运筹学总复习同济资料

x1 2x2 x3 4
x1 2x2 4x3 1
x1
x2
3x3
1
x1 0, x2 0, x3无约束
19
原问题的最优单纯形表中关于对偶问题 的最优解的信息：
(LP) max z = cx s.t. Ax ≤ b x≥ 0
(DP) min w =y b s.t. yA ≥ c y≥ 0
10
可行解
基解
Hale Waihona Puke Baidu
基可行解
可行解，基可行解，基解的关系
11
§3.3.线性规划基本性质（单纯形法理论基础）
定理1.1：若线性规划问题有可行解，则其可行 域{x | Ax = b, x ≥ 0} 是凸集（凸多面体）。
引理1.1：线性规划的可行解x = (x1, x2, …., xn) 为基可行解的充分必要条件是x的正分量所对应 的系数列向量是线性无关的。
I
检验数行
0
cN xN B-1N cN – cBB-1N
0 xS B-1 – cBB-1
21
对偶规划的性质和原理
定理2.0 (对称性） 对偶规划的对偶规划是原规划
定理2.1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为(LP)和(DP)的可行解，则
cx ≤ yb
22
推论 若(LP)具有无界解，则(DP)无可行解。
线性无关的向量，基解的个数不超过
Cnm
m! n!(n m)!
若最优解存在，目标函数的最优值必在可行域的某个 顶点上达到
14
初始可行解的获取 一般情况下初始基本可行解不明显。
通常用以下两种方法求初始可行解: 大M方法； 两阶段法。
15
单纯形法计算步骤小结
16
对偶问题的定义
对称形式：互为对偶
(LP) max z = c x s.t. Ax ≤ b x ≥0
max z = cx s.t. Ax ≤ b
x≥ 0
标准化
max z = cx + 0xs s.t. Ax + Ixs = b
x, xs ≥ 0
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（标准化）原问题的初始单纯形表
cB
cN
0
cB xB b
xB
xN
xS
0 xS b
B
N
I
检验数行
cB
cN
0
经过若干次迭代
cB
cB xB b
xB
cB xB B-1b
期末复习
1
线性规划 对偶规划 整数规划 运输问题 动态规划 图与网络 网络规划技术
2
线性规划数学模型的构成三要素
决策变量 目标函数
目标可以是最大化或最小化
约束条件
由不等式组或方程组构成
3
标准形式
目标最大化、约束为等式、决策变 量均非负、右端项非负。
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
对偶问题（原问题）
min w = yb n 个约束
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≥ cj a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≤ cj
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym = cj
m 个变量
yi ≥ 0
yi ≤ 0
yi 无约束
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(1) max z 3x1 x2 x3
注：反之则不一定成立。 (DP)无可行解，对应(LP)或有无 界解，或无可行解
定理2.2 (最优性定理) 若x*, y*分别(LP)和(DP)的可行解，且
cx* = y*b, 那么x*, y*分别为(LP)和(DP)的最优解。
23
定理2.3 (强对偶定理)
若(LP)和(DP)均可行，那么(LP)和(DP)均有最优解， 且最优值相等。
标准形式：用向量和矩阵表述
max z cx
s.t. Ax b
x0
其中 :
x x1, x2 , , xn T ,
a11
A
a21
am1
a12 a22
am 2
a1n
a2n
,
amn
b b1, b2 , , bm T , c c1, c2 ,
, cn .
5
小结
一般线性规划化为标准型
12
定理1.2：线性规划问题的基可行解对应于可 行域的顶点
定理1.3：若线性规划有最优解，则最优解必 在可行域的顶点达到。
13
小结
线性规划可行解的全体构成一个凸集，每个可行 解都对应这个凸集中的一点
每个基可行解对应于可行域的一个顶点。若可行 域非空则必有顶点存在，从而基可行解一定存在 。
一个基可行解对应着约束方程组系数矩阵中一组
6
续表
7
求解方法: 图解法 单纯形法
8
解的定义：
称如条件x果=。x(1x,1x, 2x,…2, …, x,nx满n)足为该线线性性规规划划的的一所个有可约行束解， 一个线性规划的全体可行解构成的集合，称 为该线性规划的可行域（集）。 在一个线性规划的可行域中，使得目标函数 达x的n*到解)称最）为大。该（线最性小规）划的的可最行优解解x（* =即( x该1*线, x性2*,规…划, 一个线性规划的最优解所对应的目标函数的 值z* = c1x1* +c2x2* +…+cnxn* 称为该线型规划 的最优值。
9
基：设A是约束方程组的m×n 阶系数矩 阵（设n>m），秩为m。B= (P1, P2, …, Pm) 是A中m阶非奇异子矩阵，则称B是线性 规划问题的一个基矩阵，简称基。B中的 列向量Pj 称为基向量，与基向量Pj对应 的变量xj称为基变量，其它变量称为非基 变量。令非基变量为0，则由Ax=b可求出 一个解，这个解x称为基解。满足非负条 件的基解称为基可行解。
Subject to
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ……
= b1 = b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
其中bi ≥0 ，i = 1, 2, …, m 4
(DP) min w = y b s.t. y A ≥ c y≥ 0
注意： x为列向量, y为行向量。
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非对称形式的对偶规划
原问题（对偶问题）
max z = cx n 个变量
xj ≥ 0 xj ≤ 0
xj 无约束
m 个约束
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≤ bi ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≥ bi ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi
定理2.4 (互补松弛定理)
若X*,Y*为最优解，Xs,Ys为原问题和对偶问题的松弛 变量，则有YsX*=0,Y*Xs=0
也即，在(LP)和(DP)的最优解中： (1) 如果对应某一约束的对偶变量取值非零，则该约 束取严格等式； (2) 如果某一约束取严格不等式，则其对应的对偶变 量必取零。