广东专插本2001-2011年高数历年真题
2001年高考.广东卷.数学试题及答案
数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分．考试时间 120 分
钟.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2
cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
34
21．(本小题满分 14 分)
已知椭圆 x 2 y 2 1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相 2
交于 A、B 两点，点 C 在右准线 l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线 AC 经过线段 EF 的中点．
22．(本小题满分 14 分)
设ｆ（ｘ）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，
22
22
2
f (1 ) f (1 1 ) f (1 ) f (1 ) [ f (1 )]2
2
44
44
4
ｆ（１）＝ａ＞0，
∴
f
(1)
1
a2
,
f
(1)
1
a4
2
4
(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，
故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），
即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，
传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位
时间内传递的最大信息量为
A．２６
Ｂ．２４
Ｃ．２０
Ｄ．１９
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上)
13.已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组
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2011年普通专升本高等数学真题汇总
2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名： 准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（ ）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（ ）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。
2001年高考数学试题(广东)及答案
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式31--x x ＞０的解集为A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是 A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6πＤ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减； ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １ Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-yx的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+yx的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.516 15.1 16.2n (n -1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１），12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231nS S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n nn 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面MSA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC ABSA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SBBC即所求二面角的正切值为22 12分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分55(1)88λ==<即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设122334λλ≤<≤，则由S 的表达式得 Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+ =)58)((104421121λλλλ--25,8038≥>->故因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N.若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kkx x kk+-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０，故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k kk∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f xx f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+= ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(nn n f nn f f ⋅-+=⋅=11()[(1)]22f f n nn=⋅-⋅=1111()()()[()]2222nf f f f n n n n=⋅⋅⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
最新2011广东专插本考试学试题汇总
2011广东专插本考试管理学试题广东2011年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》（公共课）试题一、单项选择题（本大题共25小题，每小题1分，共25分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1.管理者需要具有的多种技能中，把组织视作一个整体、洞察组织与环境相互影响、协调各部分关系的能力属于A.技技能术B.概念技能C.人际关系技能D.战略技能2.一家产品单一的跨国公司在世界许多地区拥有客户和分支机构，该公司的组织结构在划分部门只能时应该考虑的因素是A.职能B.产品C.地区D.矩阵结构3.某企业领导在电视上看到关于“生产方便筷子浪费木材、破坏环境”的报到，深受感染，于是组织公司后勤部门开会，经研究决定，本公司食堂从即日起停止使用方便筷子，改用重复性耐用竹筷子，并在食堂粘贴宣传海报，号召职工在日常生活中也不要使用方便筷子。
该企业的这种行为属于A.社会义务B.社会反映C.社会责任D.社会权利4.由梅奥进行的霍桑实验的第四个阶段A.工程照明实验B.接线板接线工作室实验C.大规模的访问与调查D.继电器装配室试验5.泰罗的科学管理理论的主要内容不包括A.谋求最高的工作效率B.以科学方法替代旧式的经营管理C.要求管理人员和工人在精神上和思想上进行一场彻底的变革D.将管理活动划分为计划、组织、指挥、控制、协调五大职能6.某企业生成销售一种品种，单位变动成本10元，销售单价30元，年固定成本20万元，根据市场预测，年销售量为10万件，则企业可获利A.180万元B.200万元C.260万元D.300万元7.把决策划分为战略决策、战术决策与业务决策的依据是决策A.所涉及的问题B.环境因素的可控程度C.重要性D.主体8.目标管理对目标的要求中不包括A.目标要略高于执行者的能力水平B.目标的数目不宜过多C.目标要有战略性D.目标要定量化9.波士顿业务组合矩阵是企业进行业务组合战略分析的有力工具。
如果某个战略业务单位处于矩阵的左上角，即市场增长迅速而有吸引力，但该业务在市场地位上地位不高，部分业务需要企业投入大量资源来提高其市场地位。
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试卷(附解答)
