5.4 同方向同频率简谐振动的合成
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x2 3cos(2 t ) cm 2
解 合振动的振幅为
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 5 cm
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
合振动的初相位为 A1 sin 1 A2 sin 2 3 tg A1 cos 1 A2 cos 2 4 初相位在第二象限，解得 或由旋转矢量图易得
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
t
第5章 机械振动
A
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1 ， 2 )
相互加强
1）相位差
2k π
讨论
2 1 2 2
x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第5章 机械振动
A
A2
1
t
5.4 同方向同频率简谐振动的合成 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, 2 ) x1 A1 cost x ( A A ) cos( t π) 2 1 x2 A2 cos(t π )
A A1 A2
2）相位差
(2k 1) π (k 0 ， 1， 2 )
3）一般情况
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
例 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方 程分别为 x1 4 cos(2 t ) cm (1) 求它们的合振动方程；(2) 另有一同方向的简谐振 x1 x3 动 x3 2cos(2 t 3 ) cm ，问当 3 为何值时， 的振幅为最大值？当 3 为何值时，x1 x3 的振幅为 最小值？
3＝ 2k ，k 0,1, 2,
当 3 1＝ (2k 1)，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相反时，合振动的振幅最小，由于 1 ，故 3＝ (2k 1) ，k 0,1, 2,
即
3＝ 2k，k 0,1, 2,
4 5
2 A A12 A2 5 cm A1 4 arctan 2 A2 5
故所求的振动方程为
4 x 5cos(2 t ) cm 5
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
(2) 当 3 1＝ 2k，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相同时，合振动的振幅最大，由于 1 ，所以
第5章 机械振动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1， 2,) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ，
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
两个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0
A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
解 合振动的振幅为
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 5 cm
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
合振动的初相位为 A1 sin 1 A2 sin 2 3 tg A1 cos 1 A2 cos 2 4 初相位在第二象限，解得 或由旋转矢量图易得
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
t
第5章 机械振动
A
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1 ， 2 )
相互加强
1）相位差
2k π
讨论
2 1 2 2
x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第5章 机械振动
A
A2
1
t
5.4 同方向同频率简谐振动的合成 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, 2 ) x1 A1 cost x ( A A ) cos( t π) 2 1 x2 A2 cos(t π )
A A1 A2
2）相位差
(2k 1) π (k 0 ， 1， 2 )
3）一般情况
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
例 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方 程分别为 x1 4 cos(2 t ) cm (1) 求它们的合振动方程；(2) 另有一同方向的简谐振 x1 x3 动 x3 2cos(2 t 3 ) cm ，问当 3 为何值时， 的振幅为最大值？当 3 为何值时，x1 x3 的振幅为 最小值？
3＝ 2k ，k 0,1, 2,
当 3 1＝ (2k 1)，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相反时，合振动的振幅最小，由于 1 ，故 3＝ (2k 1) ，k 0,1, 2,
即
3＝ 2k，k 0,1, 2,
4 5
2 A A12 A2 5 cm A1 4 arctan 2 A2 5
故所求的振动方程为
4 x 5cos(2 t ) cm 5
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
(2) 当 3 1＝ 2k，k 0,1, 2, 时，即 x1 与 x3 相 位相同时，合振动的振幅最大，由于 1 ，所以
第5章 机械振动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
第5章 机械振动
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1， 2,) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ，
5.4 同方向同频率简谐振动的合成
两个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0
A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )