空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标：⒈空间直角坐标系；⒉空间向量的坐标表示；⒊空间向量的坐标运算；⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系；5.中点公式。

㈡能力目标：⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4.会用中点坐标公式解决有关问题。

教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究1、空间右手直角坐标系的概念⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。

注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)a －b=(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3)a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。

⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。

分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。

解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：332211i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a ==⇔=≠==则若G F EA BC D A 1B 1C 1D 1反思应用例2 已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b 。

解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40）， a •b ＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 例3 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则ADF D F D AD F D AD ⊥∴=-⋅-=⋅-=-=1110)2,1,0()0,0,2(),2,1,0(),0,0,2( 又),1,2,0(=AE,022)2,1,0()1,2,0(11AE F D F D AE ⊥∴=-=-⋅=⋅∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE 小结：①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。

②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可。

事实上，要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0。

巩固练习 P 39 练习 1－6 例4 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥平面B 1AC 。

分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线。

证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ，则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B ，∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1，由三垂线的逆定理，得EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。

分析二：选基底，利用向量的计算来证明。

证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则)(21)(21)(211111111AB AD AA BD AA D B BB F B EB EF -+=+=+=+= ＝(－a ＋b ＋c )/211AA AB AB +=＝a ＋b1AB EF ⋅∴＝(－a ＋b ＋c )/2•(a ＋b )＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b )/2＝(|b|2－|a |2＋0＋0)/2＝0，1AB EF ⊥∴，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。

分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1), F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1AB EF ⋅∴＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0AC EF ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。

归纳总结1、空间直角坐标系的概念2、向量的坐标运算3、实际问题中如何建系作业 P 42 习题9.6 3、4、5第二课时 夹角和距离公式教学目标： ㈠知识目标：⒈向量长度公式； ⒉两向量夹角公式；⒊空间两点间的距离公式、中点坐标公式； ⒋平面的法向量． ㈡能力目标：⒈掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；⒉了解平面的法向量的概念． 教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾上节课我们学习了空间直角坐标系、向量的直角坐标运算等知识内容，请回忆一下向量的直角坐标运算法则．设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b ，则⑴a ＋b ＝),,(332211b a b a b a +++； ⑵a －b ＝),,(332211b a b a b a ---； ⑶λa ＝),,(321a a a λλλ)(R ∈λ； ⑷a ·b ＝332211b a b a b a ++ 上述运算法则怎样证明呢？与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可． 怎样求一个空间向量的坐标呢？一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们利用向量知识解决立体几何问题提供了有利的工具．今天，我们将在以上运算法则的基础上，利用向量的数量积的意义，得出另外几个公式，为今后应用向量解决问题提供方便． 探索研究⒈夹角公式设),,(321a a a a =， ),,(321b b b b =，我们怎样求这两个向量的模呢？232221||a a a a ++=， 232221||b b b b ++=． 这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量积，会得出什么结果呢？ ∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 332211b a b a b a ++＝232221a a a ++·232221b b b ++·cos ＜a ,b ＞由此可以得出：这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向； 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点),,(111zy x A ，),,(222z y x B ，则其中B A d 、表示A 与B 两点间的距离． 反思应用例1已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： ⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件． 解：⑴设),,(z y x M 是线段AB 的中点，则)(21OB OA OM +=＝21[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,23,3)． ∴线段AB 的中点坐标是(2,23,3)． 29)15()30()31(222=-+-+-=B A d 、．⑵点),,(z y x P 到A 、B 两点距离相等，则222)1()3()3(-+-+-z y x ＝222)5()0()1(-+-+-z y x ．化简，得 07864=+-+z y x ．即到A 、B 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件是07864=+-+z y x ．说明：⑴注意掌握中点坐标公式：)(21OB OA OM +=＝)2,2,2(212121z z y y x x +++； ⑵例3⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．例2 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4111111B A F D E B ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ．以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则点B 、 E 1、D 、F 1的坐标分别为B (1,1,0)，E 1(1,43,1)，D (0,0,0)，F 1(0,41,1) ∴1BE ＝(1,43,1)－(1,1,0)＝(0,－41,1)，1DF ＝(0,41,1)－(0,0,0)＝(0,41,1)．∴417||1=BE ，417||1=DF ，1BE ·1DF ＝1615． ∴cos ＜1BE ,1DF 1715|DF |||1111=⋅BE ． 例3求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足．求证：OA //BD ．证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设BD ＝),,(z y x ．∵BD ⊥α， ∴BD ⊥i ，BD ⊥j ，∴BD ·i ＝),,(z y x ·(1,0,0)＝x ＝0，BD ·j ＝),,(z y x ·(0,1,0)＝y ＝0, ∴BD ＝(0,0,z )． ∴BD ＝z k ．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ． 说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量． 巩固训练 P 42练习 归纳总结对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 作业 P 42习题9.6 6、8第三课时 空间向量的坐标运算教学目标1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角、距离等3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾1、空间向量的坐标表示2、空间向量的坐标运算1探索研究例1 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿。