电场和重力场组合
等效场
一、电场+重力场：存在于同一环境场进行合成。
为什么不把磁场加进来？因为这两种场都是保守力 场（恒力），而洛伦兹力是个变力。
例：如下图，小球在电场力和重力作用下平衡，与 竖直方向夹角为θ，现在将小球拉开角度α，使得 小球运动到竖直位置时速度为零，则α=？
分析：传统做法是：利用能量守恒来做。
传统方法：用二斜抛做法。
(2017沈阳育才高三二模)一带正电的小球向右水平 抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左， 不计空气阻力，则小球
A．做直线运动 B．做曲线运动 C．速率先减小后增大， D．速率先增大后减小
再讨论：竖直圆分为绳模型和杆模型。现在如果还 想继续使用这些结论，必须在前面加上等效二字。
（2017衡水中学模拟题）如图所示，水平向左的匀 强电场中，用长为l的绝缘轻质细绳悬挂一小球， 小球质量为m，带电量为＋q，将小球拉至竖直位 置最低位置A点处无初速释放，小球将向左摆动， 细线向左偏离竖直方向的最大角度θ＝74°。
下面用等效场做法：
那么就把重力或电场力都撤掉，取而代之的是一个 恒定的等效重力，那么就可以把所有在重力环境中 的公式，定理应用在新场中。（类比：狭义相对论, 在任何参照系中，光速不变，物理定律仍适用）
拓展：竖直圆，可以找到等效最低点和等效最高点。 问题是：可以找到圆上六个特殊位置的点。
再拓展：若再在刚才环境场的基础上再叠加一个垂 直纸面向里的磁场，以上结论还是不变，因为洛伦 兹力不做功，而且洛伦兹力始终指向圆心。
⑴求电场强度的大小E； ⑵求小球向左摆动的过程中，对细线拉力的最大值；
⑶若从A点处释放小球时，给小球一个水平向左的 初速度v0，则为保证小球在运动过程中，细线不会 松弛，v0的大小应满足什么条件？
等效法处理重力场和电场的复合场问题
等效法处理重力场和电场的复合场问题作者：赵鹏飞来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的带电物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些.此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能得到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现.那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下：等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场等效重力是重力、电场力的合力等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、等效重力场中的典型模型1.类平抛运动例1如图1所示，倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度E=103N/C，有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球，以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）解析（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图2可知，小球必带正电，且tanα=Eqmg，所以；q=mgtanαE=2.25×10-5C.从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做类平抛运动，处理的基本方法是运动的分解.如图3，小球在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做“自由落体运动”，则有x=vty=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s，g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.解得y=0.25 m，所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.2.单摆类问题例2如图4所示，一条长为L的细线，上端固定，下段拴一质量为m的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时，小球处于平衡状态，如果使细线的偏转角由α增大到φ，然后将小球由静止开始释放，则：（1）φ应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零？（2）若α≤5°，那么（1）问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间？解析（1）从“等效重力场”观点看，小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”，初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点，如图4所示，它们应该关于等效“最低点”对称，所以φ=2α；（2）α≤5°时，小球的振动可近似看成简谐运动，由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半，即t=T2=2πLg′2=πLg′其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.与传统的处理方法相比较，等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程，达到了事半功倍的效果.3.竖直平面内圆周运动例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为33mg，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v0，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0大小.解析小球同时受到重力和电场力作用，可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，其中g′=233g，且如图5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.故图6中B为等效“最低点”，C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C，在C点等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，对小球从A运动到C的过程应用动能定理-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.代入相关物理量解得 v0=2（3+1）gR此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.。
电场与重力场复合问题
电场与重力场复合问题1.在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点，把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，如图所示．求小球经过最低点时细线对小球的拉力．2.在真空中上、下两个区域为均匀竖直向下的匀强电场，其电场线分布如图所示，有一带负电的粒子，从上边区域沿一条电场线以速度v 0匀速下落，并进入下边区域（该区域的电场足够大），在图所示的速度一时间图象中，符合粒子在电场内运动的情况是（v 0方向为正方向）（ ）．3.如图所示，一根长2m 的绝缘细管AB 被置于匀强电场E 中，其A 、B 两端正好处于电场的左右边界上，倾角α＝370，电场强度E=103V/m ，电场强度方向竖直向下，一个带负电的小球，重G ＝10-3N ，电量=2×10-6C ，从A 点由静止开始运动，已知小球与管壁的动摩擦因数为0.5，则小球从B 点射出时的速度是（取g ＝10m/s 2；sin370＝0.6，cos370＝0.8）（ ）． A. 2m/s B. 3m/s C. 22m/s D. 2 3m/s4．如图所示，用绝缘细线拴一个质量为m 的小球，小球在竖直向下的场强为E 的匀强电场中的竖直平面内做匀速圆周运动，则小球带__________电荷，所带电荷量为_____________5．如图所示，光滑斜面倾角为370，一带有正电的小物块质量为m ，电量为q ，置于斜面上，当沿水平方向加有如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变为原来的1/2，求：（1）原来的电场强度有多大？ （2）物体运动的加速度大小？（3）沿斜面下滑距离为L 时物体的速度． （sin37 0＝0.6，cos370＝0.8，g ＝l0m/s 2） 电场与重力场复合问题1.在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点，把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，如图所示．求小球经过最低点时细线对小球的拉力．2.在真空中上、下两个区域为均匀竖直向下的匀强电场，其电场线分布如图所示，有一带负电的粒子，从上边区域沿一条电场线以速度v 0匀速下落，并进入下边区域（该区域的电场足够大），在图所示的速度一时间图象中，符合粒子在电场内运动的情况是（v 0方向为正方向）（ ）．3.如图所示，一根长2m 的绝缘细管AB 被置于匀强电场E 中，其A 、B 两端正好处于电场的左右边界上，倾角α＝370，电场强度E=103V/m ，电场强度方向竖直向下，一个带负电的小球，重G ＝10-3N ，电量=2×10-6C ，从A 点由静止开始运动，已知小球与管壁的动摩擦因数为0.5，则小球从B 点射出时的速度是（取g ＝10m/s 2；sin370＝0.6，cos370＝0.8）（ ）．A. 2m/sB. 3m/sC. 22m/s D. 2 3m/s4．如图所示，用绝缘细线拴一个质量为m 的小球，小球在竖直向下的场强为E 的匀强电场中的竖直平面内做匀速圆周运动，则小球带__________电荷，所带电荷量为_____________5．如图所示，光滑斜面倾角为370，一带有正电的小物块质量为m ，电量为q ，置于斜面上，当沿水平方向加有如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变为原来的1/2，求：（1）原来的电场强度有多大？ （2）物体运动的加速度大小？（3）沿斜面下滑距离为L 时物体的速度． （sin37 0＝0.6，cos370＝0.8，g ＝l0m/s 2）6．如图所示，在范围很大的水平向右的匀强电场中，一个电荷量为-q的油滴，从A点以速度v竖直向上射入电场．已知油滴质量为m，重力加速度为g，当油滴到达运动轨迹的最高点时，测得它的速度大小恰为v/2.问：（1）电场强度E为多大？（2）A点至最高点的电势差为多少？7．一个匀强电场的场强为1×104V/m，在平行于电场的平面上画半径为l0cm的圆，圆周上取三点A、B、C，如图所示，试问：（1）A、B间的电势差为多大？（2）B点电势取作零时，C点的电势为多大？（3）将一个电子从B点沿圆弧移到C点处时电场力做多少功？这个功是正功还是负功6．如图所示，在范围很大的水平向右的匀强电场中，一个电荷量为-q的油滴，从A点以度v竖直向上射入电场．已知油滴质量为m，重力加速度为g，当油滴到达运动轨迹的最高点时，测得它的速度大小恰为v/2.问：（1）电场强度E为多大？（2）A点至最高点的电势差为多少？7．一个匀强电场的场强为1×104V/m，在平行于电场的平面上画半径为l0cm的圆，圆周上取三点A、B、C，如图所示，试问：（1）A、B间的电势差为多大？（2）B点电势取作零时，C点的电势为多大？（3）将一个电子从B点沿圆弧移到C点处时电场力做多少功？这个功是正功还是负功。
电场重力场复合问题的解决方法
电场和重力场复合问题复合场问题的处理方法主要有那么几个：（1）分方向处理；（2）用能量的角度综合处理（3）用等效场的角度处理(1)分方向处理（类比于抛体运动）例题：（16分）如图所示,水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0．4m在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝1.0×104N／C现有一电荷量q＝＋1.0×10－4C，质量m＝0.1kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点．取g＝10m／s2．试求：（1）带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小；（2）D点到B点的距离xDB；（3）带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能．处理第一问的思路：这问必须用圆周运动和能的知识处理，根据圆周运动的特点先找到C点的最小速度，再用动能定理解出B点的速度，再根据圆周运动把B点的受力情况找出来。
利用动能定理找B点速度的时候我们可以有两个思路：第一个从两个分力做功的角度，各个外力做功的代数和等于动能的变化量第二个从合力的角度出发，那就必须采用等效的思路，找到等效场方向上B 和C的距离，再利用合力乘以这个距离就得到和外力做的功，很显然这个方法比较麻烦，但是这恰好是本题第三问的处理方法。
第二问必须要找到D的位置，这时候我们分水平和竖直两个方向处理就好，水平方向上为加速度的匀减速运动，竖直方向为自由落体运动。
粒子做以VC为初速度，qEm第三问的求解我们必须要找到最大动能点，最大动能点是B点吗，很明显不是，因为从等效场类比重力场我们就发现，最大动能点应该为等效场中的最低点，那么怎么找，首先要找到等效场，再根据等效场找到R点。
解：（1）设带电体通过C点时的速度为，根据牛顿第二定律得：（2分）设带电体通过B点时的速度为，设轨道对带电体的支持力大小为，带电体从B运动到C的过程中，根据动能定理：（2分）带电体在B点时，根据牛顿第二定律有：（2分）联立解得：（1分）根据牛顿第三定律可知，带电体对轨道的压力（1分）（2）设带电体从最高点C落至水平轨道上的D点经历的时间为t，根据运动的分解有：（1分）（2分）联立解得：（1分）（3）由P到B带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从B经C到D的过程中，在此过程中保有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成450夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B点右侧对应圆心角为45 0处。
5.18(读背)等效法处理重力场和电场的复合场问题
难点分析：为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下：等效重力场： 重力场、电场叠加而成的复合场。
等效重力： 重力、电场力的合力。
等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值。
等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置。
等效“最高点”： 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置。
