数值分析-华东交通大学研究生院
研究生数学数值分析2-3
1
(1) x + y = y + x; ( 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ); ( 3) 在 X 中存在零元素 0 ∀ x ∈ X，都有 x + 0 = x； ，
(4) ∀ x ∈ X，都有 x 的负元素 − x ∈ X，使 x + ( − x ) = 0 ； (5) 1 x = x; (6) λ ( µ x ) = (λµ ) x; ( 7 ) ( λ + µ ) x = λ x + µ x; (8) λ ( x + y ) = λ x + λ y ,
λ x =| λ | x ;
( 3 ) 三角不等式
x+ y ≤ x + y .
则称 X 为赋范线性空间 , x 称为 X 中向量 x 的范数 .
11
利用三角不等式易推出 x − y ≤ x− y
x = ( x1, x2 ,L, xn )T ,
( 2 .3 .8 )
, 例2.3.3 在线性空间Rn 中 对任意的 可以证明
7
例 2 .3 .2 在 C [ a , b ] 上 , 对任意 f ( x ), g ( x ) ∈ C [ a , b ], 定义 ( f ( x ), g ( x ) ) =
∫
b
a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx ,
( 2 .3 .3 )
其中 ρ ( x ) 称为权函数 , 它满足 : (1) ρ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ [ a , b ]; ( 2)
西南交通大学研究生数值分析总复习
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m , (ai 是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
*
1 mn 如果 x x 10 , 则称x *近似x时具有n位有效数字。 2
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3. 记近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效数 字（这是 以后常会用到的），即要求误差限ε<0.5×10m-n, 则n=5；
1 这即要求出满足： 10( n 1) 0.01%的n 2a1
例3（续）
1 由a1 5 10( n 1) 0.01% 0.0001 25 10( n 1) 0.001 n 1 lg 0.001 3 n 4 1 因此，只要对 0.052631578 的近似值取四位 19 1 有效数字为 0.05263 ，则其相对误差限就不 超过0.01% 19
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§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差 设 x *为准确值的近似值，记
e xx
*
e x x* er x x
分别称e为近似值x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝 对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
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迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是： 设方程f (x) = 0在区间[a, b]内有一根x*，将方程化为等价 方程x = (x)，并在[a, b]内任取一点x0作为初始近似值， 然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算： x ( x ), (k 0,1,2,) (2 - 3)
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数值分析第五章电子教案(欧阳洁)
第五章函数插值§1 插值问题与插值多项式§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值欧阳洁1问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
欧阳洁2§1 插值问题与插值多项式一插值问题二插值多项式欧阳洁3欧阳洁4一插值问题ni x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ已知定义于区间[a,b ]上的实值函数f (x )在n+1 个互异节点处的函数值。
若函数集合Φ中的函数ϕ(x )满足{}n i i x f 0)(={}],[0b a x n i i ⊂={}n i i x 0=则称ϕ(x )为f (x )在函数集合Φ中关于节点的一个插值函数，称f (x )为被插值函数,[a,b ]为插值区间。
{}ni i x 0=称为插值节点。
n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ称为插值条件。
如何求插值函数ϕ(x )称为插值问题。
欧阳洁71 代数插值多项式的存在唯一性分析：对于多项式插值问题，插值条件等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210************n n n n n n n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故满足插值条件的不超过n 次的插值多项式是存在惟一的。
{}n i i x 0=二插值多项式定理满足插值条件的不超过n 次的插值多项式存在惟一。
华东交通大学2020年统招硕士招生专业目录
全日制学术型一级学科招生专业
研究方向
考试科目
复试科目
同等学力加试
080200 机械工程
（拟招生人数：30人）
王老师
先进制造技术
光机电一体化技术与装备
机电系统检测与控制技术
现代机械设计方法及理论
车辆运维技术
101思想政治理论
201英语一
水处理工程
给排水管道工程
（任选一）
水力学
建筑给水排水工程
081404 供热、供燃气、通风及空调工程
（拟招生人数：16 人）
罗老师
高效换热器的理论研究及应用
空调系统与设备节能
制冷与热泵新技术
建筑节能
流体力学及两相流理论与应用研究
101思想政治理论
201英语一
301数学一
803流体力学
传热学
暖通空调
（任选一）
《新型建筑材料教程》 严捍东主编 中国建材工业出版社
《基础工程学》 王成华主编 天津大学出版社 2002年《土力学》 郑明新主编 河海大学出版社
《隧道工程》 朱永全、宋玉香主编 中国铁道出版社出版
《地基处理》 龚晓南、叶书麟主编 中国建筑工业出版社
《土力学》 郑明新主编 河海大学出版社 2010年
《工程地质学》 李伍平 郑明新 赵小平主编 中南大学出版社
804测量学
（任选一）
路基路面工程
铁路轨道
地理信息系统
（任选一）
铁道选线设计
遥感原理与应用
测绘科学技术基础
（任选二）
085229 环境工程硕士
（拟招生人数：10人）
鲁老师
环境工程技术及管理
数值分析(华东交通大学)智慧树知到答案章节测试2023年
第一章测试1.解对数据的微小变化高度敏感是病态的 ( )A:错B:对答案:B2.为使π*的相对误差限小于0.001%, 至少应取的有效数字为（）。
A:5B:4C:7D:6答案:D3.按四舍五入原则得到的近似数4.25，则这个近似数的相对误差是（）。
A:0.012%B:0.5%C:0.12%D:0.05%答案:C4.测得某场地长l的值为l* =100m,宽d值为d*的=80m,已知，则面积s=ld的绝对误差限位（）。
A:0.325%B:28(m2)C:26(m2)D:27(m2)答案:C5. 3.1421是π的近似值，3.1421的有效数字是（）。
A:3B:2C:4D:5答案:A第二章测试1.下列说法正确的是( ）A:不动点迭代总是线性收敛的B:斯特芬森迭代可以看成不动点迭代C:牛顿法有可能不收敛D:非线性方程的解通常不唯一答案:BCD2.不动点迭代局部收敛的条件是（）。
A:B:C:D:答案:CD3.对f(x)=0的m重根的迭代格式的收敛阶是 ( ）A:1.840B:2C:1D:3答案:B4.的等价方程形成的不动点迭代的收敛阶是（）A:1.618B:2C:1.840D:1答案:D5.方程的牛顿迭代格式为（）A:B:C:D:答案:D第三章测试1.解线性方程组通常有直接法和迭代法。
A:对B:错答案:A2.若方程组的系数矩阵严格主对角占优，下列哪个说法正确 ( )A:谱半径大于1.B:雅可比迭代法一定收敛；C:高斯消元法不需要换行可以顺利进行；D:高斯-赛德尔方法一定收敛；答案:ABCD3.用松弛法解系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组时，松弛因子是下列哪个值时该方法一定是收敛的( )A:1.5B:2.0C:0.5D:1.0答案:ACD4.下面那个初等方阵是初等方阵E((k),j)的逆矩阵是( )A: E(i,j)；B:E(i(-k),j)；C:E(i(1/k)).D:E(i(k))；答案:B5.用列主元高斯消去法解方程组第一步所选的主元是( )A:1B:2C:5D:3答案:B第四章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:x-1,xB:1-x,-xC:1-x,xD:x-1,-x答案:A3.A:1B:2C:3D:0答案:D4.A:B:C:D:答案:B5.A:1,2B:0,1C:3,0D:2,0答案:C第五章测试1.常用的正交多项式族有( )A:勒让德多项式；B:切比雪夫多项式；C:埃尔米特多项式.D:拉盖尔多项式；答案:ABCD2.最小二乘法可以解超定方程A:错B:对答案:B3.选用不同的权函数和求解区间，通过施密特正交化过程，由完全多项式基函数得到的正交多项式是不同的A:对B:错答案:A4.正交多项式作最小二乘法时，得到的法方程的矩阵是( )A:对称矩阵；B:正定矩阵；C:可逆矩阵.D:对角矩阵；答案:ABCD5.正交多项式和非正交多项式的格拉姆矩阵的性质完全相同A:对B:错答案:B第六章测试1.A:0.43093403B:0.43096407C:0.43096441D:0.4267767答案:A2.龙贝格求积算法公式是A:B:C:D:答案:C3.A:b-aB:0.5(b-a)C:3(b-a)D:2(b-a)答案:A4.A:2n+1B:n+2C:n答案:C5.A:74B:75C:72D:76答案:B第七章测试1.欧拉法的绝对稳定区间为A:B:C:D:答案:B2.下面哪句话是正确的A:梯形公式的优点是稳定性好，计算简单。
上海交大数值分析课件数值分析2-6(三次样条插值)
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
2
3
... ... ... ... ...
... 0 0
1
2 ... 0 0 g g g
n 2 n 1 2 3 1
n 2
n 2
0
n 1
2
m m m m n m n
1 2 3
2 1
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
研究生创新计划项目科研工作量分配表-华东交通大学研究生院
研究生创新计划项目科研工作量分配表
根据《华东交通大学科研工作业绩量化及教师套档办法(修改)》（华交科[2010]146号）等有关文件规定，通过立项的省级研究生教改项目、优质课程、教学成果奖等（统称为研究生创新计划项目）可以计算科研工作量。
其计算方法如下：
1、省级研究生教改项目过程工作量：
总工作量＝100＋立项经费（万元）×200（学时）
2、省级研究生教改项目结题（鉴定）工作量：150学时
3、通过立项的省级研究生优质课程按获得省部级三等奖计算，计200学时科研工作量。
4、省级研究生教学成果奖：
一等奖计600学时科研工作量；
二等奖计200学时科研工作量。
以上科研工作量由项目负责人进行分配，由研究生处负责审核。
填表日期：年月日。
数值分析第一章
12
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四、数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点:
1.目的明确
2.定义精确 3.可执行 4.步骤有限
13
算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定
课程代码：03735、03744 适用对象：信息与计算科学本科 前期课程：高等数学(数学分析)、高等代数、计算机应用 基础、C语言或Pascal语言 使用教材： David Kincaid & Ward Cheney.
