运筹学总复习同济资料

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运筹学复习资料资料讲解

运筹学复习一、填空题1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线.2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则3、对偶问题为最小化问题。

m n个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。

4、在运输问题模型中，15、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。

6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题；7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。

8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。

9、一个无圈且连通的图称为树。

10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法．11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低．12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。

13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量．14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题．15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高．16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法．17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个．18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题．19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k）变量，正确选择状态（Sk）变量，正确选择_ 决策（UK）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程．20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图．21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。

运筹学本(复习资料)

《运筹学》课程复习资料一、判断题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。

[ ]2.线性规划问题的每一个基本解对应可行解域的一个顶点。

[ ]3.任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。

[ ]4.已知y i*为线性规划的对偶问题的最优解，若y i*＞0，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。

[ ] 5.运输问题是一种特殊的线性规划问题，因而其求解结果也可能出现下列四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。

[ ]6.动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。

[ ]7.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。

[ ]8.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。

[ ]9.对于原问题是求Min，若第i个约束是“＝”，则第i个对偶变量yi≤0。

[ ]10.用大M法或两阶段法单纯形迭代中若人工变量不能出基(人工变量的值不为0)，则问题无可行解。

[ ]11.如图中某点vi 有若干个相邻点,与其距离最远的相邻点为vj,则边[vi,vj]必不包含在最小支撑树内。

[ ]12.在允许缺货发生短缺的存贮模型中，订货批量的确定应使由于存贮量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。

[ ] 13.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。

[ ] 14.在线性规划的最优解中，若某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，改变其价值系数cj，反映到最终单纯形表中，除xj的检验数有变化外，对其它各数字无影响。

[ ]15.单纯形迭代中添加人工变量的目的是为了得到问题的一个基本可行解。

[ ]16.订购费为每订一次货所发生的费用，它同每次订货的数量无关。

[ ]17.一个动态规划问题若能用网络表达时，节点代表各阶段的状态值，各条弧代表了可行方案的选择。

运筹学期末考试复习资料

《运筹学》课程综合复习资料一、判断题1.求解LP 问题时，对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ，其中：0≥"'j j x x ，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0>"'j jx x 。

答案：错2．在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路。

答案：对3．在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有(){}()t n en t n t N P λλ-==!，则同一时间区间内，相继两名顾客到达的时间间隔是相互独立且服从参数为λ的负指数分布，即有()te t X p λλ-==.答案：对4.已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝０，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余。

答案：对5.用单纯形法求解单纯形表时，若选定唯一入基变量k x （检验数>0），但该列的1,2...m=i 0ik a ≤，则该LP 问题无解。

答案：对6.对偶单纯形法中，若选定唯一出基变量i x （i x <0），但i x 所在行的元素（系数矩阵中）全部大于或等于0，则此问题无解。

答案：对7.LP 问题的可行域是凸集。

答案：对8.动态规划实质是阶段上枚举，过程上寻优。

答案：对9.动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。

答案：对10.目标规划中正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。

答案：错11.LP问题的基可行解对应可行域的顶点。

答案：对12.若LP问题有两个最优解，则它一定有无穷多个最优解。

答案：对13.若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。

答案：对14.对偶问题的对偶问题一定是原问题。

答案：对15．对于同一个动态规划问题，逆序法与顺序法的解不一样。

《运筹学总复习》课件

应用领域：物流、供应链管理、路径规划等。
难点：计算复杂度高，难以找到最优解。
生产与存储问题
问题描述：生产与存储问题是指在给定时间内，如何安排生产计划和存储策略，以最小化生产成本和存储成本。经典模型：经济批量模型（EOQ）、生产存储模型（P-S模型）、生产存储模型（P-S模型）等。
求解方法：动态规划、线性规划、整数规划等。
非线性规划的求解方法：非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
整数规划
定义：整数规划是一种特殊的线性规划，其中所有变量都必须是整数
目标函数：整数规划的目标函数通常是线性的，表示为决策变量的线性组合约束条件：整数规划的约束条件通常是线性的，表示为决策变量的线性不等式或不等式求解方法：整数规划的求解方法包括分支定界法、割平面法、遗传算法等
MATL AB在运筹学中的应用包括优化问题、决策问题、
排队论等
Python在运筹学中的应用
Python语言简介：一种广泛应用于科学计算、数据分析和机器学习等领域的编程语言 Python在运筹学中的应用：可以用于求解线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学问题 Python库介绍：如scipy、numpy、pandas等，可以用于进行运筹学计算和可视化 Python代码示例：展示如何使用Python编写运筹学问题的求解代码
Gurobi优化器介绍与使用
Gurobi优化器是一款功能强大的优化工具，广泛应用于运筹学、数学规划等领域。
Gurobi优化器支持多种编程语言，如Python、C++、Java等，方便用户进行编程实现。
Gurobi优化器提供了丰富的优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划等，满足不同问题的求解需求。

《运筹学》复习资料整理总结

《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。

确定决策变量确定目标函数确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。

都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。

问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。

问题中用一组决策变量来表示一种方案。

3. 线性规划问题标准型的特征。

4. 化标准型的方法。

123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。

6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。

7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。

8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。

9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。

10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。

（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。

（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。

（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。

运筹学复习资料资料讲解

4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。

5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。

8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。

9、一个无圈且连通的图称为树。

13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量．14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题．15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高．16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法．17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个．18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题．19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程．20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图．21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。

运筹学复习资料(1)

运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。

其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。

无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。

有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。

线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。

单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。

换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。

检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。

要求检验数全部小于等于零。

“当x 1由0变到45/2时，x 3首先变为0，故x 3为退出基变量。

”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。

这里，x 1为进基变量，x 3为出基变量。

将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。

单纯型原理的矩阵描述。

在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m 矩阵与其最初的那一列向量的乘积。

最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。

这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。

但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。

解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。

运筹学-总复习(整理全部重点题目)-

《管理运筹学》总复习第一天：1)（★★★★★）课本Page59第5题（租赁问题）：某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。

已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：设第个月签订的打算租用个月合同仓库面积为，那么这个月共有可能有如下合同：第一个月：第二个月：第三个月：第一个月：因此目标函数为：约束条件为：2)（★★★）讲义Page8例1（人力资源问题）：福安商场是个中型百货商场，他对销售员的需求经过统计分析如下表。

为了保证售货人员充分的休息，售货人员每周工作5天，休息2天，并且要求休息的两天是连续的。

问如何安排售货人员的工作作息，才能做到既满足工作需要，又使配备的工作人员最少？解：设在星期开始休息的人数为，表示星期一到星期日那么，目标函数为：约束条件为：周一：周二：周三：周四：周五：周六：周日：非负约束：3)（★）【据说出题时会和整数规划相融合】讲义Page10例5（投资问题）：某部门现有资金200万，今后五年内考虑给以下项目投资。

已知，项目A：从第一年到第五年都每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年都每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万；项目C：需在第三年初投资，第五年末收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万；项目D：须知第二年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万；据测定每万元每次投资的风险指数如下表：1)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？2)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万的基础上使得其投资总的风险系数最小？解：设第年初投资在项目上的金额为，其中，。

第一年初：，，不能浪费资金，所以有，第一年年末收回：第二年初：，，，用第一年年末的收回投资，所以有：，第二年年末收回：第三年初：，，，用第二年年末收回投资，所以有：，第三年年末收回：第四年初：，，用第三年年末收回进行投资，所以有：，第四年年末收回：第五年初：用第四年年末回收进行投资，所以有：，第五年年末收回：同时，根据项目的要求，有：第（1）问答如下：目标函数为：约束条件为：第（2）问答如下：目标函数为：约束条件为：4)（★★★★）讲义Page11分析讨论题3（工厂布局问题）：设有某种原料产地A1,A2,A3，把这种原料经过加工，制成成品，再运往销地。

《运筹学》复习资料

《运筹学》复习资料注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）（一）多选题1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC）A决策变量 B约束条件 C目标函数 D 价值向量★考核知识点: 线性规划模型的构成.（1.1）附1.1.1（考核知识点解释）：线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。

例如决定企业经营目标的各产品的产量等。

（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。

例如利润最大、成本最小等。

（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。

如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。

2．下面关于线性规划问题的说法正确的是（AB）A．线性规划问题是指在线性等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。

B．线性规划问题是指在线性不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。

C．线性规划问题是指在一般不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。

D．以上说法均不正确★考核知识点: 线性规划模型的线性含义.（1.1）附1.1.2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。

3．下面关于图解法解线性规划问题的说法不正确的是（ BC ）A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量的线性规划B 图解法适用于两个或两个以上决策变量的线性规划C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解D 以上说法A正确，B，C不正确★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）附 1.1.3（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.4．在下面电子表格模型中，“决策变量”的单元格地址为（ AB ）A . C12B . D12C . C4 D. D4★考核知识点: 电子表格中如何建立线性数学模型. （1.3）附1.1.4（考核知识点解释）：电子表格中的数学模型的建立：（1）要做出的决策是什么？（决策变量）；（2）在做出这些决策时有哪些约束条件？（约束条件）；（3）这些决策的目标是什么？（目标函数），将对应的问题数据放在相应的电子表格中即可.5．通常，在使用“给单元格命名”时，一般会给（ABCD ）有关的单元格命名A 公式B 决策变量C 目标函数D 约束右端值★考核知识点: 给单元格命名的原则. （1.3）附1.1.5（考核知识点解释）：给单元格命名的原则：一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。

运筹学复习资料

运筹学复习资料
运筹学是数学和计算机科学的一个分支，旨在寻找最佳决策和优化问题的解决方案。

以下是有关运筹学的复习资料：
1. 模型建立：在运筹学中，解决问题的第一步是建立数学模型。

数学模型是指将实际问题抽象为数学语言，建立相应的数学方程式，使之成为可计算的问题。

在建模时需要明确问题目标、约束条件等。

2. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，其目标函数和约束条件都是线性的。

采用单纯形法、内点法等算法可以求得最优解。

常见应用包括生产计划、库存管理等方面。

3. 整数规划：整数规划针对决策变量必须为整数这一特殊问题，增加了解整数约束条件的限制，采用分支定界法、割平面法等算法进行求解。

常见应用包括制造业需求计划、网络设计等方面。

4. 动态规划：动态规划和线性规划不同，其适用于序列决策问题，采用递推式方法实现求解。

常见应用包括背包问题、任务调度等方面。

5. 随机规划：随机规划引入随机变量，结合概率模型，可对不确定因素进行分析。

常见应用包括金融风险管理、供应链问题等方面。

6. 对策论：对策论是一种博弈论，面对竞争环境下的决策，需要考虑对手的策略，采用最小最大原则求解博弈双方的最佳决策。

常见应用包括竞价拍卖、垄断竞争等方面。

运筹学是实际问题求解的一种强有力的工具和方法，深入了解运筹学的理论与方法对于提高问题求解的精度、效率具有重要意义。

运筹学复习资料

max 9x1+4x2+x3
!总利润最大化
st
4x1+2x2+5x3<38
!原料约束
2x1+x2+3x3<26
!排放污染约束
30x1+10x2+20x3>100 !销售总额约束
x1+x2+x3>18
!总产量约束
end
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
z x1 x2 x3 x4 RHS z 1 -4 0 -1 0 -12 x2 0 1/2 1 1/2 0 6 x4 0 3/2 0 -1/2 1 12
最优解为：(x1, x2, x3, x4)=(0,6,0,12)，min z=-12
对偶单纯形法的例子
min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12
C点对应的解，基变量为（ x2 x3 x5 ），非基变量为（ x1 x4）。
x2
4H
x4=0
3
F G x5=0
E
B
2 x1=0
1C
x3=0
D
x2=0
A x1
O1 2 3 4
A不是可行解，是由于变量（ x4
）< 0。
G不是可行解，是由于变量（ x3
）< 0。
满足 x1，x2，x3，x5≥0，x4≤0 的区域是（ OABC）。
约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。
min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12
2x1+ x2≤18 x1,x2≥0

运筹学期末复习资料1

二,单纯形法举例 maxZ=2x1+3x2 x1+2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 xj ≥ 0
三,最优性检验与单纯形表 1.最优性检验最优性定理:对某基可行解(XB,0…0),
若最优解.
无界解定理:若对某可行基B,存在σk＞0, B-1 pk ≤0,则该线性规划问题无界解.
2 x1+2x2 ≤ 12 x1+2x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 例2.maxZ= 2x1+x2 3x1+5x2 ≤ 15 6x1+2x2 ≤ 24 xj ≥ 0
第二节线性规划问题的几何意义基本概念 1.凸集:设k是n维空间的一个点集,若任意两点x(1) ∈ k, x(2) ∈ K的连线上的一切点α x(1) + (1-α) x(2) ∈ k,则称 k为凸集. 2.结论:线性规划问题的可行域是凸集. 凸集的每个顶点对应一个基可行解.若线性规划问题有最优解,必在可行域某顶点上达到.
四,线性规划问题的标准型 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 …… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj≥0
用向量和矩阵表示设C=(c1, c2, c3,…, cn) X=(x1, x2, x3,…, xn)′ pj= (a1j, a2j, a3j,…, amj)′ b= (b1, b2, b3,…, bm)′ A= a11, a12, a13,…, a1n a21, a22, a23,…, a2n am1, am2, am3,…, amn = (p1, p2, p3,…, pn)

运筹学期末考试复习资料

1.最小费用最大流例1 求下图所示网络中的最小费用最大流,弧旁的权是（bij，cij）。

解：(1）取初始可行流为零流f（0)=｛0}，构造赋权有向图M（f（0)),求出从vs到vt的最短路(vs，v2，v1，vt）,如下图中双箭头所示。

（2）在原网络D中，与这条最短路相对应的增广链为μ=(vs,v2,v1,vt）。

(3）在μ上对f（0)={0｝进行调整，取θ=5，得到新可行流f（1），如下图所示。

按照以上的算法,依次类推，可以得到f（1)，f（2)，f(3），f(4），流量分别为5，7，10，11，并且分别构造相对应的赋权有向图M（f（1)）,（Mf（2))，（Mf(3）)，(Mf（4)）由于在Mf(4）中已经不存在从vs到vt的最短路，因此，可行流f(4)，v（f(1))=11是最小费用最大流。

2.灵敏度分析(1）资源数量br 变化的分析最优单纯形表如下这里B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0125.0-5.015.02-025.00求b2的增量br 变化范围：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=168160.12520.54-0.254-a b -1所以b2的增量br 变化范围是[-8，16］，显然b2的变化范围是[8，32］。

（2）目标函数中价值系数cj 的变化分析1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析例 Max z = —2x1 — 3x2 — 4x3 S 。

t. —x1—2x2-x3+x4 = - 3 —2x1+x2—3x3+x5 = — 4x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0 求C3的变化范围？解：最优单纯形表从表中看到可得到Δc3 ≤ 9/5 时，c3 ≤ -4+9/5=-11/5原最优解不变。

2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析例 Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5s.t 。

x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0解：下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化σj=cj-（c1×a1j+c5 × a5j+（c2+Δc2)×a2j ）j=3，4可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。

运筹学复习资料

运筹学复习资料导言：运筹学是一门研究管理、决策和规划问题的学科，使用数学、统计学和计算机科学等工具和技术来解决实际问题。

在现代社会中，运筹学在各个领域都有广泛的应用，包括制造业、物流管理、供应链管理、信息技术等。

本文档将介绍运筹学的基本概念、方法和应用，以帮助读者复习和理解该学科。

一、运筹学的概述1.1 定义和背景运筹学是一门综合性学科，旨在解决实际问题和优化决策。

它结合了数学、统计学和计算机科学等多个领域的方法和技术，可以帮助决策者做出最佳的决策。

1.2 运筹学的历史运筹学的起源可以追溯到第二次世界大战期间，当时运筹学的方法和技术被用于军事决策和规划。

随着计算机的发展和应用，运筹学得到了快速发展，并在各个领域都得到了广泛应用。

二、线性规划2.1 线性规划的基本概念线性规划是运筹学中最重要的方法之一，其基本思想是通过数学模型来描述和解决实际问题。

线性规划的目标是寻找一个最优解，使得目标函数最大或最小，同时满足一系列约束条件。

2.2 线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要有图形法和单纯形法两种。

图形法适用于二维规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来找到最优解。

而单纯形法适用于高维规划问题，通过迭代计算来找到最优解。

三、网络优化3.1 网络的基本概念在运筹学中，网络是指由节点和弧组成的图形，用于描述和解决一系列连接和流动问题。

节点表示供应点或需求点，弧表示连接的路径。

网络优化的目标是寻找最佳的路径和流量分布。

3.2 最小生成树算法最小生成树算法是网络优化中常用的一种算法，用于寻找一个连通图的最小生成树。

最小生成树算法主要有Prim算法和Kruskal 算法两种，可以有效地减少路径的总长度。

四、整数规划4.1 整数规划的概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其变量需要取整数值。

整数规划适用于某些决策变量只能是整数的问题，如分配问题、路径选择问题等。

4.2 整数规划的求解方法整数规划的求解方法主要有分支定界法和割平面法两种。

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一、某钢筋车间要制作一批钢筋（直径相同），长为3m 的要90根，长为4m 的要60根。

已知原材料长10m 长，问如何下料，可使所用原材料最省(建立线性规划模型，不求解)。

二、用大M 法或两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤+≥++++=0,0,016284204242242max 32132121321321x xx x x x x x x x x x x x Z三、已知线性规划问题为（15分）：123123123123123m ax 152055556631070,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥⎩无约束其最优解为119(,0,)44TX =，试用对偶理论求其对偶问题的最优解。

四、求下列运输问题的最优调运方案和最小费用：五、用匈牙利法求解下列指派问题（目标函数为∑∑===ni nj ij ijx cZ 11min ）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡614181071313861612119201716六、求解下图所示网络中从V s 到V t 的最大流，并且给出一个最小截集，每条弧旁的数字为),(ij ij f c 。

七、某厂对某种材料的全年需求量为1040吨，其购价为每吨1200元，每次订货费为2040元，每年每吨的保管费为170元。

（1）试求最佳订货批量及年最小费用；（2）若允许缺货，且知缺货损失费为每吨每年500元，求最佳订货批量及年最小费用。

八、用破圈法或避圈法求下图中的最小树：V sV 2V 4V 1V 3V 5V t（8，6）（14，10）（5，3）（6，6）（8，7）（3，3）（4，1）（10，3）（3，1）（7，7）（6，6）（3，0）V 1V 2V 3V 4 V 6V 7 15 2 38 42 12 973 V 5答案：一、【解】标准化和加入人工变量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=+-++-++=016284204242242max 7,,2,17321621543215321 x x x x x x x x x x x x x Mx x x x Z由于所有检验数小于或等于0，已得最优解：()TX 0,12,0,12,0,0,4=但由于非基变量X 3的检验数为0，所以本线性规划问题存在无穷多个最优解。

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《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题●基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。

标准形式：目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。

●数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。

在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。

第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。

● 练习题：1.某厂利用原料A 、B 生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件2.每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？（列出该问题线性规划模型，不求解）3.1231231231~3min 232315..25200w x x x x x x s t x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题：1231231231~3min 524324..635120w x x x x x x s t x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩第2章整数规划与分配问题● 0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握（1）多个取1：110, 1.nj j j x x ===∑，或（2）n 中取k ：10, 1.njj j xk x ===∑，或n 中至少取k ，改为10, 1.nj j j x k x =≥=∑，或n 中最多取k ，改为10, 1.nj j j x k x =≤=∑，或（3）变量取离散数值：111,01mi i i mi i i x c y y y ==⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑或（4）选甲必须选乙，选乙不一定选甲：,x x x x ≤乙乙甲甲,=0或1（5）两个约束条件只需满足一个：1211221212232101,,01x x y Mx x y M y y y y +≥-⎧⎪+≤+⎨⎪+==⎩或或12122(1)3210,01x x y M x x yM y +≥--⎧⎨+≤+=⎩或式中：M 为任意大正数（6）n 个约束条件中满足k 个：11(1,2,,)01mi j j i i j ni i i a x b y M i n y n k y ==⎧≤+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑∑或（7）若42≤x ，则05≥x ；否则42>x ，35≤x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤->-≥+≤My x M y x M y x M y x 252215123404，⎩⎨⎧==+1012,121y y y 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≤-->-≥+≤My x M y x yMx yM x )1(3)1(4045252⎩⎨⎧=10y（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选11x x x x x x x ⎧+≤⎪+≤⎨⎪⎩甲丙乙丙乙甲丙,,=0或1 （9）对0,0(),0x f x k cx x =⎧=⎨+>⎩当当可表述为： ()f x yk cxy Mx x My=+⎧⎪≤⎨⎪≤⎩匈牙利法步骤：1.从每行中减去最小数2.再从每列中减去最小数3.(1)先看行,从第一行开始,如该行只有一个0,给该0打Δ,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行;(2)再看列,如该列只有一个0,给该0打Δ,划去该0所在行,如无0或两个以上0,转下一列;(3)重复(1)(2),可能出现三种结局:a.有m个打Δ的0,令对应Δ号的xij=1,即为最优.b.存在0的闭回路.对闭回路上的0按顺时针编号,任取单号或双号打Δ,分别对打Δ的0都划去所在行(或都划去所在列)返回3(1)C.打Δ的0的数<m转44.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3 练习题：1．某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如表所示：要求：（1）投资额不超过5000万元；（2）至少安排150人员就业；（3）年利润额尽可能地多。

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增加一个变量增加变量 xn+1，由相应的Pn+1和cn+1计算： B-1Pn+1和n+1= cn+1 - ∑ci a’i n+1 填入最优单纯形表，若 n+1 ≤ 0 则最优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。
例2.8: ：假设在例1中，该厂除了生产产品
I和II外，还有一种新产品III。已知生产产品III每件需要消耗原材料A和B各为 6kg和3kg，使用设备2台时，每件可以获利5元，问该厂是否应当生产该产品和生产多少？
注意： x为列向量, y为行向量。
17
非对称形式的对偶规划
原问题（对偶问题）
max z = cx
对偶问题（原问题）
min w = yb
n 个变量
xj ≥ 0 xj ≤ 0
n 个约束
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≥ cj a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≤ cj
定理2.1 (弱对偶定理）若 x, y 分别为(LP)和(DP)的可行解，则 cx ≤ yb
22
推论若(LP)具有无界解，则(DP)无可行解。
注：反之则不一定成立。 (DP)无可行解，对应(LP)或有无界解，或无可行解
定理2.2 (最优性定理) 若x*, y*分别(LP)和(DP)的可行解，且 cx* = y*b, 那么x*, y*分别为(LP)和(DP)的最优解。
cB cB 0 xB xS b b xB B cB cN xN N cN 0 xS I 0
检验数行
经过若干次迭代
cB cB cB xB xB b B-1b xB I cN xN B-1N 0 xS B-1

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