等效重力势能： 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积。
突破策略在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动问题及相关的能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。
用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。
根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。
“等效重力场”建立方法当一个质量为m 、带电量为q 的物体同时处在重力场和场强为E 的匀强电场中，可将两场叠加为一个等效的重力场。
等效重力场的“重力加速度”可表示为qEg g m'=+，g '的方向与重力mg 和电场力qE 合力的方向一致；若合力的方向与重力mg 方向夹角为θ，则g 也可表示为cos gg θ=。
解题应用解圆周运动例. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度0.40m L =的绝缘细绳把质量为0.10kg m =、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37θ=。
现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。
（210m/s g =，sin 370.60=，cos370.80=）解析： ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角30，大小： 1.25cos 37gg g '==由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功21m ()(cos sin )2OA OC Cg L L mg L mv θθ''''-=-= 代入数值得 1.4C v ≈m/s（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则21sin 2B mg L L mv θ'-=（） ① 2B v F mg mL'-=②联立①②两式子得 2.25F =N 。
高中物理人教版选修3-1分类题型5：等效场-重力与电场的复合场
高中物理选修3-1题型5（等效场-重力与电场复合场）1、复合场物体仅在重力场中的运动时最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。
此时，可以将重力场与电场合二为一，用“复合场”来代替两个分立的场。
形象的把这个复合场叫做等效场或等效重力场。
2、处理思路（1）受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向；（2）在复合场中找出等效最低点、最高点。
过圆心做等效重力的平行线与圆相交。
（3）根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。
1、如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b．不计空气阻力，则（B）A．小球带负电B．电场力跟重力平衡C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．小球在运动过程中机械能守恒2、如图所示，竖直放置的光滑绝缘圆环上套有一带正电的小球，圆心O处固定有一带负电的点电荷，匀强电场场强方向水平向右，小球绕O点做圆周运动，那么以下说法错误的是（D）A．在A点小球有最大的电势能B．在B点小球有最大的重力势能C．在C点小球有最大的机械能D．在D点小球有最大的动能3、如图所示，水平向左的匀强电场场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为L，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。
把小球拉到使细线水平的位置A，然后由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成角θ=60°的位置B时速度为零。
以下说法中正确的是（B）A．A点电势低于的B点的电势B．小球受到的重力与电场力的关系是C．小球在B时，细线拉力为T=2mgD．小球从A运动到B过程中，电场力对其做的功为4、如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环，其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L。
电场重力场的复合
方法点拨 ①带电体在匀强电场和重力场的复合场中做直线运动的条件 是：带电体所受合力方向必须与带电体的速度方向在一条直线上， 或者带电体所受合力为零．
例2
【解析】由于题中平行板电容器的两个极板
与水平地面成一角度，所以带电粒子所受电 场力并不在竖直方向上，而重力却竖直向下， 因此带电粒子所受重力与电场力不可能平衡， A 选项错；要使带电粒子做直线运动，合力 与速度共线，带电粒子所受电场力必为斜向 上，如图 2. 这样带电粒子在运动过程中由于 所受电场力做负功，电势能增加，所以 B选 项正确；合力做负功，由动能定理可知，动 能减小， C 选项错；两极板与一直流电源相 连，板间电压、场强不变，电场力不变，合 力恒定，因而粒子做匀变速直线运动， D 选 项正确。
匀强电场和重力场的复合场中 的直线运动与圆周运动问题
一、匀强电场和重力场的复合场中的直线运动问题
例1
【解析】 （1）做电场线如图①所示，由题意，只有小球受到向 左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上， 如图②所示，这样小球才能做直线运动．所以小球带正电，小球 沿v0方向做匀减速运动．由②知qE＝mg.相邻等势面间的电势差 用U表示，所以E＝
【答案】BD
二、匀强电场和重力场的复合场中的圆周运动问题
例3
【解析】（1）因
3 qE = mg 4 所以qE、mg的合力F合与竖直方向夹角
7 由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力也为 mg . 4
方法小球将做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样 大．若qE<mg，球在a处速度最小，对细线的拉力最小．若qE>mg，球
高中物理人教版选修3-1分类题型5：等效场-重力与电场的复合场
高中物理选修3—1题型5（等效场-重力与电场复合场）1、复合场物体仅在重力场中的运动时最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场,还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些。
此时，可以将重力场与电场合二为一,用“复合场"来代替两个分立的场。
形象的把这个复合场叫做等效场或等效重力场。
2、处理思路(1）受力分析，计算等效重力(重力与电场力的合力)的大小和方向;（2）在复合场中找出等效最低点、最高点。
过圆心做等效重力的平行线与圆相交。
（3）根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。
1、如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b．不计空气阻力，则（B)A．小球带负电B．电场力跟重力平衡C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．小球在运动过程中机械能守恒2、如图所示，竖直放置的光滑绝缘圆环上套有一带正电的小球，圆心O处固定有一带负电的点电荷，匀强电场场强方向水平向右，小球绕O点做圆周运动，那么以下说法错误的是（D）A．在A点小球有最大的电势能B．在B点小球有最大的重力势能C．在C点小球有最大的机械能D．在D点小球有最大的动能3、如图所示，水平向左的匀强电场场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为L，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。
把小球拉到使细线水平的位置A，然后由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成角θ=60°的位置B时速度为零。
以下说法中正确的是（B）A．A点电势低于的B点的电势B．小球受到的重力与电场力的关系是C．小球在B时，细线拉力为T=2mgD．小球从A运动到B过程中,电场力对其做的功为4、如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环,其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L.劲度系数为k的轻弹簧上端固定在大环的中心O，下端连接一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的小环，小环套在大环上且与大环及弹簧绝缘,整个装置处在水平向右的匀强电场中。
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
R
得 T=6F=6(mg-qE)
B
解：若qE﹥mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向上，最低点B速度最小，重力提供向心力。 由牛顿第二定律： F=qE-mg F）A点速度最大，合力提供向心力
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R 由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
解：若qE﹤mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向下，最高点A速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=mg-qE F=mv12/R
得 v1=（（mg-qE）R/m）1/2 （2）B点速度最大，合力提供向心力
A
E
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cosa/g
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
等效：
题中电场力为恒力，且与重力同向 可将两者合力 F=qE+mg
等效成重力 G‵ =mg ‵ 即 g‵ =g+qE/m
用g‵替换结论中的g就可快速得到 [例2]的结果：
最高点有最小速度v= R(gqE/m)
小球运动到最低点时有最大拉力 T=6mg‵ =6(mg+qE)
思考1：如果粒子带负电，大小为q， 则结果如何？
由动能定理： 2mgR=mv22/2-mv2/2
B
得 T=6mg
例2：用长为R的绝缘细线栓一带正电 q的小球，质量为m，在竖直向下的场 强为E匀强电场中，刚好能在竖直平
带电粒子在重力场和电场中的运动
B．小球到B点的速度最大
C．小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零
D．小球运动到A点时所受绳的拉力最大
3、“竖直上抛运动”
在竖直向下的匀强电场中，以V0初速度竖直向上发射一个质量为 m带电量为q的带正电小球，求上升的最大高度。
4、竖直平面内的圆周运动 【知识回顾】
如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜 面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆 轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀 强电场中。现有一质量为m的带正电，电量为q 3mg
3E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应 为多大？
E O R
5、类平抛运动 水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m的微粒 由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带 电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒 带正电，电量为q，仍以相同的初速度进入电场，微粒 恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明 上下板间带电性？
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在 竖直平面内做圆周运动。求： （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳 的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时A绳 的拉力为多大？
特点： 最低点： （B点） 物体自由时可以平衡的位置 最高点： （A点） 最低点关于圆心对称的位置
TR B
重力环境对比： 小球在A—B—C之间往复运动，则α 、β的关系为： A．α = β B．α > β C．α < β D．无法比较
如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝 缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状 态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角．现将小球拉至细 线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放．若重力加速度为 g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
$E_{p} = qvarphi$，其中$q$为带电粒子的电荷量，$varphi$为 电势。
影响因素
与带电粒子的电荷量和电场强度有关。
动能
01
02
03
定义
带电粒子在运动过程中所 具有的能量。
计算公式
$E_{k}
=
frac{1}{2}mv^{2}$，其中
$m$为带电粒子的质量，
$v$为速度。
带电粒子在电场和重力场复合场中 的运动
目录
• 带电粒子在电场和重力场复合场中的 受力分析
• 带电粒子在复合场中的运动形式 • 带电粒子在复合场中的能量分析
目录
• 带电粒子在复合场中的运动轨迹分析 • 带电粒子在复合场中的动力学方程 • 带电粒子在复合场中的实验验证
01 带电粒子在电场和重力场 复合场中的受力分析
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子受到的合外力为零，因此粒子将做匀速圆周运动。 此时，粒子受到的电场力充当向心力，使粒子沿着圆形轨迹运动。粒子的速度大小不变，方向时刻改 变，其运动轨迹为一个闭合的圆。
03 带电粒子在复合场中的能 量分析
电势能
定义
带电粒子在电场中由于电场力作用而具有的势能。
