5.4 同方向同频率简谐振动的合成
同方向同频率简谐振动的合成初相位
同方向同频率简谐振动的合成初相位同方向同频率的简谐振动听起来挺高深的，其实简单得很，就像咱们日常生活中常见的摇摇摆摆，咯吱咯吱的秋千。
你想象一下，两个小伙伴在秋千上并肩而坐，摇摆得十分起劲。
要是他们的节奏一致，频率相同，配合得就像小鸟在枝头上唱和，那真是美得不要不要的。
可要是他们的节奏不一样，那画面可就有点尴尬了。
就像一对恋人在跳舞，一人慢一人快，结果就是扭得稀巴烂。
什么是合成初相位呢？简单来说，就是这两个秋千的小伙伴最开始的起点。
如果他们同时开始摇，那就是同一个起点，一起飞，冲上云霄。
要是其中一个比另一个早一点，那他就提前起跑了。
这样一来，两个秋千的互动就会变得有趣多了。
我们可以想象一下，一个小伙伴先开始，结果另一个还在原地踏步，等他反应过来，已经被甩得老远，真是让人哭笑不得。
在物理学上，合成初相位能影响最终的合成振动。
想想两个秋千相遇的瞬间，波浪涌动的美妙感。
相位差越小，合成振动越强，感觉就像是合唱团里每个人的声音都在同一调上，和谐动人。
而相位差越大，合成振动就像是乐队里每个人都在演奏不同的旋律，结果可想而知，就是一场音乐会的灾难。
有趣的是，合成初相位也常常会出现在我们的日常生活中。
就像朋友聚会时，大家都来得差不多，气氛瞬间就热烈起来，大家一起聊，笑声不断，简直就是欢乐的海洋。
可要是有一个朋友迟到了，刚好打断了大家的欢乐，那气氛就会微妙地变了，像个捣蛋鬼一样。
你看，这个合成初相位的影响力，简直不容小觑。
想象一下你和好友一起打游戏，两个人的配合相当重要。
如果你们都在同一时间攻击敌人，那真是配合默契，像专业战队一样，敌人根本来不及反应。
而要是你总是慢半拍，那可就难了，往往被敌人痛揍一顿。
这时候就能真切感受到合成初相位的重要性，毕竟团队合作离不开每个人的步伐一致嘛。
合成初相位的概念还可以用在爱情中。
想想看，情侣之间的默契有多重要。
就像两个人的心灵感应，若是心有灵犀，瞬间就能理解对方的想法。
而若是两人总是各自为政，彼此心里没谱，那可是要闹出不少笑话的。
同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究
电子技术与软件工程Electronic Technology & Software Engineering电子技术Electronic Technology 同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究贾冬梅（中北大学信息商务学院山西省晋中市030600 ）摘要：本文分别运用解析法和旋转矢量法来求解两个同方向同频率简谐振动的合成问题并分析总结了它们冬自的特点.通过对比发 现：运用旋转矢量法比解析法更为直观有效，它可以生免去对物理公式的记忆和复杂的数学计算.但是在一般情形下，运用解析法求解更为有效.对于合振动初相位的确定，运用旋转矢量法比解析法更加直观、有效和便捷.关键词：振动合成；解析法；旋转矢量法；振幅；初相简谐振动是机械振动中最简单、最基本的振动形式，任何复杂 的振动都可以看作是简谐振动的合成旳。
而同方向同频率的简谐振 动的合成又是简谐振动的合成中最简单最重要的形式，它为波干涉 和衍射现象的分析奠定了理论基础，因此研究同方向同频率简谐振 动的合成有着十分重要的意义。
寻求一种高效便捷的求解简谐振动 合振动的振动的方法成为了解决同方向同频率简谐振动的合成的关 键3」。
对于同方向同频率简谐振动的合成问题，大学物理教材中 常使用旋转矢量法和解析法来进行讨论分析‘网。
下面分别运用解 析法和旋转矢量法来求解同方向同频率简谐振动合成问题，分析总 结它们各自的特点，为这类问题的分析和求解提供一些参考和借鉴。
1两个同方向同频率简谐振动的合成设两个简谐振动都沿着x 轴方向振动，平衡位置都为坐标原点， 它们振动的角频率3,振幅分别为A]和A2，初相分别为®和％， 它们的振动方程分别为：x,=A| cos （（ot+（p]） x 2=A 2 cos （（ot+（p 2）求这两个解析振动的合振动。
1. 1解析法由于两个简谐振动都沿着X 轴方向振动，所以这两个简谐振动在任一时刻合振动的位移也应在X 轴方向上，且合振动的位移X 等 于这两个分振动位移的代数和，即：X=X]+x 2将分振动的方程X1和X2代入上式展开整理：x = x }+x 2= A } COS （＜zX + % ） + 厦2 COS （m + 02 ）=4 cos （p 、cos - /1] sin （p } cos cotA 2 cos （p 2 cos cot- A 2s\n （p 2 sin cut=（A, cos （p 、+ A 2 cos %） cos cot sin （p 、4- A 2 sin （p 2） sin cot 令 A cos （p=A] cos （p]+A 2 cos （p 2 A sin （p=A 1 sin （P]+A 2 sin （p 2 得至lj x=A cos （p coscot-A sin （p sin （ot=A cos （（ot+（p ）这一结果表明：两个同方向同频率简谐振动的合振动依旧是一 个简谐振动，且合振动的频率与分振动的频率相同都等于3,合振 动的振幅和初相可以表示为：A = J （/sin 0）2 +（/cos （p ）2=J A ： + / j + 2A t A 2 cos （02 - ％）川 sin 0 _ A x sin ® + A 2 sin （p 2t a n （p =------—-------------------A cos （p A x cos （p 、+ A 2 cos （p 21.2旋转矢量法如图1所示，4和力2分别为两个分振动的旋转矢量，它们以相 同的角速度绕o 点做逆时针转动，t=Os 时它们与x 轴正向的夹角分 别为卩和①。
5-4 同方向简谐运动的合成 拍
5－4 同方向简谐运动的合成 拍
*二
多个同方向同频率简谐运动的合成
A
A3
2
A2
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
xn An cos( t n )
3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
2
Amax 2A1
t
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Amin 0
10
第 5 章 机械振动
南通大学
Nantong University
5－4 同方向简谐运动的合成 拍
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
A4 A3
第 5 章 机械振动
7
南通大学
Nantong University
5－4 同方向简谐运动的合成 拍
三 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
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第 5 章 机械振动
8
南通大学
Nantong University
5－4 同方向简谐运动的合成 拍
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
