之间有以下关系：det(adj(A)) = det(A)^(n-1)其中A是一个n阶方阵。

2.2 逆矩阵的关系如果A是一个可逆矩阵, 则其伴随矩阵与其逆矩阵满足以下关系：adj(A) = (1 / det(A)) * A^(-1)其中A是一个可逆矩阵。

2.3 转置矩阵的关系两个方阵的伴随矩阵的转置矩阵之间存在以下关系：(adj(A))^T = adj(A^T)其中A是一个方阵。

2.4 伴随矩阵的乘积对于任意两个方阵A和B, 它们的伴随矩阵的乘积满足以下关系：adj(AB) = adj(B) adj(A)2.5 伴随矩阵和幂对于一个方阵A和正整数k, 其伴随矩阵的k次幂满足以下关系：(adj(A))^k = adj(A^k)3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。

3.1 矩阵方程的求解对于一个给定的矩阵方程Ax = b, 其中A是一个可逆矩阵, b 是一个列向量, 则可以通过伴随矩阵来求解方程的解x。

具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b3.2 逆矩阵的计算对于一个可逆矩阵A, 可以利用伴随矩阵来计算其逆矩阵。

具体的计算方法为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)3.3 线性方程组的求解对于一个线性方程组Ax = b, 其中A是一个系数矩阵, x和b 都是列向量, 可以利用伴随矩阵来求解方程组的解。

具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b4. 总结伴随矩阵是一个与原始矩阵相关的重要概念, 具有许多重要的性质和应用。

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明由性质E A AA =*得E A AA =*，从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵．证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ．性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ，右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ，故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有（1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化；（5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -．解因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，，于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=，故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-．解矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。

伴随矩阵的若干性质2

伴随矩阵的若干性质Ξ孔庆兰摘　要　从特殊矩阵的伴随矩阵的关系考察了伴随矩阵的性质.关键词　伴随矩阵,可逆矩阵,对称矩阵,对合矩阵,正定矩阵分类号　O151.211　引　言在高等代数中,数域下上的n 阶方阵A 的伴随矩阵定义如下.设 A =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ……………………a n 1a n 2…a nn ,,称n 阶方阵 A 3=A 11A 21…A n 1A 21A 22…A n 2……………………A 1n A 2n …A nnN 为矩阵A 的伴随矩阵.其中A ij 为元素a ij 在A 中的代数余子式.A 与A 3有着密切的内在联系,由矩阵的乘积和行列式展开定理可得等式 A ・A 3=A 3・A =|A |I.(1)下面从特殊矩阵对其伴随矩阵的影响去考察A 与A 3之间的关系.2　特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质1　A 为可逆矩阵充要条件是A 3为可逆矩阵.证明　A 可逆充要条件是|A |≠0,由(1)知 A |A |・A 3=A 3・A |A |=I ,即充要条件是A 3可逆,而且(A 3)-1=A |A |.性质2　A 为对称矩阵则A 3亦然;A 为对合矩阵(A 2=I ),则A 3亦然.第13卷第4期1998年12月洛阳大学学报JOURNAL OF LUO Y AN G UN IV ERSIT Y Vol.13No.4Dec.　1998Ξ作者单位:枣庄师专数学系,山东省枣庄市,277160收稿日期:1998-07-15证明　由A 为对称的可得A T =A ,而 (A 3)T =(A T )3=(A )3=A 3,即知A 3是对称的.若A 为对合阵,A 2=I ,即A ・A =I ,则|A |=±1再由(1)知:A ・A3=|A |I ,即A ・A 3|A |=I ,得A ・A =A ・A 3|A |,所以A =A 3|A |,A 3=|A |・A 这样(A 3)2=|A |2・A 2=I.因而A 3是对合矩阵.性质3　A 为正定矩阵的充要条件是A 3亦然.证明　因为A 正定的充要条件是存在可逆矩阵P ,使A =P T P ,再由参考文献[1]知 A 3=(P T P )3=P 3・(P T )3=P 3・(P 3)T .令Q =(P 3)T 可得Q 可逆,而且 A 3=Q T ・Q ,因而,A 正定的充要条件是A 3也正定.下面讨论单位模矩阵方面的结论,单位模矩阵在整数线性规划中是极重要的概念.若A 为整数矩阵,且|A |=±1,称A 为单位模矩阵.性质4　若A 为单位模阵,则A 3亦然.反之若A 3为单位阵,而且A 为整数阵,则A 为单位模的.证明　由A 3的构成知,若A 为整矩阵,A 3亦然.再由(1)可得:A 3=|A |・A -1及A ・A 3=|A |・A ・A -1=|A |E ,若A 为单位模阵,则|A 3|=|A |n -1=±1,A 3是单位模阵.若A 3为单位模阵,由前面的性质1知A 可逆,再由|A 3|=|A |n -1可知|A |=±1,从而A 亦为单位模阵.矩阵与其伴随阵之间的密切关系远不只这些方面,尚待进一步探讨.参考文献1　Roger A Horn.Matix analysis.Cambridge University Press ,19852　张远达.线性代数原理.上海:上海教育出版社,19803　许以超.代数学引论.上海:上海科技出版社,1983Some Properties of Adjoint MatrixK ong Qinglan(Zaozhuang Teachers College )ABSTRACT From the relation between special matrix and its adjoint matrix ,some properties of adjoint matrix are analyzed.KEY WORDS adjoint matrix ,inverse matrix ,symmetric matrix ,involutory matrix ,posi 2tive definite matrix・22・洛阳大学学报 1998。

