北京工商大学高等数学题及答案(6)

xy
y'
x=0
1 x 4.设函数 y = f (e ) , f 可导,试求 dy .
ax + b, x > 1 f ( x) = 2 x ≤ 1 处处可导. x , 5.确定常数 a 和 b ,使
∫ 6.求 1 + e
1
−x
dx
.
x
7.设 x ≥ −1 ,求 ∫
−1
(1− | t |)dt
x = 1 + t 2 y = t 3 在 t = 2 处的切线方程为 3.曲线
d cos x ∫ f (t )dt = 4. dx 0
3x-y-7=0
.
-f(cosx)sinx
.
5. ∫
1
−1
( x + 1 − x 2 ) 2 dx
=
2
.
Baidu Nhomakorabea
二.单项选择题(15 分) x 2 −1 1.当 x → 1 时,函数 x − 1 的极限等于( (A) 2
(B) 与 ∆x 是同阶的无穷小 (D) 比 ∆x 高阶的无穷
A
). (D)
(C) 充要条件
d [ f ( x)dx] 4.设 f ( x) 在 (−∞,+∞) 上连续,则 ∫ 等于(
B
)
(A) f ( x)
f ( x) + C
(B) f ( x)dx (D) f ' ( x)dx .
(C)
5.可导函数 f ( x) 对于 [a, b] 上任意两点 x1 , x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则在 (a, b) 内必有( (A) f ' ( x) < 0
四.应用及证明题(28 分) 1.求由曲线
1
x + y = 1 与坐标轴所围平面图形的面积;
1 6
a a
答:
S = ∫ (1 − 2 x + x)dx =
0
f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 0 2.设 f ( x) 为连续函数,求证 ∫−a .
答:
∫
a
−a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
f ' ( x) ≤ 0
(B) f ' ( x) > 0 (D) f ' ( x) ≥ 0 .
(C)
三.试解下列各题(42 分)
1 1 ) lim( − x x →0 x e −1 . 1.求极限
2.求 y = x + 2 cos x 在
[0, ] 2 上的最大值.
π
3.设 y = 1 + xe ,求
π
6
+ 3
xy 3.设 y = 1 + xe ,求
y'
x=0
. 答:=1
1 x e f ' dx x2
1
4.设函数 y = f (e ) , f 可导,试求 dy . 答:
1 x
dy = −
ax + b, x > 1 f ( x) = 2 x ≤ 1 处处可导. x , 5.确定常数 a 和 b ,使
高等数学 6 一.填空题（15 分）
sin x = x
1.
lim
x →∞
.
a + bx 2 , x ≤ 0 f ( x) = sin bx , x>0 x 2.设函数 在 x = 0 连续,则常数 a 和 b 应满足的关系式 是 .
x = 1 + t 2 y = t 3 在 t = 2 处的切线方程为 3.曲线
答:考虑
f ( x) =
4.求由曲线 xy = 1 在第一象限内的切线方程,使该切线在两坐标轴上的截距 之和最小.
1 1 y = ( x > 0) Y − y = − 2 ( X − x) x x ,设切点(x,y),切线 ,截距 答:曲线为 a = 2 x, b = 2 2 2 f ' ( x) = 2 − 2 = 0 f ( x) = 2 x + x ,故目标函数为 x ,由 x 得 x = 1 ,故切点
2.若函数 y = f ( x) 有 是( ).
1 2 ,则当 ∆x → 0 时,该函数在 x = x0 处的微分 dy
(A) 与 ∆x 是等价的无穷小 (C) 比 ∆x 低阶的无穷小 小.
(B) 与 ∆x 是同阶的无穷小 (D) 比 ∆x 高阶的无穷
3. f ' ( x0 ) = 0 是可导函数 f ( x) 在 x0 处取极值的( (A) 必要条件 无关条件. (B) 充分条件 (C) 充要条件
4.求由曲线 xy = 1 在第一象限内的切线方程,使该切线在两坐标轴上的截距 之和最小. 一.填空题（15 分）
sin x = 1. x→∞ x lim
0
.
a + bx 2 , x ≤ 0 f ( x) = sin bx , x>0 x 2.设函数 在 x = 0 连续,则常数 a 和 b 应满足的关系式 是 a=b .
.
四.应用及证明题(28 分) 1.求由曲线
x + y = 1 与坐标轴所围平面图形的面积;
a a
f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 0 . 2.设 f ( x) 为连续函数,求证 ∫−a
x ln( x + 1) > 1+ x . 3.证明:当 x > 1 时,有 ln x
1
答:a=2,b=-1
∫ 6.求 1 + e
−x
dx
.
x
答:令 e
−x
x = t 或凑微分, ln(1 + e ) + c
7.设 x ≥ −1 ,求 ∫−1
(1− | t |)dt
.
1 1 1 2 1 x +x+ − x2 + x + 2 2 , − 1 < x ≤ 0 时, 2 答: x > 0 时, 2
(1,1),切线方程 x+y=2
d cos x ∫ f (t )dt = 4. dx 0
.
.
5. ∫
1
−1
( x + 1 − x 2 ) 2 dx
=
.
二.单项选择题(15 分) x 2 −1 1.当 x → 1 时,函数 x − 1 的极限等于( (A) 2
∞
). (C)
(B) 0 (D) 不存在但不为 ∞ .
f ' ( x0 ) =
−a 0 0 a a
0
a
= ∫ f (−t )d (−t ) + ∫ f ( x)dx + = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx
a 0 0
ln( x + 1) x > 1+ x . 3.证明:当 x > 1 时,有 ln x x ln( x + 1) − ln x 1 + x ,或用中值定理.
∞
A
). (C)
(B) 0 (D) 不存在但不为 ∞ .
f ' ( x0 ) =
2.若函数 y = f ( x) 有 是( B ).
1 2 ,则当 ∆x → 0 时,该函数在 x = x0 处的微分 dy
(A) 与 ∆x 是等价的无穷小 (C) 比 ∆x 低阶的无穷小 小. 3. f ' ( x0 ) = 0 是可导函数 f ( x) 在 x0 处取极值的( (A) 必要条件 无关条件. (B) 充分条件
f ' ( x) ≤ 0
B
) (B) f ' ( x) > 0
(C)
(D) f ' ( x) ≥ 0 .
三.试解下列各题(42 分)
1 1 ) lim( − x 1.求极限 x→0 x e − 1 1 答:= 2
.
2.求 y = x + 2 cos x 在
[0, ] 2 上的最大值.
π
答:
max =
). (D)
d [ f ( x)dx] 4.设 f ( x) 在 (−∞,+∞) 上连续,则 ∫ 等于(
)
(A) f ( x)
f ( x) + C
(B) f ( x)dx (D) f ' ( x)dx .
(C)
5.可导函数 f ( x) 对于 [a, b] 上任意两点 x1 , x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则在 (a, b) 内必有 (A) f ' ( x) < 0