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题2001．7 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧= (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体=其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式＞０的解集为A．｛ｘ｜ｘ＜１｝B．｛ｘ｜ｘ＞３｝C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是Ａ．３πＢ．３πＣ．6πＤ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A．两条相交直线B．圆C．椭圆D．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是A．（０，）Ｂ．（０，]Ｃ．（，＋∞）Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝，则ａｒｇ是A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A．ｙ＝ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A．ａ＞ｂＢ．ａ＜ｂＣ．ａｂ＜１Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为A．60°Ｂ．９０°Ｃ．4５°Ｄ．120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减其中，正确的命题是A．①③Ｂ．①④Ｃ．②③Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是A．（－∞,０）B．（－∞,２） C．［０,２］D．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A．P３＞P２＞P１Ｂ．P３＞P２＝P１Ｃ．P３＝Ｐ２＞Ｐ１Ｄ．P３＝P２＝P１12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A．２６Ｂ．２４Ｃ．２０Ｄ．１９第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有种可能(用数字作答)14．双曲线的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴求证直线AC经过线段EF的中点．22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋），求．参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D二、填空题13.4900 14. 15.1 16.2n(n-1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２５分＝ 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０．由已知有a+3a=2×４，解得首项a１＝ａ＝２，公差d=a２－ａ１＝２． 2分代入公式Sｋ＝ｋ·ａ１＋得∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k=50,k=-51(舍去)∴a=2,k=50. 6分(Ⅱ)由得Sｎ＝ｎ（ｎ＋１），9分12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是M底面== 2分∴四棱锥S—ABCD的体积是4分(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分∵ＳＢ＝∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝即所求二面角的正切值为 12分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分设纸张面积为S，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分将ｘ＝代入上式得Ｓ＝５０００＋４４ 5分当８时，S取得最小值，此时，高：ｘ＝cｍ，宽：λｘ＝ｃｍ 8分如果λ∈［］，可设，则由S的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４= 10分由于因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S（λ）在区间［］内单调递增.从而，对于λ∈［］，当λ＝时，S（λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［］,当λ＝时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(，0) 3分若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１），∴AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N.若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝１０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－≠０，故直线AN，CN的斜率分别为ｋ１＝∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４＝∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线.所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14分22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）, 所以ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴ 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵∴ 12分∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此a n=14分。
2001年高考数学试题(广东)及答案
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式31--x x ＞０的解集为 A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝ B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝ C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3π Ｂ．35πＣ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减； ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １ Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1) 三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， 12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231n S S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分 ∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分55(1)88λ==<即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设122334λλ≤<≤，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+ =)58)((104421121λλλλ--25,8038≥>>故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kk x x k k +-=+ １０分 又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０，故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f x x f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(n n n f n n f f ⋅-+=⋅=11()[(1)]22f f n n n =⋅-⋅=1111()()()[()]2222n f f f f n n n n=⋅⋅⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
广东专插本《管理学》真题及答案(2001-2011)
目录广东省2002年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (2)管理学试题答案及评分标准 (5)广东省2003年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (7)管理学试题答案及评分标准 (11)广东省2004年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (13)管理学试题答案及评分标准 (16)广东省2005年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (18)管理学试题答案及评分标准 (22)广东省2006年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (24)管理学试题答案及评分标准 (28)广东省2007年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (30)管理学试题答案及评分标准 (34)广东省2008年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (36)管理学试题答案及评分标准 (40)广东省2009年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (42)管理学试题答案及评分标准 (46)广东省2010年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (48)管理学试题答案及评分标准 (52)2001年本科插班考试《管理学》参考答案一、单项选择题1.A2.A3.D4.D5.A6.D7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 15.A二、多项选择题16.ABCDE 17.ACBE 18.ACD 19.ABE 20.ABCDE 21.CDE22.CDE23.BCDE 24.AB 25.ABCD 26.ABCE 27.BDE 28.ABC29.ABD30.ACDE三、名词解释31.霍桑试验是1924年到1932年间，由美国国家研究委员会和西方电气公司合作，进行了一系列的试验：工厂照明试验、继电器装配试验等等，得出了职工是社会人、非正式组织等结论。
32.管理运动是19世纪末到20世纪30年代，在美国发生的人们对管理重要性认识的及由此而产生的对社会发展的重大影响过程，它的主要组成部分是科学管理，为提高科学管理，为提高劳动生产率提供了一种思维和解决问题的框架。
2001广东卷(附解答)
2001年广东普通高等学校招生统一考试数 学 试 题2001．7说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[sin(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=21(c ′+c )l其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，lV=h S S S S )(31+'+'其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x xA ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘC ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3π Ｂ．３3π6πＤ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θA B C ．椭圆 D4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａA ．（０，21） 21] 21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3π Ｂ．35πＣ．6π611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘＣ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂａｂ＜１ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小A ．60° 4５° 120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘA ． ①③10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的A ．（－∞,０）B ．（－∞,２）C ．［０,２］D ．（０,11记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ P ３＞P ２＝P １P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A Ｂ．２４(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答).14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 ．15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ ．16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥xAC 经过线段EF 的中点．22．(本小题满分14分) 设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1) 三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， )11-1()31-21()21-11( )1(132121111121++++=+++⨯+⨯=+++n n n n S S S n111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分 ∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分 如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ-- 10分由于058,85322121 λλλλ-≥故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分 21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214k k x x k k +-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３） ＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）, 所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f x x f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(nn n f n n f f ⋅-+=⋅= nnf n f n f n f nn f n f )]21([)21()21()21( ]21)1[()21(=⋅⋅⋅==⋅-⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(= 12分∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
(word完整版)广东专插本2001-2011年高等数学历年题集(2011年10月更新)
高等数学历年试题集(含标准答案)5、计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D 为2,2x y x y ==及2xy =所围成(0)x >。
6、求一阶线性微分方程423(cos )2x xy yx e x x -=+-的通解。
四、应用题（本题8分） 设有椭圆22221x y a b+= （1）用定积分计算要椭圆绕x 轴旋转所产生的旋转体体积。
（2）求内接于该随圆而平行于坐标轴的最大矩形面积。
20、试求函数xy ze =在点（2，3）处的全微分。
四、应用题（每小题8分，共24分）21、三个点A 、B 、C 不在同一直线上，60ABC∠=o 。
汽车以80千米/小时的速度由A 向B 行驶，同时火车以50千米/小时的速度由B 向C 行驶。
如果AB=200千米，试求运动开始几小时后汽车与火车间的距离为最小？ 22、试计算由抛物线2y x =与直线23y x =-所围成的图形的面积。
23、设有边长为2a 的在方形薄板。
如果薄板材料的度和到对解线线交点的距离平方成正比，且在它的角上的密度为l ，试求这个正方形薄板的质量。
2004年专升本插班考试《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→x x xx 52tan 30lim 。
3、若=-=dxdyx x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32a i j k b i j k c i j =-+=-+=-r r r r r r r r r r r和,()()a b b c +⨯+=r r r r则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y )2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x)2()12(2121-+-⎰⎰9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=12),(xx dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰102),(yy dx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限x x x e x x 30sin )2()2(lim ++-→12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。
广东专插本《管理学》真题及答案(2001-2011)
