§1整数规划的特点及作用
运筹学 整数规划
该问题的图解如下所示，
x2 4x1+40x2=140
(2.44,3.26)
2x1+3x2=14.66
3
2 (4,2)
1 2x1+3x2=14
0
1
2
3
4
x1
2x1+3x2=6
性质:
任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小 于或等于相应的线性规划的最大目标函 数值；
任何求最小目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最小目标函数值大 于或等于相应的线性规划的最小目标函 数值。
L2 : max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
s.t. x1 0.5x2 4.5 x2 3 x1 0
求得L1的最优解为（3.5，2），z=14.5。L2 的最优解为（2.5，3），z=13.5。均非原问题的
最优解，选取边界较大的子问题L1继续分枝。
L11 : max z 3x1 2x2
试确定集装箱中托运甲、乙货物的件数，使托运利润最大。
例2.某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及托 运所受限制入下表所示。甲种货物至多托运4件， 问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 （立方英尺）
195 273 1365
每件重量 （百千克）
如果所有子问题的最优解均非原问题的可行 解，则选取其边界值最大（求极大时）或最小 （求极小时）的子问题进一步再细分成子问题求 解。
本例中L0的最优解均不是整数，从中任选一 个，设选x2进行分枝，分成两个子问题L1和L2：
L1 : max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
整数规划特点
第二章整数规划§1概论1.1定义规划中的变量(部分或全部)限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中, 变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类: 1。
变量全限制为整数时，称纯(完全)整数规划。
2°变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
3°变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
整数规划特点(i)原线性或划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况:①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为min z = X, + x2s.t. 2xj + 4X2 =5, >0, x2 >0其最优实数解为：= 09x2 =：,minz =：。
③有可行解(当然就存在最优解)，但最优解值一定不会优于原线性规划的最优值。
例2原线性规划为min z = Xj +改s.t. 2xj + 4X2= 6, x} > 0, x2 > 03 3其最优实数解为：=09X2 =-?minz = - O若限制整数得：Xj =1,工2 =Lmin z = 2。
(ii)整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3求解方法分类：(i)分枝定界法一可求纯或混合整数线性规划。
(ii)割平面法一可求纯或混合整数线性规划。
(iii)隐枚举法一求解“0・1”整数规划：①过滤隐枚举法；②分枝隐枚举法。
(iv)匈牙利法一解决指派问题(“0・1”规划特殊情形)。
(v)蒙特卡洛法一求解各种类型规划。
下而将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2分枝定界法对有约束条件的最优化问题(其可行解为有限数)的可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z变量xi 称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
lingo整数规划
lingo整数规划整数规划是运筹学中的一种优化方法，用于解决决策问题中存在离散决策变量的数学规划问题。
在整数规划中，决策变量的取值只能是整数。
整数规划的应用非常广泛，包括生产计划、资源分配、货物运输等领域。
下面将介绍一些与整数规划相关的术语和技巧。
1. 最优解：整数规划的目标是找到使目标函数最大或最小的整数解。
最优解指的是在满足约束条件的前提下，使目标函数的取值达到最优的决策变量取值。
2. 整数线性规划：整数线性规划是整数规划的一种特殊情况，其中目标函数和约束条件都是线性的。
3. 整数非线性规划：整数非线性规划是整数规划的另一种形式，其中目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的。
4. 分枝定界法：分枝定界法是求解整数规划问题的一种常用方法。
它通过将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解。
5. 割平面法：割平面法是求解整数规划问题的另一种方法。
它通过加入额外的线性不等式约束，逐步削减可行解空间，直到找到最优解。
6. 整数规划松弛：整数规划松弛是指将整数规划问题中的整数约束条件松弛为连续变量的约束条件，从而将整数规划问题转化为线性规划问题。
7. 整数规划可行解：整数规划问题的可行解是指满足所有约束条件的整数取值。
8. 整数规划解的整数性：整数规划解的整数性是指整数规划问题的解是否满足整数约束条件。
9. 混合整数规划：混合整数规划是一类更一般的整数规划问题，其中决策变量可以是整数或连续变量。
10. 整数规划的应用：整数规划在各种领域中都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、货物运输等。
通过合理的建模和求解技巧，整数规划可以帮助企业优化决策，提高效益。
总之，整数规划是一种应用十分广泛的优化方法，通过对决策变量的整数约束进行建模，帮助解决实际问题中存在的离散决策变量的优化问题。
整数规划规划论
Xpress-Optimizer广泛应用于各种行 业，如金融、物流、能源和制造业， 用于解决复杂的优化问题。
06
整数规划的实际应用案 例
生产计划优化
要点一
生产计划
整数规划可以用于优化生产计划，通过合理安排不同产品 的生产数量、生产时间和生产顺序，降低生产成本，提高 生产效率。
要点二
资源分配
整数规划还可以用于优化资源分配，例如合理分配人力、 物料、设备等资源，确保生产过程的顺利进行，同时避免 资源的浪费。
物流与运输优化
路径规划
整数规划可以用于优化物流和运输过程中的路径规划， 通过选择最短或最优路径，降低运输成本和时间。
车辆调度
整数规划还可以用于优化车辆调度，例如合理安排车辆 的出发时间、行驶路线和装载量等，以提高运输效率和 服务质量。
金融投资组合优化
投资组合选择
整数规划可以用于优化金融投资组合的选择，通过合 理分配资金到不同的投资品种，实现风险和收益的平 衡。
整数规划理论
目录
• 整数规划简介 • 整数规划的基本概念 • 整数规划的算法 • 整数规划的优化方法 • 整数规划的软件工具 • 整数规划的实际应用案例
01
整数规划简介
定义与特性
定义
整数规划是一种数学优化方法，旨在 找到满足一系列约束条件的最大化或 最小化的整数值。
特性
整数规划的主要特性是要求决策变量 取整数值，这使得它在处理某些问题 时具有独特的优势，例如资源分配、 排程和布局问题等。
CPLEX
概述
CPLEX是IBM出品的一款商业优化软件，用于解决线性规划、混合整数规划和其他优化 问题。
特点
CPLEX提供了强大的求解器，支持大规模问题，具有高度的可靠性和稳定性。它提供了 广泛的算法和功能，支持多种编程语言和平台。
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming ）:在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划（pure integer linear programming ）:指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时,也称为全整数规划.2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划（zero —one integer liner programming ）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi 称为0-1变量，或称为二进制变量.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable ），常被用来表示系统是否处于某一特定状态,或者决策时是否取某个方案。
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
线性规划与整数规划及其应用研究
线性规划与整数规划及其应用研究线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具。
线性规划是一种用于优化线性目标函数的方法，它在约束条件下寻找一组变量，使得目标函数达到最大值或最小值。
整数规划则是对线性规划做了一些限制，要求变量只能取整数值。
线性规划的应用非常广泛，例如在金融领域中，常用线性规划来优化投资组合，以达到最大化收益和最小化风险的目的。
在制造业中，线性规划可以用来规划生产计划，以最小化成本，同时满足产品需求和资源限制。
在运输和物流中，线性规划也常用于优化运输成本和货物配送计划。
整数规划则更加适用于那些需要做出离散决策的问题。
例如在生产计划问题中，需要确定生产多少个产品，这种情况下整数规划就非常有用了。
整数规划还可以用于解决一些NP-hard难题，例如在路线规划问题中，需要列出旅游路线以最小化时间或成本，但考虑到可能存在多条路线，这种问题需要运用整数规划来求解。
在实际应用中，线性规划和整数规划通常需要结合其他优化算法和工具来使用。