数值分析(第三版).北京：机械工业出版社，2005 课程网站：/skyclass/
基本内容
1. 数学预备知识 2. 计算机算术运算 3. 非线性方程组的解 4. 解线性方程组 5. 数值线性代数精选 6. 函数逼近 7. 数值微分和数值积分 8. 常微分方程数值解 9. 偏微分方程数值解 10. 线性规划及其相关论题 11. 最优化
4
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对算法的每一步都必须有精确的定义
算法中的每一步操作都是可执行的
算法必须在有限步内能够完成解题过程
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例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法
解:
1. 取N 0, S 0
2
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长晋高速公路顺层滑坡形成机理数值分析
岩互 层 ， 并夹有 煤系地 层 ， 公路 建设 中因路基开 挖使 原来 处于不 稳定状 态或极 限平衡 状 态的边坡 发 生 了 顺层 滑移 ． 文在 调研顺 层滑坡 特征 基础上 ， 本 依据 滑 坡形成 条件 、 发 因素 ， 典 型滑 坡 开 展 数值 分 析 ， 诱 对 结合 滑坡 动态监 测资料探 讨顺 层滑坡 形成 机理 ． 顺 层滑 坡 … 一般 指 主 滑 带 与 岩 层 产 状 基 本 一 致 ， 动后滑 体 的结构 基 本保 持 较 为完 整状 态 的 滑 滑 坡 ． 常 主要 发生在 以下 两种地 层 中 ： 通 （ ）砂 泥岩 软 硬 互 层地 层 ： 动面 多 沿 渗 水 的 １ 滑 砂岩底 部或不 透水 的 泥 页 岩顶 部 滑 动 ， 常形 成 多层 性 滑坡 ； 巨厚 层的 软硬 岩 相 间结 构 在 滑 动过 程 中 因 巨厚硬 岩层易 于开 裂 而形 成 多级 滑坡 ． 例如 长 晋高 速 公路 Ｋ ８ ０ ２ ＋７０～Ｋ ９＋１０段 为硬 质 砂 岩 与 软质 ２ ０ 薄 层泥 页岩互层 ， 动 面 多沿 不 透 水 软质 泥 页 岩顶 滑
Ｏｃ ． ２ ７ ｔ，∞
长晋 高 速公 路顺 层 滑坡 形成 机 理 数值 分 析
郑 明新 马 国正 王 恭 先 张 华 赵 小平 张 卢 明 钟 亮根 ， ， ， ， ， ，
（． １ 华东 交 通 大 学 土 木 建 筑 学 院 ， 西 南 昌 ３０１ ；． 铁 西 北科 学研 究 院 ， 肃 兰 州 ７００ 江 ３０ ３２ 中 甘 ３０ ）
高， 加上 构造 运动 、 化 等作 用 使 之亲 水性 强 、 水 风 抗 性 弱 、 风化 弱的 特点 ． 抗 （ ） 体结 构 特征 ： 岩 层倾 向与 线 路左 侧 边 ４坡 ① 坡坡 向 一 致 （ 坡 向 ） ② 基 岩 产 状 为 ２ ０ ～３０ 顺 ； ７ ￣ １￣
高速公路路基沉降数值模拟分析
高速公路路基沉降数值模拟分析摘要：目前，随着高速公路的快速发展，路基沉降问题已成为高速公路施工技术部分的重要难题，一旦路基出现不均匀沉降，甚至超过规范要求，都会造成巨大的损失。
本文以某高速公路填方路段进行现场路基沉降试验观测，运用Marc软件进行数值模拟分析路基沉降规律，从而确定高填方路基沉降主要由初始沉降、固结沉降和次固结沉降组成，随时间的推移，路基最终沉降量趋于一个定值。
关键词：路基沉降；现场试验；沉降组成；数值模拟在经济快速发展的当今，高速公路建设显得尤为重要。
然而在修建高速公路的同时，路基问题也相应的出现，如路基裂缝、路基边坡滑塌、冲刷严重等路基灾害现象。
影响高速公路使用质量的重要因素主要有路基稳定性和沉降，而路基沉降处理措施的合理性直接影响到施工的进度和质量。
因此，对路基沉降的研究有一定的现实意义。
1 路基沉降计算方法目前，路基沉降计算方法主要有：有限元分析法、分层总和法、沉降预估法和应力路径法等。
本文主要介绍有限元分析法和分层总和法。
1.1 有限元分析法有限元分析法的原理是指将整个固体分为有限个离散单元，并对其施加荷载，经过选取对应的实际参数计算出路基各点的应力和位移，而所求最终路基的沉降量便是由竖向位移引起的沉降量。
这种方法不仅考虑到了路基的二维甚至是三维变形，而且还顾及到与实际情况相符的边界条件、路基与路堤之间的力学特性、土体应力应变特性等，从而使得计算的最终沉降量更接近实测结果。
1.2 分层总和法分层总和法一般取基底中心下地基附加应力来计算各层土的竖向压缩量，认为基础的平均沉降量s为各土层竖向压缩量si之和，即：式中：n为沉降计算深度范围内的层数。
而计算△si时，假设地基土只在竖向发生压缩变形，没有侧向变形，故可利用室内侧限压缩试验成果进行计算。
对地基土分层时，分层厚度不宜小于0.4b（b为基底宽度）；确定地基沉降计算深度时，一般取地基附加应力等于自重应力的20%深度处作为沉降计算深度的限值；若在该深度以下为高压缩性土，则应取地基附加应力等于自重应力的10%深度处作为沉降计算深度的限值。
轮轨滚动接触棘轮效应数值分析_肖乾
（ ） 文章编号 ： １ ０ ０ １ ８ ３ ６ ０ ２ ０ １ ３ １ ２ ０ ０ １ ９ ０ ５ － － －
轮轨滚动接触棘轮效应数值分析
肖 乾１， 车宇翔２， 周新建１， 徐红霞１
（ 华东交通大学 载运工具与装备教育部重点实验室 ， 江西 南昌 ３ １． ３ ０ ０ １ ３； ） 天津市地下铁道运营有限公司 ， 天津 ３ ２． ０ ０ ２ ２ ２ 摘 要： 在轮轨滚动接触过 程 中 ， 由循环载荷所产生 的 棘 轮 效 应 是 轮 轨 滚 动 接 触 过 程 中 的 重 要 现 象。本 文 以 材料 本 构 选 取 与 Ａ Ｃ ＲＨ ６ ０ 轨为例 ， Ｂ ＡＱＵ Ｓ无缝集成且能合理预测棘轮效 应 的 非 线 性 各 ２ 动车组车轮和 ＣＨＮ 向同性 －随动硬化模型 ， 建立轮轨滚动接触有限元 模 型 ， 对循环载荷作用下的轮轨滚动接触棘轮效应进行分析。 结果表明 ： 随着车轮滚动次数的增加 ， 钢轨与 车 轮 接 触 区 最 大 Ｍ 残余 Ｍ ｉ ｓ ｅ ｓ应 力 逐 步 减 少 ， ｉ ｓ ｅ ｓ应 力 逐 步 增 大 ， 两者都在车轮滚动约 １ 钢轨最大 等 效 塑 性 变 形 发 生 在 钢 轨 与 车 轮 接 触 表 面 ；钢 轨 的 等 效 塑 性 ０ 次后逐渐稳定 ； 应变 、 切向塑性应变 、 横向塑性应变的棘轮应变均随着车 轮 滚 动 次 数 的 增 加 先 增 大 后 减 小 ， 并在车轮滚动１ ０次 后达到棘轮安定状态 。 关键词 ： 轮轨滚动接触 ； 棘轮效应 ； 数值分析 ： ／ 中图分类号 ： Ｕ ２ １ １ ． ５ 文献标志码 ：Ａ ｄ ｏ ｉ １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ ８ ３ ６ ０ ． ２ ０ １ ３ ． １ ２ ． ０ ０ ３ － ｊ
铁路环境振动单排桩隔振数值分析
收稿日期:2008-01-18基金项目:江西省研究生创新资金项目(YC07C001);国家973项目(2007GC416607).作者简介:韦红亮(1982-),男,广西百色人,硕士研究生,从事铁路环境振动控制研究.文章编号:1005-0523(2008)02-0010-06铁路环境振动单排桩隔振数值分析韦红亮,吕绍棣(华东交通大学土木建筑学院,江西南昌330013)摘要:采用有限元软件ANSYS 建立了列车-大地-排桩耦合动力分析模型,运用瞬态动力学方法,针对单排桩桩深、桩径、截面形式和材料等结构参数对隔振效果的影响进行了分析,得出排桩的隔振机理和规律.分析表明,单排桩桩深、桩径和材料的变化对隔振效果的影响比较大,而桩身截面形式的变化对隔振效果的影响不大,这主要是由排桩的衍射效应决定其隔振效果引起的.关 键 词:地面列车;铁路环境振动;排桩屏障;有限元中图分类号:U 211.3 文献标识码:A随着我国进入高速铁路时代,高速铁路在给人们生活带来种种便利的同时,也会带来一系列的环境问题,如对邻近振动敏感的精密仪表、设备和建筑物等有不可忽视的影响,也时常干扰人们的生产和生活,因此防止环境振动的研究有重要的社会和经济效益.隔振屏障是有效防止和减轻地面振动的有效措施.目前,国内外学者对屏障隔振主要从理论分析、计算机数值模拟及现场实测3方面进行研究.Woods [1]和Haupt [2-3]通过一系列现场测试、理论分析和实验室试验分析了空沟和地下混凝土墙的隔振机理和规律.Haupt [4],May 、Bolt [5]和杨永斌等[6]采用二维有限元方法分析了隔振沟的隔振机理和规律.Fuykui and Matsumoto [7]通过有限差分法研究了矩形空沟对瑞利波的散射效应.Aviles [8-9]等采用解析的方法分析了单排桩对SH 波、SV 波和P 波的散射效应,研究表明刚性大的排桩较刚性小的排桩对振波具有更好的散射效应.Kattis 等[10]采用三维边界元理论在时域内分析了单排桩的隔振效果.高广运等[11]通过La mb 问题的格林函数推导出Rayleigh 波散射的正交控制方程,并通过控制方程研究了多排桩体系对大地振动的隔振效果.李志毅[12]视排桩为弹性半空间中的异质体,以瑞利波散射积分方程为基础,首次对多排桩屏障的远场被动隔振效果进行了三维分析,详细讨论了影响隔振效果的几个主要参数.综上文献表明,隔振沟作为一种隔振措施具有良好的隔振效果并在实际工程中得到广泛应用.而当现场地质比较松软,土体中振波波长很大时,隔振沟要想取得良好的隔振效果必须将沟深加大,而由于松软土体稳定性差和地下水位高的现场情况限制了隔振沟的隔振效果.在此种情况下,排桩体系以施工方便、不受地质条件影响等优点而成为一种可行的隔振措施.本文通过建立列车)排桩)大地耦合动力有限元模型,采用瞬态动力学方法进行求解,分析了排桩体系4个参数对隔振效果的影响,并与在现场实测数据进行了对比,得出了排桩体系的隔振规律.1 基本理论1.1 动力学有限元基本方程系统求解方程,即运动方程,可以根据达朗贝尔直接平衡法、虚功原理或者哈密顿原理建立,其表达第25卷第2期2008年4月华 东 交 通 大 学 学 报Journal of East China Jiaotong Universi ty Vol.25 No.2Apr.,2008式为[M ]{&u }+[C ]{Ûu }+[K ]{u }={F (t)}(1)式中{&u }、{Ûu }和{u }分别是系统节点加速度向量、节点速度向量和节点位移向量;[M ]、[C ]、[K ]和{F(t)}分别是系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点荷载向量,分别由各自的单元矩阵和向量集成.若上式{F(t)}等于0,则是系统的自由振动方程.1.2 八节点六面体单元刚度矩阵和质量矩阵采用三维直角坐标系,利用虚功原理,八节点六面体单元刚度矩阵和质量矩阵可以表示为[M ]e=Q 8eQ #[N ]T#[N ]d 8[K ]e =Q 8e[B ]T#[D ]#[B ]Nd 8(2)其中,[N ]为八节点六面体单元的插值函数矩阵,[B ]和[D ]分别为单元的几何矩阵和材料系数矩阵,Q 为质量密度.1.3 粘弹性边界在利用有限元方法进行土一结构动力分析时,必须设置合理的人工边界条件,以模拟无限域对计算区域的影响,从而实现对真实波动的直接模拟.在模拟无限域波动问题时采用的人工边界中,三维时域粘弹性人工边界具有较高精度、等效离散后与有限元方法相结合,可方便求解无限域介质瞬态波动问题,因而得到广泛使用.在实际的有限元实现过程中,粘弹性人工边界可以采用弹簧阻尼单元进行模拟,物理元件的参数为K 1=K 2=2G R E 1i =1AiC 1=C 2=Q c s E 1i =1A iK 3==4G R E 1i =1AiC 3=Q c p E 1i =1A i(3)式中:K 1和K 2为切向边界弹性系数;K 3为法向边界弹性系数;C 1和C 2为切向边界阻尼系数;C 3为法向边界阻尼系数;G 为介质的剪切模量;R 为边界距振源的距离;E A i 为人工边界上节点所代表的面积.1.4 阻尼矩阵阻尼矩阵在一般情况下是依赖于振动频率的.因此,在实际分析中,要精确地得出阻尼矩阵是相当困难的.同时,在体系的运动方程中,阻尼力与惯性力和阻抗力相比要小得多,因此,通常将实际结构的阻尼矩阵简化为质量矩阵[M ]和刚度矩阵[K ]的线性组合.[C ]=A [M ]+B [K ]A 、B 为瑞利阻尼常系数计算为A =2(N j X i -N i X j )(X i +X j )(X i -X j )X i X j(4)B =2(N i X i -N j X j )(X i +X j )(X i -X j )(5)只要实测两种振型下的圆频率X 和阻尼比N 值,便可以根据式(4)和式(5)计算出A 和B .这种方法的缺点是一般只能测出低频阻尼比,按此确定的系数用于动态分析,结果会使得体系的高频反应被/阻尼掉0很多.1.5 大地振动的评价方法按照ISO2631/1-1985和GB10071-88规定的全身振动不同频率铅垂向振动之计权因子修正后得到的振动加速度级,简称为Z 振级,记为VLz ,单位为dB .VLz 计算方法为(1)取某处测量到的加速度信号a (t),t 为时间计权区域,其功率谱密度函数S a (f )为s a (f )=2|a(f )2|T(6)a(f )为a (t )傅立叶变换幅值,T 为a (t)时间周期,f 为频率.(2)计算某一频带的总功率P f l,f u P f l ,f u =Qfufl S a(f )df (7)f u 为该频带的上限频率,fl 为该频带的下限频率,国际标准I SO2631规定频带计算采用1/3倍频程.(3)计算该频带中心频率的有效值a f rmsa f rms =P f l,fu(8)(4)计算修正后的有效值a c rms =E a 2f rms @100.1cf(9)式中:a f rms 表示频率为f 的加速度有效值;c f 为振动加速度的感觉修正值.(5)Z 振动级V LzV Lz =201g (a c rm s /a 0)(10)式中:a c rms 为振动加速度有效值(m/s 2);a 0为基准加速度,一般取为a 0=10-6m/s 2.感觉修正值见文献[15].2 计算模型和参数2.1 有限元模型排桩体系的散射效应决定隔振效果,而衍射效11第2期韦红亮,等:铁路环境振动单排桩隔振数值分析应决定其影响范围.故在实际分析中选取了长@宽@深为90m @90m @66m 的计算区域,本文采用大型有限元软件ANSYS 对排桩隔振进行三维分析,计算模型见图1.模型中,土体采用solid45八节点实体单元,单元尺寸为2m @3m @3m,排桩单桩采用bea m188三维梁单元,为避免在人工截断边界产生反射波而对计算结果产生影响,在模型对称面上采用对称边界,其它侧面均采用式(3)所表述的粘弹性人工边界.图1 排桩)大地的三维有限元模型2.2 地基材料参数有限元计算区域的地基材料参数由文献[13]得出,具体数值见表1.表1 地基材料参数表序号层厚(m)密度(kg/m 3)弹性模量(MPa)泊松比阻尼比131960310.330.03261880770.330.02631218901370.330.03141518902600.330.02851219103770.330.02961818854910.330.0322.3列车动荷载模型当列车以一定的速度行驶时,在列车本身重力荷载和轨道基础的不连续支撑以及轮轨不平顺多种因素的影响下,车体和轨道结构通过轮轨接触耦合产生振动.