目录广东省2002年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (2)管理学试题答案及评分标准 (5)广东省2003年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (7)管理学试题答案及评分标准 (11)广东省2004年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (13)管理学试题答案及评分标准 (16)广东省2005年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (18)管理学试题答案及评分标准 (22)广东省2006年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (24)管理学试题答案及评分标准 (28)广东省2007年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (30)管理学试题答案及评分标准 (34)广东省2008年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (36)管理学试题答案及评分标准 (40)广东省2009年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (42)管理学试题答案及评分标准 (46)广东省2010年普通高等学校本科插班生招生考试《管理学》试题 (48)管理学试题答案及评分标准 (52)2001年本科插班考试《管理学》参考答案一、单项选择题1.A2.A3.D4.D5.A6.D7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 15.A二、多项选择题16.ABCDE 17.ACBE 18.ACD 19.ABE 20.ABCDE 21.CDE22.CDE23.BCDE 24.AB 25.ABCD 26.ABCE 27.BDE 28.ABC29.ABD30.ACDE三、名词解释31.霍桑试验是1924年到1932年间，由美国国家研究委员会和西方电气公司合作，进行了一系列的试验：工厂照明试验、继电器装配试验等等，得出了职工是社会人、非正式组织等结论。
32.管理运动是19世纪末到20世纪30年代，在美国发生的人们对管理重要性认识的及由此而产生的对社会发展的重大影响过程，它的主要组成部分是科学管理，为提高科学管理，为提高劳动生产率提供了一种思维和解决问题的框架。
2001年广东高考数学试题及答案
x 2 + k 2 (x − 1)2 = 1 2
即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝
1
4k 2 + 2k
2
, x1x2
=
2(k 2 −1) 1+ 2k 2
１０分
又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－ 3 ≠０， 2
n n+1
n +1
∴ lim( 1 + 1 + Λ + 1 ) = lim(1 − 1 ) = 1
S n→∞ 1
S2
Sn n→∞ n + 1
12 分
19．解：(Ⅰ)直角梯形 ABCD 的面积是
M 底面= 1 (BC + AD) ⋅ AB = 1 + 0.5 ×1 = 3
2分
2
2
4
∴四棱锥 S—ABCD 的体积是
11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别 为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
A．P３＞P２＞P１ Ｂ．P３＞P２＝P１ Ｃ．P３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P３＝P２＝P１ 12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量．现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间
交于 A、B 两点，点 C 在右准线 l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线 AC 经过线段 EF 的中点．
22．(本小题满分 14 分)设ｆ（ｘ）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，
2011年广东专插本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2011年广东专插本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列极限运算中，正确的是( )A．B．C．D．正确答案：C2．若函数在χ=0处连续，则a= ( ) A．-ln2B．ln2C．2D．χ2正确答案：B3．已知f(χ)的二阶导数存在，且f(2)=1，f?(2)=0，则χ=2是函数F(χ)=(χ-2)2f(χ)的( )A．极大值点B．最小值点C．极小值点D．最大值点正确答案：C4．已知( )A．1B．2C．3D．4正确答案：D5．已知，则fy(0，0)= ( ) A．-1B．0C．1D．2正确答案：A填空题6．当χ→0时，是等价无穷小，则常数k=____。
正确答案：87．设=_______。
正确答案：-18．已知f(χ)在(-∞，+∞)内连续，且f，则f?(χ)=______。
正确答案：2f(χ)9．已知二元函数=______。
正确答案：010．设平面区域D由直线y=χ，y=2χ及χ=1所围成，则二重积分=______。
正确答案：1解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．计算。
正确答案：12．已知函数f(χ)的n-2阶导数f(n-2)(χ)=，求f(χ)的n阶导数。
正确答案：13．求曲线f(χ)=χ-arctankχ(k＜0)的凹凸区间和拐点。
正确答案：函数f(χ)=χ-arctankχ的定义域为(-∞，+∞)；令f?(χ)=0，解得χ=0，列表讨论如下(k＜0)：拐点是(0，0)，f(χ)征(-∞，0)是凹的，在(0，+∞)是凸的。
14．计算不定积分∫eχsinχdχ。
正确答案：15．计算定积分。
正确答案：16．求微分方程y?+2y?-8y=0满足初始条件的特解。
正确答案：微分方程的特征方程为：r2+2r-8=0；解得：r1=-4，r2=2，∴微分方程的通解为：y=C1e-4χ+C2e2χ。
广东专插本考试《高等数学》真题.doc
2018年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一项符合题目要求）1．=+→∆)sin 1sin 3(lim 0xx x x x A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．设函数)(x f 具有二阶导数，且1)0(-='f ，0)1(='f ，1)0(-=''f ，3)1(-=''f ，则下列说法正确的是A ．点0=x 是函数)(x f 的极小值点B ．点0=x 是函数)(x f 的极大值点C ．点1=x 是函数)(x f 的极小值点D ．点1=x 是函数)(x f 的极大值点3．已知C x dx x f +=⎰2)(，其中C 为任意常数，则⎰=dx x f )(2A ．C x +5B ．C x +4C ．C x +421D ．C x +332 4．级数∑∞==-+13)1(2n n nA ．2B ．1C ．43 D ．21 5．已知{}94) , (22≤+≤=y x y x D ，则=+⎰⎰D d y x σ221A ．π2B ．π10错误!未找到引用源。
C ．23ln2π D ．23ln4π 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．已知⎩⎨⎧== 3log t 2y t x ，则==1t dx dy 。
7．=+⎰-dx x x )sin (22 。
8．=⎰+∞-dx e x 021 。
9．二元函数1+=y x z，当e x =，0=y 时的全微分===e x y dz 0 。
10．微分方程ydx dy x =2满足初始条件1=x y 的特解为=y 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．确定常数a ，b 的值，使函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<++= 0 )21(00 1)(2x x x b x x a x x f x ，，，在0=x 处连续。
2001年广东高考数学试题(附答案)
Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２ 1 ，ｘ∈（１，２）； x −1
Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２ 1 ，ｘ∈（１，２] x −1
7．若０＜α＜β＜ π ，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 4
A．ａ＞ｂ
Ｂ．ａ＜ｂ
Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞2
8．在正三棱柱 ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ 2 ＢＢ１，则 AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为
≤
3 4
，则由
S
的表达式得
Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４ 10 (8 λ1 +
5 −8 λ1
λ2 −
5) λ2
= 44
10 (
λ1 −
λ2 )(8 −
5 )
λ11λ2
由于
λ1λ2
≥
2 3
>
5 ,故8 − 8
5 >0 λ1λ2
因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以 S（λ）在区间［ 2 , 3 ］内单调递增. 34
＝ 1 [12k 2 − 4(k 2 −1) − 4(1 + 2k 2 )] = 0 1 + 2k 2
∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故 A、C、N 三点共线. 所以，直线 AC 经过线段 EF 的中点 N.