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。

在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。

伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。

如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。

伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。

1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。

即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。

3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。

这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。

4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。

5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。

这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。

6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。

这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。

7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。

即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。

它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【文献综述】

文献综述数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1].线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2].矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3].数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2].矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近E3227号问题[18]. 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法[19], 这有利于刚体力学的发展, 更体现伴随矩阵的物理意义.在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 所以对伴随矩阵的研究是十分必要的, 本课题将进一步探讨伴随矩阵的性质和应用, 特别在一些特殊矩阵的基础上, 以便进一步发掘伴随矩阵的作用.参考文献[1] 杨子胥. 高等代数习题集[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1982.[2] 北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.9.[3] R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[4] 许维珍. 数学模型中矩阵的应用[J]. 湖南农业大学学报, 2008, 9(5): 84~86.[5] 徐天保. 分块矩阵的应用[J]. 安庆师范学院学报, 2010, 16(2): 106~108[6] C.M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journal ofMathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[7] 徐宏武. 幂等矩阵的性质及应用[J]. 宜春学院学报, 2004, 26(6): 22.[8] 谭瑞梅等. Hankel 矩阵的性质及其应用[J]. 郑州轻工业学院学报, 2005, 20(4): 97~99.[9] 杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2003, 23(1): 20~21.[10] 王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[11] 郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3): 55~60.[12] 徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.[13] 贾美娥. 关于矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17n m [14] 韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[15] 吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[16] 刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[17] 肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3): 48~49.[18] 张明善. 伴随矩阵的一个应用[J]. 西南民族学院学报. 自然科学版, 1996, 22(1): 123.[19] 蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[20] 苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31:61.。

伴随变换与伴随矩阵的性质与应用

伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。

本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。

一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。

伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。

2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。

伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。

二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。

伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。

伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。

2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。

三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。

下面以几个例子来说明其应用。

1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。

如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。

2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。

谈谈伴随矩阵的性质及其应用

谈谈伴随矩阵的性质及其应用摘要：线性代数是高等院校理工科学生必学的一门课程，其中矩阵理论在线性代数中占有十分重要的地位，而矩阵的运算也是数值分析领域中具有极其广泛的应用。

然而，在现行的教材中都出现过方阵的伴随矩阵的概念，但是大多编者和教材并没有对伴随矩阵进行过全面的探究。

我们知道矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念．它有很多重要的性质，并且有及其广泛的应用。

