数值分析5PPT课件
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数值分析全册完整课件
0
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析课件-5.3Neton插值
第五章函数近似计算的插值法5.3 Newton插值法§均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对Lagrange 插值公式给出新的表达形式，这就是Newton 插值 。
一、均差二、 Newton 插值公式三、等距节点的Newton 插值公式四、Newton 插值算法5.3 Newton 插值法§,1,0x x -),)((10x x x x --)())((110----n x x x x x x , 显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,i x 设插值节点为ni f i ,,1,0, =函数值为1,,2,1,0,1-=-=+n i x x h i i i iih h max =ni f x P i i ,,1,0,)( ==插值条件为)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n x x x x x x a x x x x a x x a a x P具有如下形式设插值多项式)(x P一、差商(均差)定义1.n i f x x f i i ,,1,0,)( =处的函数值为在互异的节点设称)(],[j i x x f f x x f ji j i j i ≠--=(),()();i j f x x x 为关于节点一阶差商均差平均变化率)(],[],[],,[k j i x x x x f x x f x x x f jk j i k i k j i ≠≠--=(),,i j k f x x x x 为关于的二阶差商(均差), 它是由1阶均差再作一次差商所得;依此类推],,,,[110k k i i i i x x x x f - 阶差商的关于节点为k x x x x x f k k i i i i ,,,,)(110- ],,,,[110k k x x x x f - 差商具有如下性质(请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(],,,,[)()1(10110k k k x f x f x f x x x x f k x f -显然kk k k k i i i i i i i i i x x x x x x f x x x f --=---1210110],,,,[],,,[ kk k k k x x x x x x f x x x f --=---1210110],,,,[],,,[)()()()()()(4433221100x f x x f x x f x x f x x f x x f x k k 四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法(表格法):],[10x x f ],[21x x f ],[32x x f ],[43x x f ],,[210x x x f ],,[321x x x f ],,[432x x x f ],,,[3210x x x x f ],,,[4321x x x x f ],,,[410x x x f 规定函数值为零阶差商差商表二、Newton 基本插值公式)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n x x x x x x a x x x x a x x a a x P设插值多项式满足插值条件ni f x P i i ,,1,0,)( ==则待定系数为0f a =],[101x x f a =],,[2102x x x f a =],,,[10n n x x x f a =()()[]()()n 1001N ,, n n n Newton x N x f x x x x x x Newton Lagrange --=+-- 由插值表达式，我们可以看出 这样，每增加一个节点，插值多项式只增加一项，克服了插值的缺点。
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
课件-数值分析(第五版)1-3章
2017/3/12
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(1)
而 (1) 3 2 1，(2) 3 3 2
即 [(1),(2)][1, 2]，所以 满(x足) 条件（1）。
又，| ' (x)
||
1
(x
2
1) 3
|
1
L 1
x [1, 2]
所以 (满x)足3条件（2）。33 4
故，(x在) [1满, 2]足压缩映射原理。
§3.迭代收敛的加速法
改进、加速收敛 /* accelerating convergence */
➢ 待定参数法：
若 | g’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg( x) (1 K )x Kg( x) ( x) 求K，使得 | ( x) | | 1 K Kg( x) | 1
g
连续，则由
lim
k
xk 1
l可im知g
k
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
2
x*
x
不能保证 x 的精 度
§1.方程求根与二分法
误差 分析：
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(2)
30 x
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
《数值分析》》课件
基于函数梯度的方法，通过迭代逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
《数值分析》第五章课件
h
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
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迭代初值 yn(0)1，用公式
x Euler方法 n
0
1
0.1 1.000000
0.2 1.010000
0.3 1.029000
0.4 1.056100
0.5 1.090490
表5-1
隐式Euler方法
梯形法
准确解
1 1.009091 1.026446 1.051315 1.083013 1.120921
别是 1.4 102 和1.6 102，而梯形方法的误差却是 2.5104。