14 分
22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０， 1 ］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,所以 2
2
44
44
4
ｆ（１）＝ａ＞0，
3分
∴
f
(1)
=
1
a2
,
f
(1)
=
1
a4
2
4
(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，
故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
2001年高数真题及答案
2001年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题2分，共26分）1、设k x x g x x f +=+=4)(,23)(且()[]()[]x f g x g f =，则k= 。
2、如果32sin 3lim0=→x kx x ，则k= 。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,)1(0,)(x kx x a x mx f ，（k ，m 为常数），)(x f 在0=x 处连续，=a 。
4、曲线xf 2=在点（1,2）的法线方程式 。
5、设参数方程⎩⎨⎧==ta x ta y cos sin 2，则=-4πt dxdy 。
6、计算⎰='⋅dx x f x f x )()(332 。
7、若2)23(0=-⎰dx x a，则=a 。
8、⎰+=x xe dt t f x sin )(220，则=)(x f 。
9、⎰=-∞210dt ae （a 为常数），则a = 。
10、设)ln(22y x z+=，则全微分=dz 。
11、改变二次积分的次序⎰⎰=dy y x f dx s e ),(ln 01。
12、幂级数∑=+kn n n x n 133的收敛半径R= 。
13、微积分方程022=+dx xe dy x 的通解是=y 。
二、计算题（一）（每小题5分，共30分）1、xe e x x x 20sin 2lim -+-→。
2、设(),42arcsin 22-+-+=f e x x x y 其中f 为可微函数，求dy 。
3、求函数53)(23+-=x x x f 的单调区间及极值。
4、计算⎰-dxx x sin cos 22ππ。
5、设yxx yz +=sin ，求yzx z ∂∂∂∂,。
6、求级数∑=⋅-mn nnn x 14)4(的收敛范围。
三、计算题（二）（每小题6分，共36分）1、若3)1sin(lim 221=-++→x bax x x ，求b a ,的值。
2、已知函数0201sin 2)(≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x x f（1）写出函数)(x f 的定义域；（2）讨论函数)(x f 在0=x 的连续性与可导性。
2001年高考数学试题——(广东卷)及答案
2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式31--x x ＞０的解集为A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是 A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减； ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １ Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答14．双曲线116922=-yx的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+yx的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.516 15.1 16.2n (n -1)三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１），12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231nS S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n nn 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面MSA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SBBC即所求二面角的正切值为22 12分20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有 Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分55(1)88λ==<即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设122334λλ≤<≤，则由S 的表达式得 Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+ =)58)((104421121λλλλ--25,8038≥>->故因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值 答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N.若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kkx x kk+-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０，故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k kkk∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f xx f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+= ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(nn n f nn f f ⋅-+=⋅=11()[(1)]22f f n nn=⋅-⋅=1111()()()[()]2222nf f f f n n n n=⋅⋅⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。
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广东省本科插班生入学考试高等数学辅导资料2004年专升本插班考试52004年《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分）1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→x x x x 52tan 30lim 。
3、若=-=dxdy x x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32a i j k b i j k c i j =-+=-+=-和,()()a b b c +⨯+=则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分）6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ） （A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21 （C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln7、设)2ln(),(xy x y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y xy 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰ （C ）dx y dx y )2()12(2121-+-⎰⎰ （D ）dx x dx x)2()12(2121-+-⎰⎰ 9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n 的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=102),(x x dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰102),(yy dx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限x x x e x x 3sin )2()2(lim ++-→ 12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。