所以系统的去分析伴随矩阵的性质和运算，具有十分重要的意义。

本文对于伴随矩阵常用的性质做了归纳与总结，然后介绍了矩阵的伴随矩阵一些常见的应用。

关键词：伴随矩阵；逆矩阵；矩阵的秩；线性代数在线性代数讨论矩阵的逆时，为了求可逆矩阵的逆矩阵，我们引入了矩阵的伴随矩阵的概念，用伴随矩阵的性质推得了矩阵可逆的充要条件，并由此推出了求逆矩阵的公式。

但由于用定义计算逆矩阵比较繁琐，所以，在实际计算中，通常我们一般利用矩阵的初等变换求它的逆矩阵。

然而，伴随矩阵及其性质的重要性不仅仅在讨论矩阵的逆时用到，它在讨论矩阵的行列式，矩阵的秩以及矩阵的特征值等等，都有其广泛的应用。

下面，我们首先给出矩阵的伴随矩阵的概念，然后讨论一下伴随矩阵的性质，最后，探讨伴随矩阵性质的一些应用。

1.伴随矩阵的概念定义：设是一个n阶方阵，为中元素的代数余子式，称n 阶矩阵为n阶矩阵的伴随矩阵。

1.伴随矩阵的性质性质1. ；注：这是n阶矩阵的伴随矩阵的一个非常重要的性质，一般情况下，只要涉及到有关伴随矩阵的命题，都是从这个性质作为切入点展开讨论。

至于这个性质的证明，只要利用矩阵的乘法即行列式的性质直接验证即可。

由性质1，易推得如下性质2至性质7.性质2. 如果，则；性质3. （1）；（2）；（3）性质4. 如果为对称矩阵，则也是对称矩阵；性质5. ；性质6. ，（其中为阶方阵）性质7. 如果可逆，则也可逆，且；性质8. 设为n阶方阵，则；证明：如果，则，由性质1可知，在等式两边取行列式可得，由此推得，从而；如果，则，由性质1可知，由此可知得列向量都是齐次线性方程组的解，又由于，可知，齐次线性方程组的基础解系含有个解向量，因此，；如果，则的每一个元素，也即为零矩阵，故。

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。

本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。

伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习.关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质Adjoint matrices properties and applicationsAbstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning.Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。

伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。

(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。

伴随矩阵的性质及应用研究

第２Ｏ卷第３期
２１年９月０１
河南教育学院学报（自然科学版）Ｊｕｎｌｆｅａｎｔｕｅｏｄｃｔｎ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｎｎＩｓｔｔｆｕａｏＮｔｌｃｅｃｄｔｎＨｉＥｉｒｉ
Ｉ）（Ａ一＝
）ｉ２・＝ｌ－ＡＡｎ
（）（） — 时，Ｕ（），ＡＩ０从而ｒＡ＝，Ａ）＝＝ｌ一．２当ｒＡ ≤ｎＩ贝ａ ≤ＩＩ＝，ｒ（）０（ ’ ０Ｉ ’ ＡＡ
综合（）（）即证（）＝ＪＡ１、２，ＡＪ．Ａ～
ＡｈＡ２
Ａ
●
称为Ａ的伴随
：
Ａ
矩阵．
定理１“ 矩阵Ａ可逆的充分必要条件是非退化，Ａ～１且
Ａ・
推论１Ａ＝Ａ：ＩＩ，ｎ阶单位矩阵．ＡＡ’ ，为，
２相关命题
命题１
摘要：伴随矩阵性质作进一步的讨论，出相关的命题和证明，利用这些性质对相关问题做出快速简便对给并
求解．
关键词：阵；随矩阵；定矩阵矩伴正
中图分类号：５．１Ｏ１１２
文献标识码：Ａ
‘ 中用Ａ换Ａ（－～＝１（＝Ｉｌ）所以（－＝Ａ得ＡＩ）Ａ）（，ＡＡＡｊ．）
综上可得（）Ａ ‘＝（）１Ａ一．命题５设Ａ，Ｂ均为ｎ阶方阵，（Ｂ）＝Ｂ则ＡＡ‘ ．

伴随矩阵的性质

编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3)摘要 (4)关键词 (4)0引言 (4)1主要结论 (4)1.1伴随矩阵的基本性质 (4)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10)2应用举例 (11)例1 (11)例2 (11)结束语 (12)参考文献 (12)致谢 (13)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i jij M +-(i ,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n nn nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明（1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0= 由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵. 于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-. 而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4] 若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=.性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A -*= (2n ≥)成立[5];（2）设A 为n 阶方阵，则2()n A AA -**=[6].证明（1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵. 所以 10A A A *-==，从而等式1n A A-*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得nA A A E A *==. 所以 1n A A-*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A A A --*-*==121()n n AA A AA ---=.当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-. 由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n AA -若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0 故()A **=0=2n AA -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=. 证明（1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===. （2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立. 特别的取x =0，即得()AB B A ***=. 推论设12,,,s A A A 均为n 阶方阵，则 1221()s s A A A A A A ****= .性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00nn E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 00An n B B B -- 由-1A =A A *可得0A 0B*⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=22(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 推论设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有2220(1)A C00A 000(1)A C B000(1)C A 0nn n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A -*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--== 又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T TT E E --=（）所以1(A )T -=1A T -（）即(A )T *=A T *（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A 的第i 行第j 列元素为ija ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i ,j=1,2,……,n )，所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-==; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A *--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----=== 又11111()()A A A A A -*---==所以11()()A A -**-= =1A A.(2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 由(1)得11()()TTA A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦.又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()TT A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T TA A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A *-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A *--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得A A A αλα**=即 A A A αλα**=.又AA A E *=，所以 A E A αλα*= 即1AA A E αλααλ*-==.所以Aλ为A *的特征值，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得A AA αλα**= 即A E A αλα*=. 由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅ 即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量，则α是A 的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A . 又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵. (2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -. 又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵. 性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 . 证明若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵. 其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵.性质12[9] 若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E ==又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-==== 所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵. 证明设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵. 推论当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵. 1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B = 两边取伴随矩阵得()PAQ B **= 即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *. 性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=. 即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =. 又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----= 即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=. 又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅=所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=. 令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同.2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求000000A BC*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解由性质5的推论可得00000A BC*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦. 解因A =10013225012=14-≠0，所以A 可逆由性质7可得11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版. [3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A 的伴随矩阵A *的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14. [7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23. [9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000） Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words: Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.。

伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

有关伴随矩阵的性质

当Ｉ＝时，知ｒ）一．若ｒ）一，则ｒ＝＜１性质４知，）＝Ａ０Ｉ（１Ａ（＝１Ａ（）１一，由Ａ．０，从而（）（
（０ＩＡ若，）１则ｒ＝，０故（０ＩＡ）＝＝Ｉ．．＜一，（）０即Ａ＝，）＝＝Ｉ．Ａ（ＡＡ
５月
文章编号：１０－８１（０８）０— ０１００７９３２０３０２— ４
有关伴随矩阵的性质
朱焕，关丽杰，范慧玲
（．黑龙江八—农垦大学数学系，黑龙江大庆１３１；２１６３９．牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江１７１５０２）
摘要：研究了阵与伴随矩阵的联系，通过研究矩阵的性质和计算技巧，总结、推导了其伴随矩矩
阵的若干性质．
关键词：矩阵；伴随矩阵；性质．
中图分类号：０１１１．５２
文献标识码：Ａ
１伴随矩阵的概念
；
ＡｌＡ２ｌｌ
设阶矩阵＝
．ｈＡ＝）＝？（
ＡｌＡ２２２
，
其中为元素的代数余子式，
性ＩＩＩ．质５Ａ＝Ｉ ‘Ａ
证Ａ逆，性知ｌ一ＩＩ＝Ｉ．明可时由质１＝Ｉ，－ＩＡＡＩＩｌＡＡＡ
收稿日期：２０ —２２Ｏ７１－２
作者简介：朱焕（９２，女，黑龙江嫩江人，助教，从事基础数学研宄１８一）
证毕．
性质７
）＝ＩＡＩＡ．
证二矩，明若为阶阵设＝