例如，在生产计划中，除了运用整数规划外，还需要考虑到物料采购、人员排班等其他因素，这时就需要研究者利用不同的优化算法来解决综合问题。
除了以上应用，线性规划和整数规划还可以应用于其他领域，例如供应链管理、网络设计、能源管理和金融学等领域。
这些领域中都有需要优化的问题，线性规划和整数规划都能成为有效的工具来提供最优解决方案。
需要注意的是，线性规划和整数规划并不是完美的，它们也有一些局限性。
例如，在处理大规模复杂问题时，线性规划和整数规划可能需要花费较长时间来求解，或者无法找到最优解；此外，线性规划无法处理非线性目标函数，而整数规划则只适用于整数变量，因此在实际应用中，需要评估问题的特性和规模，选择合适的数学方法来求解。
总之，线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具，它们的应用范围广泛，可以提供有效的优化解决方案。
在实践中，需要根据问题的特性和规模选择合适的数学方法。
如今，随着机器学习和人工智能的快速发展，运筹学的未来也将更加广阔和充满挑战。
整数规划简介
4.1
整数规划的数学模型
4.2
分枝定界法
4.3
指派问题
4.4
指派问题的Excel处理
4.1 整数规划的数学模型
4.1.1 案例
• 例4.1 某厂生产A、B两种产品，这两种 产品的单位利润分别为25元和40元。
• 生产每种产品都需要3道工序，其各种产 品的工时（单位：时）、每一工序每周可 供使用的时间如表4.1所示，问工厂如何安 排生产，使其获利最大？
4.1.2 整数规划数学模型的一般形式
• 整数规划数学模型一般可以表示如下：
• 式中opt即optimize（最优化）的缩写，根 据问题要求不同，可以表示为max（最大化） 或min（最小化）。
• 整数规划可分为以下3种类型。
（1）纯整数规划（pure integer linear programming）
• 例如，所求解是机器的台数、工人的人 数或装货的车数、场址的选定等，都必须 部分或者全部满足整数要求，这样的问题 称为整数线性规划问题，简称为整数规划， 记为ILP。
• 整数规划的应用范围是极其广泛的，它 不仅在工业、工程设计和科学研究方面有 许多应用，而且在计算机设计、系统可靠 性、编码、经济分析等方面也有新的应用。
• 因此不能简单地将松弛问题的最优解舍 入化整（如四舍五入），得出整数规划的 最优解。
• 通过仔细分析，从图4.1可知，整数规划 问题的可行解集是相应的线性规划问题的 可行域内的整数格子点，它是一个有限集。
• 因此，我们可以用另一种方法进行讨论， 即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数值的大小，从而得到最优解。
• 在这类决策问题中，问题是在“要”或 者“不要”之间进行选择，我们可以令决 策变量是整数，且只取0或1，分别表示不 投资或者投资。
第2章整数规划
C=（ cij ）称为指派矩阵
上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示，其每 行每列均有且只有一个元素为 1，其余元素均为 0
指派问题的求解可以使用匈牙利算法，或拍卖算法 等算法。
2.4 指派问题的计算机求解
对于一般的整数规划问题，无法直接利用 Matlab 的 函数。但对于指派问题等0 1整数规划问题，可以直接利 用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解，但使用 Matlab 软件 求解数学规划问题有一个缺陷，必须把所有的决策变量化 成一维决策向量，实际上对于多维变量的数学规划问题， 需要做一个变量替换，变量替换后，约束条件是很难写的。
2.2 0 1型整数规划
0 1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变 量 x j仅取值 0 或 1。这时 x j称为0 1变量，或称二进制 变量。
x j仅取值 0 或 1 这个条件可由下述约束条件 0 x j 1，且为整数，
所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
2.2.1 相互排斥的约束条件
x1 0 或 500 x1 800， 可改写为
500 y x1 800 y, y 0或1.
2.2.2 关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem） 在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。 那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必 明显列出。但有些固定费用（固定成本）的问题不能用 一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决， 见下例。
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0, 当采取车运方式时
则上述约束条件可改写为 5x1 4x2 24 yM , 7 x1 3x2 45 (1 y)M , y 0或1.
其中 M 是充分大的数。
推广
如果有 m 个互相排斥的约束条件
整数线性规划理论(优选.)