忽略车辆本身各部件的耦合振动,将轮轨力简化为恒力加载于钢轨上,采用积分变换法研究轨道结构在轮轨力作用下的响应,傅立叶积分变换法的思路为将运动方程通过傅立叶变换转化到波数域或频域中进行求解,最后再通过反变换得到时域或空间域的解.取轨道模型为三层轨道平面模型如图2所示,车辆编组参数取CRH2动车组参数,轨道参数取文献[14]的我国铁路干线参数,求得道碴作用于路基顶部的动力时程曲线,如图3所示,为单排桩隔振有限元模型提供荷载依据.图2 列车)轨道)路基相互作用平面三层梁模图3 作用于路基顶面的列车荷载表2 CRH2动车组数据参数表编组型式动力配置编组重量编组长度转向架轴距转向架中心距中间车长度头车长度定员8节4M+4T359.7t201.4m2.5m17.5m25m25.7m610人3 计算结果及分析首先,忽略排桩隔振体系对系统自振频率的影响,采用薄层法求解得到不含排桩体系的整个大地区域的频散曲线,通过频散曲线得到体系的第一阶和第四阶自振频率为5Hz 和21Hz.然后将其带入式(4)和(5),计算得到瑞利阻尼系数A =0148,B =9E -4,相当于在13Hz 时提供0.03的阻尼比.大地振动模型计算结果与文献[15]的实测结果对比吻合表明,该模型具有良好的精度.12华 东 交 通 大 学 学 报2008年图4排桩对振波时域的影响图5 排桩对振波频域的影响3.1 排桩体系对振波时频域的影响设排桩体系排数为一排,桩截面为圆形截面,桩的中心距离轨道中心线为10m,桩中心间距为3m,桩材料为混凝土材料,桩深为21m.为分析排桩对振波的影响,分别取距振源12m 处无桩和有桩两种情况进行时域和频域的比较.图4与图5为排桩对振波在时域和频域上的影响.图4和图5表明,单排桩不仅对低频(0~20Hz)波具有衰减的作用,而且对中频(20~100Hz)波具有滤波的作用,在时域上,排桩对振波的幅值具有减小的作用.3.2 排桩体系深度对减振效果的影响设桩截面为圆形截面,桩中心距离轨道中心线为10m,桩间距为3m,桩材料为混凝土材料.为分析排桩深度对隔振效果的影响,分别设桩的深度为9m 、15m 、21m 、27m 、33m 和39m,建立不同的有限元模型进行瞬态分析,获得地表不同位置各点的振动响应值.图6为不同深度单排桩地表振动级与位置的关系.图6表明,桩深对单排桩的隔振效果具有很大影响,桩深越大,排桩的隔振效果越好.图6 桩深对隔振效果的影响3.3 单排桩体系桩半径对减振效果的影响设桩截面为圆形截面,桩中心距离轨道中心线为10m,桩中心间距为3m,桩深为21m,桩材料为图7 桩深对隔振效果的影响混凝土材料.为分析桩半径对隔振效果的影响,分别设桩半径为011m 、013m 、015m 、017m 、和019m,建立不同的有限元模型进行瞬态分析,获得地表不同位置各点的振动响应值.图7为不同半径排桩地表振动级与位置的关系.图7表明,桩身半径对单排桩的隔振效果具有影响,半径越大,排桩的隔振效果越好.3.4 排桩体系截面型式对减振效果的影响设桩截面为圆形截面,桩中心距离轨道中心线为10m,桩间距为3m,桩深为21m,桩材料为混凝土材料,截面半径为015m.为分析桩截面对隔振效果的影响,分别设桩截面为三角形、四边形、五边形、六边形和圆形,建立不同有限元模型进行瞬态分析,获得地表不同位置各点的振动响应值.图8为不同13第2期韦红亮,等:铁路环境振动单排桩隔振数值分析截面形式排桩体系地表振动级与位置的关系.图8 桩身截面形式对隔振效果的影响图8表明,截面形式对单排桩的隔振效果影响不大,不同截面形式的排桩体系隔振效果相差不大.3.5 排桩体系材料对减振效果的影响设桩截面为圆形截面,桩中心距离轨道中心线为10m,桩中心间距为3m,桩深为21m,桩材料为混凝土,桩截面半径为0.5m.为分析桩材料对隔振效果的影响,分别设排桩材料为钢材、混凝土、木材、细沙、橡胶和泡沫,建立不同有限元模型进行瞬态分析,获得地表不同位置各点的振动响应值.图9为不同桩身材料排桩地表振动级与位置的关系.图9表明,桩身材料对单排桩的隔振效果具有影响,刚性材料排桩的隔振效果要比柔性材料排桩好.图9 桩身材料对隔振效果的影响4 结论单排桩对由高速列车引发大地振动的隔振机理是比较复杂的,对其隔振规律的认识和掌握还需要进行大量的现场试验和理论分析研究.本文的计算给出了下面的一些结论可供参考:(1)单排桩不仅对低频(0~20Hz)波具有衰减的作用,而且对中频(20~100Hz)波具有滤波的作用.(2)单排桩桩深对隔振效果具有很大影响,桩深越大,排桩的隔振效果越好.(3)桩身半径对单排桩的隔振效果具有影响,半径越大,排桩的隔振效果越好.(4)截面形式对单排桩的隔振效果影响不大,不同截面形式的排桩体系隔振效果相差不大.(5)桩身材料对单排桩的隔振效果具有影响,桩身材料刚性越大,隔振效果越好.参考文献:[1]Woods R D.Screeni ng of surface waves in soils[J].Journal of the soil mechanics and foundations division,1968,94(4):221-314.[2]Haupt W A.Surface waves in nonhomogeneous halfspace [C].Proc of Dyn Methods in Soil and Rock Mech,Karlsruhe,1978.335-367.[3]Haup t W A.Model tes ts on screening of surface waves[C].Pro -ceedings of 10th International Conference of Soil Mechanics and Foundation Engineering,Stockholm,Balkema A A ,Rotterdam,1981:215-222.[4]Haup t W A.Isolati on of vibrations by concrete core walls[C].In Proceedings of the ninth international conference on soil me -chanics and foundation engineering,Tokyo,Japan,1977,2:251-256.[5]May TW,Bolt BA.The effectiveness of trenches i n reducin g seismic motion[J].Earthquake Engineering &Structural Dynam -ics,1982,10(6):195-210.[6]Yang Y B,Hung H H.A parametric study of wave barriers for reduction of train -i nduced vibration[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1997,40(3):3729-3747.[7]Fuyuki M ,Matsumoto Y.Fini te difference analysis of Raylei gh wave scattering at a trench[J].Bull Seis mol Soc Am,1980,70(6):2051-2069.[8]Aviles J,Sanchez -Sesma F J.Piles as barriers for elastic waves [J].Journal of Geotechnical Engineering,1983,109(9):1134-114614华 东 交 通 大 学 学 报2008年[9]Aviles J,Sanchez -Ses ma F J.Foundation isolation from vibrationusing piles as barriers [J].Journal of En g ineering Mechanics,1988,114(11):1854-1870.[10]Kattis S E,Polyzos D,Beskos D E.Vibration i solation by a rowof piles using a 3-D frequency domain BE M [J].Int.J.Numer.Meth.Engng.1999,46(5):713-728.[11]Gao G Y,Lia Z Y.Three -dimensional analysis of rows of pilesas passive barriers for ground vibration isolation[J].Soil Dynam -ics and Earthquake Engineering,2006,26(11):1015-1027.[12]李志毅.多排桩屏障远场被动隔振分析[J].岩土力学与工程学报,2005,2(21):3990-3995.[13]西北综合勘查设计研究院.普陀区建民村旧区改造一期岩土工程勘察报告[R].西安.2005:18-20.[14]雷晓燕.轨道力学与工程新方法[M].北京:中国铁道出版社,2002.[15]韦红亮.列车引发地面振动的现场测试及预测分析[J].环境污染与防治,2008,2(1):65-73.Numberic Analysis on Railway Environment Vibration Isolation by Row of PilesWEI Hong -liang,LV Shao -di(School of Civil Engineering and Archi tecture,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)Abstract:The paper uses finite element software ANSYS to establish the train -ground -piles c oupled dynamic model.By means of the transient dynamic method,it analyzes isolation effect on four kinds of structure parameters including the pile depth,the pile diameter