伴随矩阵的两个性质

收稿日期：２０１４ — ０４ — ０３：修回日期：２０１４ — ０５ — １４
基金项目：长沙理工大学精品课程建设项目（ＫＣ１ｌ１９）和大学生研究性学习和创新性实验计划项目作者简介：游兴中（１９６８一），男，湖南桃源人，教授，博士，研究方向：群论．
％０。
％０
ｎ，０
定义ｌ形如
的矩阵称为一个ｎ阶循环矩阵
设Ａ为定义１中的ｎ阶循环矩阵，则
＝ｎ。，＋。
（）＋。（Ｚ］＋ … ＋。一。（，）．令Ｐ＝（，ｎ。－），贝［）＝Ｐ，＝，２，
（１）若，（）：ｎ，则４可逆，所以Ａ≠０，因此
： —
，从而是Ａ的属于特征值
的特征向量．
（２）若ｒ（Ａ）＝ｎ一１，则ｌＡｌ：０．由引理２得ＡＡ：ＡＡ：０且ｒ（ａ）＝１．由引理３得Ａ＝／．Ｌｖ，其中，
的某一列．
，其中为
证明设Ｏｔ，（１）为的列向量组．因为ｒ（Ａ）：１，所以必有Ａ的某一列为非零向量，不妨设＝ ≠ ０，且对（２）存在数使得＝，令＝（１，：， …，ｋ），则Ａ＝ｔｘｖ，此时显然有ｔｒ（Ａ）＝，于是结
２０１４年１０月
湘南学院学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＸｉａｎｇｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

伴随矩阵的性质

编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班整理姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 ................... 错误!未定义书签。

摘要.. (2)关键词 (2)0引言 (2)1主要结论 (3)1.1伴随矩阵的基本性质 (3)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (6)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (7)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (8)2应用举例 (9)例1 (9)例2 (10)结束语................................................... 错误!未定义书签。

参考文献 (10)致谢..................................................... 错误!未定义书签。

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

整理签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例.关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i j ij M +-(i,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明（1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0=由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵.于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-.而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4]若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=. 性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A-*= (2n ≥)成立[5]; （2）设A 为n 阶方阵，则2()n A A A -**=[6].证明（1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵.所以 10A A A *-==，从而等式1n A A -*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得n A A A E A *==.所以 1n A A -*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A A A --*-*==121()n n A A A A A ---=. 当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-.由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n AA - 若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0故()A **=0=2n A A -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=.证明（1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===.（2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立.特别的取x =0，即得()AB B A ***=.推论设12,,,s A A A 均为n 阶方阵，则1221()s s A A A A A A ****=.性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00n n E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 00An n B B B -- 由-1A =A A *可得0A 0B *⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=220(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 推论设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有 22200(1)A C 00A 000(1)A C B 000(1)C A 00n n n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A-*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--==又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T T T E E --=（）所以1(A )T -=1A T -（）即(A )T *=A T *（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A 的第i 行第j 列元素为ij a ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i,j=1,2,……,n )，所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-== ; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----=== 又11111()()A A A A A-*---== 所以11()()A A -**-= =1A A . (2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦由(1)得11()()T T A A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()T T A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T T A A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A*-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得A A A αλα**= 即 A A A αλα**=. 又AA A E *=，所以 A E A αλα*= 即1A A A E αλααλ*-==. 所以A λ为A *的特征值，α是A *的属于特征值A λ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得A A A αλα**= 即A E A αλα*=. 由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量，则α是A 的属于特征值0的特征向量.1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A .又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵.(2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -.又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵.性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 .证明若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵.其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵.性质12[9]若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E ==又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-====所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵.证明设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵.推论当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵.1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B =两边取伴随矩阵得()PAQ B **=即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *.性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=.即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =.又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----=即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=.又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅= 所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=.令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同.2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求00000A BC *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解由性质5的推论可得000000A B C *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦. 解因A =10013022512=14-≠0，所以A 可逆由性质7可得 11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.文档可能无法思考全面，请浏览后下载![2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6.第五版.[3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A的伴随矩阵A 的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期，2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.[7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23.[9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix,obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words:Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix 致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.11 / 11。