在例5.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计
算 yn1。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如 y 5x 3 y，其隐式
Euler公式为 yn1 yn h(5xn1 3 yn1。) 显然，它是 yn1的非线性方程，可以选择 非线性方程求根的迭代求解 yn1 。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供
反复迭式，直到
y y (k 1)
(k )
n 1
n 1
，
其中，步长h成为迭代参数，它需要满足一定的条件，才能收敛。若将 （5.1.4）式减去该迭代公式，得
yn1
y (k 1) n 1
h 2
f
xn1，yn1
f
xn 1，yn( k1)
假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有
yn1
替的导数得
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn，y(xn ))，
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn1，y(xn1))。
令 yn为 y(xn的) 近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得
yn1 yn hf (xn，yn )，n 0，1， yn1 yn hf (xn1，yn1)，n 0，1，。
1 1.004762 1.018549 1.040633 1.070096 1.106278
1 1.004837 1.018731 1.040818 1.070320 1.106531
y(0) n 1
yn
hf
(xn，yn )
y(k1) n 1
yn
h 2
f
xn，yn
f
xn1，yn(k1) ，k 0，1，，
并代入h=0.1得
yn1 0.1xn 0.9 yn 0.1。
同理，用隐式Euler方法有
yn1
1 1.1 (0.1xn1
yn
0.1)。
用梯形公式有
yn1
1 1.05
(0.1xn
0.95 yn
0.105)。
三种方法及准确解 y( x) x e x 的数值结果如表5-1所示。从表中看
到，在 xn 0.5处，Euler方法和隐式Euler方法的误差 y( xn ) yn 分
yn1
yn
h 2
f (xn，yn ) f (xn1，yn1) ，n o，1，。
（5.1.4）
梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由 yn 去计算 yn1，故称它们为单步法。
例5.1 取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解
y x y 1， y(0) 1。
解 本题有 f (x，y) x y 1，y0 1。如果用Euler方法，由（5.1.2）
第5章 常微分方程数值解法
5.1.1 Euler 方法及其有关的方法 5.1.2
5.1 Euler 方法
5.1.1 Euler 方法及其有关的方法
考虑一阶常微分方程初值的问题：
y' f (x, y) y( x0 ) y0
设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存
在唯一的，而且连续依赖于初始条件。
为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题进行离散化。
一般是引入点列{ xn }，这里
经常考虑定长的情形，即 hn
xnh，xxnn1
hn x0
, nnh，1,2n,..。.。0，称 1，hn为步长，
记 y( xn )为初始问题的问题准确解 y( x) 在 xn 处的值，用均差近似代
y (k 1) n 1
hL 2
yn1
y(k) n 1
，
这里，L是Lipschiz常数。当hL/2<1即h<2/L时，迭代序列
y(k) n1
收敛 yn1 。
对于隐式公式，通常采用估计-校正技术，即先用显式公式计算，得到
预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得 到
校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式
作校正，即
yn1 yn hf xn，yn ，
yn1
yn
hf
2
xn，yn
f
xn1，yn1 ，n
0，1，。
称该公式为改进的Euler公式。它显然等价于显式公式为
yn1
yn
hf
2
xn ,yn f来自xn1,ynhf
xn ,
yn
，
（5.1.6）
也可以表示为下列平均化的形式
y p yn hf xn，yn ，
)，n
0，1，。
由y0 1，h 0.1 得计算结果如表5-2。该初值问题的准确解为 yx 1 2x 。
表 5-2
xn 0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
yn 1.0959
y(xn ) 1.0954
1.1841 1.1832
1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165
yq yn hf xn1，y p ，
yn1
1 2
y p yq 。
例5.2 取h=0.1，用改进的Euler方法解
y y 2x ， y
y0 1。
解 按（5.1.5），改进的Euler方法解
yn1
yn
h( yn
2xn yn
)，
yn1
yn
h 2
( yn
2xn yn
)
( yn1
2 xn 1 yn1
5.1.2 局部误差和方法的阶
初值问题（5.1.1）的单步法可以写成如下统一形式
yn1 yn h(xn，xn1，yn，yn1，h)，
（5.1.7）
其中与 f 有关。若 中不含 yn1 ，则方法是显式的，否则是隐式的，所以一
（5.1.2） （5.1.3）
从 x0处的初值 y0开始，按（5.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称
（5.1.2）式为显式Euler。由于（5.1.3）式的右端隐含有待求函数值 yn，1
不能逐步显式计算，称（5.1.3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果 将（5.1.2）和（5.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。
x Euler方法 n
0
1
0.1 1.000000
0.2 1.010000
0.3 1.029000
0.4 1.056100
0.5 1.090490