13、计算定积分⎰125ln xdx x 。
14、设yx zx z y z x z xy x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=222,,,),ln(求。
四、计算题（每题12分，共24分）15、由2,8,0x y x y ===所围成的曲边三角形OAB （如图所示），在曲边OB 上，求一点C ，使得过此点所作2x y =之切线与OA 、AB 所围成的三角形面积最大。
16、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，共中D 是由直线2-=x ，,0=y 2=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
2004年专升本插班考试《高等数学》参考答案一、填空题1、[)(]1,00,1⋃-2、52 3、x e xsin 2⋅ 4、43ln 5、j k -- 二、单项选择题6、A7、D8、B9、C 10、B 三、简单计算题11、解：原式xx e x e x x x cos sin 31)2(lim 20++-=→610611sin 3cos 6lim sin lim sin 3cos sin 6lim 2200320=-⨯=-⋅=-=→→→x e x x x x x xe x x x x x 12、解：把y 看成x 的函数并对和方程关于x 求导，得y x y x y y x y cos 2111)('0)('cos 21)('1-=⇒=⋅+- 再一次求导，得 0))('(sin 21)(''cos 21)(''2=⋅-⋅+-x y y x y y x y y x y y x y cos 211))('(sin 21)(''2-⋅-=⇒ 33)cos 211()cos 211(sin 21y yx y y --=--= 13、解：⎰⎰∞-⋅=026125ln dt t e x e xdx x t t 令10811081181181181)(18131)(6161)(61060606060606206062062===+-=-=⋅-=-==∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t t tt t t t e dt e dt e te e td tdt e t d e e t e d t 14、解：1)ln(1)ln(+=⋅⋅+=∂∂xy y xy x xy x z yx x xy x y z =⋅⋅=∂∂1 x xy y xy x x z x x z 1)1)(ln()(22==+∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yxy x xy y x z y y x z 1)1)(ln()(2==+∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 四、计算题 15、解： x x y xx y 2)(')(2=∴= 于是过点c 的切线斜率为80,200≤≤x x 其中∴切线方程为：)(20020x t x x S -=-， 即2002x t x S -=此切线与80==x y 和分别交于点)16,8()0,2(2000x x Q x P -和 ∴所围三角形面积h 为：)16)(28(21)(20000x x x x h --= 即80),16(41)(02000≤≤-=x x x x h对h 求导，得)316)(16(41)16(21)16(41)('0000200x x x x x x h --=---=令0)('0=x h ，得)80,(16,316000≤≤==x x x 因舍去又)0()8(2732128)316(,128)8(,0)('0h h h h x h ⨯===∴当过点（9256,316）作切线，所围三角形面积最大。
16、解：⎰⎰Dydxdy dy y y y ydx dy y y )22(2022222⎰⎰⎰--==---⎰⎰⎰--=--=222222422dy y y y dy y y y ydy下面计算⎰-222dy y y y 令θsin 1+=y ，则当 22,2,2,2,0πθππθπθ≤≤-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==-==时时y y于是)sin 1(sin 1)sin 1(222222⎰⎰+-+=--θθθππd dy y y y222cos 10cos cos sin cos cos )sin 1(22222222222222πθθθθθθθθθθθθππππππππππ=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-----d d d d d∴24π-=⎰⎰Dydxdy2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。
7、定积分⎰--1sin 2xdx ex = 。
8、设函数xxx f +-=22ln )(，则)1(''f = 。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限22x )1(lnlimxdt t x⎰+→。
13、已知1ln 1arctan22---=x x x y ，求'y 。
14、设函数)(x y y =是由方程22ln arctan y x xy+=所确定的隐函数，求dxdy 。
15、计算不定积分⎰++-dx x x xx)sin 1311(23。
16、计算定积分⎰-2ln 22ln 11dt e t。
17、求由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6,0π==x x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
18、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22,其中积分区域{}41),(22≤+≤=y xy x D 。
19、求微分方程03'4''=++y y y 满足初始条件6)0(',2)0(==y y 的特解。
20、已知xy xe xy z-+=)sin(，求全微分dz 。
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分） 21、设221)(x xex f -=，（1）求)(x f 的单调区间及极值；（2）求)(x f 的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。
22、证明：当t 0>时，111ln(1)1t t t<+<+。
23、已知2)(=πf ，且⎰=+π5sin )]('')([xdx x f x f ，求f(0)。
2005年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、D2、B3、C4、C5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6、1；7、0；8、98-9、2e 10、)(22c x e x +- 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11、解：1(22lim+-+∞→n n n n2111111111222limlim=+++-=+++-=∞→∞→nn n n n n n n n 12、解：202)1(ln limx dt t xx ⎰+→()'2'020)1(ln lim x dt t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰→ ()()021)1ln(22)1(ln 2)1(ln lim lim lim''22=++=+=+=→→→x x x x x x x x x13、解： ()'2'21ln 1(arctan '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x y ()()()232222222'22'221ln 1ln 122111221ln 1111111-=--+---=-------+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x 14、解法一：设22ln arctan),(y x xyy x F +-=，则 2222'22111),(y x xx y x y y x F x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x ++-= 2分5分5分2分2分5分2分222'221111),(yx yx x y y x F y +-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x +-= 故 ()(),,,''yx y x y x F y x F dx dyy x -+=-= （x ≠y ）。