伴随矩阵的若干性质

此方程无解，所以这种情况不可能出现．因此结论成立
４伴随矩阵的继承性
定理９：设Ａ，Ｂ为ｎ阶矩阵（１）若Ａ与Ｂ等价，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也等价；（２）若Ａ与Ｂ合同，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也合同；（３）若Ａ与Ｂ相似，则ａｄｊ（Ａ）与ａｄｊ（Ｂ）也相似；（４）若Ａ能相似对角化，则ａｄｊ（Ａ）也能相似对角化；（５）Ａ可逆阵ｅｅｍｄｊ（Ａ）为可逆阵；（６）Ａ对称铮口旬（Ａ）对称；（７）Ａ正交铮ａｄｊ（Ａ）正交；（８）设Ａ为可逆阵，则Ａ反对称甘ａｄｊ（Ａ）为反对称；（９）Ａ＝Ｂ净ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ｂ）：（１０）Ａ正定净口勿（Ａ）正定．
ａｄｊ（ＰＡＱ）一ａｄｊ（Ｑ）ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（Ｐ）：
当Ｐ＝Ｐ（ｉ，歹）时：
ａｄｊ（Ｐ（ｉ，歹）Ａ）＝口ｄｊ
ｉ行歹行
ｑ；ｑ；ｑ；％
万方数据
２４８
中国计量学院学报
第１５卷
＝＝
一Ａ１１ … 一ＡＪｌ … 一Ａ１ … 一Ａ。１一Ａ１２ … 一ＡＪｚ … 一Ａ２ … 一Ａ。２
●●●
●●●
●●●
●●●
陀ｒ●ｌ，、●ｌ０
＞１
ｍｎ）ｋ喻Ａ博一
ｍｎｋＡｎｎｋＡ方））一＜
则有
一１一１
１）的方阵；Ａ。，表示为Ａ中（ｉ，歹）一元素的代数余子
特别地，（１）当ｒａｎｋ（Ａ）一规时，有ａｄｊ（Ａ）一
式；Ｅ。表示行阶单位矩阵．
ＡＩＡ～；
伴随矩阵的定义与基本性质
（２）当ｒａｎｋ（Ａ）＜咒一１时，有ａｄｊ（Ａ）＝０．定理３（１）单位阵的伴随矩阵仍为单位阵，
… …… …
…
……
Ａ１。…Ａ。。…Ａ，。＋（一１）－１ｋＡ。。…以。。３ａｄｊ（Ａ）Ｐ（ｉ，Ｊ（一ｋ））＝ａｄｊ（Ａ）ａｄｊ（尸（ｉ，Ｊ（是）））；

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（i,j=1,2, n）,可得 AA =A A= A E .
注：（1）A 可逆时， A = A A -1 ；（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题。
1 1 1 例 1 若 A= 0 1 1 ，求 A -1 . 0 0 1
4
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性质 1 A = A T .
T

