电场和重力场组合

图 6－3－14 （1）若电子从 t=0 时刻进入板间，在半周期内 恰好能从板的上边缘飞出，则电子飞出速度为多 大？ （2）若电子在 t=0 时刻进入板间，能从板右边 水平飞出，则金属板为多长？ （3 ）若电子能从板中点 O′水平飞出，电子应 从哪一时刻进入板间，两板间距至少为多大？
U 1 2 1 2 解析： （1）由动能定理得，e = mv － mv0 ， 2 2 2
在半个周期内竖直位移为 eU T T 1 y= a（ ）2×2= . 2 4 16md
2 0
①
d 两板间距离 d 应满足条件：y≤ ② 2 T eU 由①②得 d≥ . 2 2m 答案： （1） v eU / m （2）nv0T（n=1、2、
0
2
0
0
3„）
(2n 1) T （n=0、1、2、3„） （3） 4
2 2
（2） 当电子恰好从 A 板右边缘射出偏转电场时， d 其竖直位移最大 ym= =2.5 cm. 2 电子飞出偏转电场时，其速度的反向延长线通 过偏转电场的中心，设电子打在屏上距中心点的最 大距离为 Ym，则由几何关系可知： L b Y 2， L y 2 L b 2 ym=5.0 cm. 解得 Ym= L 2
电场和重力场组合
例 1. 在如图所示的 xOy 平面内（y 轴的正方
向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带 正电的粒子自坐标原点 O 沿 y 轴正方向竖直向上抛 出，它的初动能为 5 J，不计空气阻力，当它上升到 最高点 M 时，它的动能为 4 J.
（1）试分析说明带电粒子被抛出后沿竖直方向 和水平方向分别做什么运动； （2）若带电粒子落回到 x 轴上的 P 点，在图中 标出 P 点的位置，并大致绘出其轨迹； （3）求带电粒子到达 P 点时的动能.
例2：用长为R的绝缘细线栓一带 正电q的小球，质量为m，在竖直 向下的场强为E匀强电场中，刚好 能在竖直平面内做圆周运动，求 小球运动过程中的最小速度和绳 的最大拉力。 E R
例3：如图所示，一条长为L的细线，上端 固定，下端栓一质量为m的带电小球，将 它置于一匀强电场中，电场强度大小为E， 方向水平。已知当细线离开竖直位置的偏 角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）如果使细线与竖直 方向的偏角由α增大到θ， L 然后将小球由静止释放， α 则θ为多大时，可使小 球到达竖直位置时速度 ● 刚好为零？ m E
0
即 v= v eU / m .
2 0 0
（2） 要使电子能从右边水平飞出， 经过时间 t′ 应满足： t′=nT（n=1，2，3„） ， 所以有：l=v0t′=nv0T（n=1、2、3„） （3）要粒子从 O′点水平飞出，电子进入时刻 应为 T T (2n 1) t= +n = T（n=0、1、2、3„） 4 2 4
T eU 2 2m
0
【例 3】 如图（甲）所示，真空中的电极 K 连 续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计） ，经 电压为 u 的电场加速，加速电压 u 随时间 t 变化的 图象如图（乙）所示.每个电子通过加速电场的过程 时间极短，可认为加速电压不变.电子被加速后由小 孔 S 穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板 A、 B 间中轴线从左边缘射入 A、 B 两板间的偏转电场， A、 B 两板长均为 L=0.20 m，两板之间距离 d=0.050 m， A 板的电势比 B 板的电势高.A、B 板右侧边缘到竖直 放置的荧光屏 P （面积足够大） 之间的距离 b=0.10 m. 荧光屏的中心点 O 与 A、B 板的中心轴线在同一水平 直线上.不计电子之间的相互作用力及其所受重力， 求：
（甲） （乙） （1）要使电子都打不到荧光屏上，则 A、B 两 板间所加电压 U 应满足什么条件； （2）当 A、B 板间所加电压 U′=50 V 时，电子 打在荧光屏上距离中心点 O 多远的范围内.
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解析： （1）设电子的质量为 m、电荷量为 e，电 子通过加速电场后的速度为 v ，由动能定理有： 1 2 eu= mv ， ① 2 电子通过偏转电场的时间 t=L/v， ② 1 2 eU L ( )， ③ 此过程中电子的竖直位移 y= at = 2 2md v UL 联立①③式解得：y= . 4ud 要使电子都打不到屏上， 应满足 u 取最大值 800 d V 时仍有 y＞ 代入数据可得，为使电子都打不到屏 2 上，U 应大于 100 V.
E
L
θ A ⊕
C
解：
由于qE>mg及摩擦力的作用，带电 小球最终将停在B点,设运动的总路程 为S，由能量守恒
(qE- mg)Lsinθ=μ(qE- mg)Scosθ
解得:S=Ltgθ/μ
交变电场的应用
例 1： 电子以水平初速度 v 沿平行金属板中
0
央射入，在金属板间加上如图 6－3－ 14（乙）所示 的交变电压. 已知电子质量为 m ，电荷量为 e ，电压 周期为 T，电压为 U0，求：
2 2
m m
UL 由第（1）问中的 y= 可知，在其他条件不变 4ud 的情况下，u 越大 y 越小，所以当 u=800 V 时，电子 通过偏转电场的竖直位移最小， U L -2 其最小竖直位移 ymin= =1.25×10 m=1.25 4ud cm. 同时，电子打在屏上距中心点的最小距离 L b 2 ymin=2.5 cm. Ymin= L 2 所以电子打在屏上距中心点 O 的距离在 2.5 cm～5.0 cm 的范围内. 答案：见解析
[拓展] 若将原题中电场E突然反向， 求细线偏离竖直方向的最大偏角？ （α小于45o） 解：电场E反向，由受力可知摆动 的等效最低点在竖直偏左α角处， 等效摆的摆角为2 α，再由对称性可 知，小球偏离竖直方向的最大夹角 为3 α。
[练习]一根对称的“Λ ”型玻璃管置于竖直 平面内，管所在的空间有竖直向上的匀强 电场E，质量为m带正电量为q的小球在管内 从A点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系 数为 μ ，一侧管长为 L ，小球在 B 端与管作 用没有能量损失，管与水平面夹角为 θ ， 求从 A 开始，小球运动的总路程是多少？ (设qE>mg) B