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力方向不一致时，粒子将受到一个与初速度方向垂直的合外力，这个力使粒子做曲 线运动。根据牛顿第二定律，合外力与加速度方向一致，因此粒子加速度方向时刻改变，导致速度方向也时刻改 变，从而形成曲线轨迹。
匀速圆周运动
总结词
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子将在匀强电场中做匀速圆周运动。
牛顿第二定律的应用
牛顿第二定律是动力学的基础，在复合场中，带电粒子受到 电场力和重力的作用，因此，牛顿第二定律的应用是推导动 力学方程的关键。
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动课件
α
L
T
Emຫໍສະໝຸດ ● F电GF例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）若将细线剪短，则小球做什么运动？T时间后小球的
位移是多少？
αL
E
m●
解：
(1)小球受三个力平衡： T
可得：小球带正电
qE
qE/mg=tgα
α
q=mg tgα/E
mg
（2）小球做初速度为0的匀加速直线运动
mg/F合=cosα
F合=mg/cosα=ma
X=at2/2=gt2/2cosα
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （3）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后 将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位
作业：
1.此小球摆动过程中的振动周期为多少?（摆角 小于50）
2. 若将原题中电场E突然反向，求细线偏离 竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
3. 原题中至少给小球多大的初速 度，才能使小球做圆周运动？
[拓展1]此小球摆动过程中的振动周期为多少? （摆角小于50）
解：由单摆周期公式T周=2π l / g '
设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cos a/g
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
求解电场与重力场复合场问题思路分析
Җ㊀甘肃㊀杨㊀猛㊀㊀以电场与重力场复合为背景的物理问题,以能力为立意,综合力与运动㊁电场㊁功能原理等物理知识,上挂下联,可能会给学生带来认知障碍．如何才能高效地解决这类问题呢?可以依据下面这两条有效途径:１)如果不受外界约束,粒子必然只受电场力与重力,二者均为恒力,把运动分解在这两个力的方向上,两方向上粒子均做匀变速直线运动,参考平抛㊁斜抛运动问题的处理思路,应用运动学㊁动力学公式及功能原理解决;２)如果受到外界约束,则电场力与重力的合力方向确定,将这两个力的合力类比重力,把粒子运动类比只受重力作用的直线运动㊁竖直平面内的圆周运动等运动类型进行求解．１㊀无约束的电场与重力场复合问题例１㊀如图１所示,某带电小球在水平向右的匀强电场中,从A 点以竖直向上的速度运动,运动到B 点时速度变为水平向右,已知小球所受的电场力是所受重力的３倍,则下列说法正确的是(㊀㊀)．㊀㊀图１A ．小球带负电B ．小球在B 点的速度是A 点速度的３倍C ．此过程中小球在水平方向上运动的距离是竖直方向上运动距离的３倍D ．此过程中小球的速度方向与水平方向夹角为６０ʎ时速度最小带电小球不受其他外在约束,受水平方向的电场力与竖直向下的重力,合力必指向轨迹的凹侧,即重力与电场力的合力斜向右下,由此确定电场力向右,即小球所受电场力方向与场强方向一致,小球带正电,选项A 错误．小球的运动可看作初速度为零的水平向右的匀加速直线运动与竖直向上的匀减速直线运动的合运动,竖直向上的分运动的末速度为零．由于小球所受的电场力是所受重力的３倍,所以水平方向的分加速度是竖直方向上分加速度的３倍,即水平方向的分加速度a ＝３g ．两分运动时间相同,在竖直方向上有v A ＝g t ,h ＝１２g t ２,在水平方向上有v B ＝a t ,l ＝１２a t ２,所以v B ＝３v A ,l ＝３h ,选项B ㊁C 正确．将小球运动类比到重力场中,此运动类似重力㊀㊀图２场中的斜抛运动,电场力与重力的合力类此重力,则速度最小的位置为类似重力场中的最高点,即速度方向与类重力方向垂直的位置(如图２)．根据几何关系可知,C 点的速度方向与水平方向夹角为６０ʎ,选项D 正确．不受外界约束的粒子在电场与重力场的复合场中运动,受到的电场力与重力均为恒力,粒子必做匀变速运动,可将运动分解在这两个方向上,两方向都做匀变速直线运动,将合力类比重力,可用与平抛㊁斜抛运动相似的处理思维来解决问题．２㊀受约束的电场与重力场复合问题例２㊀如图３所示,水平向右的匀强电场中放置㊀㊀图３绝缘光滑轨道B A C ,其中A B 是斜面,倾角为３０ʎ,A C 是半径为R 的竖直圆轨道,圆轨道与斜面在连接A 处相切,场强为E ．质量为m ㊁带正电q ＝３m g３E的小球从O 点以多大速度开始运动才能安全通过圆轨道㊀㊀图４小球在斜面上受力情况如图４所示,受重力㊁电场力㊁轨道对它的支持力,类比重力场,将重力与电场力的合力视作类重力m gᶄ,则m g ᶄ＝(m g )２＋(E q )２＝２３m g ３,t a n θ＝E q m g ＝３３,解得θ＝３０ʎ．类重力的方向垂直于斜面向下,因此,沿斜面方向小球所受合力为零,小球在斜面上做匀速直线运动．小球在圆弧上的运动可视作竖直平面内的圆周运动．小球要能安全通过圆轨道,必须在类最高点(图４中的D 点)的最小速度满足类重力刚好提供所需的向心力,即m gᶄ＝m v ２DR．小球在A 点速度等于O 点的速度,４３从A 点运动到D 点,由机械能守恒定律得－m gᶄ ２R ＝１２m v ２D －１２m v ２A ,解得v A ＝１０３g R ３．所以小球从O 点以v ȡ１０３g R３的速度开始运动才能安全通过圆轨道．㊀㊀图５例３㊀如图５所示,将一个半径为r ㊁内壁光滑的圆形绝缘轨道固定在水平向右的匀强电场中,圆轨道的圆面在竖直平面内以O 为圆心,最低点和最高点为A ㊁B ．现让一个带负电㊁质量为m 的小球在轨道内侧做完整的圆周运动,整个运动过程中小球经过C 点时速度最大,其中竖直方向与O C 之间的夹角θ＝６０ʎ(重力加速度取g )．(１)求小球在运动过程中所受的电场力大小．(２)若经过D 点时小球对圆轨道的压力最小,请计算小球在A 点的速度v ０是多大．㊀㊀图６将小球的运动类比竖直平面内的圆周运动,电场力与重力的合力为类重力．在C 点处速度最大,所以C 点即为类最低点,即O C 方向为类重力的方向．在C 点对小球进行受力分析,如图６所示,F ＝m g t a n６０ʎ＝３m g ．(２)D 点为类最高点,根据题意小球做完整的圆周运动,则经过D 点时小球对圆轨道的压力最小,则过D 点小球速度最小．而过D 点小球速度最小,必须满足类重力刚好提供向心力．而类重力m gᶄ＝(m g )２＋F ２＝２m g ,m gᶄ＝m v２Dr,解得v D ＝２g r ．从A 点运动到D 点,由动能定理有－m gr (１＋c o s ６０ʎ)－F r s i n ６０ʎ＝１２m v ２D －１２m v ２０,解得v ０＝２２gr ．带电粒子在电场与重力场的复合场中运动,可将电场力与重力的合力类比重力,找到类最高点㊁类最低点,抓住这些点的特征,类比重力场中竖直平面内圆周运动㊁直线运动等类型进行处理．(作者单位:甘肃省高台县第一中学)Җ㊀山东㊀梁小燕㊀㊀长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务 天问一号 探测器,在文昌航天发射场点火升空．我们知道,在 天问一号 发射前往火星的途中,将经历变轨过程,包括其他大多数的卫星,在发射或运行过程中,都会通过改变轨道来完成一系列调整．鉴于此,不妨透过 天问一号 的发射过程,结合万有引力部分相关知识,来探究卫星的变轨问题．１㊀卫星变轨过程从开普勒三定律的发现,到万有引力定律被推出,中间的发现过程如图１所示,同学们可根据这一思路尝试着进行推导图１上述两个定律在卫星变轨过程中都有应用,一般来说,其需要多级运载火箭不断提供能量进而实现轨道的变化,同时在飞行过程中还需要多次调整位置,可见整个变轨过程较为复杂,不妨以地球同步卫星的发射过程为例进行分析,如图所示㊀㊀图２停泊轨道:运载火箭先将卫星送至高度在２００k m~４００k m 范围内的低空轨道,然后卫星在此轨道上进行测试飞行,为后续变轨做好准备．转移轨道:卫星向赤道飞行,末级火箭启动,这时卫星的轨道为椭圆轨道,近地点高度约为２００k m ,远地点轨道高度则约为３６０００k m．同步轨道:卫星在转移轨道上运转４~６圈后,完成一系列测试与准备,再次来到转移轨道的远地点的时候启动发动机,完成第二次变轨,进入轨道高度为５３。
电场和重力场的复合场
电场和重力场的复合场1．一半径为R的绝缘光滑圆环竖直放置在方向水平向右的、场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a，c是竖直直径的两端，b，d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动，已知小球自a点由静止释放，沿abc运动到d点时的速度恰好为零，由此可知（）A．小球在d点时的加速度为零B．小球在d点时的电势能最大如图所示，环上a、c是竖直直径的两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可以沿环无摩擦滑动，已知小球自a点由静止释放，沿abc运动到d点时的速度恰好为零，由此可知（）A．小球在a点的加速度与在d点的加速度大小相等3．如图所示，水平绝缘光滑轨道AB与处于竖直平面内的圆弧形v绝缘光滑轨道BCD平滑连接，圆弧形轨道的半径R=0.30m．轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×107 N/C．现有一电荷量q=﹣4.0×10﹣7C，质量m=0.30kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点以某一水平初速度v0向右运动，若带电体恰好可以沿圆弧轨道运动到D点，并在离开D点后，落回到水平面上的P点．，已知OD与OC的夹角θ=37°，求：（1）P、B两点间的距离x；（2）带电体经过C点时对轨道的压力；（3）小球的初速度v0的值．4．如图甲所示，在竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强E=1.0×104N/C．电场内有一半径为R=2.0m的光滑绝缘细圆环形轨道竖直放置且固定，有一质量为m=0.4kg、带电荷量为q=+3.0×10﹣4C的带孔小球穿过细圆环轨道静止在位置A，现对小球沿切线方向作用一瞬时速度v A，使小球恰好能在光滑绝缘细圆环形轨道上做圆周运动，取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点．已知g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）瞬时速度v A的大小；（2）小球机械能的最小值．5．如图所示，ABCD为竖立放在场强为E=104 V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切，A为水平轨道上的一点，而且=R=0.2m．把一质量m=0.1kg、带电量q=10﹣4 C的小球，放在水平轨道的A 点由静止开始释放后，在轨道的内侧运动．（g取10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到B达点时对轨道压力是多大？（3）若让小球安全通过D点，还从A点释放小球场强应该变为多大？6．如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m 的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×103V/m．一不带电的绝缘小球甲，以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10﹣2kg，乙所带电荷量q=2.0×10﹣5C，g取10m/s2．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离x的大小；（2）在满足（1）的条件下，求甲的速度v0的大小；（3）若甲仍以速度v0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离的最大值x m的大小．7．如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的四分之一圆弧形粗糙绝缘轨道BC平滑连接，圆弧的半径R=0.40m．在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×104 N/C．现有一质量m=0.10kg的带电体（可视为质点）放在水平轨道上与B 端距离s=1.0m的位置，由于受到电场力的作用带电体由静止开始运动，当运动到圆弧形轨道的C端时，速度恰好为零．已知带电体所带电荷q=8.0×10﹣5C，取g=10m/s2，求：（1）带电体在水平轨道上运动的加速度大小及运动到B端时的速度大小；（2）带电体运动到圆弧形轨道的B端时对圆弧轨道的压力大小；（3）带电体沿圆弧形轨道运动过程中，电场力和摩擦力对带电体所做的功各是多少．8．（2009•威海模拟）如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m．在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E=1.0×104N/C．现有一电荷量q=+1.0×10﹣4C，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点．取g=10m/s2．试求：（1）带电体在圆形轨道C点的速度大小．（2）D点到B点的距离x DB．（3）带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小．（4）带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能．。
最新等效重力场法(静电场)
A
特点： 最低点： （B点） 物体自由时可以平衡的位置 最高点： （A点） 最低点关于圆心对称的位置
TR
__________________________________________________
B G
解题步骤
解：（1）小球在最高点A速度最小。
由于小球刚好在竖直面内做圆周运动，所以在最高点只有重力提
A
B点: 等效“最低点” A点：等效“最高点”
__________________________________________________
T
Eq B
G
G'
解题步骤： 等效重力 G' 2mg
解：（1）小球在A点速度最小。
2mg m v12 R
v1
2gR T1 0
（2）小球在B点速度最大。
动能定理
2mg.2R
1 2
mv12
1 2
mv2 2
v2
5 2gR
T2
2mg m v22 R
T2 6 2mg
__________________________________________________
【课后练习】