证明：因 A = a ij A ij = A ji ，则 A = A ji = A ij ，而

T
T
T
A = a A = A ,故 A = A
T T ji ji ij
2 基础知识...................................................................................................4
2.1 伴随矩阵的定义.............................................................................................. 4 2.2 伴随矩阵的基本性质及运算性质.................................................................. 4 2.2.1 伴随矩阵基本性质及证明................................................................... 4 2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明................................................................... 5 2.3 某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质........................................................ 11 2.3.1 对称矩阵............................................................................................. 11 2.3.2 上（下）三角矩阵............................................................正定和半正定矩阵............................................................................. 12 2.2.4 正交矩阵............................................................................................. 12
2
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1 绪论
1.1 研究目的
利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中的应用。
1.2 研究意义
对伴随矩阵的性质及其应用的探讨，不仅有利于教师的教学，还有利于学生的学习，以便于我们更加得心应手的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题。且在伴随矩阵在线性代数中是作为求解逆矩阵的身份出现的，伴随矩阵是非常重要的概念，在矩阵理论中占有非常重要的地位。前人对伴随矩阵的各种性质研究很多，本文将在此基础上总结已有的一些伴随矩阵的性质与结果，并应用这些方法求解一些例子。通过本文的写作，本人将对伴随矩阵若干性质有深入的把握，对伴随矩阵在各种解题中的应用有深入了解。
1 1 1 1 -1 0 解：因为 A= 0 1 1 ，所以 A = 0 1 -1 . A =1 ，由性质得 0 0 1 0 0 1 1 -1 0 A* = 0 1 -1 . A = |A| 0 0 1
1 1 3 |2(A) 1 3A || A 1 3 | A | A 1 || A 1 A 1 | 2 2 4 1 1 1 1 1 | A 1 | | A 1 | . 4 16 4 4 |A|
3 3
2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明
谢辞.......................................................................................................... 14 参考文献....................................................................................................15
Abstract: As a special matrix, adjoint matrix has many special properties in linear algebra. In a sense, it is like a positive definite matrix and orthogonal matrix, and not only has great research value in theory but also has wide application in practice. In this article we focus on various properties of adjoint matrices, including the properties of adjoint matrices of some special matrices (the upper triangular matrices, symmetric matrices, etc.), and use these properties to calculate the adjoint matrices of some matrices. As we shall see, this simplifies the calculation and avoid a large amount of complicated calculations. Keywords: adjoint matrix; Jordan standard form; invertible matrix
T
T
.
性质 2：A 可逆，则（A* ) 1 (A 1 )* =
1 A. A
南京师范大学泰州学院本科毕业论文
南京师范大学泰州学院
毕业论文（设计）
（一六届）
题
目：
伴随矩阵的性质及其应用数学科学与应用学院数学与应用数学吉宗银
院（系、部）：专姓学业：名：号
08120412 王志华
指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处
制
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基本性质： AA =A A= A E ，当 A 可逆时，有 A -1 =
A* ，即 A = A A -1 . |A|
n 0， i j 证明：由行列式按一行（列）展开的公式 aik A jk = k 1 A，i j
, a kj A kj
k 1
n
0， i j = A , i j

A . A
1 1 1 1 6 1 又本题 A =6 ，所以 A -1 = 0 2 2 = 0 6 0 0 3 0
1 6 1 3 0
1 6 1 . 3 1 2
本题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂. 1 例 3 已知 A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为 A ,且 |A | ,求（2A) 1 3A . 4 解：
1
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目录
1 绪论.......................................................................................................... 3
1.1 研究目的.......................................................................................................... 3 1.2 研究意义.......................................................................................................... 3 1.3 国内外研究现状.............................................................................................. 3
摘要：在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样，不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用 . 本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵 ( 比如上三角矩阵、对称矩阵等）的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究，利用这些性质简化了一些伴随矩阵的计算. 关键词：伴随矩阵；若当标准型；可逆矩阵
1.3 国内外研究现状
现如今对于伴随矩阵的研究主要围绕的是伴随矩阵的基本性质，主要有伴随矩阵的运算性质﹑伴随矩阵的继承性质以及 m 重伴随矩阵的性质等。杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质；王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上，探讨了伴随矩阵的运算性质，特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质，并提出了自伴随矩阵的定义及其性质，归纳了伴随矩阵较强的继承性；郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系，探讨了伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵的性质推广到了 m 重；徐淳宁也探究了 m 重伴随矩阵的定义及其性质，得出了一些有意义的结果，使伴随矩阵的内涵更加丰富。上述结论都是在 A 为方阵的前提下提出来的，对于 A 不为方阵的情况也有一些结果。本文将在这些研究基础上，总结伴随矩阵的一些性质，并应用这些结果求解一些具体例子。