圣维南原理

o
x
A
q y
[解 ]
分析：欲证明是否弹性力学解答，只需证明在弹性 体内部满足式(4),在应力边界上能够满足式(5) 1） 将这组应力分量代入式（4），式（4) 中三式恒满足
2） 再考察边界条件，取边界上A点，有
X q cos , Y q sin
y
l cos , m cos(90 )
•使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛 盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不 能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入 现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
弹性力学求解方法
应力求解： 应力
物理方程
（ 4）
x y x 0 x y x y y 0 x y
(a)
由第一式
( yx ) x x y
引入函数A, 使 (b)
A A x , yx y x
由第二式

y
y

( xy ) x
弹性力学解 （ 4） 弹 性 力 学 问 题 解
应力边界条件百度文库
l x m yx X l xy m y Y
（ 5）
式（4）
式（5）
充分且必要条件 弹性力学问题解答
例 如图所示薄片，周边作用有法向均布荷载q, 不计体力，试证明下列一组应力分量是本问题 的解答。 q, q, 0 x y xy
将式(a)代入平衡方程，化简有
（a）
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
小结：
应力解法 应力函数解法
x
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 (
x
2 Xx y 2

y ) 0
x
y
(6)
xy
式（6）等价于平衡方程， φ称为应力函数
将（6）式代入（4）的第三式
2 2 2 2 x 2 y 2 x 2 y 2 0
或写成
(7)
0
2 2
应力函数表示的协调方程
双调和方程
(e)
如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平 衡方程还必须加上一组特解，即
x Xx, y Yy , xy 0
(f)
最后得到构成满足满足平衡方程的通解为：
2 Xx 2 y 2 Yy 2 x 2 xy
2 y Yy x 2 2 xy xy
2 2 0
应力边界条件
几点讨论： （1） 应力解答σx 、 σy 、 τxy在体积力为 常量时与材料性质无关。
光弹性实验的理论基础
研究大坝的应力分布常常用石膏材料或光学 性能好的环氧树脂，而不用混凝土材料
（2）应力函数物理意义

h
( yx )
y 0
dx P cos
可见，与前面结果相同。
§2-8 平面问题应力解法
上节回顾 应力解法 应力函数
上节回顾
平衡方程 基本方程 几何方程 物理方程 位移边界 边界条件 应力边界 混合边界 弹性力学问题的解
基本方程
1、平衡方程
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y
X Y x y x 2 y 2 ( x y ) (1 )
2 2
(1)
平面应力情形
控制方程
μ
μ/1-μ
平面应变情形
控制方程
1 X Y ( ) x y x 2 y 2 1 x y
x
（2-19）
xy
E xy 2(1 )
将几何方程代入，有
E u v x 2 1 x y E v u y 2 1 y x E v u xy 2(1 ) x y
2 2
(2)
•当体力为常力，则式（1）和式（2）可写成：
x 2 y 2 ( x y ) 0
2 2
(3-a)
•或用拉普拉斯算子写成：
( x y ) 0
2
（3-b)
把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有：
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
次要边界
例
图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
yx
y
左侧面：
X Y 0 代入应力边界条件公式
l 1, m 0
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
右侧面：
x x h 0 0 xy x h
2、几何方程

u x x v y y v u xy x y
2 2 2 x y xy 2 2 x xy y
3、物理方程
x
1 ( x y ) E 1 ( y x ) y E xy xy G
y y 0
dx P sin
MO 0

h h y
h xdx P sin 0 y 0 2

F
x
h ( y ) xdx P sin h y 0 2
h
x

yx
P
0

h h
h
yx
y 0
dx P cos 0
y
y

要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则3个 应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分 别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得

2 y
xy x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy
2 2 2
•变形协调方程的数学意义
分析：量纲为[N]，在平面问题中，边界面力 [NL-2]，集中力[NL-1] ，弯矩[N]，
应力函数是对平面内某一点的矩。
(3). 应力函数 ( x, y ) 求解方法
逆解法
半逆解法
§2-9 按位移求解平面问题
1. 按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
E ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
应变协调方程


数学意义：
几何方程——3个应变分量通过2个位移分量描述


力学意义——变形连续
弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形 的约束
•应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。
• 例 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求 其位移。 • 解： u 3 2
§2-7 圣维南原理
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 形变分量、位移分量完全满足8个基本 方程相对容易，但要使边界条件完全满 足，往往很困难。
如图所示，其力的作用点处的边界 条件无法列写。
P
P
P
1. 静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为 静力等效力系。 R Fi M O mO ( F )
0
x
xy
yx
A
Y
代入应力边界条件，有 l x m yx q cos 0 X
l x y m y 0 q cos(900 ) Y

X
q
n
证毕
应力函数
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
P P/2
P A P A
P
3.圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： A 主要边界 B
P
P A
2 2 2
利用平衡方程式消去上式的 xy
xy
x X 2 2 2 y X Y y x x xy 2 2 2 xy y xy x y x y Y x y
移项，展开，化简后，最后可得：
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则3个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
i
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.圣维南原理
(Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
引入函数B, 使 (c)
B B y , xy x y
A B , x y
再引入函数υ, 使
(d)
A ,B y x
（d）代入（b)、（c）式，得到：
2 2 2 x 2 , y 2 , x y , y x xy
几何方程
应变
协调条件
位移
位移求解： 位移
几何方程
应变
物理方程
应力
应力解法
未知数3个σx、σy、τxy，须联立平衡方程与 变形协调条件，以平面应力问题为例， 将虎克定律代入应变协调条件得到：
xy ( x y ) 2 ( y x ) 2(1 ) 2 y x xy
对O点的力矩等效：
l 1, m 0 X y, Y 0
x x h y xy x h 0 上端面：
y方向力等效：
代入应力边界条件公式，有

h
h
( y )
y 0
xdx P h sin
2
x方向力等效：
为次要边界，可由圣维南原理求解。

h
h
( yx )

h
h
( y )
注意：
y 0
dx P sin
y , xy
y 0
dx P cos
必须按正向假设！
上端面： （方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0

h h y
y 0
dx P sin 0

h h