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整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
运筹学 第五章 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 0－1 整数规划 指派问题
1 2022/1/24
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，
x2
⑴
⑵
3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，
它们都不可能是整数规划的最优 3 解。
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
x2
找到整数解，问题已探明，此
枝停止计算。
3
同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即:
x1＝2, x2 =10/3,
Z(2)＝－56/3≈－18.7
1
∵Z(2)< Z(1)＝－16
∴原问题有比－16更小的最优
解，但 x2 不是整数，故继续 分支20。22/1/24
⑵ ⑴
A(18/11,40/11)
5
x1
x1
6x2 30 4
LP
2022/1/24
x1 , x2 0
17
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8)
整数规划的应用研究
整数规划的应用研究什么是整数规划整数规划是指一类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学规划。
是近三十年来发展起来的、规划论的一个分支. 整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性规划或非线性规划问题。
一般认为非线性的整数规划可分成线性部分和整数部分，因此常常把整数规划作为线性规划的特殊部分。
在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求解答必须是整数。
例如，所求解是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。
在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。
整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。
整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。
解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。
对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。
通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。
随即，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。
目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。
0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题。
求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
整数规划与组合最优化的关系整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定标准的最好方案。
有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。
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2、 约束条件的右端可能是r个值中的某一个
a
j 1
n
ij
x j b1 or b2 ... or br
定义
1 约束右端项为bi yi 0 否则
aij x j bi yi i 1 j 1 y y ... y 1 1 2 r
n r
第四章 整数规划与分配问题
•§1.整数规划的的特点及作用 •§2.分配问题与匈牙利法 •§3.分枝定界法
§1.整数规划的特点及作用
• 整数规划数学模型的一般形式
一部分或全部决策变量取整数值的规划问题 ——整数规划 整数规划中不考虑整数条件是对应的规划问题 ——该整数规划的松弛问题 松弛问题为线性规划的整数规划问题 ——整数线性规划
• 整数规划的例子
– 例2：某服务部门各时段（每2小时为一时段） 需要的服务员人数见下表。按规定服务员连续 工作8小时为一班。现要求安排服务员的工作 时间，使服务部门服务员总数最少。
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
服务员 10 最少人数
8
9
11 13 8
5
3
解：设在第j时段开始上班的人数为x j ，则
min z x1 x2 x3 x4 x5 x1 10 x1 x2 8 x1 x2 x3 9 x1 x2 x3 x4 11 x2 x3 x4 x5 13 x3 x4 x5 8 x4 x5 5 x5 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且为整数
整数规划 最优解
A3
A
*
B
0 1 2 3 4 5 6 7
C 8
逻辑变量在整数规划建模中的作用
1、m个约束条件中只有k个起作用。
a
j 1
n
ij
x j bi
(i 1, 2,..., m )
定义
1 第i个约束不起作用 yi 0 否则 则上述条件可Myi j 1 y y ... y m k 2 m 1
j 1
则目标函数可以表示成 min z (c x K y ) j j j j
j 1
n
x j My j s .t . x j 0 y j 0,1
2. 整数规划问题的特征与性质 特征—变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可行域是离散集合
4 用以表示含固定费用的函数
K j c j x j ( x j 0) 总费用 C j ( x j ) ( x j 0) 0 n 目标函数是总费用最小min z C j ( x j )
定义
1, x j 0 yj 0, x j 0
整数线性规划的几种类型
• 纯整数线性规划 • 混合整数线性规划 • 0-1型整数线性规划 例如选择投资项目问题（0-1规划问题）
• 整数规划的例子
– 例1：求下述整数规划问题的最优解：
Maxz 3x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0且 取 数 均 整 值 1 2
• 解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者 的最优解的目标函数值不会优于后者的。 例：考虑下面的整数规划问题
max z x1 4 x2 2 x1 3 x2 3 s.t x1 2 x2 8 x , x 0且取整数 1 2
从图上分析：
A1
P
A2 A4
则上述条件可以表示成
3、 两组条件中满足其中的一组 若 x1 4, 则 x2 1，若 x1 4, 则 x2 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi 0 第i组条件起作用
i=1,2
则问题可以表示为 x1 4 y1 M x2 1 y1 M x1 4 y2 M x 3 y M 2 2 y1 y2 1
• 整数线性规划一般形式：
max(min) z c j x j
j 1 n
n
( a )
(b) aij x j ( , )bi j 1 (c ) xj 0 x , x , , x 中部分或全部取整数 ( d ) n 1 2