初中函数解析式与图像画法

初中函数解析式及图象画法

一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、 一次函数：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 说明： ① k ≠0 的常数

② x 指数为1 ③ b 取任意实数

④自变量x 的取值为一切实数。【x 的取值范围(定义域)：x ∈R 】 ⑤函数y 的取值是一切实数。【y 的取值范围(值域)：y ∈R 】 2、反比例函数：x

k

y =

（k 为常数，k ≠0） 说明： ① 常数k 不为零（也叫做比例系数k ） ②分母中含有自变量x ，且指数为1. ③自变量x 的取值为一切非零实数。【x 的取值范围(定义域)：{x ∈R ∣x ≠0}】（反比例函数有

意义的条件：分母≠0）④函数y 的取值是一切非零实数。【y 的取值范围(值域)：{y ∈R ∣y ≠0}】

3、二次函数：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数）

： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤）

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数

值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 1、一次函数y=kx+b 图像（直线）的画法：两点法

① 计算必过点（0，b ）和（-k b ，0）[当x=o,时，y= b ，过点（0，b ）；当y=o,时，x=-k

b

过点（-

k

b ，0）]

② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线）

2、反比例函数x

k

y =图像（双曲线）的画法：---五点绘图法：

①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线）

3、二次函数2y ax bx c =++图象（抛物线）的画法---五点绘图法：

① 配方变形：2

2244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a

--=+++对于二次函数经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，

② 确定三特征：开口方向（a 正朝上；b 负朝下）；)2x b a

对称轴(直线 =-；

2

4-24b ac b a a - 其顶点坐标为（，

） ③ 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

④ 选取五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点b

c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（212,=0x x ax bx c ++是方程的解,若与x 轴没有交点，

则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点（无/有），与y 轴的交点.

画图

步

骤： 1列表

【列表中，

（1,1）点在正中间是对称点；另外4点关于y=x 对称。需注意a 与b 不应相距太近】

（1/b,b ）（1/a ，a ）（1,1）（a ，1/a ）（b ，1/b ）

2描点（特征点）

（3对以上）

3连线

（图像：双曲线） （先做 x>0 的图像，然后再作 x<0 的部分）

反比例函数解析式 x 的取值 -2 -1

12- 12

1 2

直角坐标系中描出6点 从左到右，依次连结6点

x k

y =

k 2

- k 1

-

（-k ）

k 12

-

（-2k ）

k 12

（2k ）

k 1

（k ）

k 2

（-2，

k 2

-）（-1,-k ，）

（

1

2-，-2k ）（1

2

，2k ） （1，k ）（2，k

2

）

例

子

1y x -=

k=-1

-1122=-

-111

=- (2)(1)2

-⨯-=

2(1)2

⨯-=-

-1

12

- （-2，

12

）（-1,1，） （12

-，2） （1

2

，-2） （1，-1）

（2，12

-

）

练习1：

2y x -=

k=

练习2：223

(1);(2);(3);y y y x x x

-===

五点绘图法，画二次函数图象（抛物线）

画图步骤：

二次函数解析式

例子

x

y

2y ax bx c =++ 222y x x =++ 2-41y x x =+

计算数据

a= ,b= ,c= 2b a = ； 244ac b a

-= -b

a

=

a= 1 ,b= 2 ,c= 2 ；21221

b a ==⨯;

22441221441

ac b a -⨯⨯-==⨯

2

-

-=-21

b a = a= 1 ,b= -4 ,c= 1 ；-4

-2221b a ==⨯;

()2

2

411-443441

ac b a ⨯⨯--==-⨯ -4

-

-=41

b a = 1、配方变形 22424b a

c b a a

-+

y=a(x+)

21+y=(x+1)

23-y=(x-2)

2、开口方向

⑴a ＞0开口朝上； ⑵a ＜0)，开口朝下

a=1＞0，开口朝上

a=1＞0，开口朝上

3、顶点坐标 24-24b ac b a a -（，）

（-1，1）

（2，3）

4、对称轴

2x b a

直线 =-

1x 直线 =- 2x 直线 =

5、与y 轴的交点: （当x=0时，y= ） ()0c ，

()02，

()01，

6、()0c ，关于对称轴对

称的点

b c a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， ()22-，

()41，

7、计算△= ，判

断：

①△＞0,与x 轴有两个交点，继续第8步 以下两种情况，继续第9步：

②△=0,与x 轴只有一个交点，即为顶点； ③△＜0,与x 轴无交点

24b ac ∆=-=

224241240

b a

c ∆=-=-⨯⨯=-< 无实数根，即无交点

()22

44411164=120

b a

c ∆=-=--⨯⨯=-> 有两个不同的实数根，即有两交点,

8、①时，与x 轴的两个交点: （当y=0时，x 1= ,

x 2= ）

21224=22-4=

22b b b ac x a a b b b ac x a a

-+∆-+-=--∆--=

()10x ，，()20x ，

()()12--4+124+23

===2+3

2212

--4-12==2-3

221b x a b x a -+∆=

⨯--∆=⨯ ()()

2+

302-30，，，

9、②③时，与x 轴有1个或0个交点为，则取一组关于对称轴对称的点

与x 轴无交点：则取两组关于对称轴：1x 直线 =-对称的点（-3，6）和（1，6）

大致图象：抛物线