如图所示，在离坡顶为L的山坡上的C点竖直固定一根直杆，杆 高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、 质量为m的物体穿于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中， 已知细线与竖直方向的夹角为30°．若物体从A点由静止开始沿绳 无摩擦的滑下，设细绳始终没发生形变，求物体在细绳上滑行的 时间．
1 2
mv12
1 2
秘籍12 带电粒子在叠加场、组合场、复合场中的综合运动问题(教师版)-备战2024年高考物理抢分秘籍
秘籍12带电粒子在等效场、叠加场、组合场、复合场中的综合运动带电粒子在场中无约束情况下，常见的几种情况：①电场力、重力并存——电场力+重力＝F等效（恒力）静止或匀速直线运动←→F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；匀加/减速直线运动←→F等效≠0且与v共线；匀变速曲线运动←→F等效≠0且与v不共线；无圆周运动②磁场力、重力并存匀速直线运动←→F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，故机械能守恒无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周②磁场力、电场力并存匀速直线运动←→F洛＝mg且方向相反（或F洛＝F电且方向相反），运动方向与F洛垂直；变加速曲线运动（复杂曲线），可用动能定理求解。
无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周③磁场力、电场力、重力并存静止←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；匀速直线运动←→F电、mg、F洛三力平衡；匀速圆周运动←→F电＝mg且方向相反，且F洛＝F n；变加速曲线运动（复杂曲线），可用能量守恒定律或动能定理求解。
无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动【题型】带电粒子在等效场、叠加场、组合场、复合场中的综合运动【典例1】（2024·广东深圳·一模）如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，光滑绝缘斜面固定在水平面上。
一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力力f洛、加速度a与机械能E机等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】AC．滑块下滑过程中始终没有离开斜面，滑块沿斜面受到的重力分力和电场力分力均保持不变，滑块做匀加速直线运动，则a t-图像为一条与横轴平行的直线；根据x t-图像的斜率表示速度，可知x t-图像的斜率逐渐增大，故AC错误；B．由于滑块由静止做匀加速直线运动，则有==∝f qvB qBat t洛可知f t-洛图像为过原点的倾斜直线，故B正确；D．除重力做功外，还有电场力做功，则滑块的机械能不守恒，故D错误。
电场力与重力的合场问题
一、电场力与重力的合场问题例1、半径R=0.4m的光滑绝缘轨道固定于竖直于平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大位置在A点，圆心O与A点的连线与竖直线成一角度θ，如图所示，在A点时小球对轨道压力N=108N，若小球的最大动能比最小动能多14.4J，且小球能够到达轨道上任意一点（不计空气阻力），试求：(1)小球的最小动能；（2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量都不变，则小球经0.2s时，其动能与在A点时的动能相等，小球的质量为多少？解析：小球的重力与电场力的合力方向必沿OA 连线向下，最小动能的位置必在A 点关于O 点对称的B 点则有2221212B A mv mv R F -=⋅ 代入解得F=18N在A 点时有 R m v F N A2=-J mv A 18212= 所以最小动能为J J J E Km 6.34.1418=-= ②在B 点撤去轨道后，小球将做类平抛运动 由2212at R =，F=ma 得 RFt m 42==4.5×10-3kg答：（1）小球的最小动能是3.6J ； （2）小球的质量为4.5×10-3kg ．二、电容器的动态分析例2、两块大小、形状完全相同的金属板正对水平放置，构成一个平行板电容器，将两金属板分别与电源相连接，将与电源负极相连的极板接地，p是平行板中间的一定点，如图所示。
下列判断正确的是（）A．保持开关S闭合，下板向上移动一小段距离，p点电势升高B．保持开关S闭合，上板向下移动一小段距离，p点电势升高C．断开开关S，下板向上移动一小段距离，p点电势升高D．断开开关S，上板向下移动一小段距离，p点电势升高解析：间接比较，建立P点与上下板的联系，用电势差的变化分析P点电势变化，注意电压和电荷量的变化问题。
选BA、保持开关S闭合，电容器板间电压保持不变，下板向上移动一小段距离，板间距离d减小，根据公式E= U/d 分析得知，板间场强增大，由U=Ed得知，P点与上板间电势差增大，则P点与下板的电势差减小，电场线方向向下，P点的电势高于下板的电势，则p点电势降低．故A错误．B、保持开关S闭合，电容器板间电压保持不变，上板向下移动一小段距离，板间距离d减小，根据公式E= U/d 分析得知，板间场强增大，由U=Ed得知，P点与下板间电势差增大，电场线方向向下，P点的电势高于下板的电势，则p点电势升高．故B正确．C、断开开关S，电容器的电量不变，根据推论E= 4πkQ/ɛS 得知，板间场强不变．下板向上移动一小段距离，根据U=Ed得知，P点与下板的电势差减小，电场线方向向下，P点的电势高于下板的电势，则p点电势降低．故C错误．D、断开开关S，电容器的电量不变，根据推论E= 4πkQ/ɛS 得知，板间场强不变．上板向下移动一小段距离，根据U=Ed得知，P点与下板的电势差不变，则p点电势不变．故D错误．三、有关电场中的能量问题例3．如图所示，A、B为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板的中央各有一个小孔M、N，今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N在同一竖直线上)，空气阻力不计，到达N孔时速度恰好为零，然后沿原路返回，若保持两极板间的电压不变，则()A．把A板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落后仍能返回B．把A板向下平移一小段距离，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落C．把B板向上平移一小段距离，质点自P点自由下落后仍能返回D．把B板向下平移一小段距离后，质点自P点自由下落后将穿过N孔继续下落答案：ACD解析：带电质点在下落的过程中，由P到M只受重力作用，而由M到N受到重力和电场力的共同作用。
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（甲） （乙） （1）要使电子都打不到荧光屏上，则 A、B 两 板间所加电压 U 应满足什么条件； （2）当 A、B 板间所加电压 U′=50 V 时，电子 打在荧光屏上距离中心点 O 多远的范围内.
解析： （1）设电子的质量为 m、电荷量为 e，电 子通过加速电场后的速度为 v ，由动能定理有： 1 2 eu= mv ， ① 2 电子通过偏转电场的时间 t=L/v， ② 1 2 eU L ( )， ③ 此过程中电子的竖直位移 y= at = 2 2md v UL 联立①③式解得：y= . 4ud 要使电子都打不到屏上， 应满足 u 取最大值 800 d V 时仍有 y＞ 代入数据可得，为使电子都打不到屏 2 上，U 应大于 100 V.
电场和重力场组合
例 1. 在如图所示的 xOy 平面内（y 轴的正方
向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带 正电的粒子自坐标原点 O 沿 y 轴正方向竖直向上抛 出，它的初动能为 5 J，不计空气阻力，当它上升到 最高点 M 时，它的动能为 4 J.
（1）试分析说明带电粒子被抛出后沿竖直方向 和水平方向分别做什么运动； （2）若带电粒子落回到 x 轴上的 P 点，在图中 标出 P 点的位置，并大致绘出其轨迹； （3）求带电粒子到达 P 点时的动能.
E
L
θ A ⊕
C
解：
由于qE>mg及摩擦力的作用，带电 小球最终将停在B点,设运动的总路程 为S，由能量守恒
(qE- mg)Lsinθ=μ(qE- mg)Scosθ
解得:S=Ltgθ/μ
交变电场的应用
例 1： 电子以水平初速度 v 沿平行金属板中
0
央射入，在金属板间加上如图 6－3－ 14（乙）所示 的交变电压. 已知电子质量为 m ，电荷量为 e ，电压 周期为 T，电压为 U0，求：
m m
UL 由第（1）问中的 y= 可知，在其他条件不变 4ud 的情况下，u 越大 y 越小，所以当 u=800 V 时，电子 通过偏转电场的竖直位移最小， U L -2 其最小竖直位移 ymin= =1.25×10 m=1.25 4ud cm. 同时，电子打在屏上距中心点的最小距离 L b 2 ymin=2.5 cm. Ymin= L 2 所以电子打在屏上距中心点 O 的距离在 2.5 cm～5.0 cm 的范围内. 答案：见解析
图 6－3－14 （1）若电子从 t=0 时刻进入板间，在半周期内 恰好能从板的上边缘飞出，则电子飞出速度为多 大？ （2）若电子在 t=0 时刻进入板间，能从板右边 水平飞出，则金属板为多长？ （3 ）若电子能从板中点 O′水平飞出，电子应 从哪一时刻进入板间，两板间距至少为多大？
U 1 2 1 2 解析： （1）由动能定理得，e = mv － mv0 ， 2 2 2
0
即 v= v eU / m .
2 0 0
（2） 要使电子能从右边水平飞出， 经过时间 t′ 应满足： t′=nT（n=1，2，3„） ， 所以有：l=v0t′=nv0T（n=1、2、3„） （3）要粒子从 O′点水平飞出，电子进入时刻 应为 T T (2n 1) t= +n = T（n=0、1、2、3„） 4 2 4
[拓展] 若将原题中电场E突然反向， 求细线偏离竖直方向的最大偏角？ （α小于45o） 解：电场E反向，由受力可知摆动 的等效最低点在竖直偏左α角处， 等效摆的摆角为2 α，再由对称性可 知，小球偏离竖直方向的最大夹角 为3 α。
[练习]一根对称的“Λ ”型玻璃管置于竖直 平面内，管所在的空间有竖直向上的匀强 电场E，质量为m带正电量为q的小球在管内 从A点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系 数为 μ ，一侧管长为 L ，小球在 B 端与管作 用没有能量损失，管与水平面夹角为 θ ， 求从 A 开始，小球运动的总路程是多少？ (设qE>mg) B
在半个周期内竖直位移为 eU T T 1 y= a（ ）2×2= . 2 4 16md
2 0
①
d 两板间距离 d 应满足条件：y≤ ② 2 T eU 由①②得 d≥ . 2 2m 答案： （1） v eU / m （2）nv0T（n=1、2、
0
2
0
0
3„）
(2n 1) T （n=0、1、2、3„） （3） 4
T eU 2 2m
0
【例 3】 如图（甲）所示，真空中的电极 K 连 续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计） ，经 电压为 u 的电场加速，加速电压 u 随时间 t 变化的 图象如图（乙）所示.每个电子通过加速电场的过程 时间极短，可认为加速电压不变.电子被加速后由小 孔 S 穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板 A、 B 间中轴线从左边缘射入 A、 B 两板间的偏转电场， A、 B 两板长均为 L=0.20 m，两板之间距离 d=0.050 m， A 板的电势比 B 板的电势高.A、B 板右侧边缘到竖直 放置的荧光屏 P （面积足够大） 之间的距离 b=0.10 m. 荧光屏的中心点 O 与 A、B 板的中心轴线在同一水平 直线上.不计电子之间的相互作用力及其所受重力， 求：
2 2
2 2
（2） 当电子恰好从 A 板右边缘射出偏转电场时， d 其竖直位移最大 ym= =2.5 cm. 2 电子飞出偏转电场时，其速度的反向延长线通 过偏转电场的中心，设电子打在屏上距中心点的最 大距离为 Ym，则由几何关系可知： L b Y 2， L y 2 L b 2 ym=5.0 cmR的绝缘细线栓一带 正电q的小球，质量为m，在竖直 向下的场强为E匀强电场中，刚好 能在竖直平面内做圆周运动，求 小球运动过程中的最小速度和绳 的最大拉力。 E R
例3：如图所示，一条长为L的细线，上端 固定，下端栓一质量为m的带电小球，将 它置于一匀强电场中，电场强度大小为E， 方向水平。已知当细线离开竖直位置的偏 角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）如果使细线与竖直 方向的偏角由α增大到θ， L 然后将小球由静止释放， α 则θ为多大时，可使小 球到达竖直位置时速度 ● 刚好为零？ m E