A
拍频
2 1
o
A1 1
x2
x1
x
x
振动圆频率
x1 x2 cost A
1t 2t
1 2
2
返回
2 1
第 5 章 机械振动
振动的合成——精选推荐
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
同方向的简谐振动的合成
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
简谐振动的合成
x1 (t ) = a cosωt x2 (t ) = a cos(ωt + δ ) x3 (t ) = a cos(ωt + 2δ )
C
Nδ
R
A
aN
⋮ x N ( t ) = a cos[ ω t + ( N − 1)δ ]
O
δ
a3
a1 P
在∆COM中：A = 2 R sin( N δ / 2 ) 中 上两式相除得： 上两式相除得： 在∆OCP中： a = 2R sin(δ / 2) 中
2
A2 y= x 为直线方程 A1
利用旋转矢量合成
∆ϕ = 0
2 1
y
8 7 6
4 4
y
1 2
3
3 7 6
4Байду номын сангаас
8
x
5
5 3
2 1
播 放 动 画
16
5 6 7
x
8
2. |ϕ 2
− ϕ1 | π =
2 2
反相位
y
x y 2xy =0 + + A1 A2 A1 A2
3
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 •利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置O为 取质点振动的平衡位置 为 坐标原点，振动方向沿OX轴。A 坐标原点，振动方向沿 轴 2 点作两个长度分别为A 从O点作两个长度分别为 1、 点作两个长度分别为 ϕ2 ϕ A2的矢量 A1 , A2 ，它们在 它们在t=0时 时 与X轴的夹角分别为ϕ1、ϕ2。 轴的夹角分别为ϕ 轴的夹角分别为
x1 = 4 cos 3t ,
= A cos(3t + ϕ )
同方向同频率简谐振动的合成
第七章振动和波振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。
振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。
拍是一个重要的现象，有许多应用。
§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成当两个互相垂直的简谐振动频率不同时，合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系，图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。
当两者的频率之比是有理数时合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）⎩⎨⎧+=+=)cos()cos(y y y x x x t A y t A x ϕωϕωx 、y 两垂直方向的简谐振动时，对应不同初相位差的李萨如图形2:1:=y x ωωxyO 相邻的李萨如图形初相位差为12°yxx y相邻的李萨如图形初相位差为12°yxx y相邻的李萨如图形初相位差为12°傅里叶级数：L L ,sin ,cos ,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1t n t n t t t t ωωωωωω它们都具有周期T ，且有正交性和完备性∫∫∫⎩⎨⎧=≠=⎩⎨⎧=≠==T TTm n T m n tdt m t n m n T m n tdt m t n tdt m t n 000)(2/)(0sin sin )(2/)(0cos cos 0cos sin ωωωωωω正交性简谐振动的复数表示)(0ϕω+=t i Aex 复数表示的优越之处：求导、积分很方便。
)sin()cos(00)(0ϕωϕωϕω+++==+t iA t A Aex t i 复数的实部对应真实的振动量第七章作业题A组1、6、7、9、10、12、15、18、21、25、28、33、37、39、45、46、47B组48、52、55xφ0l 0l yly ⎟⎟⎠⎞不是线性回复力x =动力学方程及其解x的通解形式为2=+xxω&&)cos(ϕω+=tAx通解中包含两个待定的积分常量，它们取决于振动的初始运动状态，) ,(ϕA),(v x描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率固有频率ω0弹簧振子单摆复摆m k=0ωl g =0ωOOCI mgl =0ω任一振动系统的固有频率由振子的固有参量决定，与初始条件无关。
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
《大学物理》同方向的简谐振动的合成
§10-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向的两个独立的 同频率的简谐振动，两个简谐振动的频率为 ω，
振动方向为 X 轴方向，以 x1和 x2 分别代表同一
个质点的两个运动位移：
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm A2 =[A2 +A12 -2AA1cos( - １)]1/2
= 10 cm
o
A
A2
１ A1 x
∵A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) ∴ cos (1 - 2 ) = [A2 - A12 - A22] / 2A1A2
同相迭加，合振幅最大。
(2)当D 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)=0, 有
O
A1
A A1 A2 A A1 A2
A2
O
X
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于 和
之间。
A1 A2 A1 A2
补例1两个同方向同频率的简谐振动，其合 振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的 相位差为 - １= π/6，若第一个简谐动的振 幅为 17.3 cm，试求： 1、第二个简谐振动的振幅 A2 2、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
A1
10
X
O
x2
x x1
A
同方向同频率的两个简谐振动的合成
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
简谐运动的合成与分解
m
(
2 0
2
)2
4
2
2
共振
A
（1）位移共振（图1）
在一定条件下，振幅出现极大值，振动 剧烈的现象。
共振
2 0
2
2
（2）速度共振（图2）
0
一定条件下，速度幅A极大的现象。
vm
共振 0
即速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力
总作正功，此时向系统输入的能量最大。
0
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。
如果两振动的频率相差较大但有简单的整数比五谐振分析和频谱在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动这样分解在数学上的依据是傅立叶
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成 二、同方向不同频率两个简谐振动的合成 三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
解：
A A1 A2
A2
A1 A2 A
O
2
大学物理学(第三版上) 课后习题5答案详解
习题55.1选择题(1)一物体作简谐振动，振动方程为)2cos(πω+=t A x ，则该物体在0=t 时刻的动能与8/T t =（T 为振动周期）时刻的动能之比为： (A)1：4 （B ）1：2 （C ）1：1 (D) 2：1[答案：D](2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA 2 (B) kA 2/2 (C) kA 2//4 (D)0[答案：D](3)谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于 (A)4A ±(B) 2A ± (C) 23A ±(D) 22A± [答案：D]5.2 填空题(1)一质点在X 轴上作简谐振动，振幅A ＝4cm ，周期T ＝2s ，其平衡位置取作坐标原点。
若t ＝0时质点第一次通过x ＝－2cm 处且向X 轴负方向运动，则质点第二次通过x ＝－2cm 处的时刻为____s 。
[答案：23s ](2)一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题5.2(2)图所示。
振子在位移为零，速度为－ωA 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的____________点。
振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为－ω2A 和弹性力为－KA 的状态，则对应曲线上的____________点。
题5.2(2) 图[答案：b 、f ； a 、e](3)一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点，已知周期为T ，振幅为A 。
(a)若t=0时质点过x=0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为x=___________________。
(b) 若t=0时质点过x=A/2处且朝x 轴负方向运动，则振动方程为x=_________________。
[答案：cos(2//2)x A t T ππ=-； cos(2//3)x A t T ππ=+]5.3 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；(2)如题5.3图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．题5.3图 题5.3图(b)解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用0d d 222=+ξωξt描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在题5.3图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为θsin mg -，如题5.3图(b)中所示，因S ∆＜＜R ，故RS∆=θ→0，所以回复力为θmg -.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有θθmg tmR -=22d d令Rg=2ω，则有 222d 0d tθωθ+=5.4 弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？解：弹簧振子的振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度的表达式分别为222122,m m T E kA v A a Aππωωω===== 所以当振幅增大到原振幅的两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来的4倍，最大速度增大为原来的2倍，最大加速度增大为原来的2倍。
同方向的简谐振动的合成
x = x 1+ x 2
x 2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t 0 )
同方向不同频率的两个简谐振动的合成
拍
因1
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 的简谐函 2 2 数。合振动可视为是角频率为 (1 2 )、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可 写成 t soc a x
) t(soc a 2x ) 2 t(soc a 3x ] )1 N ( t[soc a Nx
同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成因各个振动的振幅相同且相差依次恒为上图中各个矢量的起点和终点都在以c为圆心的圆周上根据简单的几何关系可得同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成在三角形docm中om的长度就是和振动位移矢量的位移角度就是和振动的初相据此得moxcomcoxmox同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成2
2
2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化。 两个简谐振动的频率1和 2很接近，且 2 1
4简谐振动的合成
ω1 − ω2 << ω1 ≈ ω2
dengyonghe1@
设
A1 = A2 = A，
ω1 ≈ ω 2
x1 = A cos(ω1t + ϕ ) x 2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合成后 x = x1 + x 2
= A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
x
dengyonghe1@
o
2.注意几点 2.注意几点 (1). 当
Hale Waihona Puke ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2kπ ( k = 0,±1,±2,L) 时,
两个同相
A=
A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) x = A1 + A2
2 1 2 2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。 若
一、同方向同频率的两个简谐振动合成
质点同时参与两个振动， 质点同时参与两个振动，只 研究两个同方向同频率的振动合 成。 分振动
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
振动合成
x = x1 + x 2
dengyonghe1@
1.利用矢量法求合振动 利用矢量法求合振动
dengyonghe1@
解：直接代公式： 直接代公式：
A = (90 2 ) + (200 2 ) = 220 2
2 2
200 2 ϕ = tan ( ) = 65.80 90 2
−1
∴ u = 220 2 cos(100πt + 65.8 )
同一直线上的两个简谐振动的合成
其中:
x A(t)cost
A(t ) 2Acos( 2 1 )t
2
cos t cos( 2 1 t )
2
随ｔ缓变 随ｔ快变
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1 t
x2 t
x t
3. 拍 合振动忽强忽弱的现象
T拍
A(t) 2Acos( 2 1 )t
2
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
拍
=
|2-
1 n1 2 n2
合振动是 周期函数
x 2 Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
• 当 2 ~1 时 2- 1 2+ 1
这样的两个简谐函数之和称为拍(beat)。这时合矢量在 X轴上投影的变化就和简谐函数的变化有点相似，即投 影的变化可看成是振幅在缓慢变化的“简谐振动”。
1|=
2
2
1
振动曲线 A1=A2
x1
t
x2
t
x
t T
振动曲线 A1A2
x1
t
x2
t
x
t
T
2 1= 2k (k =0,1,2,…)
A1 A2
x1
t
A A1 A2 x2
t
A A1 A2
x
合振动加强，并
与分振动同相。
t
(2) 若两分振动 反相(out of phase) A1 A2
2 1= (2k+1) (k=0,1,2,…)
A2 A1 x1
t
A A1 A2 x2
t
A A1 A2
当A1=A2 ， A=0 x
合振动减弱，初相
t
与大振幅者相同。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
讨论1
(20 10 ) 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1A2 0
y
所以是在 y A2 x 直线上的运动。A1
x
14
讨论2
(20 10)
x2 y2 2 xy A12 A22 A1A2 0
所以是在 y A2 x 直线上的振动。 A1
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
附录：常用三角函数积化和差、 和差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
sin sin 2 sin cos
2
2
sin sin 2 cos sin
2
2
cos cos 2 cos cos
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
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第5章 机械振动
x2 3cos(2 t ) cm 2
解 合振动的振幅为
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 5 cm
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
合振动的初相位为 A1 sin 1 A2 sin 2 3 tg A1 cos 1 A2 cos 2 4 初相位在第二象限，解得 或由旋转矢量图易得
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
t
第5章 机械振动
A
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1 ， 2 )
相互加强
1）相位差
2k π
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
两个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0
A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
3＝ 2k ，k 0,1, 2,
当 3 1＝ (2k 1)，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相反时，合振动的振幅最小，由于 1 ，故 3＝ (2k 1) ，k 0,1, 2,
即
3＝ 2k，k 0,1, 2,
4 5
2 A A12 A2 5 cm A1 4 arctan 2 A2 5
故所求的振动方程为
4 x 5cos(2 t ) cm 5
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
(2) 当 3 1＝ 2k，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相同时，合振动的振幅最大，由于 1 ，所以
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1， 2,) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ，
讨论
2 1 2 2
x
x
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第5章 机械振动
A
A2
1
t
5.4 同方向同频率简谐振动的合成 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, 2 ) x1 A1 cost x ( A A ) cos( t π) 2 1 x2 A2 cos(t π )
A A1 A2
2）相位差
(2k 1) π (k 0 ， 1， 2 )
3）一般情况
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
例 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方 程分别为 x1 4 cos(2 t ) cm (1) 求它们的合振动方程；(2) 另有一同方向的简谐振 x1 x3 动 x3 2cos(2 t 3 ) cm ，问当 3 为何值时， 的振幅为最大值？当 3 为何值时，x1 x3 的振幅为 最小值？