the section form and the material.The vibration isolation mechanism and the rule of piles are studied.The analysis indicates that the change of pile depth,the pile diameter and the material have sharp influence on the vibration isolation effect,but change of the pile section form has little influence on the vibration isolation effect,be -cause the effectiveness of piles depends on its diffraction effect to waves.Key words:railway trains;railway environment vibration;row of piles;finite elements(责任编辑:王全金)15第2期韦红亮,等:铁路环境振动单排桩隔振数值分析。
铁路环境振动单排桩隔振数值分析
数据进行了对 比， 出了排桩体系的隔振规律 ． 得
１ 基本理论
１ １ 动 力 学有 限元基本 方程 ．
等 通过 Ｌｍ 问题 的格林 函数推导出 Ｒｙ ｉ ａｂ ａ ｅ ｈ波 ｌｇ 散射 的正交 控制 方程 ， 并通 过 控 制 方程 研 究 了 多排 桩体 系对大 地振 动 的隔振效 果 ． 志毅 【Ｊ 排桩 为 李 １视
和实 验室 试验 分析 了空沟 和地下 混凝 土墙 的隔振 机
于松软土体稳定性差和地下水位高的现场情况限制 了隔振沟的隔振效果 ． 在此种情况下 ， 排桩体系以施
工方便 、 不受 地质 条 件 影 响 等优 点 而成 为一 种 可 行 的 隔振措施 ． 本 文通 过建 立列 车一排 桩一 大地耦 合动 力有 限 元 模 型 ， 用瞬态 动力 学方法 进行 求解 ， 采 分析 了排 桩 体 系 ４个参 数 对 隔振 效 果 的影 响 ， 与在 现 场 实测 并
了三 维分析 ， 细讨 论 了 影 响 隔振 效 果 的几 个 主 要 详 参数 ．
境问题 ， 如对邻近振动敏感的精密仪表 、 设备和建筑 物等有 不可 忽视 的影 响 ， 时常 干 扰 人们 的生 产 和 也
生活 ， 因此 防止 环境 振 动 的研 究 有 重要 的社 会 和经 济效益 ． 隔振 屏 障是 有效 防止 和 减轻 地 面 振 动 的有 效措施 ． 目前 ， 国内外 学者对 屏障 隔振 主要从 理论分 析 、
收 稿 日期 ．０ ８ ０ —１ ＇０～１ ８ ２
系统求 解方程 ， 即运动 方程 ， 以根据达 朗 贝尔 可 直接平 衡法 、 虚功 原理 或者 哈密顿 原理 建立 ， 其表达
基金项 目： 江西省研究生创新资金项 目（ Ｃ７ ０ １ ； Ｙ ０ Ｃ ０ ） 国家 ９３项 目（０７ Ｃ １６７ ． ７ ２０ Ｇ ４６０ ）
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华东交通大学博士研究生初试科目考试大纲
科目代码：2006
科目名称：数值分析
一、考试要求
掌握数值分析领域的基本概念, 理论及其在工程中的应用。
考试要求掌握线性方程组的数值解法，非线性方程数值解法，插值法，函数的最佳平方逼近和数值积分等基本内容。
二、考试内容
（一）误差的来源与分类，误差估计以及数值稳定性概念。
（二）函数的插值方法：拉格朗日插值，均差与牛顿插值，差分与等距节点插值，埃尔米特插值，分段插值和三次样条插值。
（三）函数逼近与快速傅里叶变换：函数逼近的基本概念，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近与快速傅里叶变换。
（四）数值积分和数值微分：数值积分的基本思想，插值型的求积公式，牛顿-柯特斯公式，复合求积公式，龙贝格求积公式，高斯求积公式，数值微分的中点方法，插值型的求导公式和数值微分的外推算法。
（五）解线性方程组的直接方法：矩阵的特征值与谱半径，高斯消去法，矩阵三角分解法，向量和矩阵的范数。
（六）解线性方程组的迭代法：迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法和共轭梯度法。
（七）非线性方程与方程组的数值解法：二分法，不动点迭代法及其收敛性，牛顿法，弦截法与抛物线法，多变量方程的不动点迭代法和非线性方程组的牛顿迭代法。
（八）矩阵特征值计算：特征值性质与估计，幂法及反幂法，QR方法。
（九）常微分方程初值问题数值解法：欧拉法与后退欧拉法，梯形方法，龙格-库塔方法和线性多步法。
三、题型结构
满分100分。
其中，简答（10分），分析计算题（70分），证明题（20分）。
四、参考书目
1. 李庆扬王能超易大义，数值分析(第5版)，清华大学出版社2008。
2. 封建湖车刚明聂玉峰，数值分析原理，科学出版社2001。
3. 颜庆津，数值分析(第三版)，北京航空航天大学，2006年。
1。