2019长春高三一模数学理科试卷及答案-精编

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数(13)(3)i i -+-=

A.10

B.10-

C.10i

D.10i

-2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M = 的集合N 的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

3.函数()sin()sin 3f x x x π=+

+的最大值为，

A. B.2 C. D.4

4.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数的是

A.||1y x =+

B.2y x -=

C.1y x x =-

D.||

2x y =5.已知平面向量a 、b ，满足||||1==a b ，若(2)0-⋅=a b b ，则向量a 、b 的夹角为

A.30︒

B.45︒

C.60︒

D.120︒

6.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =

A.3-

B.5-

C.3

D.5

7.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为

A.1

B.3

2 C.2

2 D.1

2

8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为，

A.6

B.12

C.24

D.369.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为190

185180

175

170

165

160

155

150

145123456789101112131415身高臂展

A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，

D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，

10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为，

A. 4.5

B.6

C.7.5

D.10

11.已知双曲线2222

1(0,0)x y a b a b

-

=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为，

A.y x =±

B.y =

C.y =

D.2y x

=±12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是

A.c b a >>

B.a b c >>

C.

c a b >> D.b c a

>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.24log 4log 2+=.14.若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为.

15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S =

.

16.

已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为.

三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.(本小题满分12分)

在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2

b a C

c =+

.(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅= ,求a 的最小值.

18.(本小题满分12分)

在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.

(1)求证:BE ⊥平面PAD ；

(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.E D

C B

A P

19.(本小题满分12分)

平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>.

(1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证:2||||||QH AB OH =⋅；

(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.

20.(本小题满分12分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

216362574

最高气温天数