表5-1
隐式Euler方法
梯形法
准确解
1 1.009091 1.026446 1.051315 1.083013 1.120921
别是 1.4 102 和1.6 102，而梯形方法的误差却是 2.5104。
在例5.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计
算 yn1。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如 y 5x 3 y，其隐式
Euler公式为 yn1 yn h(5xn1 3 yn1。) 显然，它是 yn1的非线性方程，可以选择 非线性方程求根的迭代求解 yn1 。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供
反复迭式，直到
y y (k 1)
(k )
n 1
n 1
，
其中，步长h成为迭代参数，它需要满足一定的条件，才能收敛。若将 （5.1.4）式减去该迭代公式，得
yn1
y (k 1) n 1
h 2
f
xn1，yn1
f
xn 1，yn( k1)
假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有
yn1
替的导数得
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn，y(xn ))，
y ( xn
h) h
y(xn )
f (xn1，y(xn1))。
令 yn为 y(xn的) 近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得
yn1 yn hf (xn，yn )，n 0，1， yn1 yn hf (xn1，yn1)，n 0，1，。
1 1.004762 1.018549 1.040633 1.070096 1.106278
1 1.004837 1.018731 1.040818 1.070320 1.106531
y(0) n 1
yn
hf
(xn，yn )
y(k1) n 1
yn
h 2
f
xn，yn
f
xn1，yn(k1) ，k 0，1，，
并代入h=0.1得
yn1 0.1xn 0.9 yn 0.1。
同理，用隐式Euler方法有
yn1
1 1.1 (0.1xn1
yn
0.1)。
用梯形公式有
yn1
1 1.05
(0.1xn
0.95 yn
0.105)。
三种方法及准确解 y( x) x e x 的数值结果如表5-1所示。从表中看
到，在 xn 0.5处，Euler方法和隐式Euler方法的误差 y( xn ) yn 分
yn1
yn
h 2
f (xn，yn ) f (xn1，yn1) ，n o，1，。
（5.1.4）
梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由 yn 去计算 yn1，故称它们为单步法。
例5.1 取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解
y x y 1， y(0) 1。
解 本题有 f (x，y) x y 1，y0 1。如果用Euler方法，由（5.1.2）
第5章 常微分方程数值解法
5.1.1 Euler 方法及其有关的方法 5.1.2
5.1 Euler 方法
5.1.1 Euler 方法及其有关的方法
考虑一阶常微分方程初值的问题：
y' f (x, y) y( x0 ) y0
设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存
在唯一的，而且连续依赖于初始条件。
为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题进行离散化。
一般是引入点列{ xn }，这里
经常考虑定长的情形，即 hn
xnh，xxnn1
hn x0
, nnh，1,2n,..。.。0，称 1，hn为步长，
记 y( xn )为初始问题的问题准确解 y( x) 在 xn 处的值，用均差近似代
y (k 1) n 1
hL 2
yn1
y(k) n 1
，
这里，L是Lipschiz常数。当hL/2<1即h<2/L时，迭代序列
y(k) n1
收敛 yn1 。
对于隐式公式，通常采用估计-校正技术，即先用显式公式计算，得到
预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得 到
校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式
作校正，即
yn1 yn hf xn，yn ，
yn1
yn
hf
2
xn，yn
f
xn1，yn1 ，n
0，1，。
称该公式为改进的Euler公式。它显然等价于显式公式为
yn1
yn
hf
2
xn ,yn f来自xn1,ynhf
xn ,
yn
，
（5.1.6）
也可以表示为下列平均化的形式
y p yn hf xn，yn ，
)，n
0，1，。
由y0 1，h 0.1 得计算结果如表5-2。该初值问题的准确解为 yx 1 2x 。
表 5-2
xn 0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
yn 1.0959
y(xn ) 1.0954
1.1841 1.1832
1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165
yq yn hf xn1，y p ，
yn1
1 2
y p yq 。
例5.2 取h=0.1，用改进的Euler方法解
y y 2x ， y
y0 1。
解 按（5.1.5），改进的Euler方法解
yn1
yn
h( yn
2xn yn
)，
yn1
yn
h 2
( yn
2xn yn
)
( yn1
2 xn 1 yn1
5.1.2 局部误差和方法的阶
初值问题（5.1.1）的单步法可以写成如下统一形式
yn1 yn h(xn，xn1，yn，yn1，h)，
（5.1.7）
其中与 f 有关。若 中不含 yn1 ，则方法是显式的，否则是隐式的，所以一
（5.1.2） （5.1.3）
从 x0处的初值 y0开始，按（5.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称
（5.1.2）式为显式Euler。由于（5.1.3）式的右端隐含有待求函数值 yn，1
不能逐步显式计算，称（5.1.3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果 将（5